资源简介

高考数学：考前必记的54个公式、原理
抢分点1　集合问题必须牢记的重要结论
a与{a}的区别:一般地,a表示一个元素,而{a}表示只有一个元素a的集合.

(2)易混淆的0,?,{0}:0是一个实数;?是一个集合,它含有0个元素;{0}是只有一个元素0的集合,但0??,而??{0}.

(3)求解集合的补集时,要先求出集合,然后写其补集,不要直接转化条件导致出错,如A={x|>0}的补集是{x|x≤0},而不是{x|≤0}.

(4)交集的补集等于补集的并集,即?U(A∩B)=?UA∪?UB;并集的补集等于补集的交集,即?U(A∪B)=?UA∩?UB.

(5)若A∩B=A,则A?B,反之也成立;若A∪B=B,则A?B,反之也成立.利用这两个结论时一定不要忘记集合A=?这个特例.

(6)对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n-1,2n-1,2n-2.

【临考必记】集合问题注意“四看”
(1)一看代表元素:代表元素反映了集合中元素的特征,解题时需分清是点集、数集,还是其他集合.

(2)二看元素组成:集合是由元素组成的,从研究集合的元素入手是解集合问题的常用方法.

(3)三看能否化简:有些集合是可以化简的,如果先化简再研究其关系,可使问题变得简捷.

(4)四看能否数形结合:常运用的数形结合形式有数轴、坐标轴和Venn图.

抢分点2　集合之间关系的判断方法
(1)A?B?A?B或A=B,类比于a≤b?a(2)A?B?A?B且A≠B,类比于a(3)A=B?A?B且B?A,类比于a=b?a≤b且a≥b.

注意　判断两个集合之间的关系可以比照两实数间的关系进行,也可以用韦恩图直观地表示上述各种关系.




抢分点3　四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 假
假 假 假 假


【临考必记】　
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.
(2)互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
(3)一个命题的逆命题与它的否命题具有相同的真假性.
(4)在判断一些命题的真假时,如果不容易直接判断,可以反向判断其逆否命题的真假.

抢分点4　全称量词与存在量词
(1)全称命题p:?x∈M,p(x),它的否定?p:?x∈M,?p(x).

特称命题p:?x∈M,p(x),它的否定?p:?x∈M,?p(x).

　　【临考谨记】　(1)全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.
(2)命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念,对命题p的否定是否定命题所作的判断,而“否命题”是对“若p,则q”形式的命题而言,既要否定条件也要否定结论.

抢分点5　充要条件与必要条件的三种判断方法
(1)定义法:寻找条件p,q间的推式,即先对命题“若p,则q”与“若q,则p”进行真假判断,再下结论.注意p是q的什么条件有四种:充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.

(2)集合法:当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集有关,或所描述的对象可以用集合表示时,可以借助集合间的包含关系进行充分条件与必要条件的判断.

等价法:在判断?q与?p之间的关系时,可由原命题与其逆否命题的等价性,转化为判断p与q的关系.

【临考谨记】　　　　
有关充分必要性的判断不可混淆的四点
⑴若p?q且 q?/ p,则p是q的充分不必要条件;
⑵若p?/ q 且q?p,则p是q的必要不充分条件;
⑶若p?/ q且q?/ p,则p是q的既不充分也不必要条件;
⑷若p?q且q?p,即p?q,则p是q的充要条件.


抢分点6　指数函数与对数函数的对比区分表
解析式 y=ax(a>0且a≠1) y=logax(a>0且a≠1)
定义域 R (0,+∞)
值域 (0,+∞) R
图像
关系 指数函数对数函数
奇偶性 非奇非偶 非奇非偶
单调性 01时,在R上是增函数 01时,在(0,+∞)上是增函数




















【临考必记】　
指数函数与对数函数活学巧记口诀
指数增减要看清,抓着底数不放松,反正底数大于零,不等于1已表明.
底数若是大于1,图像从下向上增,底数0到1之间,图像从上往下减.
无论函数增和减,图像都过(0,1)点.
对数增减有思路,函数图像看底数,底数只能大于0,等于1来也不行.
底数若是大于1,图像从下往上增,底数0到1之间,图像从上往下减.
无论函数增和减,图像都过(1,0)点.

抢分点7　方程的根与函数的零点
(1)方程的根与函数零点的关系　由函数的零点的定义,可知函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图像与x轴有交点?函数y=f(x)有零点.

函数零点的存在性　如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且f(a)·f(b)<0,那么函数f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也是方程f(x)=0的实数根.





【临考必记】　函数与方程的活学巧记口诀
函数连续值两端,相乘为负有零点,区间之内有一数,方程成立很显然. 更多学习资料，请关注微信公众号：高中学习帮

要求方程近似值,先看零点的区间,每次区间分为二,分后两端近零点.

【临考谨记】　函数的零点的存在定理应用中的误区

函数的零点的存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件,不是必要条件,即函数在一个区间的端点处函数值同号时,函数在这个区间上也可能存在零点,所以在判断一个函数在某个区间上不存在零点时,不能完全依赖函数零点的存在定理,要综合函数的性质进行分析判断.

抢分点8　用二分法求函数零点的一般步骤
第一步　确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε.
第二步　求区间[a,b]的中点c.
第三步　计算f(c).
①若f(c)=0,则c就是函数的零点;
②若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));
③若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).

第四步　判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a或b,否则重复第二步到第四步.

【临考必记】　　　　“精确度”与“精确到”
二分法是不断把零点所在区间二等分,从而缩小零点所在区间,求零点近似值的一种方法.在求零点近似值的时候,注意“精确度”与“精确到”是两种不同的要求.“精确度为0.1”是指函数零点的近似值与零点差的绝对值不大于0.1,在求解时,往往利用零点所在区间(a,b)的两个端点之差的绝对值即|b-a|来衡量精确度,即|b-a|≤0.1.

抢分点9　熟记基本初等函数的导数公式
(1)C'=0(C为常数).
(2)(xn)'=nxn-1(n∈N*).
(3)(sin x)'=cos x,(cos x)'=-sin x.
(4)(ln x)'=(x>0),(logax)'=(x>0,a>0,且a≠1).
(5)(ex)'=ex,(ax)'=axln a(a>0,且a≠1).


【临考必记】　
(1)()'=-.
(2)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.
(3)(ln|x|)'=.

抢分点10　导数的运算法则
(1)(u±v)'=u'±v'?[f1(x)+f2(x)+…+fn(x)]'=f '1(x)+f '2(x)+…+
f 'n(x).
(2)(uv)'=vu'+v'u?(cv)'=c'v+cv'=cv'(c为常数).
(3)()'=(v≠0).
注意　
(1)u,v必须是可导函数.
(2)若两个函数可导,则它们的和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.

【临考必记】　
(1)利用公式求导时,一定要注意公式的适用范围及符号,如(xn)'=nxn-1中n≠0且n∈Q,(cos x)'=-sin x.
(2)注意公式不要用混,如(ax)'=axln a,而不是(ax)'=xax-1.
(3)导数的加法与减法法则,可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形,即[u(x)±v(x)±…±w(x)]'=u'(x)±v'(x)±…±w'(x).
(4)一般情况下,[f(x)g(x)]'≠f '(x)g'(x),[f(x)g(x)]'≠f '(x)+g'(x),
[]'≠,[]'≠f '(x)-g'(x).

抢分点11　求可导函数单调区间的步骤
(1)确定y=f(x)的定义域.
(2)求导数f '(x).
(3)求出f '(x)=0的根,将f(x)的定义域分成若干区间,列表考查这若干区间内f '(x)的符号,进而确定f(x)的单调区间.

　　【临考谨记】　(1)求函数的单调区间往往易忽视函数的定义域,这样不但使解答结果错误,而且使解题过程复杂,因此,求函数的单调区间时应优先考虑函数的定义域.
(2)如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个,这些单调区间不能用“∪”连接,而只能用逗号或“和”字隔开.
(3)如果在某个区间(a,b)内,恒有f '(x)=0,那么函数y=f(x)是常数函数,在此区间内不具有单调性.

抢分点12　判别极大值、极小值的方法
第一步:确定函数的定义域,求导数f '(x).
第二步:求方程f '(x)=0的根.
第三步:检查f '(x)在f '(x)=0的根的左右两侧的值的符号,如果“左正右负”,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果“左负右正”,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,即都为正或都为负,则f(x)在这个根处无极值.在此步骤中,最好利用方程f '(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成若干小开区间,并列成表格,后依表格内容得其结论.表格的使用,使极值点两边的符号一目了然,便于求极值.

【临考谨记】　
(1)可导函数极值点的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点,如函数f(x)=x3,当x=0时就不是极值点,但f '(0)=0.
(2)极值点不是一个点,而是一个数x0,当x=x0时,函数取得极值;在x0处有 f '(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件.
(3)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的最大值,函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的最小值.

抢分点13　弧度制的相关必备公式
(1)角度与弧度的换算:360°=2π rad,180°=π rad,1 rad=()°≈57.30°=57°18',1°= rad≈0.017 45 rad.
注意　正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.
(2)弧长公式:l=|α|·r.扇形面积公式:S扇形=lr=|α|·r2.
抢分点14　同角三角函数的基本关系
(1)商的关系　=tan α.
(2)平方关系　sin2α+cos2α=1.













【临考必记】　
(1)公式常见变形:
sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,sin α=±,cos α=±,sin α=cos αtan α,cos α=等.
　　(2)对“同角”的理解:只要是同一个角,基本关系式就成立,不拘泥于角的形式,比如sin2(α+)+cos2(α+)=1,tan 3α=等都成立,但sin2(α+)+cos2(α+)=1就不一定成立.

抢分点15　三角函数的诱导公式
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
公式一:
sin(2kπ+α)=sin α,　cos(2kπ+α)=cos α,　tan(2kπ+α)=tan α,k∈Z.

公式二:
sin(π+α)=-sin α,　cos(π+α)=-cos α,　tan(π+α)=tan α.

公式三:
sin(-α)=-sin α,　cos(-α)=cos α,　tan(-α)=-tan α.

公式四:
sin(π-α)=sin α,　cos(π-α)=-cos α,　tan(π-α)=-tan α.

公式五:
sin(-α)=cos α, cos(-α)=sin α.

公式六:
sin(+α)=cos α,　cos(+α)=-sin α.

推算公式:
sin(+α)=-cos α, cos(+α)=sin α,
sin(-α)=-cos α, cos(-α)=-sin α.


【临考必记】　奇变偶不变,符号看象限
“奇、偶”指的是的倍数的奇偶,“变与不变”指的是三角函数的名称的变化,“变”是指正弦变余弦(反之亦然成立).“符号看象限”的含义是:把角α看作锐角,看n·±α是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号.

抢分点16　三角函数图像的基本变换
y=sin x的图像向左平移φ(φ>0)个单位得到y=sin(x+φ)的图像(当φ<0时,则向右平移|φ|个单位).
y=sin x的图像上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的倍,得到y=sin ωx的图像.
y=sin x的图像上所有点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asin x的图像.

【临考谨记】　
(1)由y=sin ωx的图像经过平移变换得到y=sin(ωx+φ)的图像,平移的单位不是|φ|,而是||.

(2)函数图像平移伸缩变换的实质是点的变化,所以可以借助三角函数图像上特征点坐标的变化寻找平移伸缩变换的规律,一般借助于两个函数图像上的最高点或最低点的坐标来分析.

抢分点17　两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β.
cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β.
tan(α±β)=.
sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β(平方正弦公式).
cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.





【临考谨记】　
(1)两角和的余弦和正弦公式是本章各类公式的基础,在这两个公式中,两角和的余弦公式又是基础中的基础,因为两角和的正弦公式是由它与诱导公式导出的.
(2)公式S(α±β),C(α±β)具有一般性,即α,β可为任意角,公式T(α±β)也具有一般性,但应明确:公式T(α±β)在α≠kπ+,β≠kπ+,α±β≠kπ+,k∈Z时成立,否则不成立.当tan α,tan β或tan(α±β)不存在时,不能用此公式,而只能改用诱导公式或其他方法.

抢分点18　半角公式、二倍角公式
(1)半角公式
sin=±.
cos=±.
tan=±==.

【临考谨记】　
若给出角α的范围(即某一区间)时,可先求出的范围,再根据所在的范围来确定符号;如果没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号.

(2)二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α.
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
tan 2α=.


　　【临考必记】　(1)1+sin 2α=(sin α+cos α)2.
(2)1-sin 2α=(sin α-cos α)2.

抢分点19　和差化积、积化和差公式
(1)和差化积公式
sin α+sin β=2sincos.
sin α-sin β=2cossin .
cos α+cos β=2coscos.
cos α-cos β=-2sinsin.

【临考必记】　
(1)其中前两个公式可合并为一个:sin θ+sin φ=2sincos.
(2)只有系数相同或互为相反数的同名函数的和与差,才能直接运用公式化成积的形式,如果是一个正弦与一个余弦的和或差,则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积.

(2)积化和差公式
sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)].
cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)].
cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)].
sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)].

【临考必记】　
(1)两角正弦、余弦的积都能化成±[f(α+β)±f(α-β)]的形式.
(2)如果两角的函数同为正弦或余弦,那么“f ”表示余弦,如果一个为正弦一个为余弦,那么“f ”表示正弦.
(3)只有第四个式子的右端取“-”号.


(3)万能公式
sin θ=,cos θ=,tan θ=.
(4)辅助角公式
asin α+bcos α=sin(α+φ),
其中sin φ=,cos φ=(0≤φ<2π).

抢分点20　平面向量中的几种特殊向量
特殊向量 定义 备注
零向量 长度为零的向量 零向量记作0,其方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位的向量 单位向量记作a0,a0=
平行向量 方向相同或相反的非零向量(也叫共线向量) 0与任意向量共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量
相反向量 长度相等且方向相反的两个向量 若a,b为相反向量,则a=-b


















【临考必记】　零向量和单位向量的特殊性

零向量和单位向量是两个特殊的向量,它们的模是确定的,但是方向不确定,因此在解题时要注意它们的特殊性.比如:命题“若a∥b,b∥c,则a∥c”是假命题,因为当b为零向量时,a,c可为任意向量,两者不一定平行. 更多学习资料请关注微信公众号：高中学习帮

抢分点21　平面向量的坐标运算
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ是实数,则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1).
(2)已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=-=(x2-x1,y2-y1).
(3)平面向量共线的坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0.
(4)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),要证三点共线,只需证明∥.又=(x2-x1,y2-y1),=(x3-x2,y3-y2),所以只需证明(x2-x1)(y3-y2)-(x3-x2)(y2-y1)=0即可.

(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.

抢分点22　平面向量的数量积
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则|a|2=a2=a·a,a·b=|a|·|b|·cos =x1x2+y1y2,cos==,a在b上的投影为|a|cos==.
【临考谨记】　
(1)为锐角?a·b>0且a,b不同向,为直角?a·b=0且a,b≠0,为钝角?a·b<0且a,b不反向,a·b<0是为钝角的必要不充分条件.

(2)对于一个向量等式,可以移项、两边平方、两边同乘以一个实数、两边同时取模、两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能同时约去一个向量;向量的乘法不满足结合律,即a·(b·c)≠(a·b)·c.

抢分点23　判断等差数列的常用方法
(1)定义法:an+1-an=d(d为常数)(n∈N*)?{an}是等差数列.
(2)通项公式法:不是所有的数列都有通项公式,若有,也不一定唯一.
(3)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差数列.
(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数,n∈N*)?{an}是等差数列.











抢分点24　an和Sn的关系
若an为数列{an}的通项,Sn为其前n项和,则有:
an和Sn之间的关系an=
【临考谨记】　
在使用关系式an=时,一定要注意分n=1,n≥2两种情况,求出结果后,再看这两种情况能否整合在一起.

抢分点25　判断等比数列的常用方法
(1)定义法:=q(q是不为0的常数,n∈N*)?{an}是等比数列.
(2)通项公式法:an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)?{an}是等比数列.
(3)中项公式法:=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)?{an}是等比数列.

【临考谨记】　
(1)等比数列中任一项都不为0,且公比q≠0.
(2)q=1时,数列为常数列,同时此数列也是等差数列.但要注意:若一个数列是常数列,则此数列一定是等差数列,但不一定是等比数列,如:0,0,0,….

抢分点26　比较两个数或者两个式子的大小的方法
(1)作差比较法:对于任意两个实数a,b(a,b∈R),
a>b?a-b>0,a=b?a-b=0,a(2)作商比较法:设a,b∈R+,则>1?a>b,=1?a=b,<1?a但最常使用的还是作差比较的方法.
(3)利用单调性比较大小.






抢分点27　含参不等式恒成立或有解的必备条件
(1)在给定区间(-∞,+∞)的子区间L(形如[α,β],(-∞,α],[β,+∞)等)上,含参数的不等式f(x)≥t(t为参数)恒成立的充要条件是f(x)min≥t(x∈L).
(2)在给定区间(-∞,+∞)的子区间L上,含参数的不等式f(x)≤t(t为参数)恒成立的充要条件是f(x)max≤t(x∈L).
(3)在给定区间(-∞,+∞)的子区间L上,含参数的不等式f(x)≥t(t为参数)有解的充要条件是f(x)max≥t(x∈L).
(4)在给定区间(-∞,+∞)的子区间L上,含参数的不等式f(x)≤t(t为参数)有解的充要条件是f(x)min≤t(x∈L).

抢分点28　线性目标函数的最值问题
(1)解线性目标函数z=ax+by在约束条件下的最值问题,就是在满足约束条件的可行解(x,y)组成的可行域内,利用线性平移的方法找到点(x0,y0),使目标函数取得最值.

(2)已知目标函数的最值求参数的关键,是确定在可行域哪个点处目标函数取得最值,建立等式即可求出参数的值.需要注意的是,如果目标函数存在一个最优解,则最优解通常在可行域的顶点处取得;如果目标函数存在多个最优解,则最优解一般在可行域的边界上.

【临考必记】　线性目标函数的最优整数解
线性目标函数的最优整数解不一定在可行域的顶点或边界处取得,此时不能直接代入顶点坐标求最值,可用下面的方法求解.

(1)平移直线法:先在可行域内打网格,再描整点,平移目标函数所表示的直线,最先经过或最后经过的整点坐标是最优整数解.

(2)检验优值法:当可行域内整点个数较少时,也可将整点坐标逐一代入目标函数求值,经过比较得出最优解.

(3)调整优值法:先求非整数点最优解及最优值,再借助不定方程知识调整最优值,最后筛选出最优解.










抢分点29　已知图形与直观图面积、体积之间的关系
(1)由平面图形直观图的画法可得结论: 如果平面图形F的面积为S,它的直观图F'的面积为S',那么S=2S'.

(2)画空间图形直观图时,因为平行于z轴的线段平行性及长度都不变,因此也有结论:如果空间图形W的体积为V,它的直观图W'的体积为V',那么V=2V'.

抢分点30　空间几何体的表面积和体积
(1)直棱柱的侧面积:S侧=cl(c是底面周长,l为侧棱长).
正棱锥的侧面积:S侧=ch'(c是底面周长,h'为斜高).
正棱台的侧面积:S侧=(c+c')h'(c,c'分别是上、下底面周长,h'为斜高).
圆柱的侧面积:S侧=cl=2πrl(c是底面周长,l为母线长).
圆锥的侧面积:S侧=cl=πrl(c是底面周长,l为母线长).
圆台的侧面积:S侧=(c+c')l=π(r+R)l(c,c'分别是上、下底面周长,l为母线长).
球的表面积:S=4πR2.

(2)柱体的体积:V柱=Sh(S为底面积,h是柱体的高).
锥体的体积:V锥=Sh(S为底面积,h是锥体的高).
球的体积:V球=πR3=S表R.




【临考必记】　柱体、锥体、台体侧面面积公式间的关系
(1)当正棱台的上底面与下底面全等时,得到正棱柱;当正棱台的上底面缩为一个点时,得到正棱锥,由此可得:S=chS=(c+c')h'S=ch'.
(2)当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱;当圆台的上底面半径为零时,得到圆锥,由此可得:S=2πrlS=π(r+r')lS=πrl.

抢分点31　证明空间位置关系的6种方法
线面平行:
?a∥α,?a∥α,?a∥α.
线线平行:
?a∥b,?a∥b,?a∥b,?c∥b.

面面平行:
?α∥β,?α∥β,?α∥γ.
线线垂直:
?a⊥b.

线面垂直:
?l⊥α,?a⊥β,?a⊥β,?b⊥α.
面面垂直:
?α⊥β,?α⊥β.

【临考谨记】　
利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征,尤其注意正棱柱、正棱锥等特殊几何体性质的灵活运用,进行空间线面关系的相互转化.


抢分点32　直线方程的5种形式
点斜式:
y-y1=k(x-x1)(直线过点P1(x1,y1),且斜率为k,不包括y轴和平行于y轴的直线).
(2)斜截式:
y=kx+b(b为直线l在y轴上的截距,且斜率为k,不包括y轴和平行于y轴的直线).
两点式:
=(直线过点P1(x1,y1),P2(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线).
截距式:
+=1(a,b分别为直线的横、纵截距,且a≠0,b≠0,不包括坐标轴,平行于坐标轴和过原点的直线).
一般式:Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0).



【临考谨记】　
(1)应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时,一般可设直线的斜率为k,但要注意直线垂直于x轴,即斜率k不存在的情况.

(2)为了研究方便,经过定点P(x0,y0)的直线也可以有如下设法:当直线与y轴垂直时,可设为y-y0=0;当直线与y轴不垂直时,可设为x-x0=m(y-y0),这样直线方程与曲线方程联立时消去x比较方便.

抢分点33　两条直线的位置关系
(1)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,A2,B2全不为0),则l1,l2相交?≠,l1∥l2?=≠,l1,l2重合?==.
当A1,B1,A2,B2中有0时,应单独讨论.

(2)直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(+≠0,且+≠0)垂直?A1A2+B1B2=0.

【临考谨记】　
(1)讨论两条直线的位置关系应注意斜率不存在或斜率为0的情况,当两条直线中的一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为0时,它们也垂直.

(2)已知直线l:Ax+By+C=0,则
与直线l平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C),
与直线l垂直的直线方程可设为Bx-Ay+n=0.

抢分点34　圆的方程的三种形式
(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
(3)圆的直径式方程:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(圆的直径的两端点是A(x1,y1),B(x2,y2)).

抢分点35　椭圆的标准方程及几何性质
(1)标准方程:若焦点在x轴上,其方程为+=1(a>b>0);若焦点在y轴上,其方程为+=1(a>b>0).
(2)几何性质:
①离心率e==∈(0,1);
②过焦点且垂直于长轴的弦叫通径,其长度为.

【临考谨记】　
(1)满足|PF1|+|PF2|=2a的点P的轨迹不一定是椭圆,当2a>|F1F2|时,点P的轨迹是椭圆;当2a=|F1F2|时,点P的轨迹是线段F1F2;当2a<|F1F2|时,点P的轨迹不存在.
(2)经过已知两点的椭圆方程可以设为Ax2+By2=1的形式,其中A>0,B>0,且A≠B.
(3)椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,且c2=a2-b2.

【临考必记】　
(1)椭圆的离心率e的取值范围:0(2)若直线l过焦点F1(-c,0)或F2(c,0),交椭圆于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,则|MN|=2a+e(x1+x2)(左焦点)或|MN|=2a-e(x1+x2)(右焦点),△F2MN的周长为4a.

抢分点36　双曲线的标准方程及几何性质
(1)标准方程:若焦点在x轴上,其方程为-=1(a>0,b>0);若焦点在y轴上,其方程为-=1(a>0,b>0).
(2)几何性质:
①离心率e==∈(1,+∞);
②过焦点且垂直于实轴的弦叫通径,其长度为;
③双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,焦点到渐近线的距离等于b.

【临考必记】　
(1)离心率e的取值范围:e>1.当e越接近1时,双曲线开口越小;e越接近+∞时,双曲线开口越大.
(2)满足||PF1|-|PF2||=2a的点P的轨迹不一定是双曲线,当2a=0时,点P的轨迹是线段F1F2的中垂线;当0<2a<|F1F2|时,点P的轨迹是双曲线;当2a=|F1F2|时,点P的轨迹是两条射线;当2a>|F1F2|时,点P的轨迹不存在.

抢分点37　抛物线的标准方程及几何性质
(1)焦点在x轴正半轴上的抛物线方程为y2=ax(a>0),其焦点为F(,0),准线方程为x=-;焦点在y轴正半轴上的抛物线方程为x2=ay(a>0),其焦点为F(0,),准线方程为y=-.

(2)已知CD是抛物线y2=2px(p>0)的过焦点F的弦,且点C(x1,y1),D(x2,y2).
①焦半径|CF|=x1+,|DF|=x2+;
②过焦点的弦长|CD|=x1+x2+p= (其中α为直线CD的倾斜角),+=(定值);
③x1x2=,y1y2=-p2;
④以抛物线上的点为圆心,焦半径为半径的圆必与准线相切;以抛物线的焦点弦为直径的圆,必与准线相切.

抢分点38　直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解,当出现一元二次方程时,务必要求“判别式Δ≥0”,尤其在应用根与系数的关系解决问题时,必须先有“判别式Δ≥0”.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),弦长公式:
|AB|==|x2-x1|=|y1-y2|.
(3)如果有三个或三个以上的点在一条直线上,那么可选择以斜率为桥梁进行转化.

抢分点39　三种抽样方法的特点、联系及适用范围
类别 共同点 各自特点 联系 适用范围
简单随机抽样 ①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等; ②每次抽出个体后不再将它放回,即不放回抽样 从总体中逐个抽取 最基本的抽样方法 总体中的个体较少
将总体分成几部分,按预先确定的规则在各部分中抽取 在第一部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体较多
将总体分成几层,分层按比例进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成
系统抽样
分层抽样



抢分点40　线性相关关系强弱的分析与判断
对于变量x与y随机抽到的n对数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),利用相关系数r来衡量两个变量之间的线性相关关系,样本相关系数的具体计算公式为:
r= .
当r>0时,表明两个变量正相关.
当r<0时,表明两个变量负相关.






【临考谨记】　
(1)r= .
(2)|r|≤1,并且|r|越接近于1,两个变量的线性相关程度越强,|r|越接近于0,线性相关程度越弱.
当|r|大于0.75时,我们认为x与y有很强的线性相关关系,这时求回归直线方程有必要也有意义,而当|r|<0.75时,求回归直线方程的意义就不大.

抢分点41　独立性检验的基本方法
一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表如下:
y1 y2 总计
x1 a b a+b
x2 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d


若要推断的论述为H1:“X与Y有关系”,常用等高条形图展示列联表数据的频率特征.可以利用独立性检验来考查两个分类变量是否有关系,并且能较为准确地给出这种判断的可靠程度,具体做法是:根据观测数据由公式K2=计算得到K2的观测值k,并且k的值越大,说明“X与Y有关系”成立的可能性越大,可以利用数据来确定“X与Y有关系”的可信程度.

【临考谨记】　
(1)在列联表中注意事件的对应及有关值的确定,避免混乱.
(2)若要求判断X与Y无关,先假设X与Y有关系.
(3)K2与k的关系并不是k=,而是k是K2的观测值,或者说K2是一个随机变量,它在a,b,c,d取不同的值时,K2可能不同,而k是取定一组数a,b,c,d后的一个确定的值.
抢分点42　算法的三种基本逻辑结构
(1)顺序结构:如图2-1-1(1)所示.


图2-1-1
(2)条件结构:如图2-1-1(2)和图2-1-1(3)所示.
(3)循环结构:如图2-1-1(4)和图2-1-1(5)所示.
你能从图上说明这些结构是怎么执行的吗?

抢分点43　复数的四则运算法则
(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
(a+bi)÷(c+di)=+i(a,b,c,d∈R,c+di≠0).

【临考谨记】　几个结论:
(1)(1±i)2=±2i.
(2)=i,=-i.
(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0.
(4)ω=-±i,且ω0=1,ω2=,ω3=1,1+ω+ω2=0.
(5)涉及复数问题的最值,一般要考虑复数的几何意义,借助数形结合的方法求解,明确的几何意义是点(x,y)与原点连线的斜率.







抢分点44　平行线分线段成比例定理
平行线等分线段定理
定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
推论2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰.

平行线分线段成比例定理
定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

【临考必记】　与平行线分线段成比例定理有关的推论
(1)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.
(2)三角形的一个内角平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.
(3)梯形的中位线平行于两底,且等于两底和的一半.
(4)若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例,则此直线与三角形的第三边平行.

抢分点45　相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定定理:
①两角对应相等,两三角形相似;
②两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;
③三边对应成比例,两三角形相似.

相似三角形的性质定理:
①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比;
②相似三角形周长的比等于相似比;
③相似三角形面积的比等于相似比的平方.

直角三角形的射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项,两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.

【临考必记】　
(1)相似三角形的传递性:如果△ABC∽△A1B1C1,△ABC∽△A2B2C2,那么△A1B1C1∽△A2B2C2.

(2)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.




抢分点46　圆中有关定理及应用
(1)圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
(2)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数.
推论1:
同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
(3)圆内接四边形的性质与判定定理
性质定理1:
圆的内接四边形的对角互补.
性质定理2:
圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.
判定定理:
如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.
推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.
(4)圆的切线的性质及判定定理
性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径 .
推论1:
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
推论2:
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
弦切角定理 :弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.

【临考必记】　
圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系,从而证明三角形全等或相似,也可用于求线段长或角的大小及与圆的切线有关的问题

(6)与圆有关的比例线段
相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.
割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项.
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.





抢分点47　平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
抢分点48　直角坐标和极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则
x=ρcos θ,y=ρsin θ,且ρ2=x2+y2,tan θ=(x≠0).
这就是直角坐标和极坐标的互化公式.

抢分点49　参数方程与普通方程的互化
代入法:运用解方程的技巧求出参数,然后代入消去参数.
三角法:运用三角恒等式消去参数.
整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去.
化参数方程为普通方程F(x,y)=0时,在消参过程中应注意变量x,y取值范围的一致性,必须根据参数的取值范围,确定f(t)和g(t)的值域,从而得x,y的取值范围.

抢分点50　常见曲线的参数方程
(1)圆x2+y2=r2的参数方程为(θ为参数)
(2)圆(x-x0)2+(y-y0)2=r2的参数方程为(θ为参数)
(3)椭圆+=1的参数方程为(θ为参数)
(4)抛物线y2=2px的参数方程为(t为参数)
(5)过定点P(x0,y0)的倾斜角为α的直线的参数方程为
(t为参数)



抢分点51　基本不等式
定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
定理2:(基本不等式)如果a,b>0,那么≥,当且仅当a=b时,等号成立.即两个正数的算术平均不小于(大于或等于)它们的几何平均.
定理3:如果a,b,c∈R+,那么≥,当且仅当a=b=c时,等号成立.即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.
推广:对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即≥,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.

抢分点52　绝对值三角不等式
定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)·(b-c)≥0时,等号成立.

抢分点53　绝对值不等式的解法
(1)|x|0)?-aa(a>0)?x>a或x<-a.
(2)|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c?ax+b≤-c或ax+b≥c.
(3)|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c的解法有三种:一是根据绝对值的意义结合数轴直观求解;二是用零点分段法去绝对值,转化为三个不等式求解;三是构造函数,利用函数图像求解.

抢分点54　证明不等式的基本方法
(1)比较法:作差比较法、作商比较法.
(2)综合法:由因导果法.
(3)分析法:执果索因法.
(4)反证法:假设命题不成立推出矛盾.
(5)放缩法:通过把不等式中的某部分的值放大或缩小,简化不等式.
　　【临考必记】　证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法.如果已知条件与待证结论直接联系不明显,可考虑用分析法;如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的,则考虑用反证法等.在必要的情况下,可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.
考前必会的21个总结、推论
抢分点1　集合运算的5个重要推论
(1)A∩B?A,A∩B?B;A=A∩A,A?A∪B,B?A∪B; A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A;A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A.
(2)若A?B,则A∩B=A;反之若A∩B=A,则A?B.若A?B,则A∪B=B;反之若A∪B=B,则A?B.
(3)A∩?UA=?,A∪?UA=U, ?U(?UA)=A.
(4)?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).
(5)A∩B=A∪B?A=B.

抢分点2　充分必要条件的判断方法
(1)定义法:正、反方向推理,若p?q,p是q的充分条件,或q是p的必要条件;若p?q且q?/ p,则p是q的充分非必要条件(或q是p的必要非充分条件).
(2)集合法:利用集合间的包含关系.例如,若A?B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.
(3)等价法:将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题.

抢分点3　有关函数单调性和奇偶性的重要结论
(1)f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.
(2)当k>0时,函数f(x)与kf(x)的单调性相同;当k<0时,函数f(x)与kf(x)的单调性相反.
(3)当f(x),g(x)同为增(减)函数时,函数f(x)+g(x)为增(减)函数.
(4)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性,偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.
(5)f(x)为奇函数?f(x)的图像关于原点对称,f(x)为偶函数?f(x)的图像关于y轴对称.
(6)偶函数的和、差、积、商是偶函数;奇函数的和、差是奇函数,积、商是偶函数;奇函数与偶函数的积、商是奇函数.
(7)函数f(x)与kf(x)(k为非零常数),(f(x)≠0)的奇偶性相同.
(8)定义在(-∞,+∞)上的奇函数的图像必过原点,即f(0)=0.存在既是奇函数又是偶函数的函数,即函数f(0)=0.
(9)f(x)+f(-x)=0?f(x)为奇函数,f(x)-f(-x)=0?f(x)为偶函数.

抢分点4　函数的最值
(1)函数最大(小)值的几何意义:函数的最大值对应图像最高点的纵坐标,函数的最小值对应图像最低点的纵坐标.
(2)利用函数单调性求最值的常用结论:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减,则函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增,则函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b).

抢分点5　函数图像对称变换的相关结论
(1)y=f(x)的图像关于y轴对称的图像是函数y=f(-x)的图像.
(2)y=f(x)的图像关于x轴对称的图像是函数y=-f(x)的图像.
(3)y=f(x)的图像关于原点对称的图像是函数y=-f(-x)的图像.
(4)y=f(x)的图像关于直线y=x对称的图像是函数y=f-1(x)的图像.
(5)y=f(x)的图像关于直线x=m对称的图像是函数y=f(2m-x)的图像.
(6)y=f(x)的图像关于直线y=n对称的图像是函数y=2n-f(x)的图像.
(7)y=f(x)的图像关于点(a,b)对称的图像是函数y=2b-f(2a-x)的图像.

抢分点6　函数图像平移变换的相关结论
(1)把y=f(x)的图像沿x轴向左或向右平移|c|个单位长度(c>0时向左平移,c<0时向右平移)得到函数y=f(x+c)的图像(c为常数).
(2)把y=f(x)的图像沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度(b>0时向上平移,b<0时向下平移)得到函数y=f(x)+b的图像(b为常数).

抢分点7　函数图像伸缩变换的相关结论
(1)把y=f(x)的图像上各点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(00)的图像.
(2)把y=f(x)的图像上各点的横坐标伸长(01)到原来的倍,而纵坐标不变,得到函数y=f(bx)(b>0)的图像.

抢分点8　三角函数式的化简“三看”原则
(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式.
(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”.
(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等.

抢分点9　正、余弦定理及其相关推论
(1)正弦定理
===2R(R为△ABC外接圆的半径)?
a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C?a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
(2)余弦定理　
a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2cacos B,c2=a2+b2-2abcos C.
(3)面积定理　
①S=aha=bhb=chc(ha,hb,hc分别表示a,b,c边上的高).
②S=absin C=bcsin A=casin B.
(4)三角形内角和定理　
在△ABC中,有A+B+C=π?C=π-(A+B)?=-?2C=2π-2(A+B).

抢分点10　数量积、长度、夹角、垂直和平行的坐标表示
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
(1)a·b=x1x2+y1y2;
(2)|a|=,|b|=;
(3)cos=;
(4)a⊥b?x1x2+y1y2=0;
(5)a∥b?x1y2-x2y1=0.

抢分点11　中点坐标和三角形的重心坐标
(1)P1,P2的坐标为(x1,y1),(x2,y2),=?P为P1P2的中点,中点P的坐标为(,).
(2)三角形的重心坐标公式:△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心坐标是G(,).

抢分点12　三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则
(1)O为△ABC的外心?||=||=||=.
(2)O为△ABC的重心?++=0.
(3)O为△ABC的垂心?·=·=·.
(4)O为△ABC的内心?a+b+c=0.
抢分点13　基本不等式的变形及其推论
(1)根式形式:a+b≥2(a≥0,b≥0),当且仅当a=b时,等号成立.
(2)整式形式:
ab≤()2(a,b∈R),a2+b2≥2ab(a,b∈R),(a+b)2≥4ab(a,b∈R),()2≤(a,b∈R)(以上不等式当且仅当a=b时,等号成立).
分式形式:
+≥2(ab>0),当且仅当a=b时,等号成立.
倒数形式:
a+≥2(a>0),当且仅当a=1时,等号成立;a+≤-2(a<0),当且仅当a=-1时,等号成立.

【临考必记】　不等式活学巧记口诀
解不等式的途径,利用函数的性质.对指无理不等式,化为有理不等式.
高次向着低次代,步步转化要等价.数形之间互转化,帮助解答作用大.
证不等式的方法,实数性质威力大.求差与0比大小,作商和1争高下.
直接困难分析好,思路清晰综合法.非负常用基本式,正面难则反证法.

抢分点14　利用基本不等式求最值的相关结论
(1)对于正数x,y,若积xy是定值p,则当x=y时,和x+y有最小值2.
(2)对于正数x,y,若和x+y是定值s,则当x=y时,积xy有最大值s2.
(3)已知a,b,x,y∈R+,若ax+by=1,则有
+=(ax+by)(+)=a+b++≥a+b+2=(+)2.
(4)已知a,b,x,y∈R+,若+=1,则有
x+y=(x+y)(+)=a+b++≥a+b+2=(+)2.
【临考必记】　利用基本不等式求最大值、最小值时应注意“一正、二定、三相等”,即:
所求式中的相关项必须是正数;
求积xy的最大值时,要看和x+y是否为定值,求和x+y的最小值时,要看积xy是否为定值,求解时,常用到“拆项”“凑项”等解题技巧;
(3)当且仅当各项相等时,才能取等号.以上三点应特别注意,缺一不可.更多学习资料，请关注微信公众号：高中学习帮

抢分点15　等差数列的重要规律与推论
(1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d,p+q=m+n?ap+aq=am+an.
(2)ap=q,aq=p(p≠q)?ap+q=0;Sm+n=Sm+Sn+mnd.
(3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成的数列是等差数列.
(4)若等差数列{an}的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,=.
(5)若等差数列{an}的项数为奇数2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,=.

抢分点16　等比数列的重要规律与推论
(1)an=a1qn-1=amqn-m,p+q=m+n?ap·aq=am·an.
(2){an},{bn}成等比数列?{anbn}成等比数列.
(3)连续m项的和(如Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…)仍然成等比数列(注意:这连续m项的和必须非零才能成立).
(4)若等比数列有2n项,公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则=q.




抢分点17　数列中项的最值的求解方法
(1)根据数列与函数之间的对应关系,构造相应的函数f(n)=an,利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解,但要注意限制条件,即自变量的取值必须是正整数.
(2)利用数列的单调性求解,利用不等式an+1≥an(或an+1≤an)求解n的取值范围,从而确定数列单调性的变化,进而确定相应的最值.
(3)转化为关于n的不等式组求解:若求数列{an}的最大项,则可解不等式组若求数列{an}的最小项,则可解不等式组求出n的取值范围,再确定取得最值的项.

抢分点18　等差、等比数列的区别与联系
(1)如果数列{an}成等差数列,那么数列{}(总有意义)必成等比数列.
(2)如果数列{an}成等比数列,且an>0,那么数列{logaan}(a>0且a≠1)必成等差数列.
(3)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列,那么数列{an}是非零常数数列;数列{an}是常数数列仅是数列{an}既成等差数列又成等比数列的必要不充分条件.
(4)如果两个等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原来两个等差数列的公差的最小公倍数.
(5)如果一个等差数列与一个等比数列由其公共项顺次组成新数列,那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论,且以等比数列的项为主,探求等比数列中哪些项是它们的公共项,构成什么样的新数列.

【临考谨记】　
公共项仅是公共的项,其在各自数列中所处位置不一定相同,即研究的是an=bm.但也有少数问题研究an=bn,这时既要求项相同,也要求在各自数列中所处位置相同.







抢分点19　求数列通项公式的常用方法
(1)公式法:①等差数列的通项公式;②等比数列的通项公式.
(2)已知Sn(即a1+a2+…+an=Sn),求an,用作差法:an=
(3)已知a1·a2·…·an=f(n),求an,用作商法:an=
(4)若an+1-an=f(n),求an,用累加法:
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)+a1(n≥2).
(5)若=f(n),求an,用累乘法:
an=··…··a1=f(n-1)·f(n-2)·…·f(1)·a1(n≥2).
(6)形如an=kan-1+b,an=kan-1+bn(k,b为常数且k≠1)的递推数列都可以用待定系数法,先将问题转化为公比为k的等比数列,再求an.
(7)形如an=的递推数列都可以用倒数法求通项.
【临考谨记】　
(1)对通项公式中含有(-1)n的一类数列,在求Sn时,要注意讨论n的奇偶性.
(2)在用等比数列的前n项和公式时,一定要分q=1和q≠1两种情况进行讨论.
(3)用an=Sn-Sn-1(n≥2)求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的条件了吗?
(4)一般地,当已知条件中含有an与Sn的混合关系时,常需运用关系式an=Sn-Sn-1(n≥2),先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式,然后求解.
(5)求数列{an}的通项公式遇到an+1-an-1=d或=q(n≥2)时,要分奇数项、偶数项讨论,其结果多是分段形式.









抢分点20　数列求和的常用方法
公式法:
①等差数列的求和公式;
②等比数列的求和公式;
③常用公式,即1+2+3+…+n=n(n+1),12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1),1+3+5+…+(2n-1)=n2,n∈N*.
(2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中的“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和.
(3)倒序相加法:在数列求和中,若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和.
(4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成的,那么常选用错位相减法,将其和转化为“一个新的等比数列的和”求解.
(5)裂项相消法:如果数列的通项可分裂成“两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用的裂项形式有
①=-;
②=(-);
③<=(-),
-=<<=-;
④=[-].

抢分点21　概率事件的重要结论
(1)事件B包含事件A:事件A发生,则事件B一定发生,记作A?B.
(2)事件A与事件B相等:若A?B,B?A,则事件A与B相等,记作A=B.
(3)并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件A发生或事件B发生,记作A∪B(或A+B).
(4)交(积)事件:某事件发生,当且仅当事件A发生且事件B发生,记作A∩B(或AB).
(5)事件A与事件B互斥:若A∩B为不可能事件(A∩B=?),则事件A与事件B互斥.
(6)对立事件:若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,则A与B互为对立事件.
【临考谨记】　
从集合的角度来看,互斥事件是交集为空集的事件,对立事件就是互补事件,对立一定互斥,互斥不一定对立,不互斥一定不对立.

展开更多......

收起↑