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2020春人教版八下数学同步精练19.2.3一次函数的应用
基础知识梳理练
1.先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而得出函数解析式的方法,叫做待定系数法.
2.由于一次函数y=kx+b中有k和b两个待定系数,因此用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组(以k和b为未知数).解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
3.一次函数的应用就是把实际问题抽象成数学问题,建立一次函数模型,通过解决一次函数问题从而解决实际问题.
教材要点分类练
知识点一 待定系数法求一次函数关系式
4.(40732389)直线y=kx+1过点(1,-2),则k的值是(B)
　　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.-3 C.-6 D.6
5.(40732390)函数y=kx+2经过点(1,3),则y=0时,x的值为(A)
A.-2 B.2 C.0 D.±2
6.(40732391)若点P(-2,4)关于y轴的对称点P'在一次函数y=x+b的图象上,则b的值为 (B)
A.-2 B.2 C.-6 D.6
7.(40732392)如图,直线l是一次函数y=kx+b的图象,如果点A(3,m)在直线l上,则m的值为 (C)
A.-5 B.32 C.52 D.7
8.(40732393)已知直线y=kx-4(k<0)与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,则直线的解析式为(B)
A.y=-x-4 B.y=-2x-4
C.y=-3x+4 D.y=-3x-4
9.(40732394)如图,矩形OABC的边OA在x轴上,O与原点重合,OA=1,OC=2,点D的坐标为(2,0),则直线BD的函数表达式为y=-2x+4.
10.(40732395)如图,过点A(0,3)的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B,求这个一次函数的解析式.
解:∵B点在正比例函数y=2x的图象上,横坐标为1,∴y=2×1=2.∴B(1,2).设一次函数解析式为y=kx+b,∵一次函数的图象过点A(0,3),与正比例函数y=2x的图象相交于点B(1,2),∴可得出方程组b=3,k+b=2.解得b=3,k=-1.则这个一次函数的解析式为 y=-x+3.
知识点二 一次函数的应用
11.(40732396)一支蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的高度h(厘米)与燃烧时间t(时)的函数关系的图象是(D)
12.(40732397)某商店在节日期间开展优惠促销活动:购买原价超过200元的商品,超过200元的部分可以享受打折优惠.若购买商品的实际付款金额y(单位:元)与商品原价x(单位:元)的函数关系的图象如图所示,则超过200元的部分可以享受的优惠是(B)
A.打八折 B.打七折
C.打六折 D.打五折
13.(40732398)14:00时,时钟中时针与分针的位置如图所示(分针在射线OA上),设经过x min(0≤x≤30),时针、分针与射线OA所成角的度数分别为y1°,y2°,则y1,y2与x之间的函数关系图象是(A)
14.(40732399)A,B两地相距20 km,甲、乙两人沿同一条路线从A地到B地,甲先出发,匀速行驶.甲出发1小时后乙再出发.乙以2 km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶,结果比甲提前到达.甲、乙两人离开A地的距离y(单位:km)与时间t(单位:h)的关系如图所示,则甲出发165小时后和乙相遇.
第14题图
第15题图
15.(40732400)为增强居民的节水意识,某市自去年年初年实施“阶梯水价”.按照“阶梯水价”的收费标准,居民家庭每年应缴水费y(单位:元)与用水量x(单位:立方米)的函数关系的图象如图所示.如果某个家庭去年全年上缴水费 1 180元,那么该家庭去年用水的总量是220立方米.
16.(40732401)如图所示,购买一种苹果,所付款金额y(单位:元)与购买量x(单位:千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成,求一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省多少元?
解:由线段OA的图象可知,当0∴1千克苹果的价钱为10元.
设射线AB的解析式为y=kx+b(x≥2),
把(2,20),(4,36)代入,得
2k+b=20,4k+b=36.解得k=8,b=4.
∴y=8x+4.当x=3时,y=8×3+4=28.
当购买3千克这种苹果分三次分别购买1千克时,所花钱为10×3=30(元).
∴30-28=2(元),则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元.
能力提升创新练
17.(40732402)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3过点A(5,m)且与y轴交于点B,把点A向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到点C,过点C且与y=2x平行的直线交y轴于点D.
(1)求直线CD的解析式;
(2)直线AB与CD交于点E,将直线CD沿EB方向平移,平移到经过点B的位置结束,求直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围.
解:(1)∵点A(5,m)在直线y=-x+3上,
∴m=-5+3=-2,即A(5,-2).
∵点A向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到点C,∴C(3,2).
∵直线CD与y=2x平行,
∴设直线CD的解析式为y=2x+b,
把C(3,2)代入得b=-4.
∴直线CD的解析式为y=2x-4.
(2)设CD平移结束时与x轴交于点F.将x=0代入y=-x+3得y=3,即B(0,3),
∴平移后的直线BF的解析式为y=2x+3,令y=0,
得x=-32,即F-32,0.
将y=0代入y=2x-4得x=2,即CD与x轴的交点坐标为G(2,0).
∴CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围是-32≤x≤2.
18.(40732403)如图,直线l1:y=2x+1与直线l2:y=mx+4相交于点P(1,b).
(1)求b,m的值;
(2)垂直于x轴的直线x=a与直线l1,l2分别交于点C,D,若线段CD长为2,求a的值.
解:(1)把点P(1,b)代入y=2x+1,
得b=2+1=3,此时P(1,3);
再把P(1,3)代入y=mx+4,得m+4=3,∴m=-1.
(2)直线x=a与直线l1的交点C为(a,2a+1),
与直线l2的交点D为(a,-a+4).
∵CD=2,∴|2a+1-(-a+4)|=2,即|3a-3|=2,
∴3a-3=2或3a-3=-2,∴a=53或13.
19.(40732404)在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象经过点A(2,3)与点B(0,5).
(1)求此一次函数的表达式;
(2)若点P为此一次函数图象上一点,且△POB的面积为10,求点P的坐标.
解:(1)设此一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0).
∵一次函数的图象经过点A(2,3)与点B(0,5),
∴2k+b=3,b=5.解得k=-1,b=5.
∴此一次函数的表达式为y=-x+5.
(2)如图,设点P的坐标为(a,-a+5).
∵B(0,5),∴OB=5.
∵S△POB=10,
∴12×5×|a|=10.
∴|a|=4.∴a=±4.
∴点P的坐标为(4,1)或(-4,9).
20.(40732405)如图,直线y=23x-2分别交x轴,y轴于A,B两点,O是原点.
(1)求△AOB的面积;
(2)过△AOB的顶点B画一条直线把△AOB分成面积相等的两部分,求出直线的解析式.
解:(1)令y=23x-2中x=0,则y=-2,∴点B(0,-2).
令y=23x-2中y=0,则23x-2=0,解得x=3.
∴点A(3,0).
S△AOB=12OA·OB=12×3×2=3.
(2)作出线段AO的中点C,作直线BC,如图所示.
∵点A(3,0),∴点C32,0.
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
将点B(0,-2),C32,0代入y=kx+b中,
得b=-2,32k+b=0,解得k=43,b=-2.
∴直线BC的解析式为y=43x-2.
21.(40732406)学校与图书馆在同一条笔直道路上,甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,乙先到达目的地.两人之间的距离y(单位:米)与时间t(单位:分钟)之间的函数关系如图所示.
(1)根据图象信息,当t=24分钟时甲、乙两人相遇,甲的速度为40米/分钟;
(2)求出线段AB所表示的函数表达式.
v甲+v乙=2 400÷24=100(米/分),
∵v甲=40米/分,
∴v乙=60米/分,
∵2 400÷60=40(分),40×40=1 600(米),
∴A(40,1 600).
由图可知B(60,2 400),
设线段AB所表示的函数表达式为y=kt+b(k≠0).
将点A、B的坐标代入表达式得40k+b=1 600,60k+b=2 400,
解得k=40,b=0.∴线段AB所表示的函数表达式为y=40t(40≤t≤60).
22.(40732407)随着“互联网+”时代的到来,一种新型打车方式受到大众欢迎.该打车方式的计价规则如图①所示,若车辆以平均速度v km/h行驶了s km,则打车费用为ps+60q·sv元(不足9元按9元计价).小明某天用该打车方式出行,按上述计价规则,其打车费用y(单位:元)与行驶里程x(单位:km)的函数关系如图②所示.
(1)当x≥6时,求y与x的函数关系式;
(2)若p=1,q=0.5,求该车行驶的平均速度.
解:(1)当x≥6时,设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.
根据题意,当x=6时,y=9;当x=8时,y=12.
∴9=6k+b,12=8k+b.解得k=1.5,b=0.
∴y与x之间的函数关系式为y=1.5x.
(2)根据图象可得,当x=8时,y=12,
又∵p=1,q=0.5,
∴12=1×8+60×0.5×8v,解得v=60.
经检验,v=60是原方程的根.
∴该车行驶的平均速度为60 km/h.
23.(40732408)“低碳生活,绿色出行”的理念已深入人心,现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游.周末,小红到郊外游玩,她从家出发0.5小时后到达甲地,游玩一段时间后按照原速前往乙地,刚到达乙地,接到妈妈电话,快速返回家中.小红从家出发到返回家中,行进路程y(单位:km)随时间x(单位:h)变化的函数图象大致如图所示.
(1)小红从甲地到乙地骑车的速度为20km/h;
(2)当1.5≤x≤2.5时,求出路程y关于时间x的函数解析式,并求出乙地离小红家多少千米?
解:(1)10÷0.5=20(km/h).
所以小红从甲地到乙地骑车的速度为20 km/h.
(2)(方法1)20×(2.5-1.5)=20,20+10=30,
∴点C的坐标为(2.5,30).
当1.5≤x≤2.5时,设路程y关于时间x的函数解析式为y=kx+b.
把点B(1.5,10),点C(2.5,30)代入y=kx+b,得1.5k+b=10,2.5k+b=30.解得k=20,b=-20.
∴当1.5≤x≤2.5时,路程y关于时间x的函数解析式为y=20x-20,乙地离小红家30千米.
(方法2)当1.5≤x≤2.5时,设路程y关于时间x的函数解析式为y=20x+b.
把点B(1.5,10)代入y=kx+b,得10=20×1.5+b,解得b=-20.
所以当1.5≤x≤2.5时,路程y(km)关于时间x(h)的函数解析式为y=20x-20.
当x=2.5时,y=20×2.5-20=30.
所以乙地离小红家30千米.
中考考场必刷练
24.(40732409)(中考·淮安)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象经过点A(-2,6),且与x轴相交于点B,与正比例函数y=3x的图象相交于点C,点C的横坐标为1.
(1)求k,b的值;
(2)若点D在y轴负半轴上,且满足S△COD=13S△BOC,求点D的坐标.
解:(1)由C点的横坐标为1,且在y=3x的图象上,故为(1,3),
将A,C点的坐标代入y=kx+b,得6=-2k+b,3=k+b,解得k=-1,b=4.
(2)直线AB的解析式为y=-x+4,可求得B点坐标为(4,0),即OB=4,S△BOC=12×4×3=6.
所以S△COD=13×6=2.由△OCD的高为C点的横坐标1,即OD=2S△OCD÷1=4,故点D的坐标为(0,-4).
25.(40732410)(中考·绥化)端午节期间,甲、乙两人沿同一路线行驶,各自开车同时去离家560千米的景区游玩,甲先以每小时60千米的速度匀速行驶1小时,再以每小时m千米的速度匀速行驶,途中休息了一段时间后,仍按照每小时m千米的速度匀速行驶,两人同时到达目的地.图中折线、线段分别表示甲、乙两人所走的路程中y甲(单位:km),y乙(单位:km)与时间x(单位:h)之间的函数关系的图象,请根据图象提供的信息,解决下列问题:
(1)图中E点的坐标是(2,160),题中m=100km/h,甲在途中休息1h;
(2)求线段CD的解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)两人第二次相遇后,又经过多长时间两人相距20 km?
解:(2)100×(4-1)+60=360,∴B(4,360),
∴C(5,360).
设线段CD解析式为y=kx+b(k≠0),
把C(5,360),D(7,560)代入解析式,
得5k+b=360,7k+b=560,
解得k=100,b=-140,∴y=100x-140(5≤x≤7).
(3)由题意得线段OD的解析式为y=80x(0≤x≤7).
把x=5代入y=80x中,解得y=400,
400-360=40(km).
∴出发5 h时两人相距40 km.
把y=360代入y=80x,得x=4.5.
∴出发4.5 h时两人第二次相遇.
2020春人教版八下数学同步精练19.2.3一次函数的应用（答案版）
基础知识梳理练
1.先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而得出函数解析式的方法,叫做待定系数法.
2.由于一次函数y=kx+b中有k和b两个待定系数,因此用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组(以k和b为未知数).解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
3.一次函数的应用就是把实际问题抽象成数学问题,建立一次函数模型,通过解决一次函数问题从而解决实际问题.
教材要点分类练
知识点一 待定系数法求一次函数关系式
4.(导学号:40732389)直线y=kx+1过点(1,-2),则k的值是(B)
　　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.-3 C.-6 D.6
5.(导学号:40732390)函数y=kx+2经过点(1,3),则y=0时,x的值为(A)
A.-2 B.2 C.0 D.±2
6.(导学号:40732391)若点P(-2,4)关于y轴的对称点P'在一次函数y=x+b的图象上,则b的值为 (B)
A.-2 B.2 C.-6 D.6
7.(导学号:40732392)如图,直线l是一次函数y=kx+b的图象,如果点A(3,m)在直线l上,则m的值为 (C)
A.-5 B.32 C.52 D.7
8.(导学号:40732393)已知直线y=kx-4(k<0)与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,则直线的解析式为(B)
A.y=-x-4 B.y=-2x-4
C.y=-3x+4 D.y=-3x-4
9.(导学号:40732394)如图,矩形OABC的边OA在x轴上,O与原点重合,OA=1,OC=2,点D的坐标为(2,0),则直线BD的函数表达式为y=-2x+4.
10.(导学号:40732395)如图,过点A(0,3)的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B,求这个一次函数的解析式.
解:∵B点在正比例函数y=2x的图象上,横坐标为1,∴y=2×1=2.∴B(1,2).设一次函数解析式为y=kx+b,∵一次函数的图象过点A(0,3),与正比例函数y=2x的图象相交于点B(1,2),∴可得出方程组b=3,k+b=2.解得b=3,k=-1.则这个一次函数的解析式为 y=-x+3.
知识点二 一次函数的应用
11.(导学号:40732396)一支蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的高度h(厘米)与燃烧时间t(时)的函数关系的图象是(D)
12.(导学号:40732397)某商店在节日期间开展优惠促销活动:购买原价超过200元的商品,超过200元的部分可以享受打折优惠.若购买商品的实际付款金额y(单位:元)与商品原价x(单位:元)的函数关系的图象如图所示,则超过200元的部分可以享受的优惠是(B)
A.打八折 B.打七折
C.打六折 D.打五折
13.(导学号:40732398)14:00时,时钟中时针与分针的位置如图所示(分针在射线OA上),设经过x min(0≤x≤30),时针、分针与射线OA所成角的度数分别为y1°,y2°,则y1,y2与x之间的函数关系图象是(A)
14.(导学号:40732399)A,B两地相距20 km,甲、乙两人沿同一条路线从A地到B地,甲先出发,匀速行驶.甲出发1小时后乙再出发.乙以2 km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶,结果比甲提前到达.甲、乙两人离开A地的距离y(单位:km)与时间t(单位:h)的关系如图所示,则甲出发165小时后和乙相遇.
第14题图
第15题图
15.(导学号:40732400)为增强居民的节水意识,某市自去年年初年实施“阶梯水价”.按照“阶梯水价”的收费标准,居民家庭每年应缴水费y(单位:元)与用水量x(单位:立方米)的函数关系的图象如图所示.如果某个家庭去年全年上缴水费 1 180元,那么该家庭去年用水的总量是220立方米.
16.(导学号:40732401)如图所示,购买一种苹果,所付款金额y(单位:元)与购买量x(单位:千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成,求一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省多少元?
解:由线段OA的图象可知,当0∴1千克苹果的价钱为10元.
设射线AB的解析式为y=kx+b(x≥2),
把(2,20),(4,36)代入,得
2k+b=20,4k+b=36.解得k=8,b=4.
∴y=8x+4.当x=3时,y=8×3+4=28.
当购买3千克这种苹果分三次分别购买1千克时,所花钱为10×3=30(元).
∴30-28=2(元),则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元.
能力提升创新练
17.(导学号:40732402)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3过点A(5,m)且与y轴交于点B,把点A向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到点C,过点C且与y=2x平行的直线交y轴于点D.
(1)求直线CD的解析式;
(2)直线AB与CD交于点E,将直线CD沿EB方向平移,平移到经过点B的位置结束,求直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围.
解:(1)∵点A(5,m)在直线y=-x+3上,
∴m=-5+3=-2,即A(5,-2).
∵点A向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到点C,∴C(3,2).
∵直线CD与y=2x平行,
∴设直线CD的解析式为y=2x+b,
把C(3,2)代入得b=-4.
∴直线CD的解析式为y=2x-4.
(2)设CD平移结束时与x轴交于点F.将x=0代入y=-x+3得y=3,即B(0,3),
∴平移后的直线BF的解析式为y=2x+3,令y=0,
得x=-32,即F-32,0.
将y=0代入y=2x-4得x=2,即CD与x轴的交点坐标为G(2,0).
∴CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围是-32≤x≤2.
18.(导学号:40732403)如图,直线l1:y=2x+1与直线l2:y=mx+4相交于点P(1,b).
(1)求b,m的值;
(2)垂直于x轴的直线x=a与直线l1,l2分别交于点C,D,若线段CD长为2,求a的值.
解:(1)把点P(1,b)代入y=2x+1,
得b=2+1=3,此时P(1,3);
再把P(1,3)代入y=mx+4,得m+4=3,∴m=-1.
(2)直线x=a与直线l1的交点C为(a,2a+1),
与直线l2的交点D为(a,-a+4).
∵CD=2,∴|2a+1-(-a+4)|=2,即|3a-3|=2,
∴3a-3=2或3a-3=-2,∴a=53或13.
19.(导学号:40732404)在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象经过点A(2,3)与点B(0,5).
(1)求此一次函数的表达式;
(2)若点P为此一次函数图象上一点,且△POB的面积为10,求点P的坐标.
解:(1)设此一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0).
∵一次函数的图象经过点A(2,3)与点B(0,5),
∴2k+b=3,b=5.解得k=-1,b=5.
∴此一次函数的表达式为y=-x+5.
(2)如图,设点P的坐标为(a,-a+5).
∵B(0,5),∴OB=5.
∵S△POB=10,
∴12×5×|a|=10.
∴|a|=4.∴a=±4.
∴点P的坐标为(4,1)或(-4,9).
20.(导学号:40732405)如图,直线y=23x-2分别交x轴,y轴于A,B两点,O是原点.
(1)求△AOB的面积;
(2)过△AOB的顶点B画一条直线把△AOB分成面积相等的两部分,求出直线的解析式.
解:(1)令y=23x-2中x=0,则y=-2,∴点B(0,-2).
令y=23x-2中y=0,则23x-2=0,解得x=3.
∴点A(3,0).
S△AOB=12OA·OB=12×3×2=3.
(2)作出线段AO的中点C,作直线BC,如图所示.
∵点A(3,0),∴点C32,0.
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
将点B(0,-2),C32,0代入y=kx+b中,
得b=-2,32k+b=0,解得k=43,b=-2.
∴直线BC的解析式为y=43x-2.
21.(导学号:40732406)学校与图书馆在同一条笔直道路上,甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,乙先到达目的地.两人之间的距离y(单位:米)与时间t(单位:分钟)之间的函数关系如图所示.
(1)根据图象信息,当t=24分钟时甲、乙两人相遇,甲的速度为40米/分钟;
(2)求出线段AB所表示的函数表达式.
v甲+v乙=2 400÷24=100(米/分),
∵v甲=40米/分,
∴v乙=60米/分,
∵2 400÷60=40(分),40×40=1 600(米),
∴A(40,1 600).
由图可知B(60,2 400),
设线段AB所表示的函数表达式为y=kt+b(k≠0).
将点A、B的坐标代入表达式得40k+b=1 600,60k+b=2 400,
解得k=40,b=0.∴线段AB所表示的函数表达式为y=40t(40≤t≤60).
22.(导学号:40732407)随着“互联网+”时代的到来,一种新型打车方式受到大众欢迎.该打车方式的计价规则如图①所示,若车辆以平均速度v km/h行驶了s km,则打车费用为ps+60q·sv元(不足9元按9元计价).小明某天用该打车方式出行,按上述计价规则,其打车费用y(单位:元)与行驶里程x(单位:km)的函数关系如图②所示.
(1)当x≥6时,求y与x的函数关系式;
(2)若p=1,q=0.5,求该车行驶的平均速度.
解:(1)当x≥6时,设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.
根据题意,当x=6时,y=9;当x=8时,y=12.
∴9=6k+b,12=8k+b.解得k=1.5,b=0.
∴y与x之间的函数关系式为y=1.5x.
(2)根据图象可得,当x=8时,y=12,
又∵p=1,q=0.5,
∴12=1×8+60×0.5×8v,解得v=60.
经检验,v=60是原方程的根.
∴该车行驶的平均速度为60 km/h.
23.(导学号:40732408)“低碳生活,绿色出行”的理念已深入人心,现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游.周末,小红到郊外游玩,她从家出发0.5小时后到达甲地,游玩一段时间后按照原速前往乙地,刚到达乙地,接到妈妈电话,快速返回家中.小红从家出发到返回家中,行进路程y(单位:km)随时间x(单位:h)变化的函数图象大致如图所示.
(1)小红从甲地到乙地骑车的速度为20km/h;
(2)当1.5≤x≤2.5时,求出路程y关于时间x的函数解析式,并求出乙地离小红家多少千米?
解:(1)10÷0.5=20(km/h).
所以小红从甲地到乙地骑车的速度为20 km/h.
(2)(方法1)20×(2.5-1.5)=20,20+10=30,
∴点C的坐标为(2.5,30).
当1.5≤x≤2.5时,设路程y关于时间x的函数解析式为y=kx+b.
把点B(1.5,10),点C(2.5,30)代入y=kx+b,得1.5k+b=10,2.5k+b=30.解得k=20,b=-20.
∴当1.5≤x≤2.5时,路程y关于时间x的函数解析式为y=20x-20,乙地离小红家30千米.
(方法2)当1.5≤x≤2.5时,设路程y关于时间x的函数解析式为y=20x+b.
把点B(1.5,10)代入y=kx+b,得10=20×1.5+b,解得b=-20.
所以当1.5≤x≤2.5时,路程y(km)关于时间x(h)的函数解析式为y=20x-20.
当x=2.5时,y=20×2.5-20=30.
所以乙地离小红家30千米.
中考考场必刷练
24.(导学号:40732409)(中考·淮安)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象经过点A(-2,6),且与x轴相交于点B,与正比例函数y=3x的图象相交于点C,点C的横坐标为1.
(1)求k,b的值;
(2)若点D在y轴负半轴上,且满足S△COD=13S△BOC,求点D的坐标.
解:(1)由C点的横坐标为1,且在y=3x的图象上,故为(1,3),
将A,C点的坐标代入y=kx+b,得6=-2k+b,3=k+b,解得k=-1,b=4.
(2)直线AB的解析式为y=-x+4,可求得B点坐标为(4,0),即OB=4,S△BOC=12×4×3=6.
所以S△COD=13×6=2.由△OCD的高为C点的横坐标1,即OD=2S△OCD÷1=4,故点D的坐标为(0,-4).
25.(导学号:40732410)(中考·绥化)端午节期间,甲、乙两人沿同一路线行驶,各自开车同时去离家560千米的景区游玩,甲先以每小时60千米的速度匀速行驶1小时,再以每小时m千米的速度匀速行驶,途中休息了一段时间后,仍按照每小时m千米的速度匀速行驶,两人同时到达目的地.图中折线、线段分别表示甲、乙两人所走的路程中y甲(单位:km),y乙(单位:km)与时间x(单位:h)之间的函数关系的图象,请根据图象提供的信息,解决下列问题:
(1)图中E点的坐标是(2,160),题中m=100km/h,甲在途中休息1h;
(2)求线段CD的解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)两人第二次相遇后,又经过多长时间两人相距20 km?
解:(2)100×(4-1)+60=360,∴B(4,360),
∴C(5,360).
设线段CD解析式为y=kx+b(k≠0),
把C(5,360),D(7,560)代入解析式,
得5k+b=360,7k+b=560,
解得k=100,b=-140,∴y=100x-140(5≤x≤7).
(3)由题意得线段OD的解析式为y=80x(0≤x≤7).
把x=5代入y=80x中,解得y=400,
400-360=40(km).
∴出发5 h时两人相距40 km.
把y=360代入y=80x,得x=4.5.
∴出发4.5 h时两人第二次相遇.
①当4.5∴x=4.75,4.75-4.5=0.25(h).
②当x>5时,80x-(100x-140)=20,
∴x=6,6-4.5=1.5(h).
答:第二次相遇后又经过0.25 h或1.5 h两人相距20 km.
人教版八下数学 学霸笔记整理19.2.2　一次函数
1.一般地,形如y= kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数.当b=0时,y=kx+b即为y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
2.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以由直线y=kx平移|b|个单位长度得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移).一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也是一条直线,我们称为直线 y=kx+b.
3.当k>0时,直线y=kx+b从左向右上升;当k<0时,直线y=kx+b从左向右下降.由此可知,一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)具有如下性质:
当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小.
4.先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而得出函数解析式的方法,叫做待定系数法.
5.由于一次函数y=kx+b中有k和b两个待定系数,因此用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组(以k和b为未知数).解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
6.一次函数的应用就是把实际问题抽象成数学问题,建立一次函数模型,通过解决一次函数问题从而解决实际问题.
1.正比例函数一定是一次函数,是特殊的一次函数,而一次函数包括正比例函数,不一定是正比例函数,只有当b=0时才是正比例函数.
2.在实际问题中,当自变量的取值范围受到一定的限制时,函数y=kx+b的图象就不再是一条直线.要根据实际情况进行分析,其图象可能是射线、线段或折线等等.
1.规律方法:(1)画一次函数y=kx+b(k≠0)的图象,选取(0,b)和(-bk,0)两点作直线.
(2)用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤:
①设出含有待定系数的一次函数解析式的一般形式;
②把自变量与对应的函数值,或图象上的点的坐标代入一次函数解析式,得到关于待定系数的方程或方程组;
③解方程或方程组求出待定系数的值;
④写出一次函数的解析式.
2.解题技巧:(1)一次函数的图象和性质
大致图象
k,b的符号
经过象限
增减性
k>0
b>0
一、二、三
y随x的增大而增大
b<0
一、三、四
k<0
b>0
一、二、四
y随x的增大而减小
b<0
二、三、四
(2)利用一次函数增减性可以解决实际问题中的一些最值问题.
3.口诀记忆:一次函数图象与性质口诀:
一次函数是直线,图象经过仨象限;正比例函数更简单,经过原点一直线;
两个系数k与b,作用之大莫小看,k是斜率定夹角,b与y轴来相见;
k为正来右上斜,x增减y增减;k为负来左下展,变化规律正相反;
k的绝对值越大,线离横轴就越远.
[典例精析]
【例1】 下列表示一次函数y=mx-n与正比例函数y=mnx(m,n为常数,且mn≠0)的图象中,一定不正确的是(　　)
解析:A.由一次函数的图象可知,m<0,-n>0,故n<0,mn>0;由正比例函数的图象可知mn<0,两结论相矛盾,选项错误;B.由一次函数的图象可知,m<0,-n>0,故n<0,mn>0;由正比例函数的图象可知mn>0,两结论一致,选项正确;C.由一次函数的图象可知,m>0,-n>0,故n<0,mn<0;由正比例函数的图象可知mn<0,两结论一致,选项正确;D.由一次函数的图象可知,m>0,-n<0,故n>0,mn>0;由正比例函数的图象可知mn>0,两结论一致,选项正确.故选A.
答案:A
解题总结:解答这类问题时,通常先根据其中一个函数的图象确定系数的符号,然后看另一个函数的图象是否符合,逐一验证所有选项即可.
【例2】 已知直线y=kx+b经过点(1,5)和(-1,1),求这个一次函数的解析式.
分析:将两点的坐标代入解析式,运用待定系数法求解.
解:∵一次函数y=kx+b的图象经过点(1,5)和(-1,1),
∴k+b=5,-k+b=1,解得k=2,b=3.∴这个一次函数的解析式为y=2x+3.
解题总结:利用待定系数法确定一次函数的解析式,可以归纳为:
一设:根据题意,设出一次函数解析式为y=kx+b;
二代:确定两对对应值或图象上两个点的坐标,分别代入一次函数解析式,得到关于k,b的二元一次方程组;
三解:解方程组求出k,b的值;
四定:确定函数解析式.

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