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5.1.1相交线 教材同步拓展
知识解读：相交线
一、两条相交直线所成的角—对顶角：
1．定义：两条直线相交时，形成的四个角（如图1）：∠1，∠2，∠3，∠4，∠1和∠3，具有公共的顶点O，并且两边互为反向延长线，我们把这样两个具有特殊位置的角叫做对顶角。∠2和∠4也是对顶角。
解读：（1）判定两个角是不是对顶角，不仅要看这两个角是
否是两条直线相交所得到的，而且要看这两个角是不是有公共的
顶点，两个角的两边是否互为反向延长线，符合这三个条件时，
才能判定这两个角是对顶角。（2）对顶角是成对出现的，是具有
特殊位置关系的两个角。（3）两条直线相交所成的四个角中共有
两对对顶角。
2．性质：对顶角相等。
解读：（1）此性质可用以下推理格式得到：因为∠1+∠2=1800，∠3+∠2=1800，所以∠1=∠3。（2）利用对顶角的性质解决几何里的计算题，常常要用到图形的几何性质。
二、两条相交直线的特殊情形—垂线：
1．垂线的定义：当两条相交直线所成的四个角中有一
个角是直角时，则称这两条直线互相垂直，其中一条直线
叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
解读：（1）如图3直线AB、CD互相垂直，记作“AB⊥
CD”读作“AB垂直于CD”，若垂足为O，记作AB⊥CD，
垂足为O。
（2）用三角板过一点画垂线的方法：①让三角板的
一条直角边与已知直线重合；②沿已知直线左右移动三角
板，使另一直角边经过已知点；③沿此直角边画直线。
则此直线为已知直线的垂线（如图4）。上述画垂线的过程
可总结为“一靠、二过、三画”
2．垂线的性质：
性质1．经过直线外或直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2．直线外一点与直线上各点连编者按所有线段中垂线段最短。
解读：如图5，设直线PO⊥，垂足为O，则称PO为点P到直线的垂线段；过P点的其他直线与交于A、B、C……，线段PA、PB、PC…… 称为斜线段。
3．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段
的长度，叫做点到直线的距离。
解读：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数
量；而垂线段是一条线段，是一个几何图形。
（2）要明确线段不是距离，距离是指线段的长度。

“相交线”学习三注意
在日常生活中，我们会经常遇到两条直线相交的情形，所以同学们在学习“相交线”时应重点注意掌握以下几个问题：
一、注意正确理解垂线的含义，掌握垂线的性质，并能过一点会画已知直线的垂线
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足.
如图1，直线AB与CD互相垂直，记作“AB⊥CD”或“CD⊥AB”，读作“AB垂直于CD”或“CD垂直于AB”，如果垂足是O，可记作“AB⊥CD垂足为O”.
由此可知，由两条直线互相垂直，我们可以有下列的简单推理（如图1）：
因为∠AOC＝90°（已知），所以AB⊥CD（垂直的定义）.
反过来，因为AB⊥CD（已知），所以∠AOC＝90°（垂直的定义）
值得注意的是，垂线是相交线的特殊情况，在今后的学习中，我们遇到的两条线段垂直、两条射线垂直等等，都是指它们所在的直线.





垂线有两个重要性质：①过一点有且只有一条直线和已知直线垂直.就是说，过直线上或直线外一点，可以作这条直线的一条垂线，并且只能作一条.②直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短. 简称：垂线段最短.
如图2，设点P是直线外一点，PA、PB、PC、PO都和直线l相交，其中PO⊥l，垂足为O，则线段PO就叫做点P到直线l的垂线段，可见直线外一点到这条直线的垂线段只有一条，其余的PA、PB、PC、…都是斜线段，斜线段有无数条.
过一点会画已知直线的垂线的画法是指下列两种情况：一是过直线上一点画已知直线的垂线；二是过直线外一点画已知直线的垂线.
过一点画已知直线的垂线一般用三角板或量角器画图.
应该注意的是，画一条线段或射线的垂线就是画它们所在直线的垂线，至于过一点画线段的垂线，其垂足可以在线段上，也可以在线段的延长线上.
二、注意理解什么是点到直线的距离，注意点到直线的距离、垂线、垂线段、两点间距离等概念之间的区别与联系
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.如图2中PO的长度就是点到直线l的距离，其余各条线段PA、PB、PC等都不是点P到l的距离.
值得注意的是，点到直线的距离是指垂线段的长度.
点到直线的距离、垂线、垂线段、两点间距离的这些概念相近而又相异，主要表现在：①垂线与垂线段的区别是：垂线是一条直线，不可度量长度，垂线段是一条线段，可以度量长度；联系在于都具有垂直于已知直线的共同特性.②两点间的距离与点到直线的距离的区别是：两点之间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间，联系在于都是线段的长度，点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离，同时都是由“最短”的特性引入的.③线段与距离的区别是：距离是线段的长度，是一个量；线段则是一种图形，它们之间是不能等同的.
三、注意了解“三线八角”，掌握同位角、内错角、同旁内角，能从复杂的图形中辨别出同位角、内错角、同旁内角
所谓三线八角就是两条直线被第三条直线所截形成八个角，如图3中的∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8.
两条直线被第三条直线所截形成八个角，这样它们就构成了同位角、内错角与同旁内角.如图1，直线a、b被直线l所截：①∠1与∠5在截线l的同侧，同在被截直线a、b的上方，叫做同位角（位置相同）.②∠5与∠3在截线l的两旁（交错），在被截直线a、b之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）.③∠5与∠4在截线l的同侧，在被截直线a、b之间（内），叫做同旁内角.





要回答这些问题，除了要弄清楚同位角、内错角、同旁内角、对顶角的概念外，还要学会将复杂的图形分解出来，略去与角无关的线，以便清楚的看出各对角的位置关系.
如，要说出如图4中∠1与∠2；∠1与∠7；∠1与∠BAD；∠2与∠6；∠5与∠8的各对角的关系，我们可以将图2分解成图5的6个图形.









这样就知道：∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8是对顶角.顺便说一下，由图3的最后一个图可知，∠2与∠9不存在任何关系，不能误认为是同位角.






例题讲解：相交线
【例1】 如图5-3，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOE=40°，∠BOC=∠AOC，求∠DOF.
【解析】图形中∠BOC与∠AOC互为邻补角，结合已知条件：∠BOC=2∠AOC，则可求出∠AOC，要求∠DOF只需求它的对顶角∠EOC即可，本题可用方程求解.

图5-3
【答案】 设∠AOC=x°，则∠BOC=(2x)°.
因为∠AOC与∠BOC是邻补角，所以∠AOC+∠BOC=180°
所以x+2x=180
解得x=60
所以∠AOC=60°.因为∠DOF与∠EOC是对顶角，
所以∠DOF=∠EOC=∠AOC-∠AOE=60°-40°=20°
【例2】 (山东)如图5-4，两条笔直的街道AB、CD相交于点O,街道OE、OF分别平分∠AOC、∠BOD，说明街道EOF是笔直的.

图5-4
【解析】 要说明街道EOF是笔直的，也就是判断EOF是一条直线，即只需判断∠1+∠AOF=180°.判断三点共线(三个点在同一条直线上)，只需判定以中间位置的点为顶点角是平角即可.
【答案】 因为∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC=∠BOD.
因为∠1=∠AOC，∠2=∠BOD，所以∠1=∠2.
因为AB为直线，∠2与∠AOF是邻补角.
所以∠2+∠AOF=180°.所以∠1+∠AOF=180°.
即∠EOF=180°.
所以EOF是一条直线，即街道EOF是笔直的.
【例3】 如图5-5，已知∠2与∠BOD是邻补角，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2∶∠1=4∶1，求AOF.

图5-5
【解析】 此题图形复杂，相等关系较多，可考虑列方程求解.条件中有比值时，如a∶b=m∶n时，解题时常设a=mx，b=nx，再列方程求解.
【答案】 设∠1=x，则∠2=4x
因为OE平分∠BOD，所以∠BOD=2∠1=2x
因为∠2+∠BOD=180°，所以4x+2x=180°，解得x=30°.
因为∠DOE+∠COE=180°，所以∠COE=150°.
因为OF分∠COE，所以∠COF=∠COE=75°.
因为∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC=∠BOD=60°.
所以∠AOF=∠AOC+∠COF=60°+75°=135°.


D

图1

O

A

B

C

l

P

图2

C

B

A

O

5

6

8

l

2

3

1

b

a

4

7

图3

8

4

E

A

B

D

C

F

11

2

3

5

6

7

9

图4

E

2

1

A

B

F

A

B

C

7

1

B

A

D

F

1

图5

6

B

A

C

D

2

B

A

E

F

8

5

2

9

A

C

B

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