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2020年北师大版七年级下册 1.6 完全平方公式同步练习
一．选择题（共12小题）
1．已知x+y＝1，x﹣y＝3，则xy的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
2．如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（　　）
A．3 B．±3 C．6 D．±6
3．下列各式是完全平方式的是（　　）
A．x2﹣x+ B．1+x2 C．x+xy+1 D．x2+2x﹣1
4．若x2+8x+m是完全平方式，则m的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16
5．计算：正确的结果是（　　）
A． B．
C． D．
6．若x2﹣kx+25是完全平方式，则k的值为（　　）
A．﹣10 B．10 C．5 D．10或﹣10
7．若（2a+b）2＝（2a﹣b）2+（　　）成立，则括号内的式子是（　　）
A．4ab B．﹣4ab C．8ab D．﹣8ab
8．一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加99cm2，这个正方形的边长为（　　）
A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm
9．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝18，ab＝60，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．144 B．72 C．68 D．36
10．如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（　　）

A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
11．若a、b 是正数，a﹣b＝1，ab＝2，则a+b＝（　　）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．9
12．若a+b＝3，则2a2+4ab+2b2﹣6的值是（　　）
A．12 B．6 C．3 D．0
二．填空题（共6小题）
13．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于　 　．
14．已知a+＝5，则a2+的值是　 　．
15．若关于x的二次三项式x2+kx+64是一个完全平方式，则k＝　 　．
16．如果x﹣y＝4，xy＝2，那么（x+y）2＝　 　．
17．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：

根据前面各式的规律，则（a+b）6＝　 　．
18．如图为杨辉三角表，它可以帮助我们按规律写出（a+b）n（其中n为正整数）展开式的系数，请仔细观察表中规律，填出（a+b）4的展开式中所缺的系数．
（a+b）1＝a+b；
（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
（a+b）4＝a4+　 　a3b+　 　a2b2+　 　ab3+b4．

三．解答题（共6小题）
19．先化简，再求值：4（x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3），其中x＝﹣1．




20．计算：4（x+1）2﹣（2x﹣5）（2x+5）




21．已知（x﹣y）2＝4，（x+y）2＝64；求下列代数式的值：
（1）x2+y2；
（2）xy．




22．已知a+b＝3，ab＝，求下列式子的值：
（1）a2+b2；
（2）（a﹣b）2；
（3）2﹣2b2+6b．


23．如图，将边长为m的正方形纸板，沿虚线剪成两个正方形和两个长方形，拿掉边长为
n的小正方形纸板后，将剩下的三个图形拼成一个新的长方形．
（1）求拼成的新的长方形的周长（用含m或n的代数式表示）；
（2）当m＝7，n＝4时，直接写出拼成的新的长方形的面积．




24．认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝（a+b）2（a+b）＝a3+3a2b+3ab2+b3，…
下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：

上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；
（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．
（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．



参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．已知x+y＝1，x﹣y＝3，则xy的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】根据完全平方公式得出（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，代入求出即可．
【解答】解：∵x+y＝1，x﹣y＝3，（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
∴12﹣32＝4xy，
∴xy＝﹣2，
故选：D．
2．如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（　　）
A．3 B．±3 C．6 D．±6
【分析】根据完全平方公式是和的平方加减积的2倍，可得m的值．
【解答】解：∵x2+2mx+9是一个完全平方式，
∴2m＝±6，
∴m＝±3，
故选：B．
3．下列各式是完全平方式的是（　　）
A．x2﹣x+ B．1+x2 C．x+xy+1 D．x2+2x﹣1
【分析】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．最后一项为乘积项除以2，除以第一个底数的结果的平方．
【解答】解：A、x2﹣x+是完全平方式；
B、缺少中间项±2x，不是完全平方式；
C、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式；
D、不符合完全平方式的特点，不是完全平方式．
故选：A．
4．若x2+8x+m是完全平方式，则m的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16
【分析】根据完全平方公式的结构特点求出4的平方即可．
【解答】解：∵x2+8x+m是完全平方式，
∴m＝42＝16．
故选：C．
5．计算：正确的结果是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据完全平方公式展开判断即可．
【解答】解：＝＝．
故选：B．
6．若x2﹣kx+25是完全平方式，则k的值为（　　）
A．﹣10 B．10 C．5 D．10或﹣10
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵x2﹣kx+25是完全平方式，
∴k＝±10，
故选：D．
7．若（2a+b）2＝（2a﹣b）2+（　　）成立，则括号内的式子是（　　）
A．4ab B．﹣4ab C．8ab D．﹣8ab
【分析】根据完全平方公式展开即可求解．
【解答】解：设括号内的式子为A，则
A＝（2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝4a2+4ab+b2﹣（4a2﹣4ab+b2）＝8ab．
故选：C．
8．一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加99cm2，这个正方形的边长为（　　）
A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm
【分析】可根据：边长增加后的正方形的面积＝原正方形的面积+99，列出方程，求出正方形的边长．
【解答】解：设这个正方形的边长为x，
则（x+3）2＝x2+99，
解得：x＝15cm．
故选：C．
9．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝18，ab＝60，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．144 B．72 C．68 D．36
【分析】由题意表示出AB，AD，CG、FG，进而表示出BG，阴影部分面积＝正方形ABCD+正方形ECGF面积﹣三角形ABD面积﹣三角形FBG面积，求出即可．
【解答】解：由题意得：AB＝AD＝a，CG＝FG＝b，BG＝BC+CG＝a+b，
∴S阴影＝S正方形ABCD+S正方形ECGF﹣S直角△ABD﹣S直角△FBG
＝AB?AD+CG?FG﹣AB?AD﹣BG?FG
＝a2+b2﹣a2﹣（a+b）b
＝（a2+b2﹣ab）
＝[（a+b）2﹣3ab]，
∵a+b＝18，ab＝60，
∴S阴影＝×（182﹣3×60）＝72．
故选：B．
10．如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（　　）

A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个矩形的面积．
【解答】解：∵大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个矩形的面积，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，即4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．
故选：C．
11．若a、b 是正数，a﹣b＝1，ab＝2，则a+b＝（　　）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．9
【分析】根据（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，代值计算，再开平方求解．注意若a、b 是正数，则a+b＞0．
【解答】解：∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝12+4×2＝9，
开平方，得a+b＝±3，
又∵a、b 是正数，
∴a+b＞0，
∴a+b＝3．
故选：B．
12．若a+b＝3，则2a2+4ab+2b2﹣6的值是（　　）
A．12 B．6 C．3 D．0
【分析】对所求式子的前三项根据完全平方公式进行变形，然后把已知的数值整体代入求值即可．
【解答】解：∵2a2+4ab+2b2﹣6＝2（a+b）2﹣6，
∴原式＝2×32﹣6＝18﹣6＝12．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
13．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于　7或﹣1　．
【分析】根据已知完全平方式得出2（m﹣3）x＝±2?x?4，求出即可．
【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，
∴2（m﹣3）x＝±2?x?4，
解得：m＝7或﹣1，
故答案为：7或﹣1．
14．已知a+＝5，则a2+的值是　23　．
【分析】根据完全平分公式，即可解答．
【解答】解：a2+＝．
故答案为：23．
15．若关于x的二次三项式x2+kx+64是一个完全平方式，则k＝　±16　．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出a的值．
【解答】解：∵x2+kx+64是一个完全平方式，
∴k＝±（8×2），
解得k＝±16．
故答案为：±16
16．如果x﹣y＝4，xy＝2，那么（x+y）2＝　24　．
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵x﹣y＝4，xy＝2，
∴（x+y）2
＝（x﹣y）2+4xy
＝42+4×2
＝16+8
＝24．
故答案为：24
17．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：

根据前面各式的规律，则（a+b）6＝　a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6　．
【分析】通过观察可以看出（a+b）6的展开式为6次7项式，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1．
【解答】解：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
故本题答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
18．如图为杨辉三角表，它可以帮助我们按规律写出（a+b）n（其中n为正整数）展开式的系数，请仔细观察表中规律，填出（a+b）4的展开式中所缺的系数．
（a+b）1＝a+b；
（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
（a+b）4＝a4+　4　a3b+　6　a2b2+　4　ab3+b4．

【分析】观察本题的规律，下一行的数据是上一行相邻两个数的和，根据规律填入即可．
【解答】解：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
三．解答题（共6小题）
19．先化简，再求值：4（x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3），其中x＝﹣1．
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝4（x2﹣2x+1）﹣（4x2﹣9）
＝4x2﹣8x+4﹣4x2+9
＝﹣8x+13，
当x＝﹣1时，原式＝8+13＝21．
20．计算：4（x+1）2﹣（2x﹣5）（2x+5）
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式展开，最后合并即可．
【解答】解：原式＝4（x2+2x+1）﹣（4x2﹣25）
＝4x2+8x+4﹣4x2+25
＝8x+29．
21．已知（x﹣y）2＝4，（x+y）2＝64；求下列代数式的值：
（1）x2+y2；
（2）xy．
【分析】（1）已知等式利用完全平方公式化简后，相加即可求出所求式子的值；
（2）已知等式利用完全平方公式化简后，相减即可求出所求式子的值
【解答】解：（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4①，（x+y）2＝x2+2xy+y2＝64②，
（1）①+②得：x2+y2＝34；
（2）②﹣①得：4xy＝60，即xy＝15．
22．已知a+b＝3，ab＝，求下列式子的值：
（1）a2+b2；
（2）（a﹣b）2；
（3）2﹣2b2+6b．
【分析】（1）依据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，进行计算即可；
（2）依据（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，进行计算即可；
（3）依据a+b＝3，即可得到b2﹣6b+9＝a2，再根据2﹣2b2+6b＝2﹣b2﹣（b2﹣6b+9）+9进行计算即可．
【解答】解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×＝9﹣＝；
（2）（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝﹣2×＝4；
（3）∵a+b＝3，
∴b﹣3＝﹣a，
∴b2﹣6b+9＝a2，
∴2﹣2b2+6b＝2﹣b2﹣b2+6b﹣9+9＝2﹣b2﹣（b2﹣6b+9）+9＝2﹣b2﹣a2+9＝11﹣＝．
23．如图，将边长为m的正方形纸板，沿虚线剪成两个正方形和两个长方形，拿掉边长为
n的小正方形纸板后，将剩下的三个图形拼成一个新的长方形．
（1）求拼成的新的长方形的周长（用含m或n的代数式表示）；
（2）当m＝7，n＝4时，直接写出拼成的新的长方形的面积．

【分析】（1）用含m或n的代数式表示拼成的新的长方形的长和宽即可求周长；
（2）当m＝7，n＝4时，代入（1）所得长方形的长和宽即可写出拼成的新的长方形的面积．
【解答】解：（1）根据题意，得
矩形的长为m+n．
矩形的宽为m﹣n．
矩形的周长为2[（m+n）+（m﹣n）]＝4m．
（2）当m＝7，n＝4时，
矩形的面积为：（m+n）（m﹣n）＝11×3＝33．
24．认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝（a+b）2（a+b）＝a3+3a2b+3ab2+b3，…
下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：

上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；
（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．
（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．
【分析】（1）由题意可求得当n＝1，2，3，4，…时，多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式，第三项的系数是多少，然后找规律，即可求得答案；
（2）首先求得当n＝1，2，3，4…时，多项式（a+b）n展开式的各项系数之和，即可求得答案；
（3）结合（2），即可推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和．
【解答】解：（1）∵当n＝1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0＝，
当n＝2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1＝，
当n＝3时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3＝，
当n＝4时，多项式（a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6＝，
…
∴多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为：；

（2）预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和为：2n；

（3）∵当n＝1时，多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：1+1＝2＝21，
当n＝2时，多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：1+2+1＝4＝22，
当n＝3时，多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1＝8＝23，
当n＝4时，多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1＝16＝24，
…
∴多项式（a+b）n展开式的各项系数之和：S＝2n．

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