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2019-2020学年重庆市北碚区西南大学附中九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的请将答题卡上对应题目的正确答案标号途黑.
1．（4分）在﹣2.4，0，﹣2，2这四个数中，是负整数的是（　　）
A．﹣2.4 B．﹣2 C．0 D．2
2．（4分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
3．（4分）如图，△ABC∽△ADE，若AB＝9，AD＝3，DE＝2，则BC的长是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．7
4．（4分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝112°，点B是弧AC的中点，则∠D的度数是（　　）

A．56° B．35° C．38° D．28°
5．（4分）下列命题正确的是（　　）
A．有一组邻边相等的平行四边形是正方形
B．有一个角是直角的平行四边形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相平分的矩形是正方形
6．（4分）估计的值应在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
7．（4分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（4分）按如图所示的运算程序，能使输出结果的值为11的是（　　）

A．x＝3，y＝1 B．x＝2，y＝2 C．x＝2，y＝3 D．x＝0，y＝1.5
9．（4分）小蓉从格致楼底楼点A处沿立人大礼堂旁的台阶AB拾阶而上，步行20米后到达万象楼楼底点B，再从点B直线行进15米到达直通博雅楼的台阶底端C，然后沿台阶CD步行至博雅楼底楼的小平台D．在D点处测得竖立于百汇园旁的万象楼BE的楼顶点E的仰角为30°．如图所示，已知台阶AB与水平地面夹角为45°，台阶CD与水平地面夹角为60°，CD＝12米，点A，B，C，D，E在同一平面．则格致楼楼底点A到万象楼楼顶点E的垂直高度约为（　　）（参考数据：≈1.7，≈1.4）

A．22.1米 B．35.2米 C．27.3米 D．36.1米
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直角△AOB的直角顶点O在坐标原点，OB＝5，OA＝10，斜边AB的中点C恰在y轴上，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　）

A．10 B． C． D．40
11．（4分）已知数m使关于x的不等式组至少有一个非负整数解，且使关于x的分式方程有不大于5的整数解，则所有满足条件的m的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠ADC＝120°，连接BD，把△ABD沿BD翻折，得到△A′BD，连接A′C，若AB＝3，∠ABD＝60°，则点D到直线A′C的距离为（　　）

A． B． C． D．
二、壤空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上
13．（4分）2019年9月6日重庆来福士购物中心优雅启幕，开业首日客流达35000人次，请把数35000科学记数法表示为　 　．
14．（4分）计算：＝　 　．
15．（4分）一个不透明的袋中装有四张形状大小质地完全相同的卡片，它们上画分别标有数字0，1，2，3，随机抽取一张不放回，再随机抽取一张，两次抽取的卡片数字同奇偶的概率是　 　．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，以点C为圆心，以CB的长为半径画弧交AD于E，点E恰好是AD中点，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留π）

17．（4分）暑假假期，小明和小亮两家相约自驾车从重庆出发前往相距172千米的景区游玩两家人同时同地出发，以各自的速度匀速行驶，出发一段时间后，小明家因故停下来休息了15分钟，为了尽快追上小亮家，小明家提高速度后仍保持匀速行驶（加速的时间忽略不计），小明家追上小亮家后以提高后的速度直到景区，小亮家保持原速，如图是小明家、小亮家两车之间的距离s（km）与出发时间t（h）之间的函数关系图象，则小明家比小亮家早到景区　 　分钟．

18．（4分）新学期伊始，西大附中的学子们积极响应学校的“书香校园”活动，踊跃捐出自己喜爱的书籍，互相分享，让阅读成为一种习惯．据调查，某年级甲班、乙班共80人捐书，丙班有40人捐书，已知乙班人均捐书数量比甲班人均捐书数量多5本，而丙班的人均捐书数量是甲班人均捐书数量的一半，若该年级甲、乙、丙三班的人均捐书数量恰好是乙班人均捐书数量的，且各班人均捐书数量均为正整数，则甲、乙、丙三班共捐书　 　本．
三、解答题（1925题，每题10分，共70分，第26题8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上
19．（10分）计算：
（1）（a+2b）2﹣（a+b）（a﹣b）．
（2）．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，连接AD，过点D作DE∥AB
（1）若∠C＝70°，求∠BAD的度数；
（2）求证：AE＝DE．

21．（10分）为加强学生对“垃圾分类知识”的重视程度，某学校组织了“垃圾分类知识”比赛．现七、八年级各抽取10名同学的成绩进行统计分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100），绘制了如下的图表，请根据图中的信息解答下列问题：
七年级10名学生的成绩是：69，78，96，77，68，95，86，100，85，86
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：86，87，87
七、八年级抽取学生比赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 85.5 b 109.6
八年级 84 c 92 102.6
（1）直接写出上述图表中a，b，c的值：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（一条理由即可）：　 　．
（3）若两个年级共680人参加了此次比赛，估计参加此次比赛成绩优秀（90≤x≤100）的学生人数是多少？

22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣利用函数图象研究其性质﹣应用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了一个陌生函数的大致图象，结合上面经历的学习过程，现在来解决下面问题：在函数y＝|中，当x＝0时，y＝1；当x＝2时，y＝．
（1）求这函数的表达式　 　；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的大致图象并写出这个函数的一条性质　 　；
（3）结合你所画的函数图象与y＝x+的图象，直接写出不等式组的解集．

23．（10分）如果一个六位正整数由一个三位正整数循环组成，则称这个六位正整数为“六位循环数”如123123、484484．
（1）猜想任意一个六位循环数能否被91整除，并说明理由；
（2）已知一个六位循环数能被17整除且百位数字与个位数字之和等于十位数字，求满足要求的所有六位循环数．
24．（10分）“中秋节”是我国的传统佳节，中秋赏月吃月饼．某蛋糕店销售“杏花楼”和“元祖”两个品牌的月饼，每个“杏花楼”月饼的售价是15元，每个“元祖”月饼的售价是12元．
（1）8月份，两个品牌的月饼一共销售180个，且总销售额不低于2460，则卖出“杏花楼”月饼至少多少个？
（2）9月份，月饼大量上市，受此影响，“杏花楼”月饼的售价降低了a%（a%＜30%），销售量在八月份的最低销售量的基础上增加了5a个，“元祖”月饼的售价降低a元，销售量在八份的最高销售量的基础上增加了a%，结果9月份的总销售额比8月最低销售额增加了1020元，求a的值．
25．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，AD＝AC，过点D作DF⊥AC交BC于点F，交AC于点E，连接AF．
（1）若AE＝4，DE＝2EC，求EC的长．
（2）延长AC至点H，连接FH，使∠H＝∠EDC，若AB＝AF＝FH，求证：FD+FC＝AD．

26．（8分）如图，抛物线y＝与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）点P是线段BC下方的抛物线上一点，过点P作PD⊥BC交BC于点D，过点P作EP∥y轴交BC于点E．点MN是直线BC上两个动点且MN＝AO（xM＜xN）．当DE长度最大时，求PM+MN﹣BN的最小值．
（2）将点A向左移动3个单位得点G，△GOC延直线BC平移运动得到三角形△G'O′C'（两三角形可重合），则在平面内是否存在点G'，使得△G′BC为等腰三角形，若存在，直接写出满足条件的所有点G′的坐标，若不存在请说明理由．




2019-2020学年重庆市北碚区西南大学附中九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的请将答题卡上对应题目的正确答案标号途黑.
1．【解答】解：在﹣2.4，0，﹣2，2这四个数中负数有﹣2.4和﹣2，
因为﹣2.4是小数而不是整数，
所以只有﹣2是负整数．
故选：B．
2．【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有一个正方形．
故选：D．
3．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得：BC＝6，
故选：B．
4．【解答】解：连接OB，
∵点B是弧AC的中点，
∴∠AOB＝∠AOC＝56°，
由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝28°，
故选：D．

5．【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题是假命题；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
C、对角线相等的菱形是正方形，是真命题；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，原命题是假命题；
故选：C．
6．【解答】解：原式＝2﹣2，
∵36＜40＜49，即62＜（）2＜72，
∴6＜2＜7，即4＜2﹣2＜5，
故选：B．
7．【解答】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：
，
故选：C．
8．【解答】解：A、把x＝3，y＝1代入运算程序中得：输出结果为9+2＝11，符合题意；
B、把x＝2，y＝2代入运算程序中得：4﹣4＝0，不符合题意；
C、把x＝2，y＝3代入运算程序中得：4﹣6＝﹣2，不符合题意；
D、把x＝0，y＝1.5代入运算程序得：0﹣3＝﹣3，不符合题意，
故选：A．
9．【解答】解：作DH⊥BC交BC的延长线于H，作DG⊥BE于G，作AF⊥BE交BE的延长线于F，
则四边形BGDH为矩形，
∴DH＝BG，DG＝BH，
在Rt△ABF中，sinA＝，
则BF＝AB?sinA＝10，
在Rt△DCH中，DH＝CD?sin∠DCH＝6，CH＝CD＝6，
∴BH＝BC+CH＝15+6＝21，
在Rt△DEG中，tan∠EDG＝，
则EG＝DG?tan∠EDG＝7，
∴EF＝7+6+10≈36.1（米）
故选：D．

10．【解答】解：在Rt△AOB中，AB＝＝＝5，
∵点C为斜边AB的中点，
∴OC＝AB＝，
∴C点坐标为（0，），
设B（m，n），
∴m2+n2＝52，m2+（n﹣）2＝（）2，
∴n＝，m＝2，
∴B点坐标为（2，），
把B（2，）代入y＝得k＝2×＝10．
故选：A．
11．【解答】解：解不等式﹣11x﹣5≤6得：
x≥﹣1，
解不等式＞x﹣m得：
x＜2m，
∵关于x的不等式组至少有一个非负整数解，
∴2m＞﹣1，
解得：m，
解分式方程得：
x＝，且x≠2，
∵关于x的分式方程有不大于5的整数解，
≤5且≠2，
解得：m≤13且m≠1，
则符合要求的m的值为：5，9，13，共3个，
故选：C．
12．【解答】解：过点D作DE⊥A′C于E，过A'作A'F⊥CD于F，如图所示：
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，∠ADC+∠BCD＝180°，∠BCD＝180°﹣120°＝60°，
∵∠ABD＝60°，
∴∠ADB＝30°，
∴BD＝2AB＝6，AD＝AB＝3，∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝120°﹣30°＝90°，∠DBC＝30°，
∴CD＝tan∠DBC?BD＝tan30°×6＝×6＝2，
由折叠的性质得：∠A'DB＝∠ADB＝30°，A'D＝AD＝3，
∴∠A'DC＝120°﹣30°﹣30°＝60°，
∵A'F⊥CD，
∴∠DA'F＝30°，
∴DF＝A'D＝，A'F＝DF＝，
∴CF＝CD﹣DF＝2﹣＝，
∴A'C＝＝＝，
∵△A'CD的面积＝A'C×DE＝CD×A'F，
∴DE＝＝＝，
即D到直线A′C的距离为；
故选：C．

二、壤空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上
13．【解答】解：35000＝3.5×104．
故答案为：3.5×104．
14．【解答】解：原式＝2﹣4+1
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．【解答】解：画树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次抽取的卡片数字同奇偶的有4种结果，
所以两次抽取的卡片数字同奇偶的概率为＝，
故答案为：．
16．【解答】解：如图，连接EC．

在Rt△ECD中，∵∠D＝90°，EC＝BC＝2DE，
∴∠ECD＝30°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠ECB＝60°，
∵AD＝EC＝6，
∴DE＝3，DC＝3，
∴S阴＝S扇形BCE+S△EDC＝+×3×＝6π+，
故答案为6π+．
17．【解答】解：设出发时小明家的速度是a千米/小时，小亮家的速度是b千米/小时，且a＞b，
由题意得：0.8（a﹣b）＝8，
a＝b+10，
小明家因故停下来休息了15分钟，可知A（1.05，12），
小亮的速度为：＝80（千米/小时），
∴小明家的速度是90千米/小时，
设小明加速后的速度为m千米/小时，
根据题意得：×80＝（﹣1.05）m+0.8×90，
m＝100，
﹣﹣1.05，
＝0.1（小时），
＝6（分），
即小明家比小亮家早到景区6分钟．
故答案为：6．

18．【解答】解：设甲班的人均捐书数量为x本，乙班的人均捐书数量为（x+5）本，丙班的人均捐书数量为本，
设甲班有y人，乙班有（80﹣y）人．
根据题意，得
xy+（x+5）（80﹣y）+?40＝
解得：y＝
可知x为2且5的倍数，故x＝10，y＝64
共捐书10×64+15×16+5×40＝1080．
答：甲、乙、丙三班共捐书1080本．
故答案为1080．
三、解答题（1925题，每题10分，共70分，第26题8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上
19．【解答】解：（1）原式＝a2+4ab+4b2﹣a2+b2＝4ab+5b2；
（2）原式＝?＝?＝．
20．【解答】解：（1）∵D是BC边的中点，
∴BD＝CD，且AB＝AC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠BAD＝∠CAD，∠BDA＝∠CDA＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠CAD＝20°＝∠BAD；
（2）∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠CAD，
∴AE＝DE．
21．【解答】解：（1）∵八年级C组有三个数字，故C组所占的百分比是：3÷10×100%＝30%，
∴a%＝1﹣10%﹣20%﹣30%＝40%，
∴a＝40，
由七年级的成绩可知，b＝86，
由统计图中的数据可知，c＝＝87，
故答案为：40，86，87；
（2）根据以上数据，该校八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由：两个年级的平均数一样，但是八年级学生的中位数高于七年级，方差小于七年级，说明八年级成绩波动小，成绩好于七年级，故该校八年级学生掌握垃圾分类知识较好，
故答案为：两个年级的平均数一样，但是八年级学生的中位数高于七年级；
（3）由统计图可知，七年级的优秀率是30%，八年级的优秀率是40%，
则参加此次比赛成绩优秀（90≤x≤100）的学生人数是680×（）＝238，
答：参加此次比赛成绩优秀（90≤x≤100）的学生有238人．
22．【解答】解：（1）∵在函数y＝中，当x＝0时，y＝1；当x＝2时，y＝．
∴，得，
∴这个函数的表达式是y＝，
故答案为y＝；
（2）∵y＝，
∴y＝，
列表：
x ﹣5 ﹣2 ﹣1 0 1 2 5 …
y 4 2 1 2 4 …
描点、连线画出该函数的图象如图所示：

函数的性质：关于y轴对称，
故答案为关于y轴对称；
（3）由函数图象可得，
y＝是0≤x≤1．
23．【解答】解：（1）设三位正数百位a，十位b，个位c，
则“六位循环数”为100000a+10000b+1000c+100a+10b+c＝100100a+10010b+1001c＝91（1100a+110b+11c），
∴任意一个六位循环数能被91整除；
（2）由（1）可知任意一个任意一个六位循环数为100100a+10010b+1001c，
∵六位循环数能被17整除，
∴1100a+110b+11c＝11（100a+10b+c）能被17整除，
∵百位数字与个位数字之和等于十位数字，
∴a+c＝b，
∴100a+10b+c＝110a+11c＝11（10a+c）能被17整除，
∴10a+c能被17整除，
∴a＝1，c＝7或a＝3，c＝4或a＝5，c＝1或a＝6，c＝8或a＝8，c＝5，
∵0≤b≤9，
∴a＝1，c＝7或a＝3，c＝4或a＝5，c＝1，
∴满足要求的六位循环数是187187，374374，565565．
24．【解答】解：（1）设卖出“杏花楼”月饼x个，则卖出“元祖”月饼（180﹣x）个，
依题意，得：15x+12（180﹣x）≥2460，
解得：x≥100．
答：卖出“杏花楼”月饼至少100个．
（2）依题意，得：15（1﹣a%）×（100+5a）+（12﹣a）×（180﹣100）（1+a%）＝2460+1020，
整理，得：1.05a2﹣72a+1020＝0，
解得：a1＝20，a2＝（不合题意，舍去）．
答：a的值为20．
25．【解答】（1）解：设EC＝x，则DE＝2x，AD＝AC＝AE+EC＝4+x，
∵DF⊥AC，
∴∠AED＝90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：（2x）2+42＝（4+x）2，
解得：x＝，或x＝0（舍去），
∴EC＝；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵AB＝AF＝FH，
∴CD＝FH，
∵DF⊥AC，
∴∠DEC＝∠HEF＝90°，
在△DEC和△HEF中，，
∴△DEC≌△HEF（AAS），
∴EC＝EF，DE＝EH，
∵DF⊥AC，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF＝45°，
∵AF＝FH，DF⊥AC，
∴AE＝HE＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAC＝45°，DE＝AD，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠EDC＝∠H＝22.5°，
∴∠CFH＝∠EF﹣∠H＝22.5°＝∠H，
∴CF＝CH，
∴EF+FC＝EC+CH＝EH＝DE，
∴FD+FC＝DE+EF+FC＝DE+DE＝2DE＝AD．
26．【解答】解：（1）y＝＝（x﹣4）（x+1），
故点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0）、（0，﹣）；
则直线BC的表达式为：y＝（x﹣4）；
设点P（x，），则点E（x，x﹣），
DE＝PEsin∠EPD＝（x﹣﹣x2﹣x+），
当x＝2时，DE最大，此时点P（3，﹣）；

MN＝AO＝1，将△BCO沿BC翻折得到BCO′，
将点P沿CB的方向平移1个单位得到点P′（，﹣），作P′H⊥BO′交BO′于点H，交BC于点N，
将点N沿C方向平移1个单位得到点M，则点M、N为所求；
P′P∥MN，且PP′＝MN，则四边形P′PNM为平行四边形，则P′N＝PM，
∠CBO′＝∠OBC＝30°，则HN＝NBsin30BN，
PM+MN﹣BN＝MN+P′N﹣BN＝MN+P′H为最小；
直线BO′的倾斜角为60°，则其表达式为：y＝（x﹣4）…①，
则直线P′N表达式中的k为：﹣，其表达式为：y＝﹣+b，将点P′坐标代入并解得：
直线P′N的表达式为：y＝﹣x+…②，
联立①②并解得：x＝，故点H（，﹣）；
P′H＝，
PM+MN﹣BN最小值＝MN+P′N﹣BN＝MN+P′H＝；

（2）直线BC的表达式为：y＝（x﹣4）；点G′（﹣4，0），
设△GOC延直线BC向上平移m个单位，则向右平移m个单位，则点G′（m﹣4，m）；
BC2＝，BG′2＝（m﹣8）2+3m2，CG′2＝（m﹣4）2+（m+）2＝4m2+；
①当BC＝BG′时，BC2＝（m﹣8）2+3m2，方程无解；
②当BC＝G′C时，同理可得：m＝0；
③当BG＝CG′时，同理可得：m＝；
即m＝0或，
故点G′（﹣4，0）或（﹣，）．










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