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2019年重庆市高中数学高考阅卷各题情况梳理
一、理科数学：
填空题典型解法及错误：
13题常见答案：0.98；；；98％ ；
14题常见答案：-3；；；；；；；
15题常见答案：；；；；
16题常见答案：第一空26，第二空答案形式较多：；；；；；；；；。此题有两空，有学生填反。
17题典型解法：
第一问：
几何法1：参见标准答案；
几何法2：∵，∴即，∴，∴；
几何法3：利用三垂线定理，由，证明；
向量法1：通过建系，求得平面的法向量，算得，进而证得平面；
向量法2：利用向量计算，进而证得。
第二问：
几何法1：利用三垂线定理作二面角的补角。连，过作于，连结，即为二面角的平面角；
几何法2：延展平面，连结，则平面，再作二面角的补角即可；
向量法：参照校准答案（只是建系时坐标原点的选择不同）。值得一提的是，有的同学用确定平面的法向量，也有的用行列式计算法向量，比较简洁且准确，而且可以彻底解决困扰老师多年的二面角锐（钝）角的判定难题；
几何法+向量法：易知为平面的法向量，而为平面的法向量，将平移至，连，恰好构成，计算十分简单。
典型错误：
由平面平面，平面，证得平面；
设，再证明；
建系后直接设，解决第二问，没有证明；
把线面角的公式和二面角的公式混为一谈；
向量的坐标与点的坐标没有区分开，向量书写不写箭头；
没有法向量计算的中间过程。
18题典型解法：
第二问：前两次甲、乙一个胜一局，，三、四局甲全胜，所以；
第二问：前三局，；
第二问：。
典型错误：
审题不清：第一问； ；；第二问；
；；
第一问也理解成了甲胜，，第二问；
第一问：，第二问多比了一局：；
第二问错误理解为甲、乙各胜两局；
第二问多算了甲甲乙甲或甲甲甲乙的情况，比分误理解3：1；
误理解为超几何分布，第一问，第二问；
误理解为胜的概率占总的一半：；
独立重复，条件概率，算了平局；
第一问：
甲乙 甲甲
乙甲 乙乙

第二问多算了乙胜的情况，或者讨论了甲、乙先发球的概率：
乙先发球，
甲先发球，
。
19题典型解法：
标准答案解法，两式相加、相减进行证明并求通项；
第一问用定义法进行证明，如
；
（3）第二问利用等差、等比数列前项和公式，先求得数列、前项和，然后相加减求得数列的前项和，进而求得；
（4），证得是等差数列同理证等比数列；
（5）第二问先求，得，将其代入，得，再累加求得，进一步求；
（6）利用等差中项、等比中项进行证明；
（7）代入法消掉，构造新等比数列，再构造等差数列，从而求得通项。
典型错误：
利用特殊值法证明等差、等比数列；
计算出错较普遍。如：移项时加、减符号出错；约分时公差、公比出错，错算成公差8、公比2，导致第二问失分；第二问求通项时，指数出错，，化简错算为。
20题典型解法：
第一问讨论单调性：
法一：定义域为，∵，∴在单调递增；
法二：当时，，当时，，∴在单调递增；
第一问证明零点：
法一：∵，∴存在，使，又∵，∴存在，使，结合的单调性得函数有且仅有两个零点；
法二：当时，，当时，，当时，，当时，，结合的单调性得函数有且仅有两个零点；
法三：即即，令，，，
∴在单调递增，令，即，且，∴在单调递减，单调递增，
∴，又∵∴在有且仅有两个零点，∴有且仅有两个零点
第二问证明公切线：
法一：∵是的零点，∴，由得，∴在处的切线方程， 由得，∴在处的切线方程，时，有，∴，或都化成，∴共线，即在处的切线也是的切线；
法二：∵是的零点，∴，由得∴在处的切线方程，令 得，代入得，∴在曲线上，，得证。
法三：把法二中的代入切线，刚好满足的解析式。
法四：联立，结合得
令，，，∴在定义域内单调递增，令即，∴在单调递减，单调递增，∴的极小值为，∴的图象与轴相切，即曲线与曲线相切。
∴在处的切线也是的切线。
其中讨论单调性用导数为常规方法，证明零点用法一、法二居多，法三也有人做，但做对的较少，证明公切线法一、法三居多，法二、法四较少，法四主要是叙述不充分
典型错误：
第一问：
求导错误；
由于求导错误，导致单调区间求解错误；
单调区间写法错误，用了并集符号；
（4）由于本小题要证明函数有两个零点，部分学生会刻意求解对应的区间；
（5）使用作图的方法求证函数有两个零点，不能得到满分；
（6）在单调区间上使用介值定理，用极限表示证明，对“” 处的极限书写不规范，也有出现之类的不规范写法。
第二问：
不能正确写出在点处的切线方程，如：切线斜率写作；
未正确理解题意，认为曲线的切线切点也是，从而写错的切线方程；（注意：与并不相交，切点不同）
由斜率相等，得，但不会求解；
证明两切线斜率相等，当没证明两切线截距相等，证明过程不完整；
由于与关于直线对称，学生误认为两曲线的切点中点在直线上。
21典型解法：
第一问：由已知，得出，所以为一个不含左、右顶点的椭圆；
第二问：
第一小问
法一：设直线，联立，解得，斜率，联立，解得，得，，所以为直角三角形；
法二：设，则，则，所以，又由点差法知，所以
所以为直角三角形；
法三：设，，，两式相减得，所以，又，所以，
所以，
第二小问
法一：，当时，；
法二：设，则，设，则由到角公式有，在中，，
所以
，求法可同法一，也可用求导法如下：设，，
所以，，，所以；
法三：设，，，得，∴，得，
∴，
设，，设，
则，设，，，由求导法可知，。
典型错误：
审题不清。由题意抽象出的数学表达式出错，如“斜率之积为”表达成向量、斜率的和差商；
公式及概念掌握不牢。如：中分母与分子颠倒；二次方程一般形式不知道，圆锥曲线方程的标准形式掌握不够，化简结果写成；由方程不能判断曲线形态；
求轨迹方程一般思路步骤缺失完备性的考虑；
数学运算素养需提高，如：由化简出错；
书写表达不好。如：表达不规范，缺少逻辑；字小字乱，难理解；
（文理相同）22典型解法：
第一问：
法一：标准答案解法；
法二：直角坐标解法。，∴，∴，∴，∴，∴；
第二问：
法一：标准答案解法：
法二：∵，∴点在以为直径的圆上，
∴化为极坐标为，又点在线段上，且，∴；
法三：设，则，∵，
∴，即，化为极坐标为，又点在线段上，且，∴；
法四：设，在中，，∴，又，∴，即；
法五：设普通方程为，则普通方程为，由得，∴的轨迹方程为；
法六：设，的极坐标方程为，又，∴，∴的直角坐标方程为，化为极坐标方程为，由（1）（2）知。
典型错误：
记错的正切值；
搞错互相垂直直线的斜率关系；
直角坐标化极坐标，记错公式；
收角时化简出错；
未写角的范围。
（文理相同）23典型解法：
第一问：时，，当时，，当时，，综上，当；
第二问： ，，
∵，又∵，∴，
∴，∴，即，∴。
典型错误：
分类讨论混乱，搞不清临界点；
不等式两边平方。
二、文科数学：
填空题常见答案：
13题常见答案：-9，5，1；
14题常见答案：0.98；；；98％ ；；；0.735；0.0735；
15题常见答案：；；；；或；；
16题常见答案：第一空26、24、32，第二空答案形式较多：；；；；；；；；，错误答案：；；；；。
填空题典型问题：卷面不整洁、书写不规范、答案写错位、私自加单位、未化简。
17题典型解法：
第一问：
法一：三垂线定理证明；
法二：向量法证明；
第二问：
法一：等体积法求体积，如或；
法二：向量法；
法三：求常利用勾股定理，三角形全等转化求解。
典型错误：
第一问：
（1）视为中点加以证明；
（2）定理错误，如：由一条线线垂直就得线面垂直；由面面垂直证明线面垂直时，未垂直于交线；
（3）定理掌握混乱，如：一个平面内的两条相交直线分别垂直于另一个平面内的两条相交直线，则线面垂直；
第二问：
体积公式错，如或或或；
勾股定理计算错误，如；
18题典型解法：
法一：用十字相乘法或用求根公式法求解；
法二：，证明其为等差数列再求和或直接用等差数列求和；
法三：∵，∴，∴；
法四：∵是各项为正数的等比数列，∴，又，
∴，得，∴；
法五：∵是各项为正数的等比数列，，且，
∴，∴，；
典型错误：
幂的对数不会算，指数式运算不会，造成第二问也错，如：，；
非同底化为同底运算不会，如，，；
对数运算不会，法则不清楚，如：
；
书写不规范造成错误，如错写成，造成求和错误；
十字相乘法不会，公比算错，导致后面全错；
移项符号弄错；
，分不清项数；
，这种错误较多；
表达不规范，公比用等表示，公差用等表示；
19题典型错误：
计算错误。如第一问中7+14=28，7+14=20，7+14=27，，
，；
平均数算错。如：；
方差公式错误.如：没除100；把100放在根号外；分子中对应组没有乘以频数；分子中对应未乘频数；
混淆方差和标准差；
根号的用法不标准，书写合适不规范；
读题不仔细，第二问要求保留两位小数，但很多考生没注意此条件。
20题典型解法：
第一问：
法一：设带入椭圆方程解得，从而；
法二：由题得，再由椭圆定义算出；
法三：消元，得，再由得，再由椭圆定义算出；
法四：由余弦定理、勾股定理、椭圆定义联立求解离心率；
第二问：


第一小问：
法一：得，解得；
法二：推导得出，解得；
第二小问：
法一：由标准答案推出，∴，推出；
法二：有均值不等式，推出；
法三：先证明顶角最大在短轴顶点，过程如下：由余弦定理和均值定理得。再由，得，推出；；
典型错误：
第一问：
点坐标写反；
勾股定理直角找错；
方程解错，，错解成；
离心率分母有理化化错；
离心率公式记错，分子分母反了；
椭圆和双曲线定义弄反；
离心率两个值取舍分不清，主要是椭圆和双曲线离心率范围混淆导致；
第二问：
计算错误，如，算出；
理论错误，如，错误理解成；
计算不彻底，如算到就结束了；
均值不等式不等号方向记反；
面积公式记错，错记成，或；
采用特值法计算，或者使用了第一问的条件是等边三角形；
21题典型解法：
第二问：
法一：先证有且仅有两个实根：
由（1）知，或，又
∴在和上各存在唯一零点。
再证两实根互为倒数：
由以上可知又
，∴是方程的一实根，又
∴。
法二：同法一证明有且仅有两个实根，
由以上可知又
，又，∴，又在上单调递减，∴，∴。
法四：令，即，
令，，∴在单调递增，单调递增，又，，，由零点存在定理及单调性知，在和上各有唯一零点；
，且，又，又，，在上单调递增，∴，∴，，又在上单调递减，，∴。
典型错误：
求导计算错误，如，；
单调性未说清楚，为检验驻点是变号零点；
以图代证不符合证明要求；
未证“有且仅有两个实根”，即误把“有且仅有两个实根”当作条件用；
未说清楚；
区间端点的极限未说清楚，如；
把待证结论“”当作条件去验证；
未说明落于的同一单调区间，即由推出。

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