资源简介

特殊平行四边形单元测试卷（A）
一、单选题
1．下列说法中，正确个数有（　　）
①对顶角相等；
②两直线平行，同旁内角相等；
③对角线互相垂直的四边形为菱形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（　　）

A．1 B． C． D．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，过点D作直线m∥AC，点E、F是直线m上两个动点，在运动过程中EF∥AC且EF＝AC，四边形ACFE的面积是( )

A．48 B．40 C．24 D．30
4．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）
A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC
5．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小为（ ）

A．75° B．65°
C．55° D．50°
6．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC于E、F两点，则阴影部分的面积是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
7．将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）

A．矩形 B．三角形 C．梯形 D．菱形
8．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10
9．下列命题中，真命题是（　　）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

10．顺次连接对角线垂直且相等的四边形各边中点，所得四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

二、填空题
11．如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB等于 _________ ．
12．如图，在?ABCD中，AD=7，AB=2，∠B=60°．E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为_____．

13．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝__________.

14．边长为5㎝的菱形，一条对角线长是6㎝，则菱形的面积为______㎝2 。
15．如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件_____使平行四边形ABCD是菱形．

16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=4，AC=3，BD=4，则梯形ABCD的面积为______.



三、解答题
17．如图，点A在∠MON的边ON上，AB⊥OM于B，AE=OB，DE⊥ON于E，AD=AO，DC⊥OM于C．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若DE=3，OE=9，求AB、AD的长.

18．如图，在中，点是的中点，点是线段的延长线上的一动点，连接，过点作的平行线，与线段的延长线交于点，连接、.

(1)求证：四边形是平行四边形.
(2)若，，则在点的运动过程中：
①当______时，四边形是矩形；
②当______时，四边形是菱形.
19．如图，在中，于点E点，延长BC至F点使，连接AF，DE，DF.

（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若，，，求AE的长.
20．如图，平面直角坐标中，把矩形OABC沿对角线OB所在的直线折叠，点A落在点D处，OD与BC交于点E．OA、OC的长是关于x的一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根（OA＞OC）．
（1）求A、C的坐标．
（2）直接写出点E的坐标，并求出过点A、E的直线函数关系式．
（3）点F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以点O、B、P、F为顶点的四边形为菱形？若存在请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．

21．如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，F为AB边上一点，满足CF⊥CP，过点B作BM⊥CF，分别交AC、CF于点M、N
（1）若AC=AP，AC=4，求△ACP的面积；
（2）若BC=MC，证明：CP﹣BM=2FN．

22．如图，在Rt△ABC中，，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE.
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明理由；
（3）若D为AB中点，则当=______时，四边形BECD是正方形.

23．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.
（1）求证：EF=FM
（2）当AE=1时，求EF的长．
24．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．

（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．



参考答案
1．B【解析】①对顶角相等，故①正确；
②两直线平行，同旁内角互补，故②错误；
③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故③错误；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确，
故选B．
2．C【解析】如图，延长GH交AD于点P，

∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，
∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，
∴AD∥GF，
∴∠GFH=∠PAH，
又∵H是AF的中点，
∴AH=FH，
在△APH和△FGH中，
∵，
∴△APH≌△FGH（ASA），
∴AP=GF=1，GH=PH=PG，
∴PD=AD﹣AP=1，
∵CG=2、CD=1，
∴DG=1，
则GH=PG=×=，故选：C．


3．A【解析】根据在运动过程中EF∥AC且EF＝AC
四边形ACFE为平行四边形
过D作DM垂直AC于点M
根据等面积法，在中
可得四边形ACFE为平行四边形的高为

故选A

4．B
【解析】A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；
C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；
D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确，
故选B．
5．B【解析】本题考查了菱形的性质，我们知道菱形的对角线互相平分且垂直，外加，即可得出．选B．
6．A【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EDB=∠OBF，DO=BO，
在△EDO和△FBO中，

∴△DEO≌△BFO(ASA)，
∴S△DEO=S△BFO，
阴影面积 故选A.
7．D【解析】由第三个图可以看出：最后从两次折叠的交点处剪去一个直角三角形，
由于是两次折叠得到的图形，那么所得到图形的4条边都是所剪直角三角形的斜边．
故选D．
8．C【解析】∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC=AC=2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．故选C．
9．D
【解析】
A、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故错误；
B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
C、两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故错误；
D、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确，故选D．
10．D
【解析】由等腰梯形ABCD，得到AC=BD，根据三角形的中位线定理推出EH=FG，=EF，EH∥FG，即四边形是菱形，再推出∠E=90°，即可得出答案．

解：∵等腰梯形ABCD，AD∥BC，
∴AC=BD，
∵E为AD的中点，H为DC的中点，
∴EH∥AC，EH=AC，
同理FG∥AC，FG=AC，
EF∥DB，EF=DB，
∴EH=FG=EF，EH∥FG，
∴四边形EFGH是菱形，
∵AC⊥DB，
∴∠AOD=90°，
∵EH∥AC，FG∥AC，
∴∠FEH=∠HMO=∠AOD=90°，
∴四边形EFGH是正方形．故选D．
11．22.5°
【解析】∵AC是正方形的对角线，
∴∠BAC=×90°=45°，
∵AF是菱形AEFC的对角线，
∴∠FAB=∠BAC=×45°=22.5°．
12．20【解析】当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，
∵AE⊥BC，AB=2，∠B=60°，
∴AE=3，BE=，
∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，
∴EF=BC=AD=7，
∴四边形AEFD周长的最小值为：14+6=20，故答案为：20.

13．75
【解析】因为△AEF是等边三角形，所以∠EAF=60°，AE=AF，
因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°.
所以Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），所以∠BAE=∠DAF.
所以∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-60°=30°，
所以∠BAE=15°，所以∠AEB=90°-15°=75°.
故答案为75.

14．24
【解析】如图所示：

设BD=6cm，AD=5cm，∴BO=DO=3cm，∴AO=CO==4(cm)
∴AC=8cm，∴菱形的面积是：×6×8=24(cm?).故答案为：24.
15．AB=BC(或AC⊥BD)答案不唯一
【解析】添加条件：AB=BC，根据邻边相等的平行四边形是菱形可以判定四边形ABCD是菱形．
故答案为AB=BC．
16．6【解析】过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，

则四边形ACED是平行四边形，
∴DE=AC=3，CE=AD=1，
在三角形BDE中，∵BD=4，DE=3，BE=5，
∴根据勾股定理的逆定理，得三角形BDE是直角三角形，
∵四边形ACED是平行四边形
∴AD=CE，
∴AD+BC=BE，
∵梯形ABCD与三角形BDE的高相等，
∴梯形的面积即是三角形BDE的面积，即3×4÷2=6，故答案是：6．
17．（1）证明见解析；（2）AB、AD的长分别为3和5．
【解析】（1）证明：∵AB⊥OM于B，DE⊥ON于E，
∴.
在Rt△ABO与Rt△DEA中，
∵∴Rt△ABO≌Rt△DEA（HL）．
∴∠AOB=∠DAE．∴AD∥BC．
又∵AB⊥OM，DC⊥OM，∴AB∥DC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵，∴四边形ABCD是矩形；
（2）由（1）知Rt△ABO≌Rt△DEA，∴AB=DE=3．
设AD=x，则OA=x，AE=OE－OA=9－x．
在Rt△DEA中，由得：
，解得．
∴AD=5．即AB、AD的长分别为3和5．
18．(1)、证明过程见解析；(2)、①、2；②、4．
【解析】(1)、证明：∵AB∥CD，∴∠CDF=∠FEB，∠DCF=∠EBF，∵点F是BC的中点，
∴BF=CF，在△DCF和△EBF中，∠CDF=∠FEB，∠DCF=∠EBF，FC=BF，
∴△EBF≌△DCF（AAS）， ∴DC=BE， ∴四边形BECD是平行四边形；
(2)、①BE=2；∵当四边形BECD是矩形时，∠CEB=90°，∵∠ABC=120°，∴∠CBE=60°；
∴∠ECB=30°，∴BE=BC=2，
②BE=4，∵四边形BECD是菱形时，BE=EC，∵∠ABC=120°，∴∠CBE=60°，
∴△CBE是等边三角形，∴BE=BC=4．
（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC．
即?EF=BC．
∵在?ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
∴AD∥EF且AD=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形AEFD是矩形，DE=8，
∴AF=DE=8．
∵AB=6，BF=10，
∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．
∴∠BAF=90°．
∵AE⊥BF，
∴△ABF的面积=AB?AF=BF?AE．
∴AE=．
20．（1）A（6，0），C（0，3）；（2）E（，3），y＝﹣x+；（3）满足条件的点P坐标为（6﹣3，3）或（6+3，3）或（，3）或（6，﹣3）．
【解析】（1）由x2﹣9x＋18＝0可得x＝3或6，
∵OA、OC的长是关于x的一元二次方程x2﹣9x＋18＝0的两个根（OA＞OC），
∴OA＝6，OC＝3，
∴A（6，0），C（0，3）．
（2）如图1中，

∵OA∥BC，
∴∠EBC＝∠AOB，
根据翻折不变性可知：∠EOB＝∠AOB，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴EO＝EB，设EO＝EB＝x，
在Rt△ECO中，∵EO2＝OC2＋CE2，
∴x2＝32＋（6﹣x）2，
解得x＝，
∴CE＝BC﹣EB＝6﹣＝，
∴E（，3），
设直线AE的解析式为y＝kx＋b，则有，
解得，
∴直线AE的函数解析式为y＝﹣x＋．
（3）如图，OB＝＝3．
①当OB为菱形的边时，OF1＝OB＝BP1＝3＝，故P1（6﹣3，3），
OF3＝P3F3＝BP3＝3，故P3（6＋3，3）．
②当OB为菱形的对角线时，∵直线OB的解析式为y＝x，
∴线段OB的垂直平分线的解析式为y＝﹣2x＋，
可得P2（，3），
③当OF4问问对角线时，可得P4（6，﹣3）
综上所述，满足条件的点P坐标为（6﹣3，3）或（6＋3，3）或（，3）或（6，﹣3）．

21．(1);(2)见解析
【解析】（1）∵四边形ABC是正方形，
∴AD= CD，∠ADC =90°，
∴AC=,
∵AC=4，
∴AD=CD=4，
∵AC=AP，
∴AP=，
∴S△ACP=AP×CD
=××4
=7；
（2）在CF上截取FN=NG，连接BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB=CD，
∠CBF=∠CDP=∠BCF+∠FCD=90°，
又∵CF⊥CP，
∴∠DCP+∠FCD=90°，
∴∠BCF=∠BCD，
在△BCF和△DCP中，
，
∴△BCF≌△DCP，
∴CF=CP，
∵BC=MC，BM⊥CF，
∴∠BCF=∠ACF=∠BCA=22.5°，
∴∠CFB=67.5°，
∵FC⊥BM，FN=NG，
∴BF=BG，
∴∠FBG=45°，∠FBN=22.5°，
∴∠CBG=45°，
在△BCG和△BAN中，
，
∴△BCG≌△ABM，
∴BM=CG，
∴CF﹣CG=FG，
∵BF=BG，BM⊥CF，
∴FN=NG，
∴CP﹣BM=2FN．

22．（1）详见解析；(2)菱形；（3）当∠A=45°，四边形BECD是正方形．
【解析】(1)∵DE⊥BC，
∴∠DFP=90°，∵∠ACB=90°，
∴∠DFB=∠ACB，∴DE//AC，
∵MN//AB，∴四边形ADEC为平行四边形，∴CE=AD；
(2)菱形，理由如下：
在直角三角形ABC中，
∵D为AB中点，
∴BD=AD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∴MN//AB，
∴BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D是AB中点，
∴BD=CD，（斜边中线等于斜边一半）
∴四边形BECD是菱形；
(3)若D为AB中点，则当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，
理由：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∵四边形BECD是菱形，
∴DC=DB，
∴∠DBC=∠DCB=45°，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形，
故答案为45°.
23．(1)见解析；
（2） .
【解析】(1)∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM
∴DE=DM ∠EDM=90°
∴∠EDF + ∠FDM=90°
∵∠EDF=45°
∴∠FDM =∠EDM=45°
∵ DF= DF
∴△DEF≌△DMF
∴ EF=MF …
（2） 设EF=x ∵AE=CM=1
∴ BF=BM-MF=BM-EF=4-x
∵ EB=2
在Rt△EBF中，由勾股定理得
即
解之，得　
24．解：（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形．
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC．
∴∠ADB=90°．
∴平行四边形AEBD是矩形．
（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形．理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD=BD=CD．
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．
【解析】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．
（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．













试卷第1页，总3页


试卷第1页，总3页

展开更多......

收起↑