资源简介

三角函数求值问题的解答方法
三角函数求值问题是指在给定条件的情况下，求三角函数值或角的问题。这类问题主要包括：①知角求值；②知值求值；③知值求角三种类型。各种类型具有一定的结构特征，解答的方法也有所不同，那么在实际解答三角函数求值问题时，到底应该如何应对呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、=（ ）
A B C 2 D
【解析】
【知识点】①诱导公式及运用；②二倍角公式及运用。
【解题思路】运用诱导公式，二倍角公式通过运算就可得出结果。
【详细解答】原式= = =2，C正确，选C。
2、4cos-tan=（ ）
A B C D 2-1
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系；②诱导公式及运用；③和角，差角，倍角公式及运用；④任意角化特殊角的基本方法；⑤辅助角公式及运用。
【解题思路】运用同角三角函数的基本关系切化弦，结合分式的性质进行运算，根据和角，差角，二倍角公式化成asin+bcos的式子，再利用辅助角公式通过运算得出结果。
【详细解答】原式=4sin-===
===
=，C正确，选C。
3、求角，的正弦、余弦、正切值；
【解析】
【知识点】①任意角化特殊角的基本方法；②和角，差角公式及运用。
【解题思路】运用=+，=-，结合和角，差角公式通过运算可得出结果。
【详细解答】=+，sin=sin(+)=sincos+cossin=
(+)=； cos=cos(+)=coscos-sinsin=
(-)=；tan=tan(+)===
= =2+；=+，sin=sin(-)=sincos- cos
sin=(-)=；cos=cos(+)=coscos+sinsin=
(+)=；tan=tan(-)===
= =2-。
4、计算coscos+sincos的值；
【解析】
【知识点】①诱导公式及运用；②差角公式及运用。
【解题思路】运用诱导公式，差角公式通过运算就可得出结果。
【详细解答】原式= coscos+sinsin=cos(-)=cos=0。
5、求的值；
【解析】
【知识点】①特殊角三角函数值的运用；②和角公式及运用。
【解题思路】运用特殊角三角函数值，和角公式通过运算就可得出结果。
【详细解答】原式== tan(+)=tan=。
6、计算的值；
【解析】
【知识点】①差角公式及运用；②任意角化特殊角的基本方法。
【解题思路】运用差角公式结合任意角化特殊角的基本方法通过运算就可得出结果。
【详细解答】原式= = = tan
=tan(-)==== =2-。
7、已知+=，求（1+tan）(1+tan)的值；
【解析】
【知识点】①和角公式及运用；②代数式求值的基本方法。
【解题思路】运用和角公式结合代数式求值的基本方法通过运算就可得出结果。
【详细解答】+=，tan(+)==tan=1，
=1-，（1+tan）(1+tan)=1++=1+1-
+=2。
8、计算Coscoscoscos的值；
【解析】
【知识点】①二倍角公式及运用；②分式的定义与性质；③诱导公式及运用。
【解题思路】运用分式的定义与性质结合二倍角公式，诱导公式通过运算就可得出结果。
【详细解答】原式= = .cos
= = = = 。
9、计算cos-cos的值；
【解析】
【知识点】①二倍角公式及运用；②分式的定义与性质；③诱导公式及运用；④和角，差角公式及运用。
【解题思路】运用分式的定义与性质结合二倍角公式，诱导公式，和角，差角公式通过运算可得出结果。
【详细解答】原式==
===。
10、计算++sincos的值；
【解析】
【知识点】①二倍角公式及运用；②诱导公式及运用；③和角，差角公式及运用。
【解题思路】运用二倍角公式，诱导公式，和角，差角公式通过运算可得出结果。
【详细解答】原式=++sincos（-）=1-+
+ sincos+ sinsin=1-++ sin- sin+
cos- cos=-+ sin+ cos=-+sin(+)
=-+sin=-+=。
『思考问题1』
（1）【典例1】是知角求值的问题，解答这类问题的基本思路是把任意角转化为特殊角，从而运用特殊角的函数值求出结果；
（2）解答该类问题上注意知识的综合运用，同时还要注意和角，差角，二倍角公式的灵活运用（即可以从公式的左边到右边，也可以从公式的右边到左边）。
〔练习1〕解答下列问题：
1、求- sin（- ）的值；
2、 计算sincos -cos sin 的值；
3、计算的值；
4、计算的值；
5、计算tan+tan+tantan的值；
6、计算Coscoscoscos的值。


【典例2】解答下列问题：
1、若角的顶点为原点，始边与X轴正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2=（ ）
A - B - C D
【解析】
【知识点】①任意角三角函数的定义与性质；②二倍角公式及运用。
【解题思路】运用任意角三角函数的定义与性质求出角的正弦（或余弦）值，根据二倍角公式通过运算就可得出结果。
【详细解答】角的顶点为原点，始边与X轴正半轴重合，终边在直线y=2x上，
sin==， cos2=1-2sin=1-2 =- ，B正确，选B。
2、已知sin2=，则cos（+）=（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①二倍角公式及运用；②诱导公式及运用。
【解题思路】运用二倍角公式和诱导公式得到cos（+）= = ，根据条件通过运算就可得出结果。
【详细解答】 cos（+）= = ，sin2=，
cos（+）= =，A正确，选A。
3、已知为锐角，且有2tan(-)-3cos(+)+5=0，tan(+)+6sin(+)-1=0，则sin的值是（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①诱导公式及运用；②二元一次方程组及其解法；③同角三角函数的基本关系。
【解题思路】运用诱导公式和二元一次方程组的解法求出tan的值，根据同角三角函数的基本关系通过运算就可得出结果。
【详细解答】2tan(-)-3cos(+)+5=0，-2tan+3sin+5=0， tan=3，
tan(+)+6sin(+)-1=0， tan-6sin-1=0，
sin=3cos， sin+ sin=1， sin= ，为锐角，
sin= ，C正确，选C。
4、已知sinA+cosA=-，A为第四象限角，则tanA等于（ ）
A B C - D -
【解析】
【知识点】①任意角三角函数的定义与性质；②勾股定理及其运用；③一元二次方程的定义与解法。
【解题思路】运用任意角三角函数的定义与性质，借助图像和勾股定理求出两直角边的值，根据任意角正切函数的定义通过运算就可得出结果。
【详细解答】如图，设0B=x， sinA+cosA=-， y
BC=x+7，在RtOBC中，OB+BC=OC， O B x
+=13，+7x-60=0，x=5， 13
BC=5+7=12，A为第四象限角， tanA=-， C
C正确，选C。
5、已知sin.cos=，＜＜，则cos-sin的值为（ ）
A - B C - D
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系；②二倍角公式及运用；③完全平方公式及运用。
【解题思路】运用同角三角函数的基本关系求出cos-sin的平方的值，根据＜＜，就可得出cos-sin的值。
【详细解答】 sin.cos=，= cos-2 sin.cos+ sin
=1-2=，＜＜， cos-sin>0， cos-sin=，B正确，选B。
6、已知sin=，则sin-cos的值为（ ）
A - B - C D
【解析】
【知识点】①平方差公式及运用；②同角三角函数的基本关系。
【解题思路】运用平方差公式分解因式，由同角三角函数的基本关系通过运算就可得出结果。
【详细解答】 sin-cos=（sin+ cos）（sin- cos）= sin- cos=2 sin- 1，sin=， sin-cos=2-1=-，B正确，选B。
7、已知tan=3，则①= ；②sin-3sincos+1= ；
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系；②十字相乘法及运用。
【解题思路】①运用同角三角函数的基本关系通过运算就可得出结果；②运用十字相乘法分解因式，根据同角三角函数的基本关系通过运算就可得出结果。
【详细解答】 tan=3，①===1；②sin-3sincos+1=2sin-3sincos+ cos=（2sin- cos）（sin- cos）= cos（2tan-1）（tan-1）= （23-1）（3-1）=1。
8、已知角终边上一点P（-4,3），则的值为 ；
【解析】
【知识点】①任意角三角函数的定义与性质；②诱导公式及运用。
【解题思路】①运用任意角三角函数的定义与性质求出tan的值，根据诱导公式通过运算就可得出结果。
【详细解答】角终边上一点P（-4,3）， tan=- ，原式=
= tan=- 。
9、已知，为锐角，cos=，sin（+）=，则cos= ；
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系；②差角公式及运用。
【解题思路】①运用同角三角函数的基本关系求出sin，cos（+）的值，根据差角公式通过运算就可得出结果。
【详细解答】 cos=，为锐角， sin= = ，，为锐角，
sin（+）=， cos（+）= =，0<<+<， cos（+）=-，=（+）-， cos=cos[（+）-]= cos（+）.cos
+ sin（+）.sin=-+=-+ =。
10、已知sin=，并且是第二象限的角。
求下列三角函数的值：①cos； ②tan。
解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系。
【解题思路】①运用同角三角函数的基本关系通过运算就可得出结果。
【详细解答】sin=，并且是第二象限的角，① cos=-=-；
②tan==-。
11、已知cos=-。
求下列三角函数的值：①sin； ②tan。
解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系。
【解题思路】①运用同角三角函数的基本关系通过运算就可得出结果。
【详细解答】 cos=-<0，可能是第二或第三象限的角，当是第二象限的角时，①sin==；②tan==-；当是第三象限的角时，①sin=-=-；②tan==。
12、已知sin(--)=，求的值。
解析】
【知识点】①诱导公式及运用。
【解题思路】运用诱导公式通过运算就可得出结果。
【详细解答】 sin(--)=sin=，原式= =- =-4。
13、已知一元二次方程a+bx+c=0（a≠0且a≠c）的两个根为tan，tan，求tan（+)的值；
解析】
【知识点】①一元二次方程根与系数的关系定理；②和角公式及运用。
【解题思路】运用一元二次方程根与系数的关系定理求出tan+tan，tan.tan的值，根据和角公式通过运算就可得出结果。
【详细解答】 tan，tan是元二次方程a+bx+c=0（a≠0且a≠c）的两个根， tan+tan=- ，tan.tan= ， tan（+)= = =- 。
14、已知cos(+)=，cos=，、均为锐角，求sin的值；
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系；②差角公式及运用。
【解题思路】①运用同角三角函数的基本关系求出sin（+），sin的值，根据差角公式通过运算就可得出结果。
【详细解答】 cos(+)=，、均为锐角， sin（+）= = ，
cos=， 为锐角， sin= =，=(+)-， sin=
sin[(+)-]=sin（+）. cos- cos(+).sin=-=。
15、已知＜＜，0＜＜，cos(-)=，sin(+)=，求
sin(+)的值；
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系；②诱导公式及运用；③差角公式及运用。
【解题思路】①运用同角三角函数的基本关系求出sin(-)，cos(+)的值，根据诱导公式和差角公式通过运算就可得出结果。
【详细解答】 cos(-)=，＜＜， sin(-)=-=-，
sin(+)=，0＜＜， cos(+)=-= -，(+)-
(-)=+(+)， sin(+)=-cos[+(+)]=-cos[ (+)-(-)
]=-[ cos(+).cos(-)+sin(+).sin(-)]=-（--）=。
16、已知sin(x-)cos(x-)=-，求cos4x的值；
【解析】
【知识点】①诱导公式及运用；②二倍角公式及运用。
【解题思路】①运用诱导公式和二倍角公式通过运算就可得出结果。
【详细解答】 sin(x-)cos(x-)=- cos(x-)cos(x-)=- cos (x-)=-，cos(2x
-)=sin2x=2-1=-，cos4x=1-2=。
17、已知cos(-)=-，cos(+)=，＜-＜，＜+＜。求：①cos2； ②cos2；
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系；②和角公式及运用；③差角公式及运用。
【解题思路】运用同角三角函数的基本关系求出sin(-)，sin(+)的值，根据和角，差角公式通过运算就可得出结果。
【详细解答】 cos(-)=-，＜-＜， sin(-)==，
cos(+)=，＜+＜， sin(+)=-=-，①2=
(+)+(-)，cos2=cos[(+)+(-)]=cos(+)cos(-)-sin(+)sin
(-)=-+=-； ②2=(+)-(-)，cos2=cos[(+)+
(-)]=cos(+)cos(-)+sin(+)sin (-)=--=-1。
18、已知cos（+）=，＜，求cos（2+）的值；
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系；②二倍角角公式及运用；③诱导公式及运用；④和角公式及运用。
【解题思路】运用同角三角函数的基本关系求出sin（+）的值，根据二倍角公式，诱导公式求出cos2的值，结合同角三角函数的基本关系与和角公式通过运算就可得出结果。
【详细解答】 cos（+）=>0，＜， sin(+)=-=-，
sin(2+)= cos2=2 sin(+).cos（+）=2(-)=--，<（+）<2，＜，<2<3， sin2= = ，
cos（2+）= cos2.cos- sin2.sin=-- -=-。
19、已知cos-cos= ，sin-sin= ，求cos(-)的值；
【解析】
【知识点】①完全平方公式及运用；②同角三角函数的基本关系；③差角公式及运用。
【解题思路】运用同角三角函数的基本关系，结合问题条件求出cos.cos+ sin.sin的值，根据差角公式通过运算就可得出结果。
【详细解答】 cos-cos= ， cos -2cos.cos+ cos=， sin-sin= ， sin-2 sin.sin+ sin=，-2（cos.cos+ sin.sin）+2= ，
cos.cos+ sin.sin= ， cos(-)=cos.cos+ sin.sin= ，
20、已知sin.sin=1，求cos(+)的值；
【解析】
【知识点】①正弦函数的定义与性质；②余弦函数的定义与性质；③和角公式及运用。
【解题思路】运用同角三角函数的基本关系，结合正弦函数的定义与性质求出cos.cos的值，根据和角公式通过运算就可得出结果。
【详细解答】 sin.sin=1， sin=sin= 1，==k+（kZ）， cos=cos=0， cos.cos=0， cos(+)=cos.cos-sin.sin=0-1=-1。
『思考问题2』
（1）【典例2】是知值求值的问题，解答这类问题的基本思路是变角，把所求三角函数值的角与已知三角函数值的角联系起来；
（2）同角三角函数的基本关系，诱导公式，和角公式，差角公式，二倍角公式是解答该类问题的基本知识点，深刻理解和掌握这些基本知识点是解答问题的基础和关键。
〔练习2〕解答下列问题：
1、已知tan(-)=，且∈（，），则sin（+）等于（ ）
A B - C D -
2、设tan，tan是方程-3x+2=0的两根，则tan（+）的值为（）
A -3 B -1 C 1 D 3
3、若sin(-)=，则cos(+2)=（ ）
A - B - C D
4、已知角终边上一点P（-4,3），则的值为 ；
5、已知＜＜，cos(+)=m，（-1＜m＜0），则sin(-)的值为 ；
6、已知∈（0，），且2sin-sin.cos-3cos=0，则= ；
7、已知sin=，并且是第一象限的角。
求下列三角函数的值：①cos， ②tan。
8、已知cos=-，且为第三象限的角，
求下列三角函数的值：①sin， ②tan。
9、已知cos=。
求下列三角函数的值：①sin， ②tan。
10、已知tan=-。
求下列三角函数的值：①sin， ②cos。
11、已知sin= ，cos=- ，且、都是第二象限的角，求sin(+)，cos(-)，tan(+)的值；
12、已知＜＜＜，cos(-)=，sin(+)=-，求sin2的值；
13、已知cos(-)=-，cos(+)=，且(-)∈（，），(+)∈（，2），求cos2，cos2的值；
14、计算的值；
15、计算tan+tan+tantan的值；
16、计算Coscoscoscos的值。
17、已知cos= ，cos(+)=-，且、∈（0，），求cos的值；
18、已知为第二象限的角，cos+sin=-。
求：①sin-cos； ②sin2+cos2的值。
19、已知sin+cos=，求的值；
20、已知sin+cos= ，求tan+ 的值；
21、已知sin(--)=，求的值。
22、已知sin-sin=-，cos-cos=，求cos(-)的值；
23、已知cos.cos=1，求cos(+)的值。
【典例3】解答下列问题：
1、设，为钝角，且sin=，cos=-，则+的值为（ ）
A B C D 或
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系；②特殊角的三角函数值。
【解题思路】运用同角三角函数的基本关系，结合问题条件求出cos，sin的值，根据和角公式通过运算得到cos（+）的值，根据条件确定角+的取值范围，由cos（+）的值就可得出结果。
【详细解答】 sin=，为钝角， cos= -= -， cos=
-，为钝角， sin= = ， cos（+）= cos. cos
- sin. sin=-（-）-=，，为钝角，<+<2，
+=，C正确，选C。
2、已知，∈（0，），且tan(-)=，tan=-，则2-的值为 。
【解析】
【知识点】①二倍角公式及运用；②和角公式及运用；③特殊角的三角函数值。
【解题思路】运用二倍角公式求出tan(2-2)，根据和角公式通过运算得到tan（2-）的值，根据条件确定角2-的取值范围，由tan（2-）的值就可得出结果。
【详细解答】 tan(-)=， tan(2-2)= = = ，
2-=(2-2)+， tan（2-）= tan[（2-2）+]=
==1，，∈（0，），tan=->- ，<<，-<-<-
，-<-<， tan(-)=，0<-<，0<2-<，
2-=。
3、若sinA=，sinB=，A，B均为钝角，求A+B的值；
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系；②和角公式及运用；③特殊角的三角函数值。
【解题思路】运用同角三角函数的基本关系，结合问题条件求出cosA，cosB的值，根据和角公式通过运算得到cos（A+B）的值，根据条件确定角A+B的取值范围，由cos（A+B）的值就可得出结果。
【详细解答】 sinA=，A为钝角， cosA= -=-， sinB=，B为钝角， cosB= -=-， cos（A+B）= cosA. cosB- sinA. sinB=-
（-）-=， A，B均为钝角，4、已知、均为锐角，且满足：3+2=1，3sin2-2sin2=0。
求证：+2=；
【解析】
【知识点】①二倍角公式及运用；②和角公式及运用；③④特殊角的三角函数值。
【解题思路】运用二倍角公式，结合问题条件得到cos2，sin2关于角的三角函数式，根据和角公式通过运算得到cos（+2）的值，根据条件确定角+2的取值范围，由cos（+2）的值就可得出结论。
【详细解答】证明：3+2=1，3 =1-2= cos2，3sin2
-2sin2=0， sin2= sin2=3 sin. cos， cos（+2）= cos. Cos2
- sin. Sin2= cos. 3- sin. 3 sin. cos=0，、均为锐角，cos2=3
>0，0<+2<，+2=。
『思考问题3』
（1）【典例3】是知值求角的问题，解答这类问题的基本思路是根据问题条件求出所求角的三角函数值，结合条件确定所求角的取值范围，再利用三角函数值得出角；
（2）求所求角的三角函数值时，如何选择所求角的三角函数的类别对解答问题具有重要的影响，一般来说，选择时应该注意三角函数值在角的范围内的三角函数值的唯一性。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知sin=，sin(-)=-，，均为锐角，则角等于（ ）
A B C D
2、设，为锐角，且sin=，cos=，则+的值为 ；
3、已知tan=，tan=，且、都是锐角，求证：+=；
4、已知tan=2，tan=3，且、都是锐角，求证：+=；
5、已知＜＜，-＜＜0，tan=-，tan=-。
求证：2+=。

展开更多......

收起↑