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三角函数化简问题的解答方法
三角函数化简是指把复杂的三角函数式通过一系列的恒等变换，使之成为简单的三角函数式的数学问题。解答三角函数化简问题涉及的基本知识点主要包括：①同角三角函数的基本关系；②诱导公式；③和角，差角，二倍角与辅助角公式。那么在实际解答三角函数化简问题时，如何运用这些基本知识点，才能快速、简捷达到解答该类问题的目的呢？下面通过对典型例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、化简（1+tan）（1-sin）= ；
【解析】
【知识点】同角三角函数的基本关系。
【解题思路】运用同角三角函数的基本关系通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】原式=（1+）. =.=1。
2、化简，其中是第二象限的角。
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系；②分式的定义与性质；③二次根式的定义与性质。
【解题思路】运用分式的定义与性质和同角三角函数的基本关系，结合二次根式的定义与性质通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】是第二象限的角，cos<0，原式=-
=-=-+===-2tan。
『思考问题1』
（1）【典例1】是运用同角三角函数基本关系化简三角函数式的问题，解答这类问题需要理解和掌握同角三角函数基本关系；
（2）同角三角函数基本关系主要包括：①平方关系：+=1；②商除关系：
tan= 。
〔练习1〕化简下列三角函数式：
1、； 2、costan； 3、；
4、； 5、（1+。
【典例2】化简下列各三角函数式：
1、；
【解析】
【知识点】诱导公式及运用。
【解题思路】运用诱导公式通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】原式==1。
2、；
【解析】
【知识点】诱导公式及运用。
【解题思路】运用诱导公式通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】原式==-。
3、+；
【解析】
【知识点】①诱导公式及运用；②分式的定义，性质与运算；③同角三角函数基本关系。
【解题思路】运用诱导公式，结合分式的定义，性质与运算方法和同角三角函数基本关系，通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】原式=+=+
===。
4、，kZ。
【解析】
【知识点】诱导公式及运用。
【解题思路】运用诱导公式通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】①当k为奇数时，原式==-1；②当k为偶数时，原式= =-1；=-1，kZ。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与三角函数的诱导公式相关的问题，解答这类问题需要理解并掌握三角函数的诱导公式；
（2）理解掌握三角函数的诱导公式，关键需要吃透“奇变偶不变，符号看象限”的真正含义；从而在运用诱导公式解答问题时可按两步进行：①确定诱导后三角函数的名称是否改变；②确定诱导后三角函数的符号。
〔练习2〕化简下列各三角函数式：
1、； 2、；
3、； 4、；
5、1+； 6、。
【典例3】解答下列问题：
1、化简；
【解析】
【知识点】①完全平方公式及运用；②同角三角函数基本关系；③二倍角公式及运用。
【解题思路】运用完全平方公式，同角三角函数基本关系和二倍角公式，通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】原式=-2 sin. cos+=1- sin2。
2、化简；
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质；②二倍角公式及运用。
【解题思路】运用分式的定义与性质和二倍角公式，通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】原式==。
3、化简；
【解析】
【知识点】①平方差公式及运用；②同角三角函数基本关系；③二倍角公式及运用。
【解题思路】运用平方差公式，同角三角函数基本关系和二倍角公式，通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】原式=（+）.（-）=（-）=cos2。
4、化简；
【解析】
【知识点】①分式的定义，性质与运算；②同角三角函数基本关系；③二倍角公式及运用。
【解题思路】运用分式的定义，性质与运算，同角三角函数基本关系和二倍角公式，通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】原式====。
5、化简+-cos2cos2；
【解析】
【知识点】①同角三角函数基本关系；②二倍角公式及运用。
【解题思路】运用同角三角函数基本关系和二倍角公式，通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】原式= . + . -cos2cos2
=+-cos2cos2=-cos2cos2=。
6、化简sin(1+tan)；
【解析】
【知识点】①同角三角函数基本关系；②诱导公式及运用；③辅助角公式及运用。
【解题思路】运用同角三角函数基本关系，诱导公式和辅助角公式，通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】原式= sin. = =
==1。
7、化简；
【解析】
【知识点】①同角三角函数基本关系；②二倍角公式及运用。
【解题思路】运用同角三角函数基本关系，二倍角公式通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】原式==
===。
8、化简（0＜＜）
【解析】
【知识点】①同角三角函数基本关系；②二倍角公式及运用，③完全平方公式及运用；④二次根式的定义与性质。
【解题思路】运用同角三角函数基本关系，二倍角公式，完全平方式和二次根式的定义与性质通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】0＜＜，0<<，
原式=
= ==-cos。
9、化简；
【解析】
【知识点】①同角三角函数基本关系；②二倍角公式及运用，③诱导公式及运用；④分式的定义与性质。
【解题思路】运用同角三角函数基本关系，二倍角公式，诱导方式和分式的定义与性质通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】原式= .
=.
=.[-]=（-）
=.= sin。
10、化简tan(+)-tan(-)；
【解析】
【知识点】①诱导公式及运用；②二倍角公式及运用；③分式的定义与性质；④同角三角函数基本关系。
【解题思路】运用分式的定义与性质，二倍角公式，诱导公式和同角三角函数基本关系通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】原式=-
=-=-=
===2tanx。
11、化简-2cos（-）；
【解析】
【知识点】①差角公式及运用；②二倍角公式及运用；③分式的定义与性质。
【解题思路】运用分式的定义与性质，二倍角公式和差角公式通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】原式=
==
==。
12、化简（x≠2k+,k∈Z）。
【解析】
【知识点】①二倍角公式及运用；②分式的定义与性质。
【解题思路】运用分式的定义与性质和二倍角公式通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】原式=+
=+=+
==-。
『思考问题3』
（1）【典例3】是综合运用三角函数知识化简三角函数式的问题，解答这类问题首先需要掌握三角函数化简的基本原则和基本要求，其次是注意三角函数化简的常用方法；
（2）三角函数化简的基本原则是：一看角，二看三角函数的名称，三看问题的结构特征；
（3）三角函数化简的基本要求是：①使化简后的三角函数式 最少， 最低，角与三角函数名称的种类最少；
（4）三角函数化简的常用方法有：① 角化 角，② 次化 次，③复杂角化简单角，④切化弦；
〔练习3〕解答下列问题：
1、化简sin(+)-sin(-)；
2、化简sin(+)-sin(-)；
3、化简cos(+)-cos(-)；
4、化简cos(+)-cos(-)；
5、 化简sincos -cos sin ；
6、化简cos cos -sinsin ；
7、化简sin(-)cos +cos(-)sin；
8、化简cos(+)cos +sin(+)sin；
9、化简；
10、化简3sinx+3cosx；
11、化简；
12、化简；
13、化简cosx-sinx；
14、化简（sinx-cosx）；
15、化简sinx+cosx；
16、化简sin(-x)+cos(-x)；
17、化简sin cos +sin cos ；
18、化简sin sin +sin sin ；
19、化简cos(-)cos( )-sin(+)sin()；
20、化简；
21、化简 ∈（，2）。

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