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第一章　算法初步
1．1　算法与程序框图
1．1.1　算法的概念
| 学 习 目 标 |
1．理解算法的含义，体会算法的思想．
2．能够用自然语言描述算法.


1．下列对算法的理解中，不正确的是(　　)
A．算法必须能解决一类问题
B．算法过程要能一步一步执行
C．算法的每一步操作必须确切，不能含混不清
D．算法执行后一定产生唯一的结果
解析：选D　
2．下列叙述能称为算法的是(　　)
A．植树需运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤
B．求所有能被2整除的正数
C．2x>3x＋2
D．数学真有趣
解析：选A

3．结合下面的算法：
S1　输入x；
S2　判断x是否大于0，若是执行S3，否则执行S4；
S3　输出y＝log2x；
S4　输出y＝3x＋2.
当输入的x＝－1时，输出的值为________．
解析：∵输入的x＝－1<0，
∴输出y＝3×(－1)＋2＝－1.
答案：－1
4．写出解方程x2－3x－4＝0的一个算法．
解：第1步，将方程的左边因式分解，得(x－4)(x＋1)＝0，①
第2步，由①得x－4＝0或x＋1＝0，②
第3步，由②得x＝4或x＝－1.

一、选择题
1．下列关于算法的说法：
①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；③算法执行后一定产生明确的结果．
其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
解析：选B　根据算法的特征可知，算法要有明确的开始与结束，每一步操作都必须是明确有效的，必须在有限步内得到明确的结果，故②③正确；而解决某一类问题的算法不一定是唯一的，故①错误．
2．下列各式中，S值不能用算法求解的是(　　)
A．S＝1＋2＋3＋…＋100
B．S＝12＋22＋32＋…＋1002
C．S＝1＋＋＋…＋
D．S＝1＋2＋3＋…
解析：选D　由算法的特点可知，D符合题意．
3．早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个过程．从下列选项中选出最好的一种算法(　　)
A．第一步，洗脸刷牙．第二步，刷水壶．第三步，烧水．第四步，泡面．第五步，吃饭．第六步，听广播
B．第一步，刷水壶．第二步，烧水同时洗脸刷牙．第三步，泡面．第四步，吃饭．第五步，听广播
C．第一步，刷水壶．第二步，烧水同时洗脸刷牙．第三步，泡面．第四步，吃饭同时听广播
D．第一步，吃饭同时听广播．第二步，泡面．第三步，烧水同时洗脸刷牙．第四步，刷水壶
解析：选C　∵A选项共用时间36 min，B选项共用时间31 min，C选项共用时间23 min，D选项的算法不符合常理．故选C．
4．使用配方法解方程x2－2x－3＝0的算法的正确步骤是(　　)
①配方得(x－1)2＝4；②移项x2－2x＝3；③解得x＝3或x＝－1；④开方得x－1＝±2.
A．①②③④ B．②①④③
C．②③④① D．④③②①
解析：选B　使用配方法的步骤应按移项、配方、开方、求解的顺序进行．
5．已知一个算法：第一步，m＝a；第二步，如果b＜m，则m＝b，输出m；否则执行第三步；第三步，如果c＜m，则m＝c，输出m，否则输出“无解”．如果a＝3，b＝6，c＝2，那么执行这个算法的结果是(　　)
A．3 B．6
C．2 D．无解
解析：选C　第一步：m＝3，
第二步：b≥3，执行第三步，
第三步：2＜3，输出2，故选C．
6．计算下列各式中S的值：①S＝1＋2＋3＋…＋1 000；②S＝1＋2＋3＋…＋100＋…；③S＝1＋2＋3＋…＋n(n≥1，n∈N)．能通过设计算法求解的是(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
解析：选B　算法不能无限地运行，故①③能通过设计算法求解．
二、填空题
7．写出解方程ax＋b＝0(a≠0)的一个算法的过程．第一步，将不含x的常数项移到方程右边，并改变常数项的符号；第二步，________.
解析：利用等式的性质将方程变成一边是x，另一边为常数的形式即得到方程的解．
答案：方程两边同除以a
8．给出下列算法：
第一步，输入x的值；
第二步，当x>4时，计算y＝x＋2；否则执行下一步；
第三步，计算y＝；
第四步，输出y.
当输入x＝0时，输出y＝________.
解析：由于x＝0>4不成立，故计算y＝＝2，输出y＝2.
答案：2
9．下面给出了一个问题的算法：
S1　输入a；
S2　若a≥4，则执行S3；否则执行S4；
S3　输出2a－1；
S4　输出a2－2a＋3.
当输入a的值为________时，输出的数值最小．
解析：该算法是求分段函数f(a)＝的函数值，当a≥4时，f(a)≥7，当a<4时，f(a)＝(a－1)2＋2≥2，
∴当a＝1时，f(a)最小．
答案：1
三、解答题
10．写出求方程组的解的算法．
解：解法一：第一步，①－②得2x＝14＋2； ③
第二步，解方程③得x＝8； ④
第三步，将④代入②得8＋2y＝－2； ⑤
第四步，解⑤得y＝－5；
第五步，得到方程组的解为
解法二：第一步，由②式移项可得x＝－2－2y； ③
第二步，把③代入①得y＝－5； ④
第三步，把④代入③得x＝8；
第四步，得到方程组的解为
11．任意给定一个大于1的正整数n，设计一个算法，求出n的所有因数．
解：S1　依次用2～(n－1)做除数去除n，看余数是否为0，若是，则是n的因数，若不为0，则不是n的因数；
S2　把1，n算在内；
S3　将求出的所有因数写出．
12．田忌赛马的故事人人皆知：齐国大将田忌与齐威王约定赛马，他们把各自的马分成上、中、下三等．比赛的时候，上等马对上等马，中等马对中等马，下等马对下等马．由于齐威王每个等级的马都比田忌的强，三场比赛下来，田忌都失败了．田忌垂头丧气正准备离开马场时，他的好朋友孙膑招呼他过来，拍着他的肩膀说：“从刚才的情形看，齐威王的马比你的马快不了多少呀…你再同他赛一次，我有办法让你取胜．”请你设计出孙膑用同样的马使田忌获胜的算法．
解：在齐威王的马比田忌的马快不了多少的情况下，孙膑采用的算法是：
S1　让田忌拿下等马对齐威王的上等马，第一场输了；
S2　让田忌拿上等马对齐威王的中等马，胜了第二场；
S3　让田忌拿中等马对齐威王的下等马，又胜了一场．
1．1.2　程序框图
1．1.3　算法的三种基本逻辑结构和框图表示(一)
| 学 习 目 标 |
1．熟悉各种程序框图及流程线的功能和作用．
2．理解程序框图的基本逻辑结构：顺序结构、条件结构.


1．要解决下面的四个问题，只用顺序结构画不出程序框图的是(　　)
A．利用公式1＋2＋…＋n＝计算1＋2＋…＋10的值
B．当圆的面积已知时，求圆的周长
C．给定一个数x，求其绝对值
D．求函数f(x)＝x2－5x＋3的函数值
解析：选C　A、B、D都可由顺序结构直接求出结果，而C需要分类讨论，需要用条件结构，故选C．
2．如图所示的程序框图中，若输入的x的值为1，则运行结果是________．

解析：∵x＝1，∴y＝2×1＋1＝3.
答案：3

3．(2017·江苏卷)如图是一个算法流程图．若输入x的值为，则输出y的值是________．

解析：该程序框图表示输入x，
输出y＝的函数值，
当x＝时，y＝2＋log2＝2－4＝－2.
答案：－2
4．编写一个程序框图，求函数f(x)＝的函数值．
解：程序框图如图所示：


一、选择题
1．在程序框图中，算法中间要处理数据或计算，可以分别写在不同的(　　)
A．处理框内 B．判断框内
C．输入、输出框内 D．循环框内
解析：选A　处理框表示的意义为赋值，执行计算语句、结果的传送，故选A，其他选项皆不正确．
2．阅读右面的程序框图，则输出的结果是(　　)

A．3 B．7
C．8 D．20
解析：选D　x＝3，y＝2×3＋1＝7，z＝3×7－1＝20，输出20，故选D．
3．执行如图所示的程序框图，若输入a＝－4，则输出的值为(　　)

A．－4 B．2
C．－2 D．是负数
解析：选D　∵a＝－4<0，故输出的“是负数”．
4．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则输入的x的值为(　　)

A．－2或4 B．±4
C．－2，±4 D．4
解析：选B　该程序框图，表示输入x，
输出y＝的函数值，
由得x＝4；由得x＝－4.
5．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是(　　)

A．f(x)＝x2＋x B．f(x)＝
C．f(x)＝lg x＋2x D．f(x)＝x3＋x
解析：选D　∵f(x)＝x3＋x为奇函数，且存在零点，故D正确．
6．(2017·山东卷)执行如图所示的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为(　　)

A．x>3 B．x>4
C．x≤4 D．x≤5
解析：选B　当x＝4时，若执行“是”，则y＝4＋2＝6，与题意矛盾；若执行“否”，则y＝log24＝2，满足题意，故应执行“否”，故判断框中的条件可能为x>4.
二、填空题
7．下面是计算图中阴影部分面积的一个程序框图，则①处应填________．

解析：∵阴影部分的面积S＝a2－，故①处应填S＝a2－a2＝a2.
答案：S＝a2
8．如图是某一函数的求值程序框图，则满足该程序框图的函数解析式为________________________(不要写成分段函数形式)．

解析：由条件分支结构的特点及绝对值的定义可知．
答案：f(x)＝|x－3|＋1
9．已知函数y＝如图是计算函数值的流程图，在空白框中应该填_______．

答案：x＝0
三、解答题
10．选择合适的结构，绘制相应的程序框图．
(1)求半径为4的球的表面积和体积；
(2)求分段函数y＝的函数值．
解：(1)如下图所示：

(2)如下图所示：

11．给定三个函数y1＝x2－1，y2＝2x－3，y3＝x2＋6x.给出一个x的值，分别计算它们的函数值，并输出这些函数值中最小的一个，为本题设计一个算法并画出程序框图．
解：算法如下：
S1　输入x；
S2　y1＝x2－1，y2＝2x－3，y3＝x2＋6x；
S3　如果y1≤y2，y1≤y3，则输出y1，结束算法；否则，执行S4；
S4　若y2≤y3，则输出y2，结束算法；否则，输出y3.
根据以上步骤，可画出如下图所示的程序框图．

12．求底面边长为4，侧棱长为5的正四棱锥的侧面积及体积，设计一个算法，并画出程序框图．
解：算法如下：
S1　a＝4，c＝5；
S2　R＝a；
S3　h＝，S＝a2；
S4　V＝Sh；
S5　h′＝ ；
S6　S＝2ah′；
S7　输出S、V.
程序框图如图所示：

1．1.3　算法的三种基本逻辑结构和框图表示(二)
| 学 习 目 标 |
1．能识别、理解循环结构．
2．能运用循环结构设计程序框图解决简单的问题.


1．(2017·北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的S值为(　　)

A．2 B．
C． D．
解析：选C　第一次循环：k＝1，S＝＝2；第二次循环：k＝2，S＝＝；第三次循环：k＝3，S＝＝，此时跳出循环，故输出S＝.
2．按照程序框图(如图)执行，第3个输出的数是(　　)

A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C　第一个输出的值为A＝1；第二个输出的值为A＝3；第三个输出的值为A＝5.

3．执行如图所示的程序框图，输出的所有点都在函数(　　)

A．y＝x＋1的图象上
B．y＝2x的图象上
C．y＝2x的图象上
D．y＝2x－1的图象上
解析：选D　第一次循环：输出(1,1)，x＝2，y＝2；第二次循环：输出(2,2)，x＝3，y＝4；第三次循环：输出(3,4)，x＝4，y＝8；第四次循环：输出(4,8)，x＝5，y＝16，此时跳出循环，显然这些点均在y＝2x－1的图象上．
4．(2019·江苏卷)如图是一个算法流程图，则输出的S的值是________．

解析：执行算法流程图，x＝1，S＝，不满足条件；x＝2，S＝，不满足条件；x＝3，S＝3，不满足条件；x＝4，S＝5，满足条件，结束循环．故输出的S的值是5.
答案：5

一、选择题
1．如图所示是一个循环结构的程序框图，下列说法不正确的是(　　)

A．①是循环变量初始化，循环就要开始
B．②为循环体
C．③是判断是否继续循环的终止条件
D．①可以省略不写
解析：选D　i的初始值不能少．
2．(2019·天津卷)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为(　　)

A．5 B．8
C．24 D．29
解析：选B　i＝1，S＝0，i不是偶数，第一次循环：S＝1，i＝2<4；第二次循环：i是偶数，j＝1，S＝5，i＝3<4；第三次循环：i不是偶数，S＝8，i＝4，满足i≥4，输出S，结果为8.故选B．
3．如图是计算＋＋＋…＋的值的一个程序框图，其中在判断框内填入的条件是(　　)

A．i＜10 B．i＞10
C．i＜20 D．i＞20
解析：选B　由框图可知，当i＝11时，退出循环，故选B．
4．执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S＝(　　)

A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选D　第一次循环：M＝2，S＝2＋3＝5，k＝2；
第二次循环：M＝2，S＝2＋5＝7，k＝3，此时3≤2不成立，故输出的值为7.
5．(2017·天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为(　　)

A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C　第一次循环：N＝18；第二次循环：N＝6；第三次循环：N＝2，此时N≤3，跳出循环，输出的N＝2.
6．(2017·全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入(　　)

A．A>1 000和n＝n＋1
B．A>1 000和n＝n＋2
C．A≤1 000和n＝n＋1
D．A≤1 000和n＝n＋2
解析：选D　由于求的是最小偶数n，故处理框内应填n＝n＋2，故A，C不正确，结合程序框图可知，只有当A≤1 000 时，才能循环，故判断框内应填A≤1 000，故选D．
二、填空题
7．如图是求1～1 000中所有偶数的和的一个程序框图，则空白处①应为________；②应为________．

解析：由sum和i的初始值及题中要求可得．
答案：sum＝sum＋i　i＝i＋2
8．阅读框图(如图)，该程序框图输出结果为________．

解析：第一次循环结束时，s＝5，第二次循环结束时，s＝5×4＝20，退出循环结构输出20.
答案：20
9．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为________．

解析：第一次循环：S＝8，n＝2；
第二次循环：S＝2，n＝3；
第三次循环：S＝4，n＝4；此时4>3，跳出循环，故输出的值为4.
答案：4
三、解答题
10．画出求式子(共6个2)的值的程序框图．
解：程序框图如下图所示：

11．已知某次考试中15名同学的数学成绩，要求设计一个程序框图求80分以上的同学的平均分．
解：程序框图如下图所示：

12．已知函数f(x)＝(x＋1)2，将区间[1,10]十等分，画出求等分点及端点对应函数值的算法如下：
S1　i＝1；
S2　如果i≤10，则执行S3，否则执行S8；
S3　x＝i；
S4　f(x)＝(x＋1)(x＋1)；
S5　i＝i＋1；
S6　输出f(x)；
S7　返回执行S2；
S8　结束．
画出这一算法的程序框图．
解：程序框图如下图所示：

1．2　基本算法语句
1．2.1　赋值、 输入和输出语句
| 学 习 目 标 |
1．理解输入语句、输出语句、赋值语句．
2．能够将程序框图转化为程序语句，进一步体会算法的基本思想.


1．将两个数a＝2，b＝6交换，使a＝6，b＝2，下列语句正确的是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B　
2．下列给出的赋值语句正确的有(　　)
①3＝A；②x＋y＝3；③A＝B＝1；④T＝T*T；⑤k＝k＋1.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选C　∵赋值语句中“＝”左边是变量，右边是表达式知①②不正确；赋值语句只能给一个变量赋值，不能出现两个或多个“＝”，故③不正确；④⑤显然正确，故选C．

3．执行下列程序，若输入1,2,3，则输出结果为________．

答案：2,3,2
4．下列程序执行后的结果为24，则输入的x的值为________．

解析：由题意得x2＋2x＝24，
得x＝－6或x＝4，∴输入的值为－6或4.
答案：－6或4

一、选择题
1．下列语句能使变量a的值为3的是(　　)
A．input a＝3 B．b＝3，b＝a
C．a＝2，a＝a＋1 D．2a＝a＋3
解析：选C
2．“x＝3*5，x=x+1”是某一程序中先后相邻的两个语句，那么下列说法正确的是(　　)
①x＝3*5的意思是x=3*5=15，此式与算术中的式子是一样的；②x＝3*5是将数值15赋给x；③x＝3*5可以写成3*5= x；④x= x+1语句在运行时“=”右边x的值是15，执行后左边的x的值是16.
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
解析：选B　x＝3*5是将数值15赋给x；x+1是将15+1=16重新赋予x，∴②④正确，故选B.
3．下列程序，输出的结果A是(　　)

A．5 B．6
C．15 D．120
解析：选D　由题意可知A＝1×2×3×4×5＝120，
∴输出的值为120.
4．执行下面的程序后，输出的结果是(　　)

A．4,4 B．4,7
C．7,4 D．4，－2
解析：选B　∵a＝1＋3＝4，b＝4＋3＝7，∴输出的值为4,7.
5．下列程序段执行后，变量a，b的值分别为(　　)

A．20,15 B．35,35
C．5,5 D．－5，－5
解析：选A　∵a＝15，b＝20，执行程序段后，a＝15＋20＝35，b＝35－20＝15，a＝35－15＝20，故输出的值为a＝20，b＝15.
6．如图，阅读程序，当a＝3，b＝－5时运行的结果是(　　)

A．2,3 B．－2，－7
C．2，－ D．2，
解析：选C　由程序可知a＝2，b＝－.故选C．
二、填空题
7．写出下列程序运行后的结果．
(1)

若输入2,5，输出结果为________．
(2)

运算结果为________．
解析：(1)中程序的作用是互换a、b的值，所以执行程序后a＝5，b＝2.
(2)中程序的作用是对b多次赋值，b的值为最后一次赋给它的值，运行结果为a＝1，b＝－2，c＝－1.
答案：(1)5,2　(2)1，－2，－1
8．下列程序执行后，输出的结果为4，则输入的x的值为________．

解析：由x2＋3x＝4，得x＝－4或x＝1.
答案：－4或1
9．下列程序运行的结果是________．

解析：由程序可知x＝2；
y＝3×2＋2＝8；
x＝8；
z＝2×8－1＝15，输出15.
答案：15
三、解答题
10．编写一个程序，给定圆的半径，求圆的周长和面积．(取π＝3.14)
解：程序如下：

11．已知一个正三棱柱的底面边长为2，高为3，用赋值语句和输入、输出语句表示计算此三棱柱的体积的算法．
解：a＝2；
h＝3；
V＝(sqrt(3)*a^2*h/4；
print(%io(2)，V)；
12．我国土地沙漠化问题非常严重，2000年全国沙漠化土地总面积达到1.6×105 km2，并以每年约3.4×103 km2的速度扩张．请你设计一个程序，计算以后某年的全国沙漠化土地总面积．
解：程序如下：

1．2.2　条件语句
| 学 习 目 标 |
1．理解条件语句及其在程序语句中的作用．
2．会应用条件语句编写程序.


1．根据如图的算法语句，当输入的x＝50时，输出y的值为(　　)
x＝input(“x＝”)；if x<＝40　y＝2x；else　　y＝20＋(x－40)*5；endprint(%io(2)，y)；
A．100 B．50
C．70 D．80
解析：选C　∵x＝50>40，∴y＝20＋(50－40)×5＝70.
2．执行下图中的程序，如果输出的结果是4，那么输入的值可能是(　　)
x＝input(“x＝”)；if x>＝0 y＝x^2；else y＝x；end
A．－4 B．2
C．±2或－4 D．2或－4
解析：选B　该程序表示的是输入x的值，输出y＝的函数值．由题意得得x＝2，
∴输入的值为2.

3．下列程序表示的是输入x，输出y＝的函数值，则①处应写________，②处应写________，③处应写________．
x＝input(“x＝”)；if x<0　①；else　if x＝0　　②；　else　　③；　endendprint(%io(2)，y)；
答案：y＝x^2　y＝0　y＝x
4．给出下列程序：
x＝input(“x＝”)；if x>1　y＝3*x-1else　　y＝7－x；endprint(%io(2)，y)；
若输出的结果为5，则输入的x＝________.
解析：该程序表示输入x，输出y＝的函数值，由得x＝2.由得x∈?.
∴输入的x＝2.
答案：2

一、选择题
1．条件语句中if的作用是(　　)
A．判断其后的条件是否成立
B．执行表达式
C．表示赋值
D．表示表达式为真
解析：选A
2．给出下列程序：
x＝input(“x＝”)；if x＞＝－1 y＝x＋2；else y＝1－x；endprint(%io(2)，y)；
若输入的x＝－2，则输出的y的值为(　　)
A．－2 B．1
C．3 D．－3
解析：选C　∵－2＜－1，∴y＝1－x＝3.
3．已知如下程序：
x＝input(“x＝”)；if x<0　x＝x；else　x＝－x；enddisp(x)
则该程序的功能是(　　)
A．求绝对值
B．求相反数
C．求其绝对值的相反数
D．直接输出所输入的数
解析：选C　由该程序可知当输入的值x满足x<0时，将其直接输出；x≥0时，输出其相反数，故该程序是求其绝对值的相反数．故选C．
4．该程序执行后，若输出的y的值为16，则输入的x的值为(　　)
x＝input(“x＝”)；if x>2 y＝x*x；else y＝18－2*x；endprint(%io(2)，y)；
A．±4 B．4
C．1 D．1或4
解析：选D　该程序表示的是输入x，输出y＝的函数值，由得x＝4，由得x＝1，∴输入的x的值为1或4.
5．给定程序如下：
a＝input(“a＝”)；if a>0　b＝1；else if a＝0　　b＝0； else　　b＝－1； endendprint(%io(2)，b)；
若输入a＝－6，则程序输出的结果是(　　)
A．1 B．6
C．0 D．－1
解析：选D　该程序实际上是求分段函数b＝的函数值，当a＝－6时，对应的函数值为－1.
6．下列程序的功能是：判断任意输入的数x是否是正数，若是，输出它的平方值；若不是，输出它的相反数．

则填入的条件应该是(　　)
A．x>0 B．x<0
C．x>＝0 D．x<＝0
解析：选D　因为条件真则执行y＝－x，条件假则执行y＝x*x，由程序功能知条件应为x≤0.故选D．
二、填空题
7．将下列程序补充完整．
输入两个不相等的实数，输出其中较大的数，则①为________．
a＝input(“a＝”)；b＝input(“b＝”)；if a>b　disp(a)；else　①；end
解析：else暗含的条件为a≤b，此时b较大．
答案：disp(b)
8．若输入a＝8，b＝10，c＝6，则执行下列程序，所得a的值为________．
a＝input(“a＝”)；b＝input(“b＝”)；c＝input(“c＝”)；if a＜b　then　a＝b；endif a＜c　　then　　a＝c；endprint(%io(2)，a)；
解析：由程序可知：a＝8，b＝10，a＜10，∴a＝10.
答案：10
9．下面程序是求分段函数f(x)＝的函数值，则①为________．

解析：由条件语句的特点知①处应为x>＝4.
答案：x>＝4
三、解答题
10．已知程序：

(1)当输入x＝5时，求输出y的值；
(2)若输出的y值为2，求输入x的值．
解：(1)若x＝5，∴y＝52＝25.
(2)当x≥0时，x2＝2，∴x＝；当x＜0时，3x＋5＝2，∴x＝－1.∴输入x的值为或－1.
11．铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法是行李重量不超过50 kg时按0.25 元/kg计算；超过50 kg而不超过100 kg时，其超过部分按0.35 元/kg计算；超过100 kg时，其超过部分按0.45 元/kg计算．编写程序，输入行李重量，计算并输出托运的费用．
解：程序如下：

12．给出如下程序(其中x>0)：

(1)该程序的功能是求什么函数的函数值；
(2)画出这个程序的程序框图．
解：(1)该程序是求分段函数y＝
(2)程序框图如下所示：

1．2.3　循环语句
| 学 习 目 标 |
1．正确理解两种循环语句及其在程序语句中的作用．
2．会应用两种循环语句编写程序.


1．for x＝1：2：9，该程序共执行循环次数为(　　)
A．2 B．5
C．8 D．10
解析：选B　由于步长为2，∴从1到9共进行了5次．
2．下面程序的作用是(　　)

A．求1＋3＋…＋9＋11
B．求1＋2＋3＋…＋10
C．求1×3×5×…×9×11
D．求1×2×3×…×10
解析：选B　

3．下面程序运行后输出的结果为________．

解析：程序的功能为计算：S＝1＋2＋3＋4＋5＋6＝21.
答案：21
4．以下程序输出的结果是________．

解析：第一次循环：x＝，i＝2；
第二次循环：x＝，i＝3，此时跳出循环，故输出的值为.
答案：

一、选择题
1．下面关于while语句的说法，正确的是(　　)
A．while循环是当表达式为真时执行循环体
B．while循环不需要事先指定循环变量的初值
C．while循环中当表达式为假时，直接退出程序
D．while循环的循环次数可以是无限次
解析：选A　由while循环语句的特点知A正确．
2．以下程序运行后的输出结果为(　　)

A．21 B．13
C．17 D．25
解析：选A　由程序可知进入循环后，
i＝3，S＝2×3＋3＝9；
i＝5，S＝2×5＋3＝13；
i＝7，S＝2×7＋3＝17；
i＝9，S＝2×9＋3＝21.
退出循环．
3．在下面语句执行完毕后a的值是(　　)

A．55 B．30
C．13 D．3
解析：选C　∵i从1到10，步长为1，∴循环次数为10，
∴输出的a＝3＋10＝13.
4．下面程序的作用是(　　)

A．1＋2＋3＋…＋99
B．1×2×3×…×99
C．1＋3＋5＋…＋99
D．1×3×5×…×99
解析：选C　
5．下面程序运行后，输出的结果是(　　)

A．50 B．25
C．5 D．0
解析：选D　运行该程序，第一次循环：S＝5，n＝4；第二次循环：S＝5＋4＝9，n＝3；第三次循环：S＝9＋3＝12，n＝2；第四次循环：S＝12＋2＝14，n＝1；第五次循环：S＝14＋1＝15，n＝0，此时跳出循环体，故输出的n＝0.
6．当执行完while　i<＝10　i＝i＋1后，i的值变为(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：选C　由while语句的概念直接解出，故选C．
二、填空题
7．下列程序的功能是________________(只列表达式，不需计算出结果)．

解析：运行该程序，第一次循环：S＝1，i＝2；第二次循环：S＝1＋，i＝3；第三次循环：S＝1＋＋，i＝4；…；第10次循环：S＝1＋＋＋…＋，i＝11，此时11>10，跳出循环，故输出的S＝1＋＋＋…＋.
答案：求1＋＋＋…＋的值
8．将一张纸(足够大)对折1次成 2张，再对折一次成4张，这样对折下去，一共对折27次，计算这样每次对折后可成为多少张．为了解决这一问题，设计了如下的算法程序．空白处应填________．

解析：这是个指数增长的问题，故填n＝2^i.
答案：n＝2^i
9．把求1＋2＋3＋…＋n的程序补充完整．

解析：由已知和程序框图分析可知．
答案：①n＝input　②while　③end
三、解答题
10．用for语句书写求＋＋…＋的算法程序．
解：S＝0；
for i＝1：1：99
m＝1/(i*(i＋1))；
S＝S＋m；
end
print(%io(2)，S)；
11．根据下列程序框图，编写相应的程序．

解：程序如下：

12．用分期付款的方式购买价格为1 150元的冰箱，如果购买时先付150元，以后每月付50元，加上欠款的利息，若一个月后付第一个月的分期付款，月利率为1%，那么购买冰箱的钱全部付清后，实际共付出款额多少元？画出程序框图，写出程序．
解：程序框图如下：
　　
程序如下：

1．3　中国古代数学中的算法案例
| 学 习 目 标 |
1．理解三种算法的原理及应用．
2．了解三种算法程序框图及程序.


1．1 037和425的最大公约数是(　　)
A．51 B．17
C．9 D．3
解析：选B　1 037＝425×2＋187,425＝2×187＋51,187＝51×3＋34,51＝34＋17,34＝2×17，∴17是1 037和425的最大公约数．
2．187,561,306的最大公约数是(　　)
A．51 B．34
C．17 D．11
解析：选C　∵561＝3×187，∴187与561的最大公约数为187，又306＝187＋119,187＝119＋68,119＝68＋51,68＝51＋17,51＝17×3，∴187与306的最大公约数为17，∴187,561,306的最大公约数为17.

3．用秦九韶算法计算函数f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4在x＝－1的值时，v2的结果是(　　)
A．－4 B．－1
C．5 D．6
解析：选D　v1＝2x－3＝2×(－1)－3＝－5，v2＝v1x＋1＝－5×(－1)＋1＝6.
4．已知多项式f(x)＝3x5＋8x4－3x3＋5x2＋12x－6，则f(2)＝________.
解析：∵v1＝3x＋8＝3×2＋8＝14，v2＝v1x－3＝14×2－3＝25，v3＝v2x＋5＝25×2＋5＝55，v4＝v3x＋12＝122，v5＝v4x－6＝122×2－6＝238.∴f(2)＝238.
答案：238

一、选择题
1．840与1 764的最大公约数是(　　)
A．84 B．12
C．168 D．252
解析：选A　∵1 764＝840×2＋84，又840＝84×10，∴840与1 764的最大公约数为84.
2．数4 557,1 953,5 115的最大公约数是(　　)
A．31 B．93
C．217 D．651
解析：选B　先求4 557与1 953的最大公约数是651，再求651与5 115的最大公约数为93.故选B．
3．利用秦九韶算法求当x＝2时，f(x)＝1＋2x＋3x2＋4x3＋5x4＋6x5的值，下列说法正确的是(　　)
A．先求1＋2×2
B．先求6×2＋5，第二步求2×(6×2＋5)＋4
C．f(2)＝1＋2×2＋3×22＋4×23＋5×24＋6×25直接运算求解
D．以上都不对
解析：选B　根据秦九韶算法，把多项式改成
f(x)＝((((6x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1.v0＝6，
v1＝6×2＋5，v2＝2×(6×2＋5)＋4，
∴A错误，B正确；C没用秦九韶算法，错误．故选B．
4．用秦九韶算法求多项式f(x)＝5x5－4x4＋3x3－2x2＋x＋1在x＝－3时的值的过程中，所做的加法次数为a，乘法次数为b，则a，b的值为(　　)
A．a＝4，b＝4 B．a＝5，b＝5
C．a＝5，b＝4 D．a＝6，b＝5
解析：选B　f(x)＝((((5x－4)x＋3)x－2)x＋1)x＋1，∴f(x)只做了5次乘法与5次加法，故选B．
5．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的S＝(　　)

A．7 B．12
C．17 D．34
解析：选C　第一次循环：S＝2，k＝1；
第二次循环：S＝2×2＋2＝6，k＝2；
第三次循环：S＝6×2＋5＝17，k＝3，此时3>2，跳出循环，故输出的值为17.
6．“割圆术”中，设圆的半径为1，圆内接正n边形面积为Sn，边长为xn，边心距为hn，有下列关系式：
①S2n＝n·Sn；②Sn＝n·xnhn；③S2n＝Sn＋n·xn(1－hn)；④S2n＝n·xn·.其中正确的有(　　)
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
解析：选C　②③正确．
二、填空题
7．144,240,168的最大公约数是________．
解析：∵240＝144＋96,144＝96＋48,96＝2×48，
∴144与240的最大公约数为48，又168＝3×48＋24,48＝24×2，∴168与48的最大公约数为24，
∴144,240,168的最大公约数为24.
答案：24
8．用秦九韶算法求n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，当x＝x0(x0是任意实数)时的值，需要________次乘法运算，________次加法运算．
解析：乘法运算：首先计算anx，然后一个括号进行一次乘法运算，共有n－1个括号，因此，共进行1＋n－1＝n次乘法运算．
加法运算：每一个括号内都会进行一次加法运算，共有n－1个括号，括号全打开后，还会与a0相加，因此，共进行(n－1)＋1＝n次加法运算．
答案：n　n
9．用更相减损术求得98与63的最大公约数为________，244与88的最大公约数为________．
解析：98－63＝35,63－35＝28,35－28＝7,28－7＝21,21－7＝14,14－7＝7，所以98与63的最大公约数为7；244－88＝156,156－88＝68,88－68＝20,68－20＝48,48－20＝28,28－20＝8,20－8＝12,12－8＝4,8－4＝4，所以244与88的最大公约数为4.
答案：7　4
三、解答题
10．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．
解：f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，
因为v0＝7，
v1＝7×3＋6＝27，
v2＝27×3＋5＝86，
v3＝86×3＋4＝262，
v4＝262×3＋3＝789，
v5＝789×3＋2＝2 369，
v6＝2 369×3＋1＝7 108，
v7＝7 108×3＝21 324，
故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324.
11．求225和135的最小公倍数．
解：∵225－135＝90,135－90＝45,90－45＝45.
∴45是225与135的最大公约数．
∴225与135的最小公倍数是(225×135)/45＝675.
12．现有甲、乙、丙三种溶液分别重147 kg、343 kg、133 kg，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，问每瓶最多装多少？
解：先求147和343的最大公约数．
(147,343)(147,196)(147,49)(98,49)(49,49)．
所以147和343的最大公约数为49.
再求49和133的最大公约数．
(49,133)(49,84)(49,35)(14,35)(14,21)(14,7)(7,7)．
所以147,343,133的最大公约数为7，即每瓶最多装7 kg.
章末检测
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．用二分法求方程x2－2＝0的近似根的算法中要用哪种算法结构(　　)
A．顺序结构 B．条件结构
C．循环结构 D．以上都用
解析：选D　任何一个算法都有顺序结构，循环结构一定包含条件结构，二分法用到循环结构．
2．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是(　　)

A．3 B．2
C．4 D．1
解析：选C　当x＝1时，2x＋1＝3，将2x＋1的值赋给y，∴y＝3，将y＋1的值赋给y，y＋1＝4，∴输出的值为4.
3．下列各组数的最大公约数与1 855和1 120的最大公约数不同的是(　　)
A．350,35 B．385,350
C．385,735 D．1 855,325
解析：选D　∵1 855＝1 120＋735,1 120＝735＋385,735＝385＋350,385＝350＋35，又350＝10×35，∴1 855和1 120的最大公约数为35.350与35的最大公约数为35；385＝350＋35,350＝10×35，∴385与350的最大公约数为35；735与385的最大公约数为35；1 855＝5×325＋230,325＝230＋95,230＝95×2＋40,95＝2×40＋15,40＝2×15＋10,15＝10＋5,10＝5×2，∴1 855与325的最大公约数为5，故选D．
4．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时的值时，v3的值为(　　)
A．3 B．－7
C．34 D．－57
解析：选D　f(x)＝3x6＋5x5＋6x4＋79x3－8x2＋35x＋12，
v0＝3，v1＝v0×(－4)＋5＝－7，v2＝v1×(－4)＋6＝34，v3＝v2×(－4)＋79＝－57.
5．(2019·北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s值为(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B　执行程序框图，k＝1，s＝＝2；k＝2，s＝＝2；k＝3，s＝＝2，结束循环，输出s＝2.故选B．
6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入x的值为1，则输出y的值为(　　)

A．2 B．7
C．8 D．128
解析：选C　∵x＝1<2，∴y＝9－1＝8.
7．如图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算法》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6,8,0，则输出的i＝(　　)

A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B　第一次循环：i＝1，b＝8－6＝2；
第二次循环：i＝2，a＝6－2＝4；
第三次循环：i＝3，a＝4－2＝2；
第四次循环：i＝4，此时a＝b，故输出a＝2，i＝4.
8．以下程序运行的输出结果是(　　)

A．25 B．29
C．33 D．37
解析：选C　这是用while编写的循环语句，最后一次执行循环体时S＝4×9－3＝33.故选C．
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是________．

解析：由a≥b，得x2≥x3，解得x≤1，所以当x≤1时，输出a＝x2，当x＞1时，输出b＝x3，所以当x≤1时，由a＝x2＝8，解得x＝－＝－2.若x＞1，由b＝x3＝8，得x＝2，所以输入的数为2或－2.
答案：2或－2
10．执行如图所示的程序框图，若输入的N＝5，则输出的S＝________.

解析：第一次循环：S＝，k＝2；第二次循环：S＝＋，k＝3；第三次循环：S＝＋＋，k＝4；第四次循环：S＝＋＋＋，k＝5；第五次循环：S＝＋＋＋＋＝，此时5<5不成立，故输出的S＝.
答案：
11．若输入8，则下列程序执行后输出的结果是________．

解析：这是一个用条件语句编写的程序，由于输入8时，t≤4不成立，故应有c＝2＋0.1×(8－3)＝2.5.
答案：2.5
三、解答题(每小题15分，共45分)
12．已知函数y＝x2＋2x＋3，把区间[－3,3]十等分，画出求等分点对应的函数值的程序框图，并写出程序语句．
解：所求程序框图如下图．

程序语句如下：

13．用秦九韶算法计算多项式，当x＝2时f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64的值．
解：将f(x)改写为f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64，
由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值．
v0＝1，
v1＝1×2－12＝－10，
v2＝－10×2＋60＝40，
v3＝40×2－160＝－80，
v4＝－80×2＋240＝80，
v5＝80×2－192＝－32，
v6＝－32×2＋64＝0，
∴f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.
14．青年歌手电视大奖赛共有10名选手参加，并请了12名评委，在计算每位选手的平均分数时，为了避免个别评委所给的极端分数的影响，必须去掉一个最高分和一个最低分后再求平均分数．试设计一个算法，解决该问题，要求画出程序框图，写出程序．(假定分数采用10分制，即每位选手的分数最低为0分，最高为10分)
解：由于共有12名评委，所以每位选手会有12个分数．我们可以用循环结构来完成这12个分数的输入，同时设计累加变量求出这12个分数之和．本问题的关键在于从这12个输入的分数中找出最大数与最小数，以便从总分中减去这两个数．由于每位选手的分数都介于0分和10分之间，故我们可以先假设其中的最大数为0，最小数为10，然后每输入一个评委的分数，就进行一次比较，若输入的数大于0，就将之代替最大数，若输入的数小于10，就用它代替最小的数，依次下去，就能找出这12个数中的最大数与最小数，循环结束后，从总和中减去最大数与最小数，再除以10，就得到该选手最后的平均分数．
程序框图为：

程序如下：

第二章　统　计
2．1　随机抽样
2．1.1　简单随机抽样
| 学 习 目 标 |
1．理解简单随机抽样的概念．
2．掌握简单随机抽样的方法.


1．对于简单随机抽样，每个个体被抽到的机会都(　　)
A．相等 B．不相等
C．与先后顺序有关 D．无法确定
解析：选A　
2．关于简单随机抽样，下列说法正确的是(　　)
①它要求被抽取样本的总体的个数有限；
②它是从总体中逐个地进行抽取；
③它是一种不放回抽样；
④它是一种等可能性抽样，每次从总体中抽取一个个体时，不仅各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．
A．①② B．③④
C．①②③ D．①②③④
解析：选D　由简单随机抽样的特点知①②③④均正确．

3．采用抽签法从含有3个个体的总体{a，b，c}中抽取一个容量为2的样本，则所有可能的样本是________．
解析：从三个总体中任取两个即可组成样本，
所有可能的样本为{a，b}，{a，c}，{b，c}．
答案：{a，b}，{a，c}，{b，c}
4．某工厂的质检人员对生产的100件产品采用随机数表法抽取10件检查，对100件产品采用下面的编号方法：①01,02,03，…，100；②001,002,003，…，100；③00,01,02，…，99.其中正确的序号是________．
解析：根据随机数表法的要求，只有编号时数字位数相同，才能达到随机等可能抽样，故②③正确．
答案：②③

一、选择题
1．从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是(　　)
A．500名学生是总体
B．每个被抽查的学生是样本
C．抽取的60名学生的体重是一个样本
D．抽取的60名学生是样本容量
解析：选C　
2．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的是(　　)
①从无限多个个体中抽取100个个体样本；
②盒子中有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；
③从8台电脑中不放回地随机抽取2台进行质量检验．(假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取)
A．① B．②
C．③ D．以上都不对
解析：选C　具有简单随机抽样的四个特点的抽样，就是简单随机抽样．故选C．
3．从总数为N的一批零件中，用随机抽样的方法从中抽取一个容量为10的样本．若每个个体被抽到的可能性为0.2，则N的值为(　　)
A．20 B．50
C．100 D．200
解析：选B　由题意得＝0.2，得N＝50.
4．在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性(　　)
A．与第几次抽样有关，第一次被抽中的可能性大些
B．与第几次抽样无关，每次被抽中的可能性相等
C．与第几次抽样有关，最后一次被抽中的可能性较大
D．与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但每次被抽中的可能性不一样
解析：选B　简单随机抽样是等可能抽样，每次被抽中的可能性相同，与第几次抽样无关．
5．一个总体的个体数为60，编号为00,01,02，…，59，现需从中抽取一个容量为7的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列的1开始，向右依次取两个数字，直到取足样本，则抽取样本的第3个号码是(　　)
95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 46 40 62 98 80 54 97 20 56 95
38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80
82 80 84 25 39 90 84 60 79 80 67 72 16 42 79 71 59 73 05 50
24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49
96 35 23 79 18 05 98 90 07 35 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60
A．00 B．18
C．46 D．40
解析：选C　抽取的号码依次为18,00,46,40,54，其中第3个号码为46.
6．现有a件产品，其中包括b件次品，如果从中不放回地抽取了c件产品，则平均能抽到次品的件数是(　　)
A．(c＋1) B．
C．(c－1) D．
解析：选B　设能抽到x件次品，则＝，∴x＝.
二、填空题
7．用简单随机抽样的方法从含n个个体的总体中，逐个抽取一个容量为3的样本，对其中个体a在第一次就被抽到的概率为，那么n＝________.
解析：简单随机抽样时第一次抽样可以理解为从n个个体中抽取一个个体，那么每个个体被抽到的概率是，所以n＝8.
答案：8
8．某总体容量为M，其中带有标记的有N个，现用简单随机抽样方法从中抽取一个容量为m的样本，则抽取的m个个体中带有标记的个数估计为________．
解析：设抽取的m个个体中带有标记的个数为x，由简单随机抽样的特点可知，＝，得x＝，即抽取的m个个体中带有标记的个体的估计值为.
答案：
9．设某总体是由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体编号为________．

解析：由题意可得，选取的这6个个体分别为18,07,17,16,09,19，故选出的第4个个体编号为16.
答案：16
三、解答题
10．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，以每人被抽取的概率为0.2，向该中学抽取一个容量为n的样本，求n的值．
解：∵＝0.2，∴n＝200.
11．福彩双色球分33个红球号码从1～33，和16个蓝球号码从1～16.某彩民想从红色号码球1～11中任意抽取2个，在12～22中任意抽取2个，在23～33中任意抽取2个；再从蓝色号码球1～8中，9～16中各抽1个构成2注．
试用抽签法确定这位彩民所买的号码．
解：做标有1～11的11个号码的号签揉成团，搅拌均匀后，每次从中抽一个连抽2次，就得到所要的2个号码，同样方法得到其他红色号码球号和蓝色号码球号．
12．欲从某单位45名职工中随机抽取10名职工参加一项社区服务活动，试用随机数表法确定这10名职工．请写出抽样过程．现将随机数表部分摘录如下：
16　22　77　94　39　49　54　43　54　82　17　37
93　23　78　87　35　20　96　43　84　42　17　53
31　57　24　55　06　88　77　04　74　47　67　21
76　33　50　25　63　01　63　78　59　16　95　55
67　19　98　10　50　71　75　12　86　73　58　07
解：先将这45名职工依次编号为：01,02,03，…，44,45.选择一个位置进行读数，比如从所给数表第一行第一列的数字开始向右读，首先取16，然后是22；77,94大于45，继续读数得到39；49,54大于45；继续可以得到43，然后同样跳过大于45及与前面重复的数字可以得到17,37,23,35,20,42.
最后确定编号为16,17,20,22,23,35,37,39,42,43的职工作为参加社区服务的人选．
2．1.2　系统抽样
| 学 习 目 标 |
1．理解和掌握系统抽样，会用系统抽样从总体中抽取样本．
2．能用系统抽样解决实际问题.


1．下列抽样中不是系统抽样的是(　　)
A．标有1～15号的15个球中，任选3个作样本，从小号到大号排序，随机选i0号作为起始号码，以后选i0＋5，i0＋10(超过15则从1再数起)号入样
B．工厂生产的产品，在用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽取一件产品进行检验
C．搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽取一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的调查人数为止
D．在报告厅对与会听众进行调查，通知每排(每排人数相等)座位号为14的听众留下来座谈
解析：选C　
2. 某企业利用系统抽样的方法抽取一个容量为60的样本，若每一个职工入样的可能性为0.2，则该企业的职工人数为________．
解析：系统抽样中，每个个体被抽到是等可能的，设该企业职工人数为n，则＝0.2，故n＝300.
答案：300

3．为了了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段间隔为(　　)
A．50 B．40
C．25 D．20
解析：选C　分段间隔为＝25.
4．某单位有840名职工，则采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为(　　)
A．11 B．12
C．13 D．14
解析：选B　由系统抽样定义可知，所分组距为＝20，每组抽取一个，因为包含整数个组，所以抽取个体在区间[481,720]的数目为(720－480)÷20＝12.

一、选择题
1．从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选中的5名学生的学号可能是(　　)
A．1,2,3,4,5 B．2,4,6,8,10
C．3,13,23,33,43 D．1,2,5,40,45
解析：选C　
2．某电视台要从2 016名观众中抽取50名幸运观众．先用简单随机抽样从2 016人中剔除16人，剩下的2 000人再按系统抽样方法抽取50人，则在2 016人中，每个人被抽取的可能性(　　)
A．均不相等
B．不全相等
C．都相等，且为
D．都相等，且为
解析：选C　因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则应先剔除几个个体，本题先剔除16人，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等，所以，每个个体被抽到的机会都相等，均为＝.
3．总体容量为524，若采用系统抽样法抽样，当抽样间隔为多少时不需要剔除个体(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B　∵524＝4×131，∴抽样间隔为4时，不需要剔除个体．
4．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是(　　)
A．5 B．7
C．11 D．13
解析：选B　间隔数k＝＝16，即每16人抽取一个人．由于39＝2×16＋7，所以第1小组中抽取的数为7.故选B．
5．(2019·全国卷Ⅰ)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是(　　)
A．8号学生 B．200号学生
C．616号学生 D．815号学生
解析：选C　由系统抽样可知，第一组学生的编号为1～10，第二组学生的编号为11～20，…，最后一组学生的编号为991～1 000.设第一组取到的学生编号为x，则第二组取到的学生编号为x＋10，以此类推，所取得的学生编号为10的倍数加x.因为46号学生被抽到，所以x＝6，所以616号学生被抽到，故选C．
6．将参加夏令营的600名学生编号：001,002，…，600，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这600名学生分住在三个营区，从001到300住第一营区，从301到495住第二营区，从496到600住第三营区，这三个营区被抽中的人数依次为(　　)
A．26、16、8 B．25、17、8
C．25、16、9 D．24、17、9
解析：选B　由系统抽样的特点知，将600名学生分成50组，每组＝12(人)，
第一营区：＝25，∴抽取25人．
第二营区：＝16组余3人．
第一个号码303，最后一个号码495也被抽取，共17人．
∴第三营区抽取8人，故选B．
二、填空题
7．为了了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段间隔为________．
解析：分段间隔为＝40.
答案：40
8．用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成二十组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第十六组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是________．
解析：因为第十六组的号码在121～128号范围内，所以125是第十六组的第5个号，因此第一组确定的号码为5.
答案：5
9．一个总体中的100个个体的号码分别为0,1,2，…，99，依次将其均分为10个小组．要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定：如果在第1组(号码为0～9)中随机抽取的号码为m，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的个位数为m＋k－1或m＋k－11(如果m＋k≥11)．若第6组中抽取的号码为52，则m＝________.
解析：当k＝6时，则m＋6－1＝2或m＋6－11＝2(m＋6≥11)．即m＝－3(舍)或m＝7(m＋6≥11)，故m＝7.
答案：7
三、解答题
10．在1 000个有机会中奖的号码(编号为000～999)中，在公证部门监督下按照随机抽样的方法确定后两位数为88的号码为中奖号码，这是运用哪种抽样方法来确定中奖号码的？依次写出这10个中奖号码．
解：题中运用了系统抽样的方法来确定中奖号码，中奖号码依次为：088,188,288,388,488,588,688,788,888,988.
11．某医院有职工160人，其中医生96人，管理人员40人，后勤服务人员24人，为了了解职工的某种情况，试用简单随机抽样、系统抽样两种方法从中抽取一个容量为20的样本．
解：(1)简单随机抽样：将160人从1至160编上号，然后做成大小、形状相同的1～160号的160个号签放入箱内拌匀，再从中逐个抽出20个号签，与签号相同的20个人被选出作为样本．
(2)系统抽样：将160人从1至160编上号，按编号顺序分成20组，每组8人，1～8号，9～16号，…，153～160号．先在第一组中可用抽签法抽出k号(1≤k≤8，k∈Z)，其余的按(k＋8n)号(n＝1,2，…，19)取出，如此抽取得到20人组成样本．
12．某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．
解：(1)先把这253名学生编号001,002，…，253；
(2)用随机数表法任取出3个号，从总体中剔除与这三个号对应的学生；
(3)把余下的250名学生重新编号1,2,3，…，250；
(4)分段：取分段间隔k＝5，将总体均分成50段，每段含5名学生；
(5)从第一段即1～5号中随机抽取一个号作为起始号如l；
(6)以后各段中依次取出l＋5，l＋10，…，l＋245这49个号．
这样就按1∶5的比例抽取了一个样本容量为50的样本．
2．1.3　分层抽样
2．1.4　数据的收集
| 学 习 目 标 |
1．了解分析数据的收集方法．
2．理解并掌握分层抽样，会用分层抽样从总体中抽取样本．
3．了解三种抽样的区别与联系.


1．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是(　　)
A．简单随机抽样 B．系统抽样
C．分层抽样 D．抽签法
解析：选C　
2．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则(　　)
A．P1＝P2C．P1＝P3解析：选D　

3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为200,300,500，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为150的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
解析：设应从高二年级抽取x名，由分层抽样的特点可知＝，x＝45.
答案：45
4．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．
解析：×300＝60(名)．
答案：60

一、选择题
1．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(　　)
A．简单随机抽样
B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样
D．系统抽样
解析：选C　因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C．
2．(2019·全国卷Ⅲ)《西游记》 《三国演义》 《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(　　)
A．0.5 B．0.6
C．0.7 D．0.8
解析：选C　设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则x＋80－60＝90，解得x＝70，
所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7.故选C．
3．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.
关于上述样本的下列结论正确的是(　　)
A．②、③都不能为系统抽样
B．②、④都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样
D．①、③都可能为分层抽样
解析：选D　②不是系统抽样，可能为分层抽样；①③可能为系统抽样，也可能为分层抽样；④既非系统抽样也不是分层抽样，综上选D．
4．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为(　　)
类别 人数
老年教师 900
中年教师 1 800
青年教师 1 600
合计 4 300
A．90 B．100
C．180 D．300
解析：选C　设该样本中的老年教师人数为x，由题意得＝，得x＝180.
5．某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a＋c＝2b，则第二车间生产的产品数为(　　)
A．800 B．1 000
C．1 200 D．1 500
解析：选C　设第一、二、三车间生产的产品数分别为x，y，z，则
∵a＋c＝2b，
∴x＋z＝2y，
∴y＝1 200，故选C．
6．某高中共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名．抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为(　　)
一年级 二年级 三年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
A．24 B．18
C．16 D．12
解析：选C　由题意得＝0.19，得x＝380，则三年级共有学生2 000－(373＋377)－(370＋380)＝500(名)，设在三年级抽取的学生为m名，由分层抽样的特点知＝，得m＝16 名．
二、填空题
7．(2018·全国卷Ⅲ)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是____________．
解析：由于从不同年龄段客户中抽取，故采用分层抽样．
答案：分层抽样
8．某校对全校1 600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽10人，则该校的女生人数是________人．
解析：设抽取的女生人数为x，该校女生人数为y，则2x＋10＝200，x＝95，由分层抽样的特点可知＝，得y＝760.
答案：760
9．一个工厂有若干车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2 048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查．若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为________．
解析：∵＝，∴256×＝16(件)．
答案：16
三、解答题
10．某校500名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人．为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本．按照分层抽样方法抽取样本，各种血型的人分别抽取多少？写出抽样过程．
解：用分层抽样方法抽取．
∵＝，∴200×＝8,125×＝5,50×＝2.
故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人．各种血型的抽取可用简单随机抽样(如AB型)或系统抽样(如A型)，直至取出容量为20的样本．
11．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组，在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本，试确定：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别占本组总人数的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
解：(1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，
则有＝47.5%，＝10%，解得b＝50%，c＝10%.
故a＝100%－50%－10%＝40%，即游泳组中，青年人、中年人、老年人占本组总人数的比例分别为40%、50%、10%.
(2)游泳组中，抽取的青年人数为200××40%＝60(人)；抽取的中年人数为200××50%＝75(人)；抽取的老年人数为200××10%＝15(人)．
12．一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从这3万人中抽取一个容量为300的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．
解：因为疾病与地理位置及水土均有关，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法，具体过程如下：
S1　将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层；
S2　按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的个体：300×＝60(人)，300×＝40(人)，300×＝100(人)，300×＝40(人)，300×＝60(人)，因此各乡镇抽取的人数分别为60、40、100、40、60；
S3　将300人组到一起，即得到一个样本．
2．2　用样本估计总体
2．2.1　用样本的频率分布估计总体的分布
| 学 习 目 标 |
1．了解用样本的频率分布估计总体频率分布的方法．
2．会画频率分布直方图和茎叶图．
3．理解频率分布直方图和茎叶图及其应用.


1．一个容量为20的样本数据，分组及各组的频数如下：[10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70]，2，则样本在区间[20,60)上的频率为(　　)
A．0.5 B．0.6
C．0.7 D．0.8
解析：选D　频率P＝＝＝0.8.
2．中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示．从左至右五个小组的频率之比依次是5∶7∶12∶10∶6，则全市高一学生视力在[3.95,4.25)范围内的学生人数约有________．

解析：由题图知，第五小组的频率为0.5×0.3＝0.15，所以第一小组的频率为0.15×＝0.125，所以全市6万名高一学生中视力在[3.95,4.25)范围内的学生约有60 000×0.125＝7 500(人)．
答案：7 500

3．没有信息损失的统计图表是(　　)
A．条形统计图 B．扇形统计图
C．折线统计图 D．茎叶图
解析：选D
4．某校开展“爱我海西，爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是________．

解析：由题可知89×2＋90×5＋2＋3＋x＋2＋1＝
91×7，得x＝1.
答案：1

一、选择题
1．在频率分布直方图中，小长方形的面积等于(　　)
A．频率/样本容量 B．组距×频率
C．频率 D．样本数据
解析：选C
2．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为(　　)

A．30% B．10%
C．3% D．不能确定
解析：选C　由题图2可得小波一星期的食品开支，
即30＋40＋100＋80＋50＝300(元)，
由题图1可知小波一星期的总开支为＝1 000(元)．
则小波一星期的鸡蛋开支占×100%＝3%.
3．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为(　　)

A．0.2 B．0.4
C．0.5 D．0.6
解析：选B　因为数据总个数n＝10，又落在区间[22,30)内的数据个数为4，所以所求的频率为＝0.4.
4．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为(　　)

A．18 B．36
C．54 D．72
解析：选B　样本数据落在区间[10,12)内的频率为：P＝1－(0.02＋0.05＋0.15＋0.19)×2＝0.18，所以样本数据落在区间[10,12)内的频数为200×0.18＝36.
5．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：

13 0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 9
14 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8
15 0 1 2 2 3 3 3
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B　将这35个数据用系统抽样的方法抽取7人，分段间隔为5，而在[139,151]上共有20个人，∴应抽取＝4(人)．
6．某工厂对一批产品进行了抽样检测．下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(　　)

A．90 B．75
C．60 D．45
解析：选A　样本中产品净重小于100克的频率为(0.05＋0.1)×2＝0.3，设这批产品有n个．由题意得＝0.3，∴n＝120，又样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品频率为(0.1＋0.15＋0.125)×2＝0.75，其个数为120×0.75＝90.
二、填空题
7．将一个容量为m的样本分成3组，已知第一组的频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m＝________.
解析：由题意得＝1－0.15－0.45＝0.4，m＝20.
答案：20
8．某校100名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20，则a的估计值是________．

解析：由题可知优秀率为＝0.2，又分数在[140,150]的频率为0.01×10＝0.1，分数在[130,140)的频率为0.015×10＝0.15，又0.1＋0.15＝0.25>0.2，
∴优秀分数在[130,140)内，由题意得(140－a)×0.015＋0.1＝0.2，得a＝，∴a的估计值为.
答案：
9．如图是某校高三(6)班甲、乙两名同学自高三以来历次数学考试得分情况绘制的茎叶图，则甲、乙的平均分分别为________、________.

解析：甲的平均分为
＝110，
乙的平均分为
＝107.75.
答案：110　107.75
三、解答题
10．为征求个人所得税修改建议，某机构对居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500))．

(1)求居民月收入在[3 000,4 000)的频率；
(2)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽多少人？
解：(1)所求频率为0.000 3×500＋0.000 1×500＝0.2.
(2)月收入在[2 500,3 000)的频率为0.000 5×500＝0.25，∴0.25×100＝25(人)，∴月收入在[2 500，3 000)的这段应抽25人．
11．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下：
甲组：76　90　84　86　81　87　86　82　85　83
乙组：82　84　85　89　79　80　91　89　79　74
用茎叶图表示两个小组的成绩 ，判断哪个小组的成绩更整齐一些．
解：茎叶图如下：

甲组成绩大致对称，更整齐一些．
12．某中学部分学生参加全国高中数学竞赛，取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了“直方图”(如下图)，请回答：

(1)该中学参加本次数学竞赛的有多少人？
(2)如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖率是多少？
(3)直方图还提供了其他信息，再写出两条．
解：(1)由直方图可知：该中学参加本次数学竞赛的有4＋6＋8＋7＋5＋2＝32(人)．
(2)90分以上的人数为7＋5＋2＝14(人)，
∴×100%＝43.75%.
(3)①落在80～90段内的人数最多，有8人．
②参赛同学成绩不低于60分．
2．2.2　用样本的数字特征估计总体的数字特征
| 学 习 目 标 |
1．会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差．
2．理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法.


1．在某项体育比赛中，八位裁判为一选手打出的分数如下：
90,89,90,95,92,94,93,90.
则此数据的众数和中位数分别为(　　)
A．90,91 B．90,92
C．93,91 D．93,92
解析：选A　将数据按由小到大的顺序排成一列：89,90,90,90,92,93,94,95，显然众数为90，中位数为＝91.
2．在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后而模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B　设被污染的数字为x，则该组数据的中位数为＝＋32，
极差为48－20＝28，∴＋28＝61，解得x＝2.则被污染的数字为2.故选B．

3．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90　89　90　95　93　94　93，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为(　　)
A．92,2 B．92,2.8
C．93,2 D．93,2.8
解析：选B　去掉一个最高分95与一个最低分89后，所剩数据分别为90,90,93,94,93，∴＝＝92，
s2＝＝＝2.8.
4．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是13，那么另一组数据3x1－2,3x2－2,3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数和方差分别是________．
答案：4,117
知识点三　根据频率分布直方图估算平均数与中位数
5．某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．

(1)求频率分布直方图中x的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？
解：(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1得，x＝0.007 5，所以频率分布直方图中x的值是0.007 5.
(2)月平均用电量的众数是＝230，
因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5得，a＝224，所以月平均用电量的中位数是224.
(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，月平均用电量为[240,260)的用户有0.007 5×20×100＝15(户)，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10(户)，月平均用电量为[280,300]的用户有0.002 5×20×100＝5(户)，抽取比例＝＝，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5(户)．

一、选择题
1．某中学从艺术班中选出10名学生参加市级才艺比赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示，若这组数据的中位数、平均数分别为a，b，则a，b的大小关系是(　　)

A．a>b B．aC．a＝b D．无法确定
解析：选C　这组数据的中位数为a＝＝85，平均数b＝
＝85，∴a＝b.
2．(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　)
A．x1，x2，…，xn的平均数
B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值
D．x1，x2，…，xn的中位数
解析：选B　刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B．
3．(2017·山东卷)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为(　　)

A．3,5 B．5,5
C．3,7 D．5,7
解析：选A　由题意，甲组数据为56,62,65,70＋x,74，乙组数据为59,61,67,60＋y,78.要使两组数据中位数相等，有65＝60＋y，所以y＝5；又平均数相同，则＝，解得x＝3.故选A．
4．(2019·全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(　　)
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
解析：选A　设9位评委评分按从小到大排列为x1≤x2≤x3≤x4≤…≤x8≤x9.
①原始中位数为x5，去掉最低分x1，最高分x9后，剩余x2≤x3≤x4≤…≤x8，中位数仍为x5，A正确；
②原始平均数＝(x1＋x2＋x3＋x4＋…＋x8＋x9)，有效分平均数＝(x2＋x3＋x4＋…＋x8)，平均数受极端值影响较大，∴与不一定相同，B不正确；
③s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x9－)2]，
s′2＝[(x2－)2＋(x3－)2＋…＋(x8－)2]，由②易知，C不正确；
④原极差＝x9－x1，有效分极差＝x8－x2，显然极差有可能变小，D不正确．故选A．
5．在“魅力青岛中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为(　　)

A．5和1.6 B．85和1.6
C．85和0.4 D．5和0.4
解析：选B　去掉一个最高分和一个最低分后，得到的数据为84,84,84,86,87，∴平均数＝＝85，方差s2＝＝＝1.6.
6．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值为(　　)

A．62,62.5 B．65,62
C．65,62.5 D．62.5,62.5
解析：选C　从频率分布直方图可知：众数为65，又0.01×10＋0.03×10＝0.4，
∴中位数约是×10＋60＝62.5，故选C．
二、填空题
7．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，如果学号为1号到30号的同学平均成绩为90，则学号为31号到50号同学的平均成绩为________．
解析：设学号为31号到50号同学的平均成绩为x，则92×50＝90×30＋20x，解得x＝95，故答案为95.
答案：95
8．(2019·江苏卷)已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是________．
解析：由题意，该组数据的平均数为＝8，
所以该组数据的方差是×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝.
答案：
9．若a1，a2，…，a20这20个数据的平均数为，方差为0.20，则a1，a2，…，a20，这21个数据的方差约为________．
解析：0.20＝(a＋a＋…＋a－202)
s2＝(a＋a＋…＋a＋2－212)
＝(a＋a＋…＋a－202)
＝×4
＝≈0.19.
答案：0.19
三、解答题
10．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.

(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
(3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由．
解：(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为：＝0.08.
又因为第二小组频率＝.
所以样本容量＝＝＝150.
(2)由题图可估计该学校高一学生的达标率约为×100%＝88%.
(3)由已知可得各小组的频数依次为6,12,51,45,27,9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114,69＜＜114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内．
11．如图，茎叶图的中间数字表示十位(或十位和百位)数字，两边数字表示个位数字，回答下面的问题：

(1)写出甲、乙两组数据以及两组数据的中位数；
(2)通过茎叶图分析两组数据的稳定性，并且求其方差加以验证．
解：(1)甲组：74,75,78,85,86,93,103,104,106,106；
乙组：70,85,87,91,91,92,96,97,100,101.
由茎叶图可得甲组数据的中位数是＝89.5；
乙组数据的中位数是＝91.5.
(2)由茎叶图可以看出乙组数据比较稳定．
甲＝90＋(－16－15－12－5－4＋3＋13＋14＋
16＋16)＝91，
乙＝90＋(－20－5－3＋1＋1＋2＋6＋7＋10＋11)＝91.
s＝154.2，s＝73.6，由于s＞s，因此乙组数据波动较小，比较稳定．
12．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换，已知某校使用的100支日光灯在必须换掉前的使用天数如下表：
天数 151～180 181～210 211～240 241～270 271～300 301～330 331～360 361～390
灯管数 1 11 18 20 25 16 7 2
(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命；
(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？
解：(1)各组的组中值分别为165,195,225,255,285,315,345,375，由此可计算得平均数约为
165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)．
(2)将各组的组中值对此平均数求方差得[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2 128.60，
故标准差为≈46(天)．
所以，估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天，故可在222天到314天内统一更换较合适．
2．3　变量的相关性
2．3.1　变量间的相关关系
2．3.2　两个变量的线性相关
| 学 习 目 标 |
1．理解两个变量的相关关系的概念．
2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系．
3．会求回归直线方程.


1．下列图形中两个变量具有相关关系的是(　　)

解析：选C
2．下列变量之间的关系不是相关关系的是(　　)
A．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是判别式Δ＝b2－4ac
B．光照时间和果树亩产量
C．降雪量和交通事故发生率
D．每亩田施肥量和粮食亩产量
解析：选A　

3．设有一个线性回归方程为＝2－1.5x，则变量x增加一个单位时(　　)
A．平均增加1.5个单位
B．平均增加2个单位
C．平均减少1.5个单位
D．平均减少2个单位
解析：选C
4．从某高校在校大学生中随机选取5名女大学生，由她们身高和体重的数据得到的回归直线方程为＝0.79x－73.56，数据列表是：
身高x(cm) 155 161 a 167 174
体重y(kg) 49 53 56 58 64
则其中的数据a＝________.
解析：∵＝＝56，又回归直线＝x＋一定通过(，)，∴56＝0.79－73.56，得＝164，
∴155＋161＋a＋167＋174＝164×5，得a＝163.
答案：163

一、选择题
1．下列说法正确的是(　　)
A．y＝2x2＋1中的x，y是具有相关关系的两个变量
B．正四面体的体积与其棱长具有相关关系
C．电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系
D．传染病医院感染非典的医务人员与医院收治的非典病人数具有相关关系
解析：选D　感染非典的医务人员数不仅受医院收治的非典病人数影响，还受防护措施等其他因素的影响．故选D．
2．(2017·山东卷)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为＝x＋.已知i＝225，i＝1 600，＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为(　　)
A．160 B．163
C．166 D．170
解析：选C　由已知＝22.5，＝160，∴＝160－4×22.5＝70，y＝4×24＋70＝166，选C．
3．某单位为了了解办公楼用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：
气温(℃) 18 13 10 －1
用电量(度) 24 34 38 64
由表中数据得到线性回归方程＝－2x＋，当气温为－4 ℃时，预测用电量约为(　　)
A．68度 B．52度
C．12度 D．28度
解析：选A　∵＝＝10，＝＝40，由回归方程的性质可知40＝－20＋，∴＝60，
∴回归方程为y＝60－2x，当x＝－4时，y＝68.故选A．
4．为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线方程分别为l1、l2，已知两人得的实验数据中，变量x和y的数据的平均值都相等，且分别都是s，t，那么下列说法正确的是(　　)
A．直线l1和l2一定有公共点(s，t)
B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)
C．必有直线l1∥l2
D．l1和l2必定重合
解析：选A　线性回归方程为＝x＋，而＝－，即＝t－s，代入回归方程得：＝x＋t－s＝(x－s)＋t，所以回归直线一定过点(s，t)，∴直线l1，l2一定有公共点(s，t)，故选A．
5．在利用最小二乘法求回归方程＝0.67x＋54.9时，用到了下表中的5组数据，则表格a中的值为(　　)
x 10 20 30 40 50
y 62 a 75 81 89
A．68 B．70
C．75 D．72
解析：选A　∵＝＝30，又＝0.67＋54.9，∴＝75，∴62＋a＋75＋81＋89＝75×5，得a＝68.
6．下表提供了某学生做题数量x(道)与做题时间y(分钟)的几组对应数据：
x(道) 3 4 5 6
y(分钟) 2.5 t 4 4.5
根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，则表中t的值为(　　)
A．3 B．3.15
C．3.5 D．4.5
解析：选A　∵＝＝4.5，又回归直线过(，)，∴＝0.7×4.5＋0.35＝3.5，∴2.5＋t＋4＋4.5＝3.5×4，得t＝3.
二、填空题
7．有下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；⑤学生与其学号之间的关系．其中有相关关系的是________．
解析：其中②⑤为确定性关系，不是相关关系．
答案：①③④
8．某厂在生产甲产品的过程中，产量x(吨)与生产能耗y(吨)对应数据如下表：
x 30 40 50 60
y 25 35 40 45
根据最小二乘法求得回归直线方程为＝0.65x＋.当产量为80吨时，预计需要生产能耗为________吨．
解析：∵＝＝45，
＝＝＝36.25，
又回归直线过(，)，∴36.25＝0.65×45＋，得＝7，∴回归方程为＝0.65x＋7，当x＝80时，＝0.65×80＋7＝59.
答案：59
9．根据某设备的使用年限x和支出的维修费用y(万元)呈线性关系，计算得＝4，＝5，x＋x＋x＋x＋x＝90，x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4＋x5y5＝112.3，则y对x的回归直线方程是________．
解析：由题可得
＝＝＝1.23，
＝5－1.23×4＝0.08，
故y对x的回归直线方程为＝0.08＋1.23x.
答案：＝0.08＋1.23x
三、解答题
10．某工厂的某种型号的机器的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有下表的统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 m 6.5 7.0
若x，y之间具有线性相关关系，且其回归方程为
＝1.23x＋0.08.
(1)求m的值；
(2)试估计使用年限为10年时的维修费用．
解：(1)∵＝＝4，
又回归直线＝1.23x＋0.08过点(，)，
∴＝1.23×4＋0.08＝5，
∴＝5，
得m＝5.5.
(2)由于回归方程为＝1.23x＋0.08，
∴当x＝10时，＝0.08＋1.23×10＝12.38.
∴估计使用年限为10年时，维修费用为12.38万元．
11．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物)．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如下表：
时间 周一 周二 周三 周四 周五
车流量x(万辆) 50 51 54 57 58
PM2.5的浓度y(微克/立方米) 69 70 74 78 79
(1)若根据上表数据知x，y线性相关，请用最小二乘法求y关于x的线性回归方程；
(2)若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据(1)中求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度为多少(保留整数)?
解：(1)∵＝＝54，
＝＝74，
(xi－)(yi－)＝4×5＋3×4＋3×4＋4×5＝64，
(xi－)2＝(－4)2＋(－3)2＋32＋42＝50，
＝＝＝1.28，
＝－＝74－1.28×54＝4.88，
故y关于x的线性回归方程是＝1.28x＋4.88.
(2)当x＝25时，y＝1.28×25＋4.88＝36.88≈37，
所以可以预测此时PM2.5的浓度约为37.
12．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单位x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9
销量y(件) 90 84 83 80 75 68
(1)求回归直线方程y＝x＋，其中＝－20，＝
－；
(2)预计在今后的销售中，销售与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解：(1)由于＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，
＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80，
所以＝－ ＝80＋20×8.5＝250，
∴线性回归方程为＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)
＝－20x2＋330x－1 000
＝－20(x－8.25)2＋361.25.
∴当且仅当x＝8.25时，L取得最大值，故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
章末检测
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．某学校有男、女学生各500名，为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是(　　)
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样法 D．分层抽样法
解析：选D　
2．用0,1,2，…，299给300名高三学生编号，并用系统抽样的方法从中抽取15名学生的数学成绩进行质量分析，若第一组抽取的学生的编号为8，则第三组抽取的学生编号为(　　)
A．20 B．28
C．40 D．48
解析：选D　由题可知，分段间隔为＝20，又第一组抽取的学生的编号为8，∴第三组抽取的学生编号为8＋20×2＝48.
3．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70]
频数 2 3 4 5 4 2
则样本数据落在区间[10,40)的频率为(　　)
A．0.35 B．0.45
C．0.55 D．0.65
解析：选B　样本数据落在区间[10,40)的频率为＝＝0.45.
4．某学校有学生2 500人，教师350人，后勤职工150人，为了调查对食堂服务的满意度，用分层抽样从中抽取300人，则学生甲被抽到的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A　根据分层抽样的特点可知，抽取的学生为×300＝250，则学生甲被抽到的概率P＝＝，故选A．
5．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的，且样本容量160，则中间一组的频数为(　　)
A．32 B．0.2
C．40 D．0.25
解析：选A　由题可知P中＝，即中间一组的频率为，∴其频数为160×＝32，故选A．
6．已知下列表格所示数据的回归直线方程＝3.8x＋，则的值为(　　)
x 2 3 4 5 6
y 251 254 257 262 266
A．242.8 B．263.4
C．258 D．253.7
解析：选A　由已知得＝4，＝258，因为(，)在回归直线上，所以＝242.8.
7．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是(　　)

A．45 B．50
C．55 D．60
解析：选B　由题可知，低于60分的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，设该班的学生人数为n，则＝0.3，得n＝50.
8．甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5位评委评分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为甲、乙，则下列判断正确的是(　　)

A．甲<乙，甲比乙成绩稳定
B．甲<乙，乙比甲成绩稳定
C．甲>乙，甲比乙成绩稳定
D．甲>乙，乙比甲成绩稳定
解析：选B　甲＝＝85，
乙＝＝86，
∴甲<乙，
s＝[(76－85)2＋(77－85)2＋(88－85)2＋(90－85)2＋(94－85)2]＝(92＋82＋32＋52＋92)＝＝52.
s＝(112＋22＋22＋72)＝，显然s>s，故选B．
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新的数据，则所得的新数据的平均数和方差分别是________．
答案：62.8,3.6
10．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，若乙的平均分是89，则污损的数字是________.

解析：设污损的叶对应的成绩是x，由茎叶图可得
89×5＝8

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