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第4讲 平面解析几何的产生
——数与形的结合
费马与笛卡儿的解析几何思想的不同点是什么?
简单地说，笛卡尔的解析几何思想是从一轨迹开始建立它的方程即从图形（曲线）到方程；而费马是从方程出发来研究它的轨迹，即从方程到图形（曲线）.
任何一门学科的诞生，并非是完美的.笛卡儿与费马的解析几何也是一样，在他们之后，这棵变量数学之始的树苗，经许多数学家的浇灌，终成一棵参天大树.
那么解析几何是怎样一点点发展的呢?
了解解析几何的进一步发展的过程.
理解解析几何创立的意义.
结合学生已经学过的数学知识，对解析几何的发展有更深的了解.
理解解析几何的创立，是数学思想史上的一次飞跃，对数学发展的影响是深刻的.
重点
难点
了解解析几何一步步发展的过程.
理解解析几何创立的意义.
理解解析几何创立的意义.
大众化译文
从平面推广到空间
坐标法的日臻完善
极坐标的产生
解析几何创立的意义
大众化译文
笛卡儿唯一的数学著作《几何学》，写得精炼，却词简理深，难以被更多的人读懂.1649年，法国数学家范斯柯登（Frans Vansch Coten，1615——1660）用拉丁文通俗译出，阐发笛卡儿的思想方法，克服和改进解析几何思想明显的缺点，使之大众化，被更多的人了解.
坐标法的日臻完善
坐标法是解析几何的关键词，也是解析几何的重要标志之一.笛卡儿与费马的坐标系没有负的纵横坐标，1665年英国数学家沃利斯（J.Wallis，1616——1703）引进了负坐标，使解析几何所考虑的范围扩大到整个平面.
在坐标系的建立中，笛卡儿的坐标系只有一根x轴，费马的坐标系没有明确y轴.1691年，瑞士数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli，1654——1705）曾对坐标系作了改进，得到类似于极坐标，但效果不大，很快烟销灰灭.
雅各布.伯努利
“坐标”一词是莱布尼茨于1692年首先创用，“纵坐标”是他两年后正式使用的，而“横坐标”到18世纪由德国的沃尔夫（B.C.V.Wolff,1679——1754）引用的.
“解析几何”名称直到19世纪才由法国数学家拉科鲁瓦（S.F.Lacroix，1765——1843）正式使用.
二次曲线也称圆锥曲线或圆锥截线，是解析几何中重要内容之一.
圆锥曲线中圆、椭圆、双曲线和抛物线，最早是公元前5世纪古希腊人研究倍立方体问题引起的，经过希腊若干代人的研究，直到公元前3世纪末才由希腊的阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》将其性质网络殆尽.
1665年英国沃利斯在《论圆锥曲线》中第一个将圆锥曲线定义为含x和y的“二次曲线”.并推导出各种圆锥曲线的方程.
沃利斯
1784年，欧拉在他的名著《无穷分析引论》中，给出了现代形式的解析几何的系统叙述，可把欧拉之书看作现代意义下的第一本解析几何教程.
欧拉
《无穷分析引论》
引进参数方程和极坐标，系统地研究了圆锥曲线的各种情形，并证明经过适当坐标变换，任何带两个变量的二次方程总可以写成下列标准形中的一个，如：
从而使二次曲线理论得到完善，成为近代解析几何学的重要组成部分.
极坐标的产生
1635年，意大利数学家卡瓦列里（B.Cavalieri，1598——1647）最先使用极坐标来求阿基米德螺线的面积.
1671年，牛顿在《流数法》中，把极坐标看成是确定平面上点的位置的一种方法.
1691年，瑞士的雅各布·伯努利在《教师学报》上发表了一篇极坐标的发明者之一.他还发现双扭线、对数螺线、悬链线、旋轮线等各种特殊曲线，这些内容对曲线概念扩充，极大地丰富了解析几何内容.
1729年，德国数学家赫尔曼（J.Hermann，1678——1733）完善了极坐标的概念，明确地提出了极坐标.
1748年，欧拉给出了现代形式的极坐标，并且还引出了曲线的参数表示.至此极坐标沿用至今.
欧拉
赫尔曼
关于直角坐标与极坐标互换公式，首先是赫尔曼于1729年给出，而欧拉在1748年第一个极坐标中明确使用了三角函数，产生了今天使用的公式:
从平面推广到空间
解析几何的一个重要发展是由平面推广到空间.
1715年瑞士的约翰·伯努利（B.Johann，1667——1748）引进了我们现在通用的三个平面，即空间解析几何.
约翰.伯努利
到了19世纪，德国数学家格拉斯曼（H.G.Grassmann，1809——1877）于1844年首先提出了多维空间的概念.
格拉斯曼
解析几何创立的意义
笛卡尔和费马创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义（用代数方法解决几何问题）.
解析几何沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系，解析几何的发展，推动了微积分学的发展，也促进了几何本身的进步，它的直接推广还产生了其他近世几何、现代的代数几何等分支学科.
法国著名的拉格朗日（J.L.Lagrange,1736——1813）曾说过：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进度就缓慢，它们的应用就狭窄.但当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从此加快速度的步伐走向完善.”这段话表达了解析几何的产生对数学发展的影响是深刻的.
拉格朗日
解析几何发展的几个阶段
大众化译文；
坐标法的日臻完善；
极坐标的产生；
从平面推广到空间.
解析几何创立的意义
解析几何的创立，开始了用代数方法解决几何问题的新时代，这在数学思想史上可以看作是一次飞跃;解析几何的发展，推动了解析几何的发展，推动了微积分学的发展，也促进了几何本身的进步，它的直接推广还产生了其他近世几何、现代的代数几何等分支学科.

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