资源简介

导数问题：含参数函数解题入门（以三次函数为例）
1、 判断是否极值点的方法：

2、 举例：
有实根但不是极值点 有实根，是极值点 无实根


图像
图像
具体情况如下：，填写下表：x变化时，与的变化情况如下：
0


由此可得，没有极值．（一般可以通过表格法来写解答过程）
3、 最值情况：
最大值 图像最高点；最小值图像最低点
举例：（是看原函数图像还是导函数图像？）

将对应区间加粗，完成下表
定义域
最大值
最小值
说明：
（1）为什么要研究导函数，因为很多函数图像我们画不出来，只有通过导函数来先研究其单调性，再画出草图；
（2）最值一般都是通过看图来研究的，根据给出的区间，从函数图像上切一段下来研究；
（3）连续函数在封闭区间上都有最值．
4、 简单含参数函数问题举例
例1 已知函数，（1）求其单调区间；
【分析】，由于，故导函数是一个二次函数，可画出图像．面临问题：知道两根，但不知道开口方向，故需要分类讨论：
a>0时，

导函数 原函数
规范解答
解：
令=0，则， 或
a>0时，x变化时，与的变化情况如下：
1 2
+ 0 — 0 +

所以，的单调递增区间为，（注意中间用逗号），的单调递减区间为．（注意这里可以是开区间，也可以是闭区间，但不能取到的值一定不能用闭，故为避免出错一般我们都用开区间）
a<0时略
（2）求给定区间上函数的最值
①，由图像可知，在上单调递增，故，

②，由图像可知，，
规范解答
解：，令=0，则， 或
a>0时，x变化时，与的变化情况如下：
-1 1 1.5
+ 0 — 0
-23a 5a
所以，=5a，=-23a注意比较两个表有什么不同
a<0时略
③，由图像可知，，
④，由图像可知，，
例2 已知函数值，求的单调区间．
【分析】，导函数是一个二次函数，可画出图像．
面临问题：通过令=0可得到，知道开口方向，但两根在画图时哪个在左，哪个在右不清楚，故需分 三种情况讨论．
以a>1为例，


规范解答
解：
令=0，则， 或
当a>1时，x变化时，与的变化情况如下：
1 a
+ 0 — 0 +

所以，的单调递增区间为，，的单调递减区间为．
当a=0时，，故的单调递增区间为．
当a<0时，x变化时，与的变化情况如下：
a 1
— 0 + 0 —

所以，的单调递增区间为，，的单调递减区间为．
综上，当a>1时，的单调递增区间为，，的单调递减区间为．
当a=0时，，故的单调递增区间为．
当a<0时，的单调递增区间为，，的单调递减区间为．
（一般最后要有一个总结）
例3 已知a是实数，函数．求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
【分析】，由例2可知，画出的图像关键是搞清与0的大小关系，一般比较大小可以用作差法，所以分三种情况，化简也就是三种情况：
（1）当时，


最值的关键在于找准区间端点在图像上的位置，0很容易找，面临问题，2在哪里？很显然，2在0的右侧，当2从0处往右移动时，注意图中红线作用，（这个一般要通过解方程解出与等高的位置），结合下图可知，

当2介于（0，a）之间时，处的函数值最大，当2>a时，处的函数值最大．
综上可以看出，画图像时a要和0比较大小（确定两根左右），标注区间时a要和2比较大小（确定哪里最高），故可分与两种情况讨论．
（2）当时，，当[0,2]时，，在[0,2]单调递增，故
（3）当时，


由图可知，当[0,2]时，在[0,2]单调递增，故
规范解答
解：，令=0，则， 或
当时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而；
当时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，由于， 故
当时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，由于，故
综上所述， ．
注意：初学者直接看答案很难看懂，这说明对题目的分析才是理解分类标准的重要内容，后面的分类是根据分析得出的一个综合内容．

展开更多......

收起↑