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高三一轮模拟试题荟萃 考点11函数的应用
一、选择题
1．(2018·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
2．(2018·德阳一诊)某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝p0，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p(60)＝(　　)
A．150毫克/升 B．300毫克/升
C．150ln 2毫克/升 D．300ln 2毫克/升
3．(2018·湖北武汉质检)某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车P从点A出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点A开始随小车P变化的视角为θ＝∠AOP，练车时间为t，则函数θ＝f(t)的图象大致为(　　)



4．(2018·河南洛阳调研)一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠卷，每张优惠卷只能购买一件商品，根据购买商品的标价，三张优惠券优惠方式不同，具体如下：
优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%．
优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元．
优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%．
若该顾客购买某商品使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为(　　)
A．179元 B．199元 C．219元 D．239元
5．(2018·江西4月模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是B1C的中点，动点M在其表面上运动，且与平面A1DC1的距离保持不变，运行轨迹为S，M从P点出发，绕其轨迹运行一周的过程中，运动的路程x与l＝MA1＋MC1＋MD之间满足函数关系l＝f(x)，则此函数图象大致是(　　)



二、填空题
6．(2018·广东广州调研)某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系式t＝，且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时．已知甲在某日10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：

①该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时；
②当x∈[－6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少；
③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；
④到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间．
其中，所有正确结论的序号是________．
三、解答题
7．(2018·安徽六校联考)随着新能源的发展，电动汽车在全社会逐渐普及，据某报记者了解，某市电动汽车国际示范区运营服务公司逐步建立了全市乃至全国的分时租赁服务体系，为电动汽车分时租赁在全国的推广提供了可复制的市场化运营模式．现假设该公司有750辆电动汽车供租赁使用，管理这些电动汽车的费用是每日1725元．调查发现，若每辆电动汽车的日租金不超过90元，则电动汽车可以全部租出；若超过90元，则每超过1元，租不出的电动汽车就增加3辆．设每辆电动汽车的日租金为x(单位：元)(60≤x≤300，x∈N*)，用y(单位：元)表示出租电动汽车的日净收入(日净收入等于日出租电动汽车的总收入减去日管理费用)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时，才能使日净收入最多？











8．(2018·福建厦门质检)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．
(1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？






9．(2018·河北衡水中学调研)已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元，设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．











10．(2018·湖北荆州一模)某市环保研究所对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝·|－a|＋，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，]．
(1)令t(x)＝，x∈[0，24]，求t(x)的最值；
(2)若用每天的f(x)的最大值作为当天的综合污染指数，市政府规定：每天的综合污染指数不得超过2．试问目前市中心的综合污染指数是否超标？









参考答案
1. 答案：　C
解析：　设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n(n∈N*)个“半衰期”后的含量为（）n，由（）n＜得n≥10．所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C．
2. 答案：　C
解析：　因为当t∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝，所以p0＝600ln 2，因为p(t)＝p0，所以p(60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升)．
3. 答案：　D
解析：　根据小车P从点A出发的运动轨迹可得，视角θ＝∠AOP的值先是匀速增大，然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大，故选D．
4. 答案：　C
解析：　因为使用优惠券1比优惠券2减免的多，所以他购买的商品的标价超过200元．如果他购买的商品的标价为219元，那么使用优惠券1可以减免21．9元，使用优惠券2可以减免20元，使用优惠券3可以减免21．42元；如果标价为239元，那么使用优惠券1可以减免23．9元，使用优惠券2可以减免20元，使用优惠券3可以减免25．02元，不满足题意．故选C．
5. 答案：　D
解析：　连接AB1，AC．
由题意可知点M的运行轨迹是△B1AC，不妨设M从P点出发，沿P→C→A→B1→P运行，设AC的中点为Q，AB1的中点为R．可知M从P运行到C的过程中，MA1＋MD从小变大，且MC1从小变大，即l从小变大，同理可知M从C到Q，l从大变小；M从Q到A，l从小变大；M从A到R，l从大变小；M从R到B1，l从小变大；M从B1到P，l从大变小．故选D．
6. 答案：　①④
解析：　∵某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系式t＝，且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时，∴24k＋6＝16，
即4k＋6＝4，解得k＝－，∴t＝，①当x＝6时，t＝8，故①正确；②当x∈[－6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x∈(0，6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少，故②错误；③此日10时，温度为8 ℃，此时保鲜时间为4小时，而随着时间的推移，到11时，温度为11 ℃，此时的保鲜时间t＝2－×11＋6＝≈1．414(小时)，到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故③错误；④由③可知，到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间，故④正确．故正确结论的序号为①④．
7. 解析：　(1)当60≤x≤90，x∈N*时，y＝750x－1725；当90故f(x)＝
(2)对于y＝750x－1725，60≤x≤90，x∈N*，
∵y在[60，90](x∈N*)上单调递增，
∴当x＝90时，ymax＝65775．
对于y＝－3x2＋1020x－1725＝－3(x－170)2＋84975，90当x＝170时，ymax＝84975．
84975>65775，故当每辆电动汽车的日租金为170元时，日净收入最多．
8. 解析：　(1)由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，
∴f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277．5(万元)．
(2)f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，
依题意得
故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．
令t＝，则t∈[2，6]，y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，
当t＝8，即x＝128时，f(x)取得最大值，f(x)max＝282．
所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．
9. 解析：　(1)当0W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40，
当x>40时，
W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋8360．
所以W＝
(2)①当0所以Wmax＝W(32)＝6104；
②当x>40时，W＝－－16x＋8360，
由于＋16x≥2＝1600；
当且仅当＝16x，即x＝50时取等号，
此时Wmax＝－1600＋8360＝6760，
综合①②知，
当x＝50时，W取得最大值6760万元．
10. 解析：　(1)由t(x)＝，x∈[0，24]，
得t′(x)＝，x∈[0，24]，
令t′(x)≥0，得(x＋2)(x－2)≤0，则0≤x≤2，
令t′(x)<0，得(x＋2)(x－2)>0，则x>2，
∴t(x)在[0，2]上递增，在(2，＋∞)上递减，
又t(0)＝0，t(2)＝，t→＋∞时，t(x)→0，
∴t(x)min＝t(0)＝0，t(x)max＝t(2)＝．
(2)令t＝，则由x∈[0，24]，得t∈[0，]，
令g(t)＝f(x)＝t·|t－a|＋，t∈[0，]，
则g(t)＝
∵g(t)在（0，]和（a，]上递增，在（，a）上递减，
且g（）＝＋，g()＝1－，
g（）－g()＝＋－，
令＋－≥0，
得－1≤a≤；
令＋－<0，
得0≤a<－1，
∴f(x)max＝
∴f(x)max≤1，
∴目前市中心的综合污染指数没有超标．

高三一轮模拟试题荟萃 考点12指数与指数函数
一、选择题
1．(2019·湖南衡阳三中月考)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－2，1) B．(－4，3)
C．(－3，4) D．(－1，2)
2．(2018·河南安阳月考)化简 (a>0，b>0)的结果是(　　)
A． B．ab C．a2b D．
3．(2018·福建厦门第一次质量检查)已知a＝（）0．3，b＝，c＝ab，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a4．(2018·河南八市第一次测评)设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0．2与N＝（）0．1的大小关系是(　　)
A．M＝N B．M≤N C．MN
5．(2018·湖南郴州第二次教学质量检测)已知函数f(x)＝ex－，其中e是自然对数的底数，则关于x的不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集为(　　)
A．（－∞，－）∪(2，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．（－∞，）∪(2，＋∞)
D．(－∞，2)
二、填空题
6．(2019·贵阳监测)已知函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)满足f(1)>1，若函数g(x)＝f(x＋1)－4的图象不过第二象限，则a的取值范围是____________．
7．(2018·湖南益阳4月调研)已知函数f(x)＝(a∈R)的图象关于点（0，）对称，则a＝________．
8．(2018·浙江丽水月考)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
二、解答题
9．(2019·巴蜀中学月考)已知f(x)＝.
(1)求f(x)＋f(1－x)的值；
(2)求f ＋f ＋f ＋…＋f 的值．








10．(2018·河北石家庄二中调研)已知函数f(x)＝ax，a为常数，且函数的图象过点(－1，2)．
(1)求a的值；
(2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值．






11．(2018·河南新乡月考)已知函数f(x)＝a3－ax(a>0且a≠1)．
(1)当a＝2时，f(x)<4，求x的取值范围；
(2)若f(x)在[0，1]上的最小值大于1，求a的取值范围．









12．(2018·江西九江月考)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．
(1)试确定f(x)；
(2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．








13．(2018·湖南衡阳八中月考)已知函数f(x)＝ex＋a·e－x，x∈R．
(1)当a＝1时，证明f(x)为偶函数；
(2)若f(x)在[0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(3)若a＝1，求实数m的取值范围，使m[f(2x)＋2]≥f(x)＋1在R上恒成立．


参考答案
1. 答案：选D
解析：(m2－m)·4x－2x<0在(－∞，－1]上恒成立，所以m2－m<在x∈(－∞，－1]上恒成立．因为y＝在(－∞，－1]上单调递减，所以当x∈(－∞，－1]时，y＝≥2，所以m2－m<2，所以－12. 答案：　D
解析：　原式＝ ．故选D．
3. 答案：　B
解析：　∵a＝（）0．3<1，b＝>＝1，
∴a且y＝x0．3在(0，＋∞)上单调递增，∴a>c，∴c4. 答案：　D
解析：　因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a>2，所以M＝(a－1)0．2>1，N＝（）0．1<1，所以M>N，故选D．
5. 答案：　B
解析：　函数f(x)＝ex－的定义域为R，
∵f(－x)＝e－x－＝－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，那么不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0等价于f(2x－1)>－f(－x－1)＝f(1＋x)，易证f(x)是R上的递增函数，∴2x－1>x＋1，解得x>2，∴不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集为(2，＋∞)，故选B．
6. 答案：(2，5]
解析：因为f(1)>1，所以a－1>1，即a>2.因为函数g(x)＝f(x＋1)－4的图象不过第二象限，所以g(0)＝a1－1－4≤0，所以a≤5，所以a的取值范围是(2，5]．
7. 答案：　1
解析：　由已知，得f(x)＋f(－x)＝1，即＋＝1，
整理得(a－1)[22x＋(a－1)·2x＋1]＝0，
当a－1＝0，即a＝1时，等式成立．
8. 答案：　(－1，2)
解析：　原不等式变形为m2－m∵函数y＝x在(－∞，－1]上是减函数，
∴x≥－1＝2，
当x∈(－∞，－1]时，m2－m9. 解析： (1)因为f(x)＝＝＝＝＝1－，f(1－x)＝＝＝，所以f(x)＋f(1－x)＝1.
(2)f ＋f ＋f ＋f ＋…＋f ＝＋＋…＋＝500.
10. 解析：　(1)由已知得－a＝2，解得a＝1．
(2)由(1)知f(x)＝x，
又g(x)＝f(x)，则4－x－2＝x，即x－x－2＝0，即2－x－2＝0，令x＝t，
则t>0，t2－t－2＝0，即(t－2)(t＋1)＝0，
又t>0，故t＝2，即x＝2，解得x＝－1，故满足条件的x的值为－1．
11. 解析：　(1)当a＝2时，f(x)＝23－2x<4＝22，
3－2x<2，得x>．
(2)y＝3－ax在定义域内单调递减，
当a>1时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，
f(x)min＝f(1)＝a3－a>1＝a0，得1当0f(x)min＝f(0)＝a3>1，不成立．所以112. 解析：　(1)∵f(x)＝b·ax的图象过点A(1，6)，B(3，24)，
∴　
②÷①得a2＝4．
又a>0，且a≠1，∴a＝2，b＝3，
∴f(x)＝3·2x．
(2)由(1)知x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立转化为m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝x＋x，
则g(x)在(－∞，1]上单调递减，
∴m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝．
故所求实数m的取值范围是．
13. 解析：　(1)证明：当a＝1时，f(x)＝ex＋e－x，定义域(－∞，＋∞)关于原点对称，而f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(2)设x1，x2∈[0，＋∞)且x1则f(x1)－f(x2)＝＋－(＋)＝．
因为x1－<0，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以f(x1)所以>0恒成立，即a<对任意的0≤x1∴a≤1．故实数a的取值范围为(－∞，1]．
(3)由(1)(2)知函数f(x)＝ex＋e－x在(－∞，0]上递减，在[0，＋∞)上递增，所以其最小值f(0)＝2，
且f(2x)＝e2x＋e－2x＝(ex＋e－x)2－2，
设t＝ex＋e－x，则t∈[2，＋∞)，∈(0，]，
则不等式m[f(2x)＋2]≥f(x)＋1恒成立，等价于m·t2≥t＋1，即m≥恒成立，
而＝＋＝(＋)2－，
当且仅当＝，即t＝2时取得最大值，
故m≥．因此实数m的取值范围为[，＋∞)．

高三一轮模拟试题荟萃 考点13对数与对数函数
一、选择题
1．(2019·衡阳四中月考)若函数y＝(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则loga＋loga＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(2019·肇庆二模)已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，则(　　)
A．f(x)是奇函数，且在(0，10)上是增函数
B．f(x)是偶函数，且在(0，10)上是增函数
C．f(x)是奇函数，且在(0，10)上是减函数
D．f(x)是偶函数，且在(0，10)上是减函数
3．(2019·新乡一模)若log2(log3a)＝log3(log4b)＝log4(log2c)＝1，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．b＞c＞a
4．(2019·郑州模拟)设a＝log50.5，b＝log20.3，c＝log0.32，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．b＜a＜c B．b＜c＜a
C．c＜b＜a D．a＜b＜c
5．(2019·长春模拟)已知对数函数f(x)＝logax是增函数，则函数f(|x|＋1)的图象大致是(　　)

6．(2019·衡阳八中月考)f(x)＝xα满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|logα(x＋1)|的图象大致为(　　)



7．(2019·临汾三模)已知函数f(x)＝|ln x|，若f(m)＝f(n)(m>n>0)，则＋＝(　　)
A. B．1 C．2 D．4
8．(2018·江西新课程教学质量监测)若lg 2，lg (2x＋1)，lg (2x＋5)成等差数列，则x的值等于(　　)
A．1 B．0或 C． D．log23
9．(2018·安徽皖西高中教学联盟期末)计算log29×log34＋2log510＋log50．25＝(　　)
A．0 B．2 C．4 D．6
10．(2018·齐鲁名校教科研协作体模拟)已知a＝2－，b＝log2，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
11．(2018·湖南张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax，g(x)＝loga(x＋2)(a>0，且a≠1)的图象大致为(　　)

12．(2018·河南普通高中毕业班4月高考适应性考试)已知函数f(x)＝log0．5(sinx＋cos2x－1)，x∈（0，），则f(x)的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．(－∞，－2]
C．[2，＋∞) D．[－2，＋∞)
二、填空题
13．(2019·湛江模拟)已知loga＜1，那么a的取值范围是________．
14．(2019·成都七中检测)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________．
15．(2018·郑州月考)已知2x＝72y＝A，且＋＝2，则A的值是________．
三、解答题

16．(2019·菏泽一中阶段检测)已知x，y，z均为正数，且2x＝4y＝6z.
(1)证明：＋>；
(2)若z＝log64，求x，y的值，并比较2x，3y，4z的大小．








17．(2018·辽宁抚顺月考)已知函数y＝f(x)＝log3(9x)·log3(3x)，x∈．
(1)若t＝log3x，求t的取值范围；
(2)求f(x)的最值及取得最值时对应的x的值．






18．(2018·浙江宁波九校第一学期联考)已知函数f(x)＝log2(2－x)－log2(x＋2)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并加以证明；
(3)若f(x)









19．(2018·广东深圳调研)已知函数f(x)＝－x＋log2．
(1)求f＋f的值；
(2)当x∈(－a，a]，其中a∈(0，1)，a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由．








20．(2018·河北石家庄二中模拟)已知函数f(x)＝log2(1＋2x＋1＋4xa)＋bx(a，b∈R)．
(1)若a＝1，且f(x)是偶函数，求b的值；
(2)若f(x)在(－∞，－1)上有意义，求实数a的取值范围；
(3)若a＝4，且A＝{x|f(x)＝(b＋1)(x＋1)}＝?，求实数b的取值范围．










参考答案
1. 答案：C
解析：由题意可得a－ax≥0，ax≤a，定义域为[0，1]，所以a>1，
y＝在定义域为[0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f(0)＝＝1，f(1)＝0，
所以a＝2，所以loga＋loga＝log2＋log2＝log28＝3.
2. 答案：D
解析：由得x∈(－10，10)，且f(x)＝lg(100－x2)．
所以f(x)是偶函数．
又t＝100－x2在(0，10)上递减，y＝lg t在(0，＋∞)上递增，故函数f(x)在(0，10)上递减．
3. 答案：D
解析：选D　由log2(log3a)＝1，可得log3a＝2，故a＝32＝9；由log3(log4b)＝1，可得log4b＝3，故b＝43＝64；由log4(log2c)＝1，可得log2c＝4，故c＝24＝16.∴b＞c＞a.故选D.
4. 答案：B
解析： a＝log50.5＞log50.2＝－1，b＝log20.3＜log20.5＝－1，c＝log0.32＞log0.3＝－1，log0.32＝，log50.5＝＝＝.∵－1＜lg 0.2＜lg 0.3＜0，∴＜，即c＜a，故b＜c＜a.故选B.
5. 答案：B
解析：选B　由函数f(x)＝logax是增函数知，a＞1.
f(|x|＋1)＝loga(|x|＋1)＝，由对数函数图象知选B.
6. 答案：C
解析：由f(2)＝2α＝4，得α＝2.所以g(x)＝|log2(x＋1)|，则g(x)的图象由y＝|log2x|的图象向左平移一个单位得到，C满足．
7. 答案：C
解析：函数f(x)＝|ln x|的图象如图所示：

由f(m)＝f(n)，m>n>0，可知m>1>n>0，
所以ln m＝－ln n，则mn＝1.
所以＋＝＝＝2.
8. 答案：　D
解析：　由题意知lg 2＋lg (2x＋5)＝2lg (2x＋1)，
2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x)2－9＝0，2x＝3，x＝log23．故选D．
9. 答案：　D
解析：　由对数的运算公式和换底公式可得：
log29×log34＋2log510＋log50．25＝2log23×＋log5(102×0．25)＝4＋2＝6．故选D．
10. 答案：　D
解析：　∵a＝2－∈(0，1)，b＝log2<0，c＝＝log23>1，∴c>a>b，故选D．
11. 答案：　A
解析：　由题意，知函数f(x)＝2－ax(a>0，且a≠1)为单调递减函数，当02，且函数g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上为单调递减函数；当a>1时，函数f(x)＝2－ax的零点x＝<2，且函数g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上为单调递增函数．综上，选A．
12. 答案：　C
解析：　设g(x)＝sinx＋cos2x－1＝sinx＋1－sin2x－1＝－sin2x＋sinx，x∈（0，），
∵0∵二次函数g(x)＝－sin2x＋sinx图象的对称轴为－＝，
∴sinx＝时，g(x)取得最大值，为，
∴0∴log0．5g(x)≥log0．5＝＝2，
∴f(x)的取值范围是[2，＋∞)，故选C．
13. 答案：∪(1，＋∞)
解析：∵loga＜1＝logaa，故当0＜a＜1时，y＝logax为减函数，0＜a＜；当a＞1时，y＝logax为增函数，a＞，∴a＞1.综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞)．
14. 答案：4　2
解析：设logba＝t，则t>1，因为t＋＝，
所以t＝2，则a＝b2.
又ab＝ba，所以b2b＝bb2，
即2b＝b2，解得b＝2，a＝4.
15. 答案：7
解析：由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝log7A，则＋＝＋＝logA2＋2logA7＝logA98＝2，A2＝98.
又A＞0，故A＝＝7.
16. 解析：(1)证明：令2x＝4y＝6z＝k>1，则x＝log2k，y＝log4k，z＝log6k，
所以＋＝logk2＋logk4＝logk8，＝logk6.
因为k>1，所以logk8>logk6，所以＋>.
(2)解：因为z＝log64，所以6z＝4，
所以x＝2，y＝1，
所以4z＝log644＝log6256.
又63<256<64，则3故3y<4z<2x.
17. 解析：　(1)由t＝log3x，x∈，解得－2≤t≤2．
∴t的取值范围为[－2，2]．
(2)f(x)＝(log3x)2＋3log3x＋2，
令t＝log3x，则y＝t2＋3t＋2＝2－，t∈[－2，2]．
当t＝－，即log3x＝－，即x＝时，f(x)min＝－；
当t＝2，即log3x＝2，即x＝9时，f(x)max＝12．
18. 解析：　(1)由得－2(2)由(1)的结论可知f(x)的定义域关于原点对称，又因为f(－x)＝log2(2＋x)－log2(－x＋2)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(3)由f(x)＝log2(2－x)－log2(x＋2)得h(x)＝ax2＋(2a＋1)x－2>0在x∈[，1]上恒成立，
又因为a>0，对称轴为x＝<0，
由图象可得h()＝－>0，得a>．
19. 解析：　(1)由f(x)＋f(－x)＝log2＋log2＝log21＝0，∴f＋f＝0．
(2)f(x)的定义域为(－1，1)，
∵f(x)＝－x＋log2，
当x∈(－1，1)时，f(x)为减函数，
∴当a∈(0，1)，x∈(－a，a]时f(x)单调递减．
∴当x＝a时，f(x)min＝－a＋log2．
20. 解析：　(1)当a＝1时，f(x)＝log2(1＋2x＋1＋4x)＋bx＝2log2(1＋2x)＋bx．
又f(x)是偶函数，则f(x)－f(－x)＝0，
即2log2＋2bx＝0，
即2x＋2bx＝0，所以b＝－1．
(2)f(x)在(－∞，－1)上有意义，则对任意的x∈(－∞，－1)，1＋2x＋1＋4xa>0恒成立，
即对任意的x∈(－∞，－1)，a>－()x－()x－1恒成立．
设g(x)＝－()x－()x－1，由指数函数的单调性易得g(x)在(－∞，－1)上是增函数，
所以g(x)由a>g(x)对任意的x∈(－∞，－1)恒成立，得a≥－8，即实数a的取值范围是[－8，＋∞)．
(3)当a＝4时，f(x)＝(b＋1)(x＋1)?log2(1＋2x＋1＋4x＋1)－x＝b＋1?log2＋2x＋2＋2＝b＋1．
由A＝?，可得方程log2＋2x＋2＋2＝b＋1无实根．
因为＋2x＋2＋2≥2＋2＝6，所以log2＋2x＋2＋2≥log26，
所以当b＋1故实数b的取值范围是(－∞，log23)．
高三一轮模拟试题荟萃 考点14任意角和弧度制、任意角的三角函数
一、选择题
1．(2019·南昌二中模拟)已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于(　　)
A．sin 2 B．－sin 2
C．cos 2 D．－cos 2
2．(2019·长春模拟)已知α，β是第一象限角，且sin α>sin β，则(　　)
A．α>β B．α<β
C．cos α>cos β D．tan α>tan β
3．(2019·洛阳阶段性测试)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P(3,4)，则sin＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
4．(2018·莆田二十四中月考)一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
5．(2018·大同调研)已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M(－3，4)，则cos2θ－sin2θ＋tanθ的值为(　　)
A．－ B． C．－ D．
6．(2018·济南模拟)已知sinθ－cosθ>1，则角θ的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．(2018·湖北三校联考)已知角x的终边上一点的坐标为，则角x的最小正值为(　　)
A． B． C． D．
8．(2018·唐山模拟)在平面直角坐标系中，点M(3，m)在角α的终边上，点N(2m，4)在角α＋的终边上，则m＝(　　)
A．－6或1 B．－1或6
C．6 D．1
9．(2018·福州一模)已知A(xA，yA)是单位圆(圆心在坐标原点O)上任意一点，将射线OA绕O点逆时针旋转30°，交单位圆于点B(xB，yB)，则xA－yB的取值范围是(　　)
A．[－2，2] B．[－，]
C．[－1，1] D．－，
二、填空题
10．(2018·江西鹰潭期中)将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是________．
11．(2018·山东泰安月考)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为________．
三、解答题
12．(2019·齐齐哈尔八中月考)已知角α的顶点在坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边上有一点P(3a,4a)，其中a≠0，求sin α，cos α，tan α.








13．(2018·福建龙岩月考)已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x．求sinα＋的值．













14．(2018·安徽芜湖月考) 如图所示，动点P，Q从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求点P，点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长．









15．(2018·河北冀州调研)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A(x1，y1)，α∈．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B(x2，y2)．

(1)若x1＝，求x2；
(2)过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值．



参考答案
1. 答案：D
解析：因为r＝＝2，由任意角的三角函数的定义，得sin α＝＝－cos 2.
2. 答案：D
解析： 因为α，β是第一象限角，所以sin α>0，sin β>0，又sin α>sin β，所以sin2α>sin2β>0，所以1－cos2α>1－cos2β，所以cos2α>0，所以tan2α>tan2β，因为tan α>0，tan β>0，所以tan α>tan β.故选D.
3. 答案：C
解析：∵角α的终边经过点P(3,4)，∴sin α＝，cos α＝.∴sin＝sinα－＋＝sinα＋＝cos α＝.故选C.
4. 答案：C
解析：设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R.由题意得解得θ＝3，即扇形的圆心角的弧度数是3.故选C.
5. 答案：　A
解析：　由已知得|OM|＝5，因而cosθ＝－，sinθ＝，tanθ＝－，则cos2θ－sin2θ＋tanθ＝－－＝－．故选A．
6. 答案：　B
解析：　由已知得(sinθ－cosθ)2>1，即1－2sinθcosθ>1，sinθcosθ<0，又sinθ>cosθ，所以sinθ>0>cosθ，所以角θ的终边在第二象限．故选B．
7. 答案：　B
解析：　∵sin＝，cos＝－，∴角x的终边经过点，tanx＝－，∴x＝2kπ＋，k∈Z，∴角x的最小正值为．(也可用同角基本关系式tanx＝得出．)故选B．
8. 答案：　A
解析：　由题意得，tanα＝，tanα＋＝＝，
∴＝，∴m＝－6或1，故选A．
9. 答案：　C
解析：　设x轴正方向逆时针到射线OA的角为α，根据三角函数的定义得xA＝cosα，yB＝sin(α＋30°)，所以xA－yB＝cosα－sin(α＋30°)＝－sinα＋cosα＝sin(α＋150°)∈[－1，1]．故选C．
10. 答案：　
解析：　一个周角是2π，因此分针10分钟转过的角的弧度数为×2π＝．
11. 答案：　
解析：　设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝αr，所以α＝．
12. 解析：设r＝|OP|＝＝5|a|.当a>0时，r＝5a，∴sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝；当a<0时，r＝－5a，∴sin α＝－，cos α＝－，tan α＝.综上可知，sin α＝，cos α＝，tan α＝或sin α＝－，cos α＝－，tan α＝.
13. 解析：　∵P(x，－)(x≠0)，
∴点P到原点的距离r＝．
又cosα＝x，∴cosα＝＝x．
∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2．
当x＝时，P点坐标为(，－)，
由三角函数的定义，有sinα＝－，＝－，
∴sinα＋＝－－＝－；
当x＝－时，同样可求得sinα＋＝．
14. 解析：　设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，
则t·＋t·＝2π．
所以t＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．
设第一次相遇点为C，第一次相遇时P点已运动到终边在×4＝的位置，
则xC＝－cos×4＝－2，yC＝－sin×4＝－2．
所以C点的坐标为(－2，－2)．
P点走过的弧长为×4＝，
Q点走过的弧长为×4＝．
15. 解析：　(1)因为x1＝，y1>0，所以y1＝＝，
所以sinα＝，cosα＝，
所以x2＝cos＝cosαcos－sinαsin＝－．
(2)S1＝sinαcosα＝sin2α．因为α∈，
所以α＋∈，
所以S2＝－sincos
＝－sin＝－cos2α．
因为S1＝S2，
所以sin2α＝－cos2α，即tan2α＝－，
所以＝－，解得tanα＝2或tanα＝－．
因为α∈，所以tanα＝2．

高三一轮模拟试题荟萃 考点15同角三角函数的基本关系及诱导公式
一、选择题
1．(2019·辽宁五校联考)sin 1 470°＝(　　)
A.　　 B.
C．－ D．－
2．(2019·贵阳模拟)已知f(x)＝tan x＋，则f的值为(　　)
A．2 B.
C．2 D．4
3．(2019·山西晋城一模)若|sin θ|＋|cos θ|＝，则sin4θ＋cos4θ＝(　　)
A. B.
C. D.
4．(2019·安徽皖南八校第二次联考)已知θ∈，且＋＝35，则tan θ＝(　　)
A. B.
C．± D.或
5．(2019·河北衡水模拟)已知θ为直线y＝3x－5的倾斜角，若A(cos θ，sin θ)，B(2cos θ＋sin θ，5cos θ－sin θ)，则直线AB的斜率为(　　)
A．3 B．－4
C. D．－
6．(2018·南昌摸底)已知sinθ＝，θ∈，π，则tanθ＝(　　)
A．－2 B．－ C．－ D．－
7．(2018·河北邯郸第一次模拟)若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，α，β∈0，，则＝(　　)
A．2 B． C．3 D．
8．(2018·咸阳月考)已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2018)的值为(　　)
A．－1 B．1 C．3 D．－3
9．(2018·广州模拟)已知cos＋α＝，且－π<α<－，则cos－α＝(　　)
A． B． C．－ D．－
10．(2018·绵阳诊断)已知2sinα＝1＋cosα，则tanα的值为(　　)
A．－ B． C．－或0 D．或0
11．(2018·福建四地六校联考)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是(　　)
A． B． C． D．
12．(2018·沈阳质检一)已知tanθ＝2，则＋sin2θ的值为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
13．(2019·安徽五校联盟第二次质检)若α是锐角，且cos＝，则cos＝________．
14．(2019·兰州市诊断考试)已知sin α＋cos α＝，sin α>cos α，则tan α＝________．
15．(2019·河南安阳一模)若＝3，则cos α－2sin α＝________．
16．(2018·湖北武汉调研)若tanα＝cosα，则＋cos4α＝________．
三、解答题
17．(2019·河北衡水武邑中学调考)已知sinα＝，求tan(α＋π)＋的值．







18．(2018·河北唐山一中月考)已知＝－1，求下列各式的值：
(1)；
(2)1－3sinαcosα＋3cos2α．








19．(2018·吉林长春月考)已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两个根为sinθ和cosθ，θ∈(0，2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及θ的值．

















20．(2018·河南洛阳一中调研)已知－<α<0，且函数f(α)＝cos－sinα－1．
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，求sinαcosα和sinα－cosα的值．










21．(2018·四川宜宾月考)是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．










参考答案
1. 答案：B
解析：sin 1 470°＝sin(1 440°＋30°)＝sin(360°×4＋30°)＝sin 30°＝，故选B.
2. 答案：D
解析：因为f(x)＝tan x＋＝＋＝＝，所以f＝＝4，故选D.
3. 答案：B
解析：.|sin θ|＋|cos θ|＝，两边平方得，1＋|sin 2θ|＝，所以|sin 2θ|＝，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－sin2 2θ＝1－×＝，故选B.
4. 答案：D
解析：依题意得12(sin θ＋cos θ)＝35sin θcos θ，令sin θ＋cos θ＝t，因为θ∈，所以t>0，则原式化为12t＝35·，解得t＝，故sin θ＋cos θ＝，则sin θcos θ＝，即＝，即＝，12tan2θ－25tan θ＋12＝0，解得tan θ＝或.
5. 答案：D
解析：由题意知tan θ＝3，kAB＝＝＝－.故选D.
6. 答案：　C
解析：　因为θ∈，π，所以cosθ<0，tanθ<0，又sinθ＝，则cosθ＝－＝－，进而有tanθ＝＝－，故选C．
7. 答案：　A
解析：　∵sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，∴sinαcosβ＝2cosαsinβ，∴tanα＝2tanβ，即＝2，故选A．
8. 答案：　C
解析：　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，∴f(2018)＝asin(2018π＋α)＋bcos(2018π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3．故选C．
9. 答案：　D
解析：　因为＋α＋－α＝，所以cos－α＝sin－－α＝sin＋α．因为－π<α<－，所以－<α＋<－．又cos＋α＝>0，所以－<α＋<－，所以sin＋α＝
－＝－＝－．故选D．
10. 答案：　D
解析：　由2sinα＝1＋cosα得sinα≥0，且4sin2α＝1＋2cosα＋cos2α，因而5cos2α＋2cosα－3＝0，解得cosα＝或cosα＝－1，那么tanα＝或0，故选D．
11. 答案：　C
解析：　由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝0，可解得tanα＝3，又α为锐角，故sinα＝．故选C．
12. 答案：　C
解析：　原式＝1＋＋＝1＋＋＝＋＝．故选C．
13. 答案：
解析：因为0<α<，所以<α＋<，
又cos＝，所以sin＝，
则cos＝sin α＝sin＝
sincos－cossin＝×－×＝.
14. 答案：
解析：法一：由题意，将已知等式两边平方并化简可得
sin αcos α＝，
因为sin α>cos α，sin2 α＋cos2α＝1,
所以sin α＝，cos α＝，所以tan α＝.
法二：由题意，将已知等式两边平方并化简可得sin αcos α＝，所以＝＝，即12tan2α－25tan α＋12＝0，解得tan α＝或tan α＝，因为sin α>cos α，所以tan α＝.
15. 答案：－
解析：由已知得sin α≠0，且3sin α＝1＋cos α>0，即cos α＝3sin α－1，则cos2α＝1－sin2α＝(3sin α－1)2，解得sin α＝，所以cos α－2sin α＝3sin α－1－2sin α＝sin α－1＝－.
16. 答案：　2
解析：　解法一：∵tanα＝cosα，∴＝cosα，∴sinα＝cos2α，∴＋cos4α＝＋sin2α＝＋sin2α＝tan2α＋1＋sin2α＝cos2α＋1＋sin2α＝2．
解法二：∵tanα＝cosα，∴＝cosα，∴sinα＝cos2α＝1－sin2α，即sin2α＋sinα－1＝0，解得sinα＝或sinα＝(舍去)．∴cos2α＝，∴＋cos4α＝＋(cos2α)2＝＋2＝＋＝2．
17. 解析：tan(α＋π)＋＝tanα＋
＝＋＝.
∵sinα＝>0，
∴α为第一或第二象限角．
当α为第一象限角时，cosα＝＝，则原式＝＝；
当α为第二象限角时，cosα＝－＝－，则原式＝＝－.
18. 解析：　由＝－1，得tanα＝3．
(1)＝＝－．
(2)1－3sinαcosα＋3cos2α
＝
＝
＝
＝＝．
19. 解析：　(1)
＋＝＋
＝＝sinθ＋cosθ＝．
(2)将①式两边平方得1＋2sinθcosθ＝．
∴sinθcosθ＝．
由②式得＝，∴m＝．
(3)由(2)可知原方程变为
2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝．
∴或
又θ∈(0，2π)，∴θ＝或θ＝．
20. 解析：　(1)f(α)＝sinα－sinα－1
＝sinα＋sinα·－1＝sinα＋cosα．
(2)解法一：由f(α)＝sinα＋cosα＝，
两边平方可得sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝，
即2sinαcosα＝－，∴sinαcosα＝－，
∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，
又－<α<0，∴sinα<0，cosα>0，
∴sinα－cosα<0，∴sinα－cosα＝－．
解法二：联立方程
解得或
∵－<α<0，∴
∴sinαcosα＝－，sinα－cosα＝－．
21. 解析：　假设存在角α，β满足条件，
则由已知条件可得
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2．
∴sin2α＝，∴sinα＝±．
∵α∈，∴α＝±．
当α＝时，由②式知cosβ＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；
当α＝－时，由②式知cosβ＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．
∴存在α＝，β＝满足条件．

高三一轮模拟试题荟萃 考点16三角函数的图象与性质
一、选择题
1．(2019·陕西榆林质检)若函数f(x)＝sin (φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝(　　)
A． B．
C． D．
2．(2019·广东广州质检)已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于(　　)
A． B．
C．2 D．3
3．(2019·长沙模拟)函数f(x)＝|sin x|·cos x的最小正周期是(　　)
A. B．π
C. D．2π
4．(2019·山西晋城一模)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋)的图象的一个对称中心为(，0)，其中ω为常数，且ω∈(1，3)．若对任意的实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是(　　)
A．1 B.
C．2 D．π
5．(2019·广州市综合检测(一))已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是(　　)
A.　　　 B.　　　 C.　　　 D．2
6．(2018·江西六校联考)下列函数中，最小正周期是π，且在区间[，π]上是增函数的是(　　)
A．y＝sin2x B．y＝sinx
C．y＝tan D．y＝cos2x
7．(2018·昆明第二次统考)若直线x＝aπ(0＜a＜1)与函数y＝tan x的图象无公共点，则不等式tan x≥2a的解集为(　　)
A.
B.
C.
D.
8．(2018·安徽联考)已知函数y＝2cosx的定义域为[，π]，值域为[a，b]，则b－a 的值是(　　)
A．2 B．3 C．＋2 D．2－
9．(2018·福建六校联考)若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f(＋x)＝f(－x)，则f()＝(　　)
A．2或0 B．0
C．－2或0 D．－2或2
10．(2019·河北衡水中学调研)已知函数f(x)＝2msinx－ncosx，直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，则＝(　　)
A． B． C．－ D．
11．(2018·衡阳二模)已知函数f(x)＝则下列结论错误的是(　　)
A．f(x)不是周期函数
B．f(x)在－，＋∞上是增函数
C．f(x)的值域为[－1，＋∞)
D．f(x)的图象上存在不同的两点关于原点对称
12．(2018·南昌一模)已知f(x)＝cos2x＋acos(＋x)在区间(，)上是增函数，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－2，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(－∞，－4) D．(－∞，－4]
二、填空题
13．(2019·辽宁抚顺月考)若函数f(x)＝3cos(1<ω<14)的图象关于直线x＝对称，则ω＝__________.
14．(2019·石家庄模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，f＋f＝0，且f(x)在区间上单调递减，则ω＝________.
15．(2019·厦门模拟)函数y＝sin4x＋2sin xcos x－cos4x，x∈[0，π]的单调递增区间为________．
16．(2019·昆明调研)已知函数f(x)＝sin ωx的图象关于点(，0)对称，且f(x)在[0，]上为增函数，则ω＝________.
17．(2019·成都模拟)设函数f(x)＝sin(2x＋)．若x1x2<0，且f(x1)－f(x2)＝0，则|x2－x1|的取值范围为________．
三、解答题
18．(2019·山西晋中联考)设函数f(x)＝cos＋2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程；
(2)当x∈时，求f(x)的值域．








19．(2019·安徽池州一模)已知函数f(x)＝cos2ωx＋sin ωxcos ωx－(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)>，求x的取值集合．






20．(2018·福建福州月考)已知函数f(x)＝，求f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．









21．(2018·合肥质检)已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)的最小正周期为π．
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在[0，]上的单调性．







22．(2018·武汉质检)已知向量a＝(sinx，－)，b＝(1，cosx)．
(1)若a⊥b，求tan2x的值；
(2)令f(x)＝a·b，把函数f(x)的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半(纵坐标不变)，再把所得图象沿x轴向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的单调递增区间及图象的对称中心．








参考答案
1. 答案：C
解析：由f(x)＝sin 是偶函数，可得＝kπ＋，k∈Z，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝.
2. 答案：B
解析：∵ω>0，－≤x≤，∴－≤ωx≤.
由已知条件知－≤－或≥，∴ω≥.∴ω的最小值为.
3. 答案：D
解析：易知函数
f(x)＝k∈Z，
结合函数f(x)的图象，易知函数f(x)的最小正周期为2π.
4. 答案：B
解析：因为函数f(x)＝2sin(ωx＋)的图象的一个对称中心为(，0)，所以ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝3k－1，k∈Z，由ω∈(1，3)，得ω＝2.由题意得|x1－x2|的最小值为函数的半个周期，即＝＝.
5. 答案：C
解析：因为函数f(x)＝cos(ωx＋φ)是奇函数，0≤φ≤π，所以φ＝，所以f(x)＝cos＝－sin ωx，因为f(x)在 上单调递减，所以－×ω≥－且×ω ≤，解得ω≤，又ω>0，故ω的最大值为.
6. 答案：　D
解析：　y＝sin2x在区间[，π]上的单调性是先减后增；y＝sinx的最小正周期是T＝＝2π；y＝tan的最小正周期是T＝＝2π；y＝cos2x满足条件．故选D．
7. 答案：B
解析：由题意得直线x＝aπ(0＜a＜1)是正切函数的渐近线，所以x＝，即a＝，则原不等式可化为tan x≥1，所以kπ＋≤x＜kπ＋，k∈Z，故选B.
8. 答案：　B
解析：　因为函数y＝2cosx的定义域为[，π]，所以函数y＝2cosx的值域为[－2，1]，所以b－a＝1－(－2)＝3，故选B．
9. 答案：　D
解析：　由函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f(＋x)＝f(－x)，可知函数图象的一条对称轴为直线x＝×＝．根据三角函数的性质可知，当x＝时，函数取得最大值或最小值．∴f()＝2或－2．故选D．
10. 答案：　C
解析：　若x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，则x＝是函数f(x)的极值点．f′(x)＝2mcosx＋nsinx，故f′＝2mcos＋nsin＝m＋n＝0，所以＝－．故选C．
11. 答案：　D
解析：　画出f(x)的图象如下：

由图可知，A，B，C正确；对于D，当0sinx，当x≥时，－1≤sinx≤1，而x>1，所以x>sinx，所以当x>0时，y＝sinx与y＝x无交点，故f(x)的图象上不存在不同的两点关于原点对称，所以D错误．故选D．
12. 答案：　D
解析：　f(x)＝cos2x＋acos(＋x)＝1－2sin2x－asinx在(，)上是增函数，y＝sinx在(，)上单调递增，且sinx∈(，1)．令t＝sinx，t∈(，1)，则y＝－2t2－at＋1在(，1)上单调递增，则－≥1，因而a∈(－∞，－4]．故选D．
13. 答案：　3
解析：∵f(x)＝3cos(1<ω<14)的图象关于直线x＝对称，∴ω－＝kπ，k∈Z，即ω＝12k＋3，k∈Z.∵1<ω<14，∴ω＝3.
14. 答案：2
解析：因为f(x)在上单调递减，且f＋f＝0，所以f＝0，即f＝0，
因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin，
所以f＝2sin＝0，
所以ω＋＝kπ(k∈Z)，解得ω＝3k－1(k∈Z)．
又·≥－，ω＞0，
所以ω＝2.
15. 答案：，
解析：y＝sin4x＋2sin xcos x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＋sin 2x＝－cos 2x＋sin 2x＝2sin，
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
令k＝0，得－≤x≤，又0≤x≤π，所以0≤x≤；
令k＝1，得≤x≤，又0≤x≤π，所以≤x≤π，
所以函数y＝sin4x＋2sin xcos x－cos4x在[0，π]上的单调递增区间为，.
16. 答案：
解析：将点(，0)代入f(x)＝sin ωx，得sinω＝0，所以ω＝nπ，n∈Z，得ω＝n，n∈Z.设函数f(x)的最小正周期为T，因为f(x)在[0，]上为增函数，所以ω>0，≥，所以T≥π，即≥π，所以ω≤2.所以n＝1，ω＝.
17. 答案：(，＋∞)
解析：如图，画出f(x)＝sin(2x＋)的大致图象，

记M(0，)，N(，)，则|MN|＝.设点A，A′是平行于x轴的直线l与函数f(x)图象的两个交点(A，A′位于y轴两侧)，这两个点的横坐标分别记为x1，x2，结合图形可知，|x2－x1|＝|AA′|∈(|MN|，＋∞)，即|x2－x1|∈(，＋∞)．
18. 解析：　(1)f(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1－cos(2x＋π)
＝cos 2x＋sin 2x＋1＝sin＋1，
所以f(x)的最小正周期T＝π.
由2x＋＝kπ＋，k∈Z，
得对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，
所以f(x)的值域为.
19. 解析：(1)f(x)＝cos2ωx＋sin ωxcos ωx－＝(1＋cos 2ωx)＋sin 2ωx－＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝sin(2ωx＋)．因为周期为＝π，所以ω＝1，故f(x)＝sin(2x＋)．由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2)f(x)>，即sin(2x＋)>，由正弦函数的性质得＋2kπ<2x＋<＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ20. 解析：　由cos2x≠0得2x≠kπ＋，k∈Z，
解得x≠＋，k∈Z，
所以f(x)的定义域为．
因为f(x)的定义域关于原点对称，且
f(－x)＝
＝＝f(x)．
所以f(x)是偶函数．当x≠＋，k∈Z时，
f(x)＝＝
＝＝3cos2x－1．
所以f(x)的值域为．
21. 解析：　(1)∵f(x)＝sinωx－cosωx＝sin(ωx－)，且T＝π，∴ω＝2．于是f(x)＝sin(2x－)．
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
故函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．注意到x∈[0，]，令k＝0，得函数f(x)在[0，]上的单调增区间为[0，]；其单调减区间为[，]．
22. 解析：　(1)由a⊥b，可得a·b＝0，
即sinx－cosx＝0，∴tanx＝，
∴tan2x＝＝－．
(2)由(1)得f(x)＝2sinx－，
从而g(x)＝2sin2x＋，
解2k1π－≤2x＋≤2k1π＋(k1∈Z)得
k1π－≤x≤k1π＋(k1∈Z)，
∴函数y＝g(x)的单调递增区间是[k1π－，k1π＋](k1∈Z)．
由2x＋＝k2π得x＝k2π－(k2∈Z)，
∴函数y＝g(x)图象的对称中心为(k2π－，0)(k2∈Z)．

2020高三一轮模拟试题荟萃 考点17三角恒等变换
一、选择题
1．(2019·广州市调研测试)已知α为锐角，cos α＝，则tan＝(　　)
A．　　　　　　　　　　　 B．3
C．－ D．－3
2．(2019·武汉模拟)＝(　　)
A. B. C. D．1
3．(2019·临川模拟)已知cos＝，则sin的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
4．(2019·郑州模拟)已知cos＝，则cos x＋cos＝(　　)
A. B.
C. D.
5．(2019·成都模拟)已知tan α＝，tan＝，则m＝(　　)
A．－6或1 B．－1或6
C．6 D．1
6．(2019·平顶山模拟)已知sin α＝－，若＝2，则tan(α＋β)＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
7．(2019·安徽淮南一模)设α∈，β∈，且tan α＝，则下列结论中正确的是(　　)
A．α－β＝ B．α＋β＝
C．2α－β＝ D．2α＋β＝
8．(2019·绵阳中学月考)已知sin＋sin α＝，则sin＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
9．(2019·深圳中学期中)已知tan＝，且－＜α＜0，则＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．
10．(2019·六安模拟)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)
A. B.
C.或 D.或
11．(2019·河南中原名校质检)已知＋b2＝1，则|acos θ＋2bsin θ|的最大值为(　　)
A．1 B.
C．2 D．2
12．(2018·河北衡水中学测试)若α∈(，π)，且3cos2α＝sin(－α)，则sin2α的值为(　　)
A．－ B． C．－ D．
13．(2018·河南信阳一模)已知α，β均为锐角，且sinα＝，cos(α＋β)＝－，则β等于(　　)
A． B． C． D．
14．(2018·河南濮阳一模)设0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－，则sin(15°＋α)sin(75°－α)＝(　　)
A． B． C．－ D．－
15．(2018·湖南湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
16．(2018·河北、河南两省重点中学4月联考)已知atanα＋b＝(a－btanα)tanβ，且α＋与β的终边相同，则的值为(　　)
A． B． C． D．
17．(2018·湖北八校第一次联考)已知3π<θ<4π，且 ＋＝，则θ＝(　　)
A．或 B．或
C．或 D．或
二、填空题
18．(2019·青岛模拟)函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为________．
19．(2019·哈尔滨模拟)已知0＜θ＜π，tan(θ＋)＝，那么sin θ＋cos θ＝________.
三、解答题
20．(2018·咸阳质检)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．
(1)求sin2α－tanα的值；
(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的取值范围．









21．(2018·南昌调研)已知函数f(x)＝cosxsin(x＋)－sin(x＋)＋．
(1)若f＝，0<θ<，求tanθ的值；
(2)求f(x)的最小正周期及函数g(x)＝f的单调增区间．













参考答案
1. 答案：A
解析：因为α是锐角，cos α＝，所以sin α＝，所以tan α＝＝2，所以tan＝＝，故选A.
2. 答案：A
解析：原式＝＝＝＝.
3. 答案：B
解析：sin＝sin
＝cos＝cos
＝2cos2－1＝2×－1＝－.故选B.
4. 答案：D
解析：cos x＋cos＝cos＋cos＝2coscos ＝，故选D.
5. 答案：A
解析：由题意知，tan α＝，tan＝＝，则＝，∴m＝－6或1，故选A.
6. 答案：A
解析：因为sin α＝－，α∈，所以cos α＝.由＝2，得sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]，即cos(α＋β)＝sin(α＋β)，故tan(α＋β)＝.
7. 答案：A
解析：tan α＝＝＝＝＝tan.因为α∈，β＋∈，所以α＝β＋，即α－β＝.
8. 答案：A
解析：由题意得sin＋sin α＝cos α＋sin α＝sin＝，所以sin＝，所以sin＝－sin＝－.
9. 答案：A
解析：由tan＝＝得tan α＝－.又－＜α＜0，故sin α＝－.故＝＝2sin α＝－.
10. 答案：A
解析：因为α∈，β∈，所以2α∈.
又0又sin(β－α)＝，所以cos(β－α)＝－＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)
＝－×－×＝.
又α∈，β∈，
所以α＋β∈，
所以α＋β＝，故选A.
11. 答案：C
解析：由＋b2＝1得a2＋4b2＝4.由辅助角公式可得|acos θ＋2bsin θ|＝|sin(θ＋φ)|＝2|sin(θ＋φ)|，所以最大值为2.故选C.
12. 答案：　C
解析：　由3cos2α＝sin－α可得3(cos2α－sin2α)＝(cosα－sinα)，又由α∈(，π)可知cosα－sinα≠0，于是3(cosα＋sinα)＝，所以1＋2sinαcosα＝，故sin2α＝－．故选C．
13. 答案：　A
解析：　∵α为锐角且sinα＝，∴cosα＝．∵α，β均为锐角，∴0<α＋β<π．又∵cos(α＋β)＝－，
∴sin(α＋β)＝．∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝＝．又∵β为锐角，∴β＝．故选A．
14. 答案：　B
解析：　因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°．又因为sin(75°＋2α)＝－<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－．所以sin(15°＋α)sin(75°－α)＝sin(15°＋α)cos(15°＋α)＝sin(30°＋2α)＝sin[(75°＋2α)－45°]＝[sin(75°＋2α)cos45°－cos(75°＋2α)sin45°]＝×－×＋×＝，故选B．
15. 答案：　C
解析：　由sin(α＋β)＝，得sinαcosβ＋cosαsinβ＝，①
由sin(α－β)＝，得sinαcosβ－cosαsinβ＝，②
由①②可得sinαcosβ＝，cosαsinβ＝．
所以＝＝＝5．
所以＝＝4，故选C．
16. 答案：　B
解析：　已知等式可化为atanα＋b＝atanβ－btanαtanβ，即b(1＋tanαtanβ)＝a(tanβ－tanα)，∴＝＝tan(β－α)，又∵α＋与β的终边相同，即β＝2kπ＋α＋(k∈Z)，∴tan(β－α)＝tan2kπ＋＝tan＝，即＝，故选B．
17. 答案：　D
解析：　∵3π<θ<4π，∴<<2π，
∴cos>0，sin<0，
∴ ＋＝＋＝cos－sin＝cos(＋)＝，∴cos(＋)＝，∴＋＝＋2kπ，k∈Z或＋＝－＋2kπ，k∈Z，即θ＝－＋4kπ，k∈Z或θ＝－＋4kπ，k∈Z，
又∵3π<θ<4π，∴θ＝或．故选D．
18. 答案：π
解析：y＝sin 2x＋cos 2x＝2＝2sin，∴周期T＝＝π.
19. 答案：－　
解析：由tan＝＝，解得tan θ＝－，即＝－，∴cos θ＝－sin θ，
∴sin2θ＋cos2θ＝sin2θ＋sin2θ＝sin2θ＝1.
∵0＜θ＜π，∴sin θ＝，∴cos θ＝－，
∴sin θ＋cos θ＝－.
20. 解析：　(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，
∴sinα＝，cosα＝－，tanα＝－．
∴sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－＋＝－．
(2)∵f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx，x∈R，
∴g(x)＝cos－2cos2x
＝sin2x－1－cos2x＝2sin－1，
∵0≤x≤，∴－≤2x－≤．
∴－≤sin≤1，∴－2≤2sin－1≤1，
故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的取值范围是[－2，1]．
21. 解析：　f(x)＝cosx＋
＝cosx＋
＝cosx＋
＝sinxcosx－cos2x＋
＝sin2x－cos2x－＋
＝sin2x－cos2x
＝sin．
(1)由于f＝，
所以sin＝，
即cosθ＝，所以cosθ＝．
又θ∈，所以sinθ＝＝，
从而tanθ＝＝．
(2)f(x)的最小正周期T＝＝π．
又g(x)＝f＝sin
＝－sin，
令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
故g(x)的单调增区间是(k∈Z)．

2020高三一轮模拟试题荟萃 考点18函数
一、选择题
1．(2019·豫南九校联考)将函数y＝sin(x－)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位，则所得函数图象的解析式为(　　)
A．y＝sin(－) B．y＝sin(－)
C．y＝sin(－) D．y＝sin(2x－)
2．(2019·福建五校第二次联考)为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
3．(2019·广州调研)将函数y＝2sin(x＋)cos(x＋)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
4．(2019·郑州质量预测)若将函数f(x)＝sin(2x＋)图象上的每一个点都向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为(　　)
A．[kπ＋，kπ＋](k∈Z)
B．[kπ－，kπ＋](k∈Z)
C．[kπ－，kπ－](k∈Z)
D．[kπ－，kπ＋](k∈Z)
5．(2019·江西赣州质检)设ω>0，函数y＝sin(ωx＋φ)(－π<φ<π)的图象向左平移个单位后，得到如图所示的图象，则ω，φ的值为(　　)

A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－
C．ω＝1，φ＝－ D．ω＝1，φ＝
6．(2019·湖北天门、仙桃、潜江联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(18)的值等于(　　)

A. B.
C.＋2 D．1
7．(2019·开封模拟)将函数y＝sin2x－cos2x的图象向左平移m(m>0)个单位长度以后得到的图象与函数y＝ksin x ·cos x(k>0)的图象重合，则k＋m的最小值是(　　)
A．2＋　　 B．2＋　　 C．2＋　　 D．2＋
8．(2019·华南师范大学附属中学综合测试)如图，将绘有函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若A，B之间的空间距离为，则f(－1)＝(　　)

A．－1 B．1
C．－ D.
9．(2018·福州期末)将函数y＝2sinx＋cosx的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)
A．y＝sinx－2cosx B．y＝2sinx－cosx
C．y＝－sinx＋2cosx D．y＝－2sinx－cosx
10．(2018·佛山模拟)已知x0＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大值点，则f(x)的一个单调递减区间是(　　)
A．(，) B．(，)
C．(，π) D．(，π)
11．(2018·长沙统考)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则f(0)＝(　　)

A． B．
C． D．1
12．(2018·太原三模)已知函数f(x)＝2cos(＋φ)的一个对称中心是(2，0)，且f(1)>f(3)，要得到函数f(x)的图象，可将函数y＝2cos的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
13．(2018·合肥质检二)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象相邻两条对称轴间的距离为且f()＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．ω＝2
B．函数y＝f(x－π)为偶函数
C．函数f(x)在[－π，－]上单调递增
D．函数y＝f(x)的图象关于点(，0)对称
14．(2018·衡阳二模)已知ω>0，a>0，f(x)＝asinωx＋acosωx，g(x)＝2cos(ax＋)，h(x)＝．这3个函数在同一直角坐标系中的部分图象如图所示，则函数g(x)＋h(x)的图象的一条对称轴方程可以为(　　)

A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
二、填空题
15．(2019·湖南、江西等地十四校联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，已知x1，x2∈(，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.

16．(2019·无锡模拟)函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________．
17．(2019·武汉调研)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：

①f(x)的最小正周期为2；
②f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；
③f(x)在(2k－，2k＋)，k∈Z上是减函数；
④f(x)的最大值为A.
则正确的结论为________．(填序号)
三、解答题
18．(2018·合肥质检三)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可以得到函数y＝cos2x的图象．
(1)求f(x)的解析式；
(2)比较f(1)与f(π)的大小．

19．(2018·山东天成第二次联考)已知函数f(x)＝2sin8xcos4xsin(4x＋)－cos8xsin4x(sin4x＋cos4x)．
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；
(2)求函数f(x)在区间[－，]上的最值．












20．(2018·长沙模拟)为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？


参考答案
1. 答案：B
解析：函数y＝sin(x－)经伸长变换得y＝sin(－)，再作平移变换得y＝sin[(x－)－]＝sin(－)．
2. 答案：B
解析：因为y＝sin 2x＝cos＝cos，y＝cos＝cos，
所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度可得到函数y＝cos的图象，故选B.
3. 答案：B
解析：根据题意可得y＝sin(2x＋)，将其图象向左平移φ个单位长度，可得y＝sin(2x＋＋2φ)的图象，因为该图象所对应的函数恰为奇函数，所以＋2φ＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，又φ>0，所以当k＝1时，φ取得最小值，且φmin＝，故选B.
4. 答案：A
解析：将函数f(x)＝sin(2x＋)图象上的每一个点都向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋π)＝－sin 2x的图象，令＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，可得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，因此函数g(x)的单调递增区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)，故选A.
5. 答案：A
解析：函数y＝sin(ωx＋φ)(－π<φ<π)的图象向左平移个单位后可得y＝sin(ωx＋＋φ)．由函数的图象可知，＝－(－)＝，所以T＝π.根据周期公式可得ω＝2，所以y＝sin(2x＋φ＋)．由图知当y＝－1时，x＝×(－)＝，所以函数的图象过(，－1)，
所以sin(＋φ)＝－1.因为－π<φ<π，所以φ＝.故选A.
6. 答案：C
解析：由题图知A＝2，＝6－2＝4，所以T＝8，则ω＝＝.
所以y＝2sin(x＋φ)．又因为函数图象过点(2，2)，
所以2sin(×2＋φ)＝2，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，则φ＝2kπ(k∈Z)，所以f(x)＝2sin(x)．
因为f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(18)＝2f(1)＋2f(2)＋…＋2f(8)＋f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(2)＝＋2，故选C.
7. 答案：A
解析：将函数y＝sin2x－cos2x＝－cos 2x的图象向左平移m(m>0)个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y＝－cos[2(x＋m)]＝－cos(2x＋2m)＝sin(m>0)，平移后得到的图象与y＝ksin xcos x＝sin 2x(k>0)的图象重合，
所以 ，
所以k＝2，m＝nπ＋(n∈Z)，又m>0，所以m的最小值为，故k＋m的最小值为2＋，故选A.
8. 答案：D
解析：由题设并结合图形可知，
AB＝＝
＝＝，得＝4，则ω＝，
所以f(－1)＝sin(－＋)＝sin ＝.
9. 答案：　D
解析：　因为y＝2sinx＋cosx＝sin(x＋φ)，tanφ＝，所以函数f(x)＝2sinx＋cosx的周期为2π．从而将其图象向右平移个周期后，有f(x－π)＝2sin(x－π)＋cos(x－π)＝－2sinx－cosx，故选D．
10. 答案：　B
解析：　由题意得sin(2×＋φ)＝1，解得φ＝2kπ－，k∈Z．不妨取φ＝－，此时f(x)＝sin(2x－)，令2kπ＋<2x－<2kπ＋，得kπ＋11. 答案：　D
解析：　T＝＝4×－＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)．
又f()＝2sin(＋φ)＝－2，所以sin(＋φ)＝－1，所以＋φ＝－＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin(2x＋)．所以f(0)＝2sin＝1．故选D．
12. 答案：　A
解析：　由题意＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝－＋kπ，k∈Z，所以可取φ＝－．f(x)＝2cos(－)满足f(1)>f(3)．所以可将y＝2cos的图象向右平移个单位长度，得到f(x)＝2cos(－)的图象．故选A．
13. 答案：　C
解析：　依题意，有＝＝，则ω＝．又f()＝2sin(＋φ)＝0，得＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)，且0<φ<π，故φ＝．从而f(x)＝2sin(x＋)，由x＋∈[－＋2kπ，＋2kπ]得x∈[－＋3kπ，－＋3kπ](k∈Z)，知f(x)在[－＋3kπ，－＋3kπ](k∈Z)上单调递增，而[－π，－]?[－＋3kπ，－＋3kπ]．f(x－π)＝2sinx是奇函数．当x＝时，f(x)＝2sin(×＋)＝2cos＝－1．故选C．
14. 答案：　C
解析：　因为f(x)＝asinωx＋acosωx＝2asin(ωx＋)，g(x)＝2cos(ax＋)，又由函数图象可知，三个函数的最大值均为2，可得a＝1，所以f(x)＝2sin(ωx＋)，g(x)＝2cos(x＋)．由h(x)＝，可知h(x)在x＝处无定义，从而图象有空心点的为h(x)的图象．又当x＝－时，g(x)＝2，从而y轴左侧图象在最上面的为g(x)的图象．g(x)的最小正周期为2π，则由图象可知，f(x)的最小正周期为π，得ω＝2．h(x)＝＝＝2sin(x＋)．那么函数g(x)＋h(x)＝2cos(x＋)＋2sin(x＋)＝2sin(x＋＋)＝2sin(x＋)．令x＋＝＋kπ(k∈Z)，可得对称轴方程为x＝＋kπ(k∈Z)．当k＝－2时，可得x＝－．故选C．
15. 答案：1
解析：由题意可得A＝2，T＝×＝－＝π，所以ω＝2.
当x＝时，f(x)＝2，则ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
据此可得φ＝2kπ＋(k∈Z)，因为0<φ<π，令k＝0可得φ＝，则f(x)＝2sin(2x＋)．当x∈(，π)时，<2x＋<，所以f(x)在此区间上的对称轴方程为x＝.由x1，x2∈(，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，可得x1＋x2＝，
则f()＝2sin(2×＋)＝2sin＝2×＝1.
16. 解析：把函数y＝cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位后，得到y＝cos (2x－π＋φ)的图象，
与函数y＝sin的图象重合，则cos (2x－π＋φ)＝sin，即sin＝sin，
所以－＋φ＝－，则φ＝.
17. 答案：①③
解析：由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×(－)＝2，故①正确；因为函数f(x)的图象过点(，0)和(，0)，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝(＋)＋＝＋k(k∈Z)，故直线x＝－不是函数f(x)图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当－＋kT≤x≤＋＋kT(k∈Z)，即2k－≤x≤2k＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，故③正确；若A>0，则最大值是A，若A<0，则最大值是－A，故④不正确．
18. 解析：　(1)将函数y＝cos2x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数y＝cos4x的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数y＝cos[4(x－)]＝cos(4x－)的图象，即f(x)＝cos(4x－)．
(2)f(π)＝cos(4π－)＝cos，
而f(1)＝cos(4－)．因为<4－<π，
所以f(1)<019. 解析：　(1)f(x)＝2sin8xcos4xsin(4x＋)－cos8xsin4x·(sin4x＋cos4x)
＝2sin8xcos4xsin4x＋cos4x－cos8xsin4x·(sin4x＋cos4x)
＝sin8xcos4x(sin4x＋cos4x)－cos8xsin4x(sin4x＋cos4x)
＝(sin4x＋cos4x)(sin8xcos4x－cos8xsin4x)
＝(sin4x＋cos4x)sin(8x－4x)
＝(sin4x＋cos4x)sin4x
＝sin24x＋sin4xcos4x
＝×＋sin8x
＝sin8x－cos8x＋
＝sin(8x－)＋．
令8x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．
所以函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)由(1)得f(x)＝sin(8x－)＋．
因为x∈[－，]，
所以8x－∈[－，]．
故sin(8x－)∈[－1，]．
所以－1＋≤sin(8x－)＋≤，
所以函数f(x)在区间[－，]上的最大值为，最小值为－1＋．
20. 解析：　(1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；
由③可知，f(x)在[2，8]上单调递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500．
根据上述分析可得，＝12，故ω＝，
且解得
根据分析可知，当x＝2时f(x)最小，
当x＝8时f(x)最大，
故sin(2×＋φ)＝－1，且sin(8×＋φ)＝1．
又因为0<|φ|<π，故φ＝－．
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为
f(x)＝200sin(x－)＋300．
(2)由条件可知，200sin(x－)＋300≥400，
化简得sin(x－)≥，
即2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z．
因为x∈N*，且1≤x≤12，故x＝6，7，8，9，10．
即只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物．

2020高考复习模拟试题荟萃 考点19正弦定理和余弦定理
一、选择题
1．(2019·武汉中学期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝30°，若B为锐角，则A∶B∶C＝(　　)
A．1∶1∶3 B．1∶2∶3
C．1∶3∶2 D．1∶4∶1
2．(2019·沈阳质检)已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　　)
A．2 B．1 C. D.
3．(2019·开封模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝，＝2sin Asin B，且b＝6，则c＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
4．(2019·石家庄检测)在△ABC中，cos2 ＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
5．(2019·安徽江南十校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＝ac，a2＋bc＝c2＋ac，则的值为(　　)
A. B.
C．2 D.
6．(2019·四平质检)在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°，若S△ABC＝且2sin B＝3sin C，则△ABC的周长等于(　　)
A．5＋ B．12
C．10＋ D．5＋2
7．(2019·石家庄一模)在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为(　　)
A. B．2 C．3 D．4
8．(2018·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcosC＝c(1－3cosB)，则sinC∶sinA＝(　　)
A．2∶3 B．4∶3 C．3∶1 D．3∶2
9．(2018·合肥质检)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin(C－A)＝sinB，且b＝4，则c2－a2＝(　　)
A．10 B．8 C．7 D．4
二、填空题
10．(2019·菏泽模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B－c－＝0，a2＝bc，b＞c，则＝________.
11．(2019·太原模拟)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝90°，点D在AB上，点E在CD上，且∠ACB＝∠DBE＝∠DEB，则CD＝________.
12．(2019·开封一模)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若＝，sin B＝，S△ABC＝，则b的值为________．
13．(2019·荆州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝2，cos A＝，sin B＝2sin C，则△ABC的面积是________．
14．(2018·珠海摸底)在△ABC中，已知角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝，则△ABC的面积为________．
15．(2018·贵阳期末)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB＝bcosA，a＝4，若△ABC的面积为4，则b＋c＝________．
16．(2018·长春质检)已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积S＝b2sinA，角A的平分线AD交BC于点D，AD＝，a＝，则b＝________．
三、解答题
17．(2019·惠州调研)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos C(acos C＋ccos A)＋b＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若b＝2，c＝2，求△ABC的面积．





18．(2019·邢台质检)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝2asin B，tan A＞0.
(1)求角A的大小；
(2)若b＝1，c＝2，△ABC的面积为S，求.








19．(2019·河南重点高中期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝.
(1)判断△ABC的形状并加以证明；
(2)当c＝1时，求△ABC周长的最大值．







20．(2019·兰州模拟)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B＋bcos A＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求边c的长．








21．(2019·沈阳市质量监测(一))在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＋c2＝a2＋bc.
(1)求角A的大小；
(2)若sin A＝2sin Bcos C，试判断△ABC的形状并给出证明．











参考答案
1. 答案：B
解析： 因为a＝1，b＝，A＝30°，B为锐角，所以由正弦定理可得sin B＝＝，则B＝60°，所以C＝90°，则A∶B∶C＝1∶2∶3.
2. 答案：D
解析：由正弦定理＝，得＝，
所以＝，所以b＝.
3. 答案：C
解析：在△ABC中，A＝，b＝6，
所以a2＝b2＋c2－2bccos A，即a2＝36＋c2－6c，①
又＝2sin Asin B，
所以＝2ab，
即cos C＝＝，所以a2＋36＝4c2，②
由①②解得c＝4或c＝－6(不合题意，舍去)，因此c＝4.
4. 答案：B
解析：因为cos2 ＝，
所以2cos2 －1＝－1，所以cos B＝，
所以＝，所以c2＝a2＋b2.
所以△ABC为直角三角形．
5. 答案：D
解析：由b2＝ac，a2＋bc＝c2＋ac，得b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝，则sin A＝.由b2＝ac，得sin2B＝sin Asin C，∴＝，
∴＝＝＝.
6. 答案：A
解析：在△ABC中，∠A＝60°.∵2sin B＝3sin C，∴由正弦定理可得2b＝3c，再由S△ABC＝＝bc·sin A，可得bc＝6，∴b＝3，c＝2.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝7，∴a＝，故△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋，故选A.
7. 答案：D
解析：在△ABC中，AB＝2，C＝，
则＝＝＝4，
则AC＋BC＝4sin B＋4sin A
＝4sin＋4sin A
＝2cos A＋6sin A＝4sin(A＋θ)，
所以AC＋BC的最大值为4.
8. 答案：　C
解析：　由正弦定理得3sinBcosC＝sinC－3sinCcosB，3sin(B＋C)＝sinC，因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sinA＝sinC，所以sinC∶sinA＝3∶1，故选C．
9. 答案：　B
解析：　依题意，有sinCcosA－cosCsinA＝sinB，由正弦定理得ccosA－acosC＝b；再由余弦定理可得c·－a·＝b，将b＝4代入整理，得c2－a2＝8，故选B．
10. 答案：2
解析：由acos B－c－＝0及正弦定理可得sin Acos B－sin C－＝0.因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，所以－－cos Asin B＝0，因为sin B≠0，所以cos A＝－，即A＝.由余弦定理得a2＝bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝0，又b＞c，所以＝2.
11. 答案：
解析：设BD＝x，过点E作EF⊥AB于点F，设∠ACB＝∠DBE＝∠DEB＝θ，则∠EDF＝2θ，DE＝x，∵tan θ＝，∴tan 2θ＝，∴在Rt△EFD中，EF＝xsin 2θ，DF＝xcos 2θ，∵＝，∴＝，∴tan 2θ＝＝，解得x＝，∴AD＝，∴CD＝.
12. 答案：
解析： 由＝?＝?a＝c①，由S△ABC＝acsin B＝且sin B＝得ac＝5②，联立①②解得a＝5，c＝2，由sin B＝且B为锐角知cos B＝，由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝.
13. 答案：
解析：由sin B＝2sin C，cos A＝，
可得b＝2c，sin A＝＝，
所以由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得8＝4c2＋c2－3c2，
解得c＝2(舍负)，则b＝4.
所以S△ABC＝bcsin A＝×2×4×＝.
14. 答案：　
解析：　根据余弦定理，有a2＋b2－2abcosC＝c2，即16b2＋b2－8b2×＝13，所以b2＝1，解得b＝1，所以a＝4，所以S△ABC＝absinC＝×4×1×＝．
15. 答案：　8
解析：　由asinB＝bcosA得＝，再由正弦定理＝，所以＝，即tanA＝，又A为△ABC的内角，所以A＝．由△ABC的面积为S＝bcsinA＝bc×＝4，得bc＝16．再由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2＝32，所以b＋c＝＝＝＝8．
16. 答案：　1
解析：　由S＝bcsinA＝b2sinA，可知c＝2b，由角平分线定理可知，＝＝＝2．又BD＋CD＝a＝，所以BD＝，CD＝．在△ABD中，因为BD＝AD＝，AB＝c＝2b，所以cos∠ABD＝＝b，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABD，所以b2＝4b2＋3－4bcos∠ABD＝3＋4b2－6b2，解得b＝1．
17. 解析：(1)∵2cos C(acos C＋ccos A)＋b＝0，
∴由正弦定理可得2cos C(sin Acos C＋sin Ccos A)＋sin B＝0，
∴2cos Csin(A＋C)＋sin B＝0，即2cos Csin B＋sin B＝0，
又0°＜B＜180°，∴sin B≠0，∴cos C＝－，
又0°＜C＜180°，∴C＝120°.
(2)由余弦定理可得(2)2＝a2＋22－2×2acos 120°＝a2＋2a＋4，
又a＞0，∴解得a＝2，∴S△ABC＝absin C＝，
∴△ABC的面积为.
18. 解析： (1)因为b＝2asin B，所以sin B＝2sin A·sin B，sin B>0，
所以sin A＝，因为tan A>0，所以A为锐角，所以A＝.
(2)因为a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋12－4×＝7，所以a＝.
又S＝bcsin A＝，所以＝.
19. 解析： (1)因为＝－，即cos A＝，所以b＝ccos A＝c·，即c2＝b2＋a2，所以△ABC为直角三角形．
(2)因为c为直角△ABC的斜边，当c＝1时，周长L＝1＋sin A＋cos A＝1＋sin.
因为020. 解析：(1)因为asin B＋bcos A＝0，
所以sin Asin B＋sin Bcos A＝0，
即sin B(sin A＋cos A)＝0，
由于B为三角形的内角，
所以sin A＋cos A＝0，
所以sin＝0，而A为三角形的内角，
所以A＝.
(2)在△ABC中，a2＝c2＋b2－2cbcos A，
即20＝c2＋4－4c，解得c＝－4(舍去)或c＝2.
21. 解析：(1)由b2＋c2＝a2＋bc，可知＝，
根据余弦定理可知，cos A＝，
又角A为△ABC的内角，所以A＝.
(2)法一：△ABC为等边三角形．证明如下：
由三角形内角和定理得，A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)，
根据已知条件，可得sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝0，所以sin(B－C)＝0.
又B－C∈(－π，π)，所以B＝C，
又由(1)知A＝，所以△ABC为等边三角形．
法二：△ABC为等边三角形．证明如下：
由正弦定理和余弦定理，得a＝2b×，
整理得b2＝c2，即b＝c.
又由(1)知A＝，所以△ABC为等边三角形．

2020高考复习模拟试题荟萃 考点20正弦定理和余弦定理的应用
一、选择题
1．(2019·兰州一中期中)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC＝(　　)

A．240(－1) m B．180(－1) m
C．120(－1) m D．30(＋1) m
2．(2019·武昌调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km A处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为(　　)

A．14 h B．15 h
C．16 h D．17 h
3．(2018·东北三校联考)若两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)
A．a km B．a km C．2a km D．a km
4．(2018·福建八校联考)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝ ．若a2sinC＝4sinA，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为(　　)
A． B．2 C．3 D．
5．(2018·湖南邵阳一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知三个向量m＝(a，cos)，n＝(b，cos)，p＝(c，cos)共线，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
6．(2019·西安一中期中)如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________；塔BB1的高为________m.

7．(2018·南昌模拟)如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为________．


8．(2018·广东汕头期末)为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音比B地晚秒(已知声音传播速度为340米/秒)，在A地测得该仪器至高H处的仰角为30°，则这种仪器的垂直弹射高度HC＝________米．


三、解答题
9．(2019·邢台一模)如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．
(1)求船的航行速度是每小时多少千米？
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A多远？













10．(2018·湖北部分重点中学适应性训练)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足cos(A－B)＝2sinAsinB．
(1)判断△ABC的形状；
(2)若a＝3，c＝6，CD为角C的平分线，求CD的长．


















11．(2018·云南昆明二模)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，满足AD⊥AC，cos∠BAC＝－，AB＝3，BD＝．
(1)求AD的长；
(2)求△ABC的面积．









12．(2018·郑州质检)在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a＋b．
(1)求角C的大小；
(2)若△ABC的面积S＝c，求ab的最小值．










参考答案
1. 答案：C　
解析： 因为tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，所以BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(－1)(m)．故选C．
2. 答案：B　
解析： 记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达点B位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×20t×600×，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1 575≤0，解得≤t≤，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为－＝15(h)．
3. 答案：　D

解析：　如图所示，依题意知∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，AC＝BC＝a km，在△ABC中，由余弦定理知AB＝＝a(km)，即灯塔A与灯塔B的距离为a km．故选D．
4. 答案：　A
解析：　由正弦定理得a2c＝4a，所以ac＝4，且a2＋c2－b2＝12－2ac＝4，代入面积公式得 ＝．故选A．
5. 答案：　A
解析：　∵向量m＝(a，cos)，n＝(b，cos)共线，
∴acos＝bcos．
由正弦定理得sinAcos＝sinBcos．
∴2sincoscos＝2sincoscos，
∴sin＝sin．
∵0<<，0<<，∴＝，∴A＝B．
同理可得B＝C，∴△ABC为等边三角形．故选A．
6. 答案： 　45
解析： 设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，则AA1＝60tan α，BB1＝60tan 2α.因为从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，所以△A1AC∽△CBB1，所以＝，所以AA1·BB1＝900，所以3 600tan αtan 2α＝900，所以tan α＝(负值舍去)，所以tan 2α＝，BB1＝60tan 2α＝45.
7. 答案：　

解析：　如图，连接BC，在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos120°＝700，
∴BC＝10，再由正弦定理，得＝，
∴sinθ＝．
8. 答案：　140
解析：　设BC＝x米，则AC＝x＋×340＝(x＋40)米．在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC，即x2＝1002＋(40＋x)2－2×100×(40＋x)×，解得x＝380，所以AC＝380＋40＝420(米)．
解法一：HC＝ACtan∠HAC＝420×＝140(米)．
解法二：因为∠HAC＝30°，所以∠AHC＝90°－30°＝60°．在△ACH中，由正弦定理，得＝，即＝，所以HC＝＝140(米)．
9. 解析： (1)在Rt△PAB中，∠APB＝60°，PA＝1，所以AB＝.在Rt△PAC中，∠APC＝30°，所以AC＝.在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°.所以BC＝＝＝，则船的航行速度为÷＝2(千米/时)．
(2)在△ACD中，∠DAC＝90°－60°＝30°，sin∠DCA＝sin(180°－∠ACB)＝sin∠ACB＝＝＝，sin∠CDA＝sin(∠ACB－30°)＝sin∠ACB·cos 30°－cos∠ACB·sin 30°＝·－·＝.由正弦定理得＝.所以AD＝＝＝.故此时船距海岛A有千米．
10. 解析：　(1)由cos(A－B)＝2sinAsinB，
得cosAcosB＋sinAsinB＝2sinAsinB，
∴cosAcosB－sinAsinB＝0，
∴cos(A＋B)＝0，∴C＝90°．
故△ABC为直角三角形．
(2)由(1)知C＝90°，又a＝3，c＝6，
∴b＝＝3，A＝30°，
∠ADC＝180°－30°－45°＝105°．
由正弦定理得＝，
∴CD＝×sin30°＝×＝．
11. 解析：　(1)因为AD⊥AC，cos∠BAC＝－，且∠BAC∈(0，π)，
所以sin∠BAC＝．
又sin∠BAC＝sin＋∠BAD＝cos∠BAD＝，
在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，即AD2－8AD＋15＝0，
解得AD＝5或AD＝3，由于AB>AD，所以AD＝3．
(2)在△ABD中，＝，
又由cos∠BAD＝，得sin∠BAD＝，
所以sin∠ADB＝，
则sin∠ADC＝sin(π－∠ADB)＝sin∠ADB＝．
因为∠ADB＝∠DAC＋∠C＝＋∠C，
所以cosC＝．
在Rt△ADC中，cosC＝，
则tanC＝＝＝，所以AC＝3．
则△ABC的面积S＝AB·AC·sin∠BAC
＝×3×3×＝6．
12. 解析：　解法一：(1)因为2ccosB＝2a＋b，
所以2c·＝2a＋b，化简得a2＋b2－c2＝－ab，
所以cosC＝＝－．
又因为0°(2)因为S＝absinC＝ab＝c，即c＝ab．
代入a2＋b2－c2＝－ab，得a2b2－ab＝a2＋b2≥2ab，
解得ab≥12，所以ab的最小值为12，当且仅当a＝b时，等号成立．
解法二：(1)因为2ccosB＝2a＋b，＝＝＝2R，所以2sinCcosB＝2sinA＋sinB，
即2sinCcosB＝2sin(B＋C)＋sinB，
所以2sinCcosB＝2sinBcosC＋2cosBsinC＋sinB．
即sinB(2cosC＋1)＝0，
因为sinB≠0，解得cosC＝－．
又因为0°(2)因为S＝absinC＝ab＝c，即c＝ab．
又因为c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2＋ab，
所以a2b2＝a2＋b2＋ab≥3ab，解得ab≥12，
所以ab的最小值为12，当且仅当a＝b时，等号成立．

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