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运用正弦定理或余弦定理求解三角函数问题的方法
大家知道，正弦定理和余弦定理是反映任意三角形边与角之间的关系的定理，运用正弦定理或余弦定理求解三角函数的问题实际上就是运用正弦定理或余弦定理求解任意三角形的边或角的问题。这类问题归结起来主要包括：①已知任意三角形三边与三角中的其中三个，求其余的边或角；②已知任意三角形边与角的某种关系，判定该三角形的形状；③正弦定理或余弦定理与其它知识的综合运用求解任意三角形的边或角的问题；④求解三角形的实际运用问题四种类型。那么在解答该类问题时的基本思路和方法又是怎样的呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、在锐角ABC中，角A、B、的对边分别是a、b，若2asinB=b，则角A等于（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①正弦定理及运用；②解三角形的基本方法。
【解题思路】运用正弦定理和问题条件得到2sinAsinB=sinB，sinB(2sinA-)=0，由00，2sinA-=0，从而可以求出A的值。
【详细解答】锐角ABC中，角A、B、的对边分别是a、b，2asinB=b，2sinAsinB=sinB，sinB(2sinA-)=0，00，2sinA-=0，
sinA=，02、已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，23cosA+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（ ）
A 10 B 9 C 8 D 5
【解析】
【知识点】①二倍角公式及运用；②余弦定理及运用；③解三角形的基本方法。
【解题思路】运用二倍角和问题条件求出cosA的值，根据余弦定理和解三角形的基本方法就可得出b 的值。
【详细解答】23cosA+cos2A=0，25cosA-1=0， cos,A = ， 0cos,A = ， a=7，c=6，49=36+-12b，5-12b-65=0，b=-或b=5，
b>0， b=5，D正确，选D。
3、设ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=，sinB=，C=，则b=
；
【解析】
【知识点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③解三角形的基本方法。
【解题思路】运用正弦定理和问题条件求出的值，根据余弦定理和解三角形的基本方法就可得出b 的值。
【详细解答】 sinB=，C=，= ，==1，b=c， a=，
=3+-2b，3-3b=0，b=1。
4、如图在ABC中，已知点D在BC边上，AD A
AC，sinBAC=，AB=3，AD=3，则
BD的长为 ； B D C
【解析】
【知识点】①诱导公式及运用；②余弦定理及运用；③解三角形的基本方法。
【解题思路】运用诱导公式和问题条件求出cosBAD的值，根据余弦定理和解三角形的基本方法就可得出BD 的值。
【详细解答】 sinBAC=，BAC=BAD+CAD，ADAC，BAC=
BAD+，BAD=-+BAC，cosBAD=cos（-+BAC）=sinBAC=
， AB=3，AD=3，=18+9-233=27-24=3，BD=。
5、在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，已知A=，B＞C，b，c是方程
-2x+2=0的两个实数根，求a，b，c；
【解析】
【知识点】①一元二次方程根与系数的关系定理及运用；②三角形边角关系定理及运用；③余弦定理及运用；④解三角形的基本方法。
【解题思路】运用一元二次方程根与系数的关系定理，结合问题条件求出b，c的值，根据余弦定理和解三角形的基本方法就可得出a 的值。
【详细解答】 b，c是方程-2x+2=0的两个实数根，B＞C，b=+1，c=-1，
A=，=4+2+4-2-2（+1）（-1）=6，a=。
6、在ABC中，已知a=3，b=2，B=2A。
（1）求cosA；
（2）求c的值。
【解析】
【知识点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③解三角形的基本方法。
【解题思路】（1）运用正弦定理，结合问题条件就可求出cosA的值；（2）根据余弦定理和解三角形的基本方法就可得出c 的值。
【详细解答】（1） a=3，b=2，B=2A，=，=，6 sinA.
cos,A=2sinA.， sinA（6 cos,A-2）=0，00，6 cos,A-2=0，
cos,A= ；（2）9=24+-22c，-8c+15=0，c=3或c=5。
A『思考问题1』
（1）【典例1】是解三角形的问题，解答这类问题需要理解并掌握正弦定理和余弦定理；
（2）解三角形问题的常见类型有：①已知一边和两角，求解三角形；②已知两边及其夹角，求解三角形；③已知两边及一边的对角，求解三角形；④已知三边，求解三角形；
（3）已知一边和两角，求解三角形的基本方法是：①运用三角形内角和定理求出未知角；②运用正弦定理求出其余两边；
（4）已知两边及其夹角，求解三角形的基本方法是：①运用余弦定理求出未知边；②运用正弦定理求出已知两边中较小边的对角；③运用三角形内角和定理求出另一角；
（5）已知两边及一边的对角，求解三角形的基本方法是：①判定解的情况；②运用正弦定理求出边未知的角的正弦值，再根据①求出该角；③运用三角形内角和定理求出另一角；④运用正弦定理（或余弦定理）求出未知边；
（6）已知三边，求解三角形的基本方法是：①运用余弦定理求出最大边所对的角；②运用正弦定理求出其余两边的对角；
（7）设ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，如果已知a，b和A，求B时，解答结果有：① ，② ，③ 三种情况；详细情况可通过把下表的空白处填上恰当的内容来进一步了解。
A＞ A= A＜
a＞b
a=b
a＞bsinA
a＜b a=bsinA
a＜bsinA

〔练习1〕解答下列问题：
1、ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若asinAsinB+bcos A=a，则等于（ ）
A 2 B 2 C D
2、在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知- =b，sin(A-C)=2cosAsinC，则b等于（ ）
A 6 B 4 C 2 D
3、在ABC中，若a=3，b=4，c= ，求其最大角；
4、已知三角形的一个内角为，面积是10，周长为20，求三角形各边的长。
【典例2】解答下列问题：
1、设ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC的形状为（ ）
A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不确定
【解析】
【知识点】①诱导公式及运用；②正弦定理及运用；③和角公式及运用；④判定三角形形状的基本方法。
【解题思路】运用诱导公式，正弦定理与和角公式，结合问题条件求出sinA的值，根据判定三角形形状的基本方法就可得出结果。
【详细解答】 bcosC+ccosB=asinA，A+B+C=，===2R（R为ABC外接圆的半径）， sinBcosC+cosBsinC=sinA，sinA= sinA， sinA(1- sinA)=0，00，1- sinA=0， sinA=1，A=，ABC是直角三角形，
B正确，选B。
2、在ABC中，若tanA= tanB成立，判断此三角形的形状；
【解析】
【知识点】①正弦定理及运用；②判定三角形形状的基本方法。
【解题思路】运用正弦定理，结合问题条件得到sinAsinB(sin2A-sin2B)=0，从而推出sin2A=sin2B，根据判定三角形形状的基本方法就可得出结果。
【详细解答】tanA= tanB，==2R（R为ABC外接圆的半径），
sinBsinAcosB= sinAsinBcosA， sin2BsinAsinB= sin2AsinBsinA， sinAsinB(sin2A
-sin2B)=0，00，sin2A-sin2B=0， sin2A=sin2B，2A=2B或2A=-2B，A=B或A+B=，ABC是等腰三角形或直角三角形。
3、在ABC中，若sinA= ，判断此三角形的形状；
【解析】
【知识点】①诱导公式及运用；②和角公式及运用；③判定三角形形状的基本方法。
【解题思路】运用诱导公式与和角公式，结合问题条件得到sinB(1-sinA)+cosA(sinB+
sinAcosB)=0，从而推出cosA(sinC+sinB)=0，根据判定三角形形状的基本方法就可得出结果。
【详细解答】 sinA= ，A+B+C=，sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC，
sinAcosB+sinAcosAcosB-sinAsinB=sinB+sinAcosB+cosAsinB， sinB(1-sinA)+
cosA (sinB+sinAcosB)=0， cosA(sinC+sinB)=0，00，
cosA=0， A=，ABC是直角三角形。
4、在ABC中，已知（+）sin(A-B)= （-）sin(A+B)，判断此三角形的形
状。
【解析】
【知识点】①和角公式及运用；②差角公式及运用；③判定三角形形状的基本方法。
【解题思路】运用和角公式与差角公式，结合问题条件得到2cosAsinB=2sinAcosB，
从而推出sinAsinB(sin2A-sin2B)=0，根据判定三角形形状的基本方法就可得出结果。
【详细解答】（+）sin(A-B)= （-）sin(A+B)，2cosAsinB=2sinAcosB，
2sinAcosAsinB=2sinBsinAcosB， sinAsinB(sin2A-sin2B)=0，00，sin2A-sin2B=0， sin2A=sin2B，2A=2B或2A=-2B，A=B或A+B=，ABC是等腰三角形或直角三角形。
『思考问题2』
（1）【典例2】是已知三角形中基本元素满足某个关系式，判断三角形的形状的问题，解答这类问题需要在理解正弦定理与余弦定理的基础上灵活运用定理并能结合三角函数的相关知识综合解答问题；
（2）解答该类问题的常用方法是：①运用正弦定理消角；②运用正弦定理或余弦定理消边。
〔练习2〕解答下列问题：
1、在ABC的角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＜cosA，则ABC为（ ）
A 钝角三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 等边三角形
2、在ABC中，已知（a+b+c）(b+c-a)=3bc，且sinA=2sinBcosC，判断此三角形的形状；
3、设ABC的角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2sinAcosB=sinC，判断ABC的形状。
【典例3】按要求解答下列各题：
1、设ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=
；
【解析】
【知识点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③解三角形的基本方法。
【解题思路】运用正弦定理和余弦定理，结合问题条件求出cosC，从而得出角C的值。
【详细解答】3sinA=5sinB，=，==，a=b， b+c=2a，
c=2a-b=b-b=b，cosC====-，
02、设ABC的角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且- =ac-bc，求A和的值；
【解析】
【知识点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③等比中项的定义与性质。
【解题思路】运用余弦定理和等比中项的性质，结合问题条件求出cosA，从而得出角A的值；根据正弦定理就可求出的值。
【详细解答】 a，b，c成等比数列，=ac，- =ac-bc，=+-bc，
+-=bc， cosA= = =，0sinA，= sinA= sin=。
3、设ABC的角A，B，C的对边分别是a，b，c，且cos＜，＞= ，求：
（1）+cos2A的值；
（2）若a=4，b+c=6，且b＜c，求bc的值。
【解析】
【知识点】①二倍角公式及运用；②诱导公式及运用；③余弦定理及运用；④解三角形的基本方法。
【解题思路】（1）运用二倍角公式和诱导公式，结合问题条件就可求出+cos2A的值；（2）根据余弦定理和问题条件就可求出bc的值。
【详细解答】（1） cos＜，＞= cosA= ，+cos2A=2 cosA-1+
=2 cosA +cosA-=2+-=-；（2） a=4，b+c=6，=
+-2bc cosA= -2bc(1+ cosA)，16=36-2bc(1+ cosA)，bc==
=8。
4、在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且cosA= ，求：
（1）+cos2A的值；
（2）若a=，求bc的最大值；
【解析】
【知识点】①二倍角公式及运用；②诱导公式及运用；③余弦定理及运用；④基本不等式及运用；⑤解三角形的基本方法。
【解题思路】（1）运用二倍角公式和诱导公式，结合问题条件就可求出+cos2A的值；（2）根据余弦定理和基本不等式，结合问题条件就可求出bc的最大值。
【详细解答】（1） cosA= ，+cos2A=+2 cosA-1
=2 cosA +cosA-=2+-=-；（2） a=，=+-2bc cosA
= -2bc(1+ cosA)= - bc，3=- bc4bc- bcbc，
bc，bc的最大值为。
5、在ABC中，角A，B，C成等差数列，b=1。
求证：1＜a+c≤2。
【解析】
【知识点】①三角形三边关系定理及运用；②等差中项的定义与性质；③余弦定理及运用；④基本不等式及运用；⑤解三角形的基本方法。
【解题思路】运用三角形三边关系定理可证明a+c>b=1，根据余弦定理，等差中项的性质和基本不等式，结合问题条件证明a+c≤2，从而得到结论。
【详细解答】证明：a，b，c分别是ABC中，角A，B，C的对边，b=1，1=b＜a+c；
ABC中，角A，B，C成等差数列，B=，1=+-2ac cos=-2ac
(1+ cos）=-3ac-，1，4，
a+c≤2, 1＜a+c≤2。
6、设ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=bcosC+csinB。
（1）求角B；
（2）若b=2，求ABC面积的最大值。
【解析】
【知识点】①正弦定理及运用；②辅助角公式及运用；③余弦定理及运用；④三角形面积公式及运用；⑤解三角形的基本方法。
【解题思路】（1）运用正弦定理，结合问题条件就可求出角B的值；根据余弦定理和三角形的面积公式，结合问题条件就可求出ABC面积的最大值。
【详细解答】（1）a=bcosC+csinB，===2R（R为ABC外接圆的半径），
sinA= sinBcosC+sinCsinB， sinBcosC+cosBsinC= sinBcosC+sinCsinB， sinC(sinB-
cosB)=0，00， sinB—cosB=sin(B-)=0， 0-<， B-=0， B=；（2） b=2，B=，4=+-2ac cos=-2ac
(1+ cos）=-（2+）ac4ac-（2+）ac=（2-）ac，ac≤=4+
2，=acsinB=ac≤+1，ABC面积的最大值为+1。
『思考问题3』
（1）【典例3】是正弦定理与余弦定理同其它知识的综合问题，解答这类问题首先需要分辨清楚是与哪一个知识点的综合问题，其次是把相关知识点进行梳理；
（2）常见的综合类型是：①与数列知识点的综合，②与平面向量知识点的综合，③与三角函数知识点的综合，④与函数知识点的综合。
〔练习3〕解答下列问题：
1、在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c。
求证：
2、已知锐角ABC中，sin(A+B)= ，sin(A-B)= 。
①求证：tanA=2tanB；
②设AB=3，求AB边上的高。 Q
3、如图在等腰直角OPQ中，POQ=，OP=2，
点M在线段PQ上。 N
（1）若OM=，求PM的长； M
（2）若点N在线段MQ上，且MON=，问：当 O P
POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值。
A
【典例4】按要求解答下列各题：
1、 我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于
地面点C和D处，已知CD=6000m，=， C D
=，目标出现于地面点B处时，测得 B
=，=（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）；
【解析】
【知识点】①正弦定理及运用；②勾股定理及运用；③解三角形的基本方法。
【解题思路】运用正弦定理和勾股定理，结合问题条件就可求出炮兵阵地到目标的距离。
【详细解答】如图，在BCD中，=，=，CBD=，
CD=6000m，= ，BD===3000，
在ACD中，=，=， CAD=， CD=6000m，
= ，AD===2000，在ABD中，
BD=3000，AD=2000，ADB=CDB+ADC=+=，AB=
=1000=1000(m)。 C
2、甲船在A处观察到乙船在它的北偏东的方向，
两船相距a海里，乙船正向北行使，若甲船速度是 B
乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向才能最快
追上乙船？此时乙船已经行使了多少海里？
【解析】 A
【知识点】①正弦定理及运用；②方位角的定义与性质；③解三角形的基本方法；④三角函数最值的求法。
【解题思路】运用正弦定理和方位角的定义与性质，结合问题条件求出sin值，从而得出角值，再求出BC的值。
【详细解答】如图，设BAC=，甲船追上乙船所需的时间为t，乙船的航行速度为V海里/小时；在ABC中，CAB=，ABC=，AC=Vt，BC=Vt，=
， sin= =，=，ACB=-=，BC=a(海里)，
甲船应沿北偏东方向才能最快追上乙船，此时乙船已经行使a海里。
3、（理）如图在中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍。
（1）求； A
（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长。 B D C
（文）中，D是BC上的点，AD平分BAC，BD=2DC。
（1）求；
（2）若BAC=，求B。
【解析】
【知识点】①正弦定理及运用；②余弦定理及运用；③辅助角公式及运用；④三角形面积公式及运用，⑤诱导公式及运用；⑥解三角形的基本方法。
【解题思路】运用正弦定理和勾股定理，结合问题条件就可求出炮兵阵地到目标的距离。
【详细解答】（理）（1）如图，=AB.AD.sinBAD，=AC.AD.sinCAD，
AD平方BAC，=2，==2，=，
==；（2）=，AD=1，DC=，=
=，=，===sin
BAD，=，BD===，
=4=1+2-2cosBDA，=1+-cosADC，BDA+ADC=，6=6，=1，AC=1。
（文）（1）如图，=AB.AD.sinBAD，=AC.AD.sinCAD，
AD平方BAC，=2，==2，=，
==；（2）BAC=，B+C+BAC=，B+C=，
C =-B，sinC =2sinB =sin(-B)= cosB+sinB，
sinB- cosB=sin（B-）=0，0『思考问题4』
（1）【典例4】是解三角形的应用问题，解答这类问题需要根据问题的条件作出相应的图形，再结合图形解答问题；
（2）解三角形的应用问题经常涉及到方位角、俯视角、仰视角这些问题，应该弄清楚这三种角的意义并能准确地在图形上作出来。
〔练习4〕解答下列问题：
1、飞机的航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海抜10250m，速度为180km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过120秒后又看到山顶的俯角为，求山顶的海抜高度（结果用根号表示）；
2、隔河可看到对岸两目标A、B，但不能到达，现在
岸边取相距km的C、D两点，测得=， A B
=，=，=（A，B，
C，D在同一平面内），求两目标A、B之间的距离。 C D
3、如图游客从某旅游景区的景点A处下山至C处
有两种路径，一种是从A沿直线步行到C处，另一 B A
种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步
行到C。现有甲，乙两位游客从A处下山，甲沿AC
匀速步行，速度为50m/min，在甲出发2min后，乙 C
从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速
步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,
山路AC长为1260m，经测量cosA=，cosC=。
（1）求索道AB的长；
（2）问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？（2013全国高考江苏卷）
4、如图当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距
20海里的B处有一膄渔船遇险等待营救，甲船立即 A 20 B
前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相 10
距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度 C
的方向沿直线前往B处救援（角度精确到）
5、如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔
底B在同一水平面内的两个观测点C与D，现测得
BCD=，BDC=，CD=s，并在点C处测得塔顶A的仰角为，求塔高AB。

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