资源简介

活用16个二级结论
结论一　奇函数的最值性质

　　已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,则f(0)=0.
　　例1　设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　.?
答案　2
解析　显然函数f(x)的定义域为R,
f(x)==1+,
设g(x)=,
则g(-x)=-g(x),
∴g(x)为奇函数,
由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,
∴M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.
跟踪集训

1.已知函数f(x)=ln(-3x)+1,则f(lg 2)+f=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.对于函数f(x)=asin x+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是(　　)
A.4和6 B.3和1
C.2和4 D.1和2
结论二　 函数周期性问题

　　已知定义在R上的函数f(x),若对任意x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:
(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.
(2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.
(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.
(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.
例2　已知定义在R上的函数f(x)满足f=-f(x),且f(-2)=f(-1)=-1, f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 017)+f(2 018)=(　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.1
答案　A
解析　因为f=-f(x),所以f(x+3)=-f=f(x),所以f(x)的周期为3.
则有f(1)=f(-2)=-1, f(2)=f(-1)=-1, f(3)=f(0)=2,所以f(1)+f(2)+f(3)=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 017)+f(2 018)
=672×[f(1)+f(2)+f(3)]+f(1)+f(2)=-1-1=-2,故选A.
跟踪集训

1.奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.-2 B.-1 C.0 D.1
2.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(100)=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
结论三　函数的对称性

　　已知函数f(x)是定义在R上的函数.
(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;
(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.
　　例3　已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意x∈恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.[-3,-1] B.[-2,0]
C.[-5,-1] D.[-2,1]
答案　B
解析　由定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,可得函数图象关于直线x=1对称,且函数f(x)在(-∞,1)上递减,由此得出自变量离1越近,函数值越小.观察四个选项,发现0,1不存在于A,C两个选项的集合中,B中集合是D中集合的子集,故可通过验证a的值(取0与1时两种情况)得出正确选项.当a=0时,不等式f(ax+2)≤f(x-1)变为f(2)≤f(x-1),由函数f(x)的图象特征可得|2-1|≤|x-1-1|,解得x≥3或x≤1,满足不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意x∈恒成立,由此排除A,C两个选项.当a=1时,不等式f(ax+2)≤f(x-1)变为f(x+2)≤f(x-1),由函数f(x)的图象特征可得|x+2-1|≤|x-1-1|,解得x≤,不满足不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意x∈恒成立,由此排除D选项.综上可知,选B.
跟踪集训

1.若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=　　　　.?
2.函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为　　　　.?
结论四　反函数的图象与性质

　　若函数y=f(x)是定义在非空数集D上的单调函数,则存在反函数y=f -1(x).特别地,y=ax与y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x对称,即(x0, f(x0))与(f(x0),x0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f -1(x)的图象上.
　　例4　若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=(　　)
A. B.3 C. D.4
答案　C
解析　因为2x+2x=5,所以x+2x-1=,同理,x+log2(x-1)=,令t=x-1,则x=t+1,即t1是t+2t=的解,t2是t+log2t=的解,且t1=x1-1,t2=x2-1.
如图所示,t1为函数y=2t与y=-t的图象交点P的横坐标,t2为函数y=log2t与y=-t的图象交点Q的横坐标,所以P(t1,),Q(t2,log2t2),所以P,Q关于直线y=t对称,且t1+t2=t1+=t1+=,所以x1+x2=t1+1+t2+1=+2=.故选C.

跟踪集训

　设点P在曲线y=ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为(　　)
A.1-ln 2 B.(1-ln 2)
C.1+ln 2 D.(1+ln 2)
结论五　两个经典不等式

　　(1)对数形式:≤ln(x+1)≤x(x>-1),当且仅当x=0时,等号成立.
(2)指数形式:ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时,等号成立.
例5　设函数f(x)=1-e-x.证明:当x>-1时, f(x)≥.
证明　x>-1时, f(x)≥?x>-1,1-e-x≥?1-≥e-x(x>-1)?≥(x>-1)?x+1≤ex(x>-1).当x>-1时,ex≥x+1恒成立,所以当x>-1时, f(x)≥.
跟踪集训

1.已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为(　　)

2.已知函数f(x)=ex,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一公共点.







结论六　三点共线的充要条件

　　设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得=λ+μ,且λ+μ=1.特别地,当P为线段AB的中点时,=+.
例6　已知A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在直线l上,则使等式x2+x+=0成立的实数x的取值集合为(　　)
A.{-1} B.? C.{0} D.{0,-1}
答案　A
解析　∵=-,
∴x2+x+-=0,
即=-x2+(1-x),
∴-x2+(1-x)=1,
解得x=0或x=-1(x=0舍去),∴x=-1.
跟踪集训

　在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M、N分别为CD、BC的中点.若=λ+μ,则λ+μ=　　　　.?
结论七　三角形“四心”向量形式的充要条件

　　设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则
(1)O为△ABC的外心?||=||=||=.
(2)O为△ABC的重心?++=0.
(3)O为△ABC的垂心?·=·=·.
(4)O为△ABC的内心?a+b+c=0.
例7　已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],λ∈R,则点P的轨迹一定经过(　　)
A.△ABC的内心 B.△ABC的垂心
C.△ABC的重心 D.AB边的中点
答案　C
解析　取AB的中点D,则2=+,
∵=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],
∴=[2(1-λ)+(1+2λ)]
=+,
而+=1,∴P,C,D三点共线,
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
跟踪集训

1.P是△ABC所在平面内一点,若·=·=·,则P是△ABC的(　　)
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
2.O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
3.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
结论八　等差数列

　　设Sn为等差数列{an}的前n项和.
(1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d,p+q=m+n?ap+aq=am+an(m,n,p,q∈N*).
(2)ap=q,aq=p(p≠q)?ap+q=0.
(3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成的数列是等差数列.
(4)=n+是关于n的一次函数或常函数,数列也是等差数列.
(5)Sn====….
(6)若等差数列{an}的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,=.
(7)若等差数列{an}的项数为奇数2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,=.
(8)若Sm=n,Sn=m(m≠n),则Sm+n=-(m+n).
(9)Sm+n=Sm+Sn+mnd.
　　例8　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=(　　)
　　　　A.3 B.4 C.5 D.6
(2)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-=0,S2m-1=38,则m=　　　　.?
答案　(1)C　(2)10
解析　(1)∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,∴am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∴公差d=am+1-am=1,由Sn=na1+·d=na1+,
得
由①得a1=,代入②可得m=5.
(2)由am-1+am+1-=0得2am-=0,解得am=0或2.
又S2m-1==(2m-1)am=38,
显然可得am≠0,所以am=2,代入上式可得2m-1=19,解得m=10.
跟踪集训

1.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=20,S20=50,则S30=　　　　.?
2.一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则数列的公差d=　　　　.?
结论九　等比数列

　　已知等比数列{an},公比为q,前n项和为Sn.
(1)an=am·qn-m,an+m=anqm=amqn(m,n∈N*).
(2)若m+n=p+q,则am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*);反之,不一定成立.
(3)a1a2a3…am,am+1am+2…a2m,a2m+1a2m+2…a3m,…成等比数列(m∈N*).
(4)公比q≠-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列(n∈N*).
(5)若等比数列的项数为2n(n∈N*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则=q.
(6){an},{bn}是等比数列,则{λan},,{anbn},也是等比数列(λ≠0,n∈N*).
(7)通项公式an=a1qn-1=·qn.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.
(8)与等差中项不同,只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.
(9)三个数成等比数列,通常设为,x,xq;四个数成等比数列,通常设为,,xq,xq3.
　　例9　(1)已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为(　　)　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.或5 B.或5
C. D.
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=(　　)
A.2 B. C. D.3
答案　(1)C　(2)B
解析　(1)设数列{an}的公比为q,若q=1,则S3=3,S6=6,9S3≠S6,与已知矛盾,故q≠1.
所以有=,即9=1+q3.
解得q=2.
所以数列是首项为1,公比为的等比数列,其前5项和为=.故选C.
(2)由已知=3,得S6=3S3,因为S3,S6-S3,S9-S6也为等比数列,所以(S6-S3)2=S3(S9-S6),则(2S3)2=S3(S9-3S3),化简得S9=7S3,从而==.故选B.
跟踪集训

　已知在数列{an}中,an=-4n+5,等比数列{bn}的公比q满足q=an-an-1(n≥2),且b1=a2,则|b1|+|b2|+…+|bn|=　　　　.?
结论十　多面体的外接球和内切球

　　1.长方体的体对角线长d与共顶点的三条棱的长a,b,c之间的关系为d2=a2+b2+c2;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2=a2+b2+c2.
2.棱长为a的正四面体内切球半径r=a,外接球半径R=a.
例10　(2017安徽皖北协作区3月联考)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图,则该几何体外接球的表面积为(　　)

A.24π B.29π C.48π D.58π
答案　B
解析　如图,在3×2×4的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥A-BCD),其外接球即为长方体的外接球,表面积为4πR2=π(32+22+42)=29π.

跟踪集训

1.已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形,直角边长是1,且其外接球的表面积是16π,则该三棱柱的侧棱长为(　　)
A. B.2 C.4 D.3
2.已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是(　　)

A. B.2π C. D.3π
结论十一　焦点三角形的面积公式

　　(1)在椭圆+=1(a>b>0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,则△PF1F2的面积=b2·tan,其中θ=∠F1PF2.
(2)在双曲线-=1(a>0,b>0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,则△PF1F2的面积=,其中θ=∠F1PF2.
例11　已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)　　 　　　　　　 　　　　　　
A. B. C.3 D.2
答案　A
解析　设椭圆和双曲线的标准方程分别为+=1(a>b>0)和-=1(a1>0,b1>0,a>a1),它们的半焦距为c(c>0).根据焦点三角形面积公式可得:b2tan=,∴b2=3.又消去b2和得a2+3=4c2,∴+=1,即+=1.设=2cos θ,=sin θ,则+=2cos θ+sin θ=sin≤,因此椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为,故选A.
跟踪集训

　如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是(　　)

A. B. C. D.
结论十二　圆锥曲线的切线问题

　　1.过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2.
2.过椭圆+=1上一点P(x0,y0)的切线方程为+=1.
3.已知点M(x0,y0),抛物线C:y2=2px(p≠0)和直线l:y0y=p(x+x0).
(1)当点M在抛物线C上时,直线l与抛物线C相切,其中M为切点,l为切线.
(2)当点M在抛物线C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线,即直线l为切点弦所在的直线.
(3)当点M在抛物线C内时,直线l与抛物线C相离.
例12　已知抛物线C:x2=4y,直线l:x-y-2=0,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程.
解析　联立方程得
消去y,整理得x2-4x+8=0,
Δ=(-4)2-4×8=-16<0,故直线l与抛物线C相离.
由结论知,P在抛物线外,故切点弦AB所在的直线方程为x0x=2(y+y0),即y=x0x-y0.
跟踪集训

1.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为(　　)
A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0
C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0
2.设椭圆C:+=1,点P,则椭圆C在点P处的切线方程为　　　　　　　　.?
结论十三　圆锥曲线的中点弦问题

　　1.在椭圆E:+=1(a>b>0)中:
(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,则k0·k=-.
(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=-.
(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=-.

2.在双曲线E:-=1(a>0,b>0)中,类比上述结论有:
(1)k0·k=.
(2)k1·k2=.
(3)k0·k=.
例13　已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
答案　D
解析　

如图所示,设P(1,-1),则有kAB·kOP=-.
即-=kFP·kOP=×=-,即a2=2b2,故选D.
跟踪集训

1.椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆C上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1的斜率的取值范围是　　　　.?
2.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的直线交椭圆+=1于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.对任意k>0,求证:PA⊥PB.



结论十四　圆锥曲线中的一类定值问题

　　在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.
图示 条件 结论
已知椭圆+=1(a>b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在椭圆上,设A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0. 直线AB的斜率kAB为定值 .
已知双曲线-=1(a,b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在双曲线上,设A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0. 直线AB的斜率kAB为定值-.
已知抛物线y2=2px(p>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0. 直线AB的斜率kAB为定值-.

　　例14　已知抛物线C:y2=2x,定点P(8,4)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.证明:直线AB的斜率kAB为定值,并求出该定值.
解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),kPA=k,
则kPB=-k(k≠0),又P(8,4),
所以直线PA的方程为y-4=k(x-8),
即y=kx+4-8k,联立方程得消去y得k2x2+(8k-16k2-2)x+(4-8k)2=0,8x1=,得x1=,
同理可得x2=,x2-x1=-==,x1+x2=×2=,因为y1=kx1+4-8k,y2=-kx2+4+8k,
故y2-y1=-k(x1+x2)+16k=-k×+16k=,故kAB===-,所以直线AB的斜率kAB为定值,且为-.

跟踪集训

　已知椭圆C:+=1,A为椭圆上的定点,若其坐标为A,E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数.证明:直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.






结论十五　圆锥曲线中的一类定点问题

　　若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.
(1)对于椭圆+=1(a>b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点.同理,当以AB为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线lAB过定点.
(2)对于双曲线-=1(a>0,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点.同理,对于左顶点(-a,0),则定点为.
(3)对于抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若·=0,则弦AB所在直线过点(2p,0).同理,抛物线x2=2py(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若⊥,则直线AB过定点(0,2p).
例15　已知抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B满足以AB为直径的圆过顶点.
求证:AB所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.
解析　由题意知lAB的斜率不为0(否则只有一个交点),故可设lAB:x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x得y2-2pty-2pm=0,从而Δ=(-2pt)2-4(-2pm)=4p2t2+8pm>0,即pt2+2m>0,①
因为以AB直径的圆过顶点O(0,0),所以·=0,即x1x2+y1y2=0,也即(ty1+m)(ty2+m)+y1y2=0,把式①代入化简得m(m-2p)=0,得m=0或m=2p.
(1)当m=0时,x=ty,lAB过顶点O(0,0),与题意不符,故舍去;
(2)当m=2p时,x=ty+2p,令y=0,得x=2p,所以lAB过定点(2p,0),此时m=2p满足pt2+2m>0.
综上,lAB过定点(2p,0).
跟踪集训

　已知椭圆+=1,直线l:y=kx+m与椭圆交于A,B两点(A,B不是左、右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.








结论十六　抛物线中的三类直线与圆相切问题

　　AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过A,B分别作准线l:x=-的垂线,垂足分别为A1,B1,E为A1B1的中点.
(1)如图①所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E.
(2)如图②所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且EF2=A1A·BB1.
(3)如图③所示,以AF为直径的圆与y轴相切.


　　例16　过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M,N两点,自M,N向直线l:x=-a作垂线,垂足分别为M1,N1.当a=时,求证:AM1⊥AN1.
证明　证法一:如图所示,当a=时,点A为抛物线的焦点,l为其准线x=-,由抛物线定义得|MA|=|MM1|,|NA|=|NN1|,所以∠MAM1=∠MM1A,∠NAN1=∠NN1A.
因为MM1∥NN1,故∠M1MA+∠N1NA=180°,所以∠MM1A+∠MAM1+∠NN1A+∠NAN1=180°,所以∠MAM1+∠NAN1=90°,即∠M1AN1=90°,故AM1⊥AN1.

证法二:依题意,可设直线MN的方程为x=my+a,M(x1,y1),N(x2,y2),则有M1(-a,y1),N1(-a,y2).由消去x,可得y2-2mpy-2ap=0,
故
于是x1+x2=m(y1+y2)+2a=2m2p+2a,③
x1·x2=·==a2.④
当a=时,点A为抛物线的焦点,l为其准线x=-,此时M1,N1,
由②可得y1·y2=-p2.
因为=(-p,y1),=(-p,y2),
故·=0,即AM1⊥AN1.
证法三:同证法二得y1·y2=-p2.
因为=-,=-,故·=-1,即AM1⊥AN1.
跟踪集训

　已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若·=0,则k=　　　　.?





答案精解精析
结论一　奇函数的最值性质
跟踪集训
1.D　∵f(x)=ln(-3x)+1,　①
∴f(-x)=ln(+3x)+1,　②
①+②得f(x)+f(-x)=ln(-3x)+ln(+3x)+2
=ln[(-3x)·(+3x)]+2
=ln(1+9x2-9x2)+2=2.
∴f(lg 2)+f =f(lg 2)+f(-lg 2)=2.
2.D　令g(x)=f(x)-c=asin x+bx,
则g(x)是奇函数.
又g(-1)+g(1)=f(-1)-c+f(1)-c=f(-1)+f(1)-2c,
而g(-1)+g(1)=0,c为整数,
∴f(-1)+f(1)=2c为偶数.
1+2=3是奇数,故不可能,选D.
结论二　 函数周期性问题
跟踪集训
1.D　由f(x+2)是偶函数可得f(-x+2)=f(x+2),又由f(x)是奇函数得f(-x+2)=-f(x-2),所以f(x+2)=-f(x-2), f(x+4)=-f(x), f(x+8)=f(x),故f(x)是以8为周期的周期函数,所以f(9)=f(8+1)=f(1)=1,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(8)=f(0)=0,故f(8)+f(9)=1,故选D.
2.C　当x>0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),①
则f(x+1)=f(x)-f(x-1),②
①+②得f(x+1)=-f(x+2),即f(x+3)=-f(x).
所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),T=6.
故f(100)=f(4)=-f(1)=f(-1)-f(0)=log22=1,故选C.


结论三　函数的对称性
跟踪集训
1.答案　3
解析　因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x),又f(-x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.
2.答案　4
解析　因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4,所以f(2 016)+f(2 018)=-f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f(2 014)=0,所以f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.
结论四　反函数的图象与性质
跟踪集训
　B　函数y=ex和函数y=ln(2x)互为反函数,它们的图象关于y=x对称,则只有直线PQ与直线y=x垂直时,|PQ|才能取得最小值.设P,则点P到直线y=x的距离为d=,令g(x)=ex-x(x>0),则g'(x)=ex-1,令g'(x)=ex-1>0,得x>ln 2;令g'(x)=ex-1<0,得00,所以dmin=.则|PQ|min=2dmin=(1-ln 2).故B正确.
结论五　两个经典不等式
跟踪集训
1.B　因为f(x)的定义域为即{x|x>-1且x≠0},所以排除选项D.
令g(x)=ln(x+1)x,则由经典不等式ln(x+1)≤x知,g(x)≤0恒成立,故f(x)=<0恒成立,所以排除A,C,故选B.
2.证明　令g(x)=f(x)-=ex-x2-x-1,x∈R,则g'(x)=ex-x-1,
由经典不等式ex≥x+1恒成立可知,g'(x)≥0恒成立,所以g(x)在R上为单调递增函数,且g(0)=0,所以函数g(x)有唯一零点,即两曲线有唯一公共点.
结论六　三点共线的充要条件
跟踪集训
　答案　
解析　解法一:由=λ+μ,得=λ·(+)+μ·(+),则++=0,得++++=0,得λ+μ-1+=0.
又因为,不共线,所以由平面向量基本定理得
解得
所以λ+μ=.
解法二:如图,连接MN并延长交AB的延长线于T.

由已知易得AB=AT,
∴==λ+μ,
∴=λ+μ,
∵T、M、N三点共线,∴λ+μ=1,
∴λ+μ=.
结论七　三角形“四心”向量形式的充要条件
跟踪集训
1.D　由·=·,可得·(-)=0,即·=0,∴⊥,同理可证⊥,⊥,∴P是△ABC的垂心.
2.C　设BC的中点为M,则=,则有=+λ,即=λ,∴P的轨迹所在直线一定通过△ABC的重心.
3.B　解法一:为上的单位向量,为上的单位向量,则+的方向为∠BAC的平分线的方向.又λ∈[0,+∞),∴λ的方向与+的方向相同.=+λ,∴点P在上移动.∴P的轨迹一定要通过△ABC的内心.故选B.
解法二:由于P点轨迹通过△ABC内一定点且该定点与O点位置和△ABC的形状无关,故取O点与A点重合,由平行四边形法则很容易看出P点在∠BAC的平分线上,故选B.


结论八　等差数列
跟踪集训
1.答案　90
解析　S10=10a1+45d=20,①
S20=20a1+190d=50,②
由①②解得d=,
∴S30=S10+S20+10×20×d=20+50+200×=90.
2.答案　5
解析　设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,等差数列的公差为d.由已知条件,得解得
又S偶-S奇=6d,所以d==5.
结论九　等比数列
跟踪集训
　答案　4n-1
解析　q=a2-a1=-4,b1=-3,|bn|=|-3·(-4)n-1|=3·4n-1,
所以|b1|+|b2|+…+|bn|=3+3×4+3×42+…+3×4n-1=3×=4n-1.
结论十　多面体的外接球和内切球
跟踪集训
1.A　因为该三棱柱外接球的表面积是16π,所以外接球的半径R=2.又直三棱柱底面是等腰直角三角形,直角边长是1,故该三棱柱的侧棱长是=,故选A.
2.C　由题意知,正三角形ABC的外接圆半径为=,则AB=3,过点E的截面面积最小时,截面是以AB为直径的圆面,截面面积S=π×=.


结论十一　焦点三角形的面积公式
跟踪集训
　D　设双曲线C2的方程为-=1,则有+===4-1=3.又四边形AF1BF2为矩形,所以焦点三角形AF1F2的面积为tan 45°=,即==1.所以=-=3-1=2.故双曲线的离心率e====.故选D.
结论十二　圆锥曲线的切线问题
跟踪集训
1.A　如图,圆心坐标为C(1,0),易知A(1,1).

又kAB·kPC=-1,且kPC==,∴kAB=-2.
故直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故选A.
2.答案　x+2y-4=0
解析　由于点P在椭圆+=1上,故切线方程为+=1,即x+2y-4=0.
结论十三　圆锥曲线的中点弦问题
跟踪集训
1.答案　
解析　设PA2的斜率为k2,PA1的斜率为k1,则k1·k2=-=-,又k2∈[-2,-1],所以k1∈.
2.证明　设P(x0,y0),则A(-x0,-y0),C(x0,0),kAC==,又kPA==k,所以kAC=,由kBA·kPB =-知,kPB·kBA=kPB·kAC=·kPB=-,所以kPB·k=-1,即PA⊥PB.
结论十四　圆锥曲线中的一类定值问题
跟踪集训
　解析　设直线AE的方程为y=k(x-1)+,联立方程得
消去y,整理得(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+4-12=0,则xE==.①
同理,设直线AF的方程为y=-k(x-1)+,
则xF=.②
所以kEF=
=
=,将①②代入上式,化简得kEF=.
结论十五　圆锥曲线中的一类定点问题
跟踪集训
解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得消去y得,(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,则有Δ=(8km)2-4(4k2+3)(4m2-12)>0,即m2<4k2+3,①
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),所以(x1-2,y1)·(x2-2,y2)=0,即x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0,
即x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)(kx2+m)=0.把式①代入化简得7m2+16km+4k2=0,得m=-2k或m=-.
(1)当m=-2k时,直线l:y=kx-2k过右顶点(2,0),与题意不符,故舍去;
(2)当m=-时,直线l:y=kx-过定点,且满足m2<4k2+3,符合题意.所以l:y=kx+m过定点.
结论十六　抛物线中的三类直线与圆相切问题
跟踪集训
　答案　2
解析　如图所示,因为·=0,所以MA⊥MB,故点M在以AB为直径的圆上,又准线为x=-2,直线AB经过焦点F(2,0),所以有MF⊥AB,又kMF==-,所以kAB=2.

(
1
)

展开更多......

收起↑