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第九讲 求代数式的值（二）
【趣题引路】
已知，，，求代数式的值．
解析 已知条件中四个未知数，只有三个等量关系，显然求不出a、b、c、x的值，要想办法把已知式或所求的代数式进行变形，观察代数式，自然地想到对其进行配方，然后代入a、b、c即可求得．
【知识延伸】
将代数式通过逆用乘法运算律、乘法公式（分解因式）变形成含有已知条件所有的形式，整体代入求解，是求代数式的值的常用方法和有效途径．
一、逆用乘法运算律对代数式进行变形求值
例1 已知，求代数式的值．
解析 原式

而，则原式＝－1
点评 显然，目前我们无法从求出x的值，求代数式按照已知条件中从高次到低次项系数变化的规律进行配置，再将整体代入，求得代数式的值．这种题目通常还可以用竖式除法解答．
二、运用乘法公式对代数式进行变形求值
乘法公式是我们在研究整式的乘法时总结出来的，具有普遍意义，可以简化运算的一些结论．在求代数式的值时，对已知条件或所求代数式利用乘法公式进行适当变形，可以使一些问题简化，并得以解决．
常用的乘法公式有：
；；
；
；；
；
在解决问题时，有时需要我们将这些公式反过来用，即因式分解公式．
例2 已知，且，求代数式的值．
解析 把代入到前两个式子中，可得
， ①
， ②
运用立方和公式将②式进行变形，得
即
将①代入上式得
即
将①代入上式得
点评 在求代数式的值时，对代数式的相关知识要非常熟悉，有时代数式不一定是公式所具有的形式，我们可以采取差什么添什么，添后再减的方法对代数式进行变形．
例3 若a、b、c都是有理数，且，求代数式的值．
解析 由，得
又
a、b、c中至少有一个数是0，不妨设a＝0
由，得
b＝－c
点评 将变形成是一种常见的方法，本题综合运用了等式的变形及乘法公式，在做题过程中，我们经常会感叹别人是怎么想到的，其实，只要我们对所学知识和方法非常熟悉，看到某些熟悉的式子即可联想到用什么方法，比如本题已知条件含有这样的条件，还可以联想到公式将带入上式即有，后面就容易解决了．本题如果是客观题，还可以寻找一组适合题意的值，代入所求代数式中求值，如将代入即可求出答案为0．
三、利用一些特殊的代数式形式求代数式的值
某些代数式中隐含着一些特殊的关系，如，其中隐含了条件，所以只要知道的值，一般通过配成完全平方公式或其他乘法公式所需要的形式，即可求出许多相关代数式的值来．
例4 已知，试求代数式的值．
解析 由已知条件值，
，即
点评 若题中所给的条件或结论是一个分式，而且分子是一个单项式，往往将它倒过来进行分析求解，利用与的这一特点进行变形是解题中常用的方法，有时候我可以结合题目的特点特意构造这样的结构，如对于一元二次方程，考虑到，将方程两边同时除以，可以得到．
【好题妙解】
佳题新题品味
例 已知，求下列代数式的值．
（1）； （2）； （3）．
解析 （1）显然
由，得
（2）
（3）
点评 从所求代数式的特点，发现只要求出的值，就可以求出代数式的值，利用一元二次方程所具有的这一特点，问题容易解决．
中考真题欣赏
例 （天津市中考题）已知，求代数式的值．
解析 解法一：，
将的分子、分母同时除以，得
将代人，可求得
解法二：
∵，
∴x≠0，y≠0
将上述代入代数式中，得
点评：解法一中将所求代数式中的分子、分母同时除以xy，就可以出现条件中所具有形式，使问题得以解决；解法二则利用将所求代数式中的分子、分母都化归为齐次式，这是解决此类问题常用有效的方法，且解题过程较为简洁
竞赛样题欣赏
【例】（1999年北京市竞赛题）若，则的值等于（ ）
A.1997 B.1999 C.2001 D.2003
解析：
＝（3x3－x－1）（3x＋4）＋2003
∵，即3x3－x－1＝0
∴＝2003.
故选D.
点评：已知式可变成3x3－x－1＝0，将所求代数式除以3x3－x－1，求出余式，将所求代数式表示成除数与商式的积加余式的形式，再将3x2－x－1＝0代入，可将所求代数式化简，本题也可以用例1的方法求解
【过关检测】
A级
1.已知a＋b＝3，ab＝2，求a2＋b2的值
2.已知x＋y＝1，求代数式x3＋y3＋3xy的值.
3.已知a为有理数，且a3＋a2＋a＋1＝0，求代数式1＋a＋a2＋a3＋＋a9的值。
4.若x：y：z＝3：4：7，且2x－y＋z＝18，求代数式x＋2y－z的值.
5.求代数式5x2－4xy＋y2＋6x＋25的最小值？
6.已知m＝4x2－12xy＋10y2＋4y＋9，当x、y各取何值时，m的值最小？
7.已知a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，且a＝1，求代数式（a＋b－c）2004的值.
B级
1.已知a、b、c、d都是正整数，并且a5＝b4，c3＝d2，c－a＝9，求a－b的值。
2.已知a、b、e满足a＋b＋c＝0，且abc＞0，x＝，，求代数式的值。
3.已知，0，求代数式a（b＋c）＋b（a＋c）＋c（a＋b）的值。
4.若，求的值。
5.已知，试求代数式的值。
6.已知a是方程2x2＋3x－1＝0的一个根，求代数式的值。


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