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第十四讲 圆内接四边形与四点共圆
【趣题引路】
著名的“九点圆”是由欧拉于1765年了解到的.后来又由年仅22岁的费尔巴赫（1800-1834）于1822年重新发现，并称之为九点圆，这九个点是（如图14-1）：三角形的三条边的中点、、，三条高线的垂足、、以及各顶点到垂心距离的中点、、.
利用等腰梯形的四个顶点共圆的知识可得到三组四点、 、、，、、 、，与、、 、均共圆于、、.故、、、、、六点共圆.
在,和中，同理可证、、也同圆于上面六个点所共的圆.因此，、、、、、、、、九点共圆.
我们知道，任何三角形都有内切圆、外接圆、旁切圆等，还有鲜为人知的五点圆、第二莱莫恩六点圆、泰劳（Taylor）六点圆，七点圆、富曼八点圆等等.

【知识延伸】
圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切的联系，这是因为顺次连结共圆四点就成为圆内接四边形.实际上，在许多题目的已知条件中，并没有给出圆，有时需要通过证明四点共圆，把实际存在的圆找出来.然后再借助圆的性质得到要证明的结论.确定四点共圆的办法主要有：
1.诸点到某定点的距离相等，则诸点在同一圆周上.
2.若四边形对角互补或有一个外角等于它的内对角，则这四点共圆.
3.同底同侧的等角的三角形的各顶点共圆；同斜边的直角三角形的各顶点共圆.
4.若直线与相交于，而且,则共圆.
要证多点共圆，一般根据题目条件先证四点共圆，再证其他点也在这个圆上.
例1 已知，四边形内接于圆，连对角线、.求证：
证明 作,交于点，（如图14-2）.由于,～ , 即 ①
,
～,, 即 ②
①+②,得
点评 此题就是著名的托勒密（Ptolemy）定理，即“圆内接四边形两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和”.它综合运用圆和相似形的知识，证明线段的积、差，也揭示了圆内接四边形的一个独特的性质.
更推过一些，便可得到：对于任意凸四边形，都有,其中
等号当且仅当四边形内接于圆时成立.
托勒密定理的逆命题也成立，即“在凸四边形两对角线的乘积等于它的两组对边乘积之和时，
此四边形内接于圆”.你能证明吗？
例2 已知：如图14-3，设四边形满足条件,求证：A、B、C、D四点共圆.

证明 作,,于是～,
,即 ① ②
, ～,, ,即,③
①+③,得.
（已知条件）
在上，与重合.
, 四点共圆.
点评 这个逆定理也是证明四点共圆的重要依据.
例3 已知，如图14-4，是的外接圆上一点，由向各边、、引垂线、、. 求证：三个垂足、、共线.

证明 连结、、、.
,、、、四点共圆.
， ,、、、四点共圆.
,、、、四点共圆,

成一条直线，即、、三点共线.
点评 此题就是“西摩松线”，即从外接圆上任一点到三边所作垂线的垂足在同一条直线上，简称“西摩松定理”.它的逆命题也成立.即从一点向的三边（或它们的延长线）作垂线，若三个垂足、、在同一条直线上，则点在的外接圆上.证明如下：

如图14-5，和都是直角，、、、四点共圆, ,①
和都是直角，、、、四点共圆, ,②
由①、②得,故、、、四点共圆,即在的外接圆上.
例4 已知：四边形ABCD内接于圆O，对角线AC 与BD 相交于M，如图14-6，求证：

证明 ,,
, 即
点评 本题利用两个三角形面积之比的性质来证明，对拓展证题思路，灵活运用所学的基础知识解决问题，大有益处，本题的结论可作定理运用.
【好题妙解】
佳题新题品味
例1 如图14-7，过正方形ABCD的顶点A作的角与CB、DC的延长线分别交于E、F 两点，即,DB、AE的延长线交于点； DB、AF交于点；的延长线交 DF于点 P ，连接AO 、FE的延长线交AO 于点H ，又,EF交于点,连结.由以上条件，你能推出哪些结论？（不再标注任何字母，不再添加任何辅助线）

解析 首先，如图14-7，，即有、、B、四点共圆；
同样，，即有、、F、四点共圆；
由上述四点共圆知 ,所以、、F 、四点共圆.
又在中，,E为的垂心，这样六个四点共圆相继出现，即
（A、H、E、）（E、H、O、）（E、、F、）（A、O、、）（O、F、、H）
（F、A、H、）四点共圆.
由于FHAO （A、H、E、B），（A、H、F、D）均四点共圆；仔细观察，显然
（A、、P、D），（、Q、C、P）亦四点共圆；还有（E、、F、D）也是四点共圆.
由上述四点共圆有，则.FHAH, FDAD AH=AD，就是说点A
到EF的距离恰好等于正方形的边长.
又有FH=FD，EF=PF，， ，AE=AP.
Rt△AHE≌Rt△ABE ， Rt△AHE≌Rt△ADP， Rt△ABE≌Rt△ADP,
EF = DF – BE, 即
同时有，,～

,.
由诸多四点共圆即有，.
，,故E为的内心.
显然点为△AEF的垂心，由于,为△AEP的外心.
，,点A为△ECF的旁心（旁心指三角形一内角平分线与另两个角的外角平分线的交点）
,
而,.
点评 这种类型称为几何探索题，是指问题的结论没有明确给出，需要自己探索，解这类问题的思路是：从给定的条件出发，进行探索，归纳，猜想出结论，然后对猜想出的结论进行证明，此题是用构造法解题的范例，是用发现法研究问题的典型，认真回味，其乐无穷.
例2 如图14-8，由△ABC的各边向外侧作正三角形BCD、CAE、ABF，求证：三直线AD、BE、CF相交于一点.
证明 设BE、CF相交于点O ,连AO、OD，△AEC是正三角形，
AE=AC,,同理，AB=AF,,
,△BAE≌△FAC
,可知A、O、C、E四点共圆.
,可知A、O、B、F四点共圆
,
,
,
O、B、D、C四点共圆,
,,
即得A、O、D三点在一条直线上，最后得证BE、CF、AD交于点O.
点评 这是三线共点问题，可先设BE与CF相交于一点O，然后再证明AD也经过点O即可.即证
A、O、D三点在一条直线上，这就把三线共点问题转化为三点共线问题来证明.
中考真题欣赏
例1 （辽宁省中考题）（1）如图14-9，已知直线AB过圆心O，交圆O于点A、B，直线AF交圆O于F（不与B重合），直线l 交圆O于点C、D，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC、AD. （1）求证：① ； ②
（2）在问题（1）中，当直线l向上平行移动，与圆O相切时，其他条件不变.
①请你在图14-10中画出变化后的图形，并对照图14-9，标记字母；
②问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

（1）证明 ①连结BD，AB是圆O的直径，
,
四边形ACDB是圆O内接四边形，,
②连结CF，,
,～,
；
（2）①变化后的图形如图14-11所示.
②两个结论都成立，证明如下：如图14-11.
①连结BC，AB是直径，..
GC切圆O于C，,（即）
②连结CF，,,,
,,,
～,
（即）
点评 充分利用圆内接四边形外角等于它的内对角和Rt△两锐角互余及弦切角等性质解决此题.
例2 （江西省中考题）如图14-12，在圆O中，AB是直径，CD是弦，ABCD，
（1）P 是弧CAD 上一点（不与C、D重合），求证：
（2）点在劣弧CD上（不与C、D重合）时，与有什么数量关系？请证明你的结论.

（1）证明 连结OD，AB是直径，,弧BC=弧BD,
又,
（2）解析 与的数量关系是：+=，证明如下：
,
+=
点评 此题证明是判定+=的关键.
竞赛样题展示
例1 （2002年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛）设AB、CD为圆O的两直径，过B作PB垂直AB，并与CD延长线相交于点P .过P作直线PE ，与圆分别交于E、F两点，连AE 、AF分别与CD交于 G、H两点，如图14-13. 求证：OG=OH.

证明 作FK//GH 与AB ,AE分别交于点M 、K . 过点O作ONEF交EF于点N.
,O、P、B、N四点共圆.
又,故，因此，M、F、B、N四点共圆.
,从而MN//KE.
KM=MF ,OH=OG.
点评 在处理平面几何中的许多问题时，常常要借助于圆的性质，问题才能得以解决，有时题中条件就根本没有涉及圆，有时题中有圆，但此圆并不是我们直接要用的圆，这就需要我们利用已知条件，借助图形，证四点共圆，把需要用到的实际存在的圆找出来.
例2（2002年四川省初中数学竞赛）如图14-14，P是O外一点，PA与O切于点A，PBC是O的割线， 于D.
求证：.
图14-14
证明 连结OA、OB、OC，则PA2=PDPO=PBPC，于是B、C、O、D四点共圆，有
，则① ，②
由①②，有.
点评 本题利用切割线定理的逆定理证明B、C、O、D共圈；从而得到同弧所对的圆周角相等，将已知的角与未知的角联系起来了.
【过关检测】
A级
1.如图4-15四边形ABCD内接于O，∠B=50°，∠ACD=25°，∠BAD=65°.
求证:（1）=；（2）AB是O的直径.

图14-15
2.如图14-16，O以等腰三角形ABC一腰AB为直径，它交另一腰AC于E，交BC于D.求证：BC=2DE.
图-14-16
3.如图14-17，在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与△ABC外接圆O交于点D，与BC的延长线交于点F，DE是BD的延长线，连结CD.
求证：（1）DF平分∠EDC；（2）.

图14-17
4.如图14-18，AB是O的直径，弦（非直径），P是O上不同于C、D的任一点.
（1）当点P在劣弧CD上运动时，∠APC与∠APD的关系如何，请证明你的结论；
（2）当点P在优弧CD上运动时，∠APC和∠APD的关系又如何？请证明你的结论.
图14-18
5.如图14-19，已知平行四边形ABCD内有一点P，使得∠APB+∠CPD=180°；求证：∠PAB=∠PCB.

如图14-19
6.已知：如图14-20，AB是O的弦，以O ' 为圆心的O ' 经过点A、O，与BA的延长线交于点C，与O交于点D，连结CD交O于点E.请你指出图中的哪些角，哪些线段具有相等关系，并证明你的结论.
图14-20
B级
1.M为等腰△ABC底边AC的中点，MHBC于H，P为MH中点.求证：AHBP
2.O为△ABC内一点，BO、CO分别交AC，AB于D、E，若BE·BA+CD·CA=BC2.求证：A、D、O、E四点共圆.
3.如图14-21，正方形ABCD的面积为5cm2，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF相交于P，求AP的长.
如图14-21
4.已知△ABC为等边三角形，BC、AC上分别有一点D、E，且满足，BE、AD相交于P.求证：P、D、C、E四点共圆.
5.直线AB和AC与O分别相切于B、C两点，P为圆上一点.如图14-22，P到AB，AC的距离分别为6cm，4cm.试求P到BC的距离.

图14-22
6.如图14-23，半圆圆心为O，直径为AB，一直线交半圆周于C、D，交AB于M（MB 图14-23


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