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数学高考知识点总结整理（详细篇）
高中数学第一章 -集合
考试内容：
集合、子集、补集、交集、并集．
逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．
考试要求：
（ 1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系
的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．
（ 2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要
条件及充要条件的意义．
§01. 集合与简易逻辑 知识要点
一、知识结构 :
本 章 知 识 主 要 分 为 集 合 、 简 单 不 等 式 的 解 法 （ 集 合 化 简 ） 、 简 易 逻 辑 三 部 分 ：
二、知识回顾：
（一） 集合
1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用 .
2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法 .
集合元素的特征：确定性、互异性、无序性 .
集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为 AA ；
②空集是任何集合的子集，记为 A；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果 BA ，同时 AB ，那么 A = B.
如果 CACBBA ，那么， .
[ 注 ] ：① Z= { 整数 }（√） Z ={全体整数 } （×）
②已知集合 S 中 A的补集是一个有限集，则集合 A也是有限集 .（×）（例： S=N； A= N ，则 CsA= {0} ）
③空集的补集是全集 .
④若集合 A=集合 B，则 CBA= ，CAB = CS（CAB）= D （注：CAB = ）.
3. ① {（x，y）| xy =0 ，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集 .
② {（x，y） | xy＜ 0，x∈R，y∈R 二、四象限的点集 .
③ {（x，y） | xy＞ 0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集 .
[ 注 ] ：①对方程组解的集合应是点集 .
例：
132
3
yx
yx
解的集合 {(2 ， 1)}.
②点集与数集的交集是 . （例： A ={( x，y)| y = x+1} B={ y| y = x
2+1} 则 A∩B = ）
4. ①n个元素的子集有 2n个. ②n个元素的真子集有 2n －1个 . ③n个元素的非空真子集有 2n－2个 .
5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真 . 否命题 逆命题 .
②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真 . 原命题 逆否命题 .
例：①若 325 baba 或，则 应是真命题 .
解：逆否： a = 2 且 b = 3 ，则 a+b = 5 ，成立，所以此命题为真 .
② ，且 21 yx 3yx .
解：逆否： x + y =3 x = 1 或 y = 2.
21 yx 且 3yx ,故 3yx 是 21 yx 且 的既不是充分，又不是必要条件 .
⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围 .
3. 例：若 255 xxx 或， .
4. 集合运算：交、并、补 .
{ | , }
{ | }
{ , }
A B x x A x B
A B x x A x B
A x U x AU
交： 且
并： 或
补： 且C
5. 主要性质和运算律
（1） 包含关系：
, , , ,
, ; , ; , .
UA A A A U A U
A B B C A C A B A A B B A B A A B B
C
（2） 等价关系： UA B A B A A B B A B UC
（3） 集合的运算律：
交换律： .; ABBAABBA
结合律 : )()();()( CBACBACBACBA
分配律 :. )()()();()()( CABACBACABACBA
0-1 律： , , ,A A A U A A U A U
等幂律： ., AAAAAA
求补律： A∩CUA=φ A ∪CUA=U CUU=φ CUφ =U
反演律： CU(A∩B)= (C UA)∪ ( CUB) C U(A∪B)= (C UA)∩ ( CUB)
6. 有限集的元素个数
定义：有限集 A的元素的个数叫做集合 A的基数，记为 card( A) 规定 card( φ ) =0.
基本公式：
(1) ( ) ( ) ( ) ( )
(2) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
card A B card A card B card A B
card A B C card A card B card C
card A B card B C card C A
card A B C
(3) card ( UA)= card(U)- card(A)
( 二 )含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1. 整式不等式的解法
根轴法 （零点分段法）
①将不等式化为 a0(x-x 1)(x-x 2)? (x-x m)>0(<0) 形式，并将各因式 x 的系数化“+”；(为了统一方便 )
②求根，并在数轴上表示出来；
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
④若不等式（ x 的系数化“ +”后）是“ >0”, 则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等式是“ <0”,则
找“线”在 x 轴下方的区间 .
+
-
+
-x1 x2 x3
xm-3 xm-2 xm-1 xm x
（自右向左正负相间）
则不等式 )0)(0(0 0
2
2
1
10 aaxaxaxa n
nnn
的解可以根据各区间的符号确定 .
特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论；
②一元二次不等式 ax2+box>0(a>0) 解的讨论 .
0 0 0
二次函数
cbxaxy 2
（ 0a ）的图象
一元二次方程
的根0
02
a
cbxax
有两相异实根
)(, 2121 xxxx
有两相等实根
a
b
xx
2
21 无实根
的解集)0(
02
a
cbxax
21 xxxxx 或
a
b
xx
2 R
原 命 题
若 p则 q
否 命 题
若 ┐p则 ┐q
逆 命 题
若 q则 p
逆 否 命 题
若 ┐q则 ┐p
互
为
逆
否
互
逆 否
互
为
逆
否
互
互 逆
否
互
的解集)0(
02
a
cbxax
21 xxxx
2.分式不等式的解法
（1）标准化：移项通分化为
)(
)(
xg
xf >0(或
)(
)(
xg
xf <0)；
)(
)(
xg
xf
≥0( 或
)(
)(
xg
xf
≤0)的形式，
（2）转化为整式不等式（组）
0)(
0)()(0
)(
)(
;0)()(0
)(
)(
xg
xgxf
xg
xf
xgxf
xg
xf
3.含绝对值不等式的解法
（1）公式法： cbax , 与 )0(ccbax 型的不等式的解法 .
（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论 .
（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题 .
4.一元二次方程根的分布
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a ≠ 0)
（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之 .
（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之 .
（三）简易逻辑
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单
命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式： p 或 q(记作“ p∨q” ) ；p且 q(记作“ p∧q” ) ；非 p(记作“┑ q” ) 。
3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断
（1）“非 p”形式复合命题的真假与 F的真假相 反；
（2）“ p 且 q”形式复合命题当 P与 q 同为真时 为真，
其他情况时为假；
（3）“ p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时 为假，
其他情况时为真．
4、四种命题的形式：
原命题：若 P则 q； 逆命题：若 q 则 p；
否命题：若┑ P则┑ q；逆否命题：若┑ q 则┑ p。
(1) 交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
(2) 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
(3) 交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．
5、四种命题之间的相互关系：
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系： (原命题 逆否命题 )
①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。
②、原命题为真，它的否命题不一定为真。
③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
6、如果已知 p q 那么我们说， p 是 q的充分条件， q是 p 的必要条件。
若 p q 且 q p, 则称 p是 q 的充要条件，记为 p? q.
7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出 (与已知、公理、定理? )矛盾，从而否定假设
证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
高中数学第二章 -函数
考试内容：
映射、函数、函数的单调性、奇偶性．
反函数．互为反函数的函数图像间的关系．
指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．
对数．对数的运算性质．对数函数．
函数的应用．
考试要求：
（ 1）了解映射的概念，理解函数的概念．
（ 2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．
（ 3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．
（ 4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和性质．
（ 5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．
（ 6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
§02. 函数 知识要点
一、本章知识网络结构：
性质
图像
反函数
F:A B
对数
指数
对数函数
指数函数
二次函数
具体函数
一般研究
函数
定义
映射
二、知识回顾：
（一） 映射与函数
1. 映射与一一映射
2. 函数
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定
后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数 .
3. 反函数
反函数的定义
设函数 ))(( Axxfy 的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表示出，得到
x= (y). 若对于 y在 C中的任何一个值， 通过 x= (y) ，x在 A中都有唯一的值和它对应， 那么，x= (y)
就表示 y 是自变量， x 是自变量 y 的函数，这样的函数 x= (y) (y C)叫做函数 ))(( Axxfy
的反函数，记作 )(1 yfx , 习惯上改写成 )(
1 xfy
（二）函数的性质
⒈函数的单调性
定义：对于函数 f(x) 的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x 2,
⑴若当 x 1⑵若当 x 1f(x 2), 则说 f(x) 在这个区间上是减函数 .
若函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数， 则就说函数 y=f(x) 在这一区间具有 （严格的） 单调性，
这一区间叫做函数 y=f(x) 的单调区间 . 此时也说函数是这一区间上的单调函数 .
2. 函数的奇偶性
正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：
（ 1）定义域在数轴上关于原点对称是函数 )( xf 为奇
函数或偶函数的必要不充分条件； （ 2） )()( xfxf 或
)()( xfxf 是定义域上的恒等式。
2．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数
的图象关于 y 轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也
可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。
3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增
减性相反 .
4．如果 )( xf 是偶函数， 则 |)(|)( xfxf ，反之亦成立。
若奇函数在 0x 时有意义，则 0)0(f 。
7. 奇函数，偶函数：
⑴偶函数： )()( xfxf
设（ ba, ）为偶函数上一点，则（ ba, ）也是图象上一点 .
偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于 y轴对称，例如： 12xy 在 )1,1[ 上不是偶函数 .
▲
x
y
②满足 )()( xfxf ，或 0)()( xfxf ，若 0)(xf 时， 1
)(
)(
xf
xf .
⑵奇函数： )()( xfxf
设（ ba, ）为奇函数上一点，则（ ba, ）也是图象上一点 .
奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如： 3xy 在 )1,1[ 上不是奇函数 .
②满足 )()( xfxf ，或 0)()( xfxf ，若 0)( xf 时， 1
)(
)(
xf
xf .
8. 对称变换：① y = f （x） ）（轴对称 xfyy
② y = f（x） ）（轴对称 xfyx
③ y =f（x） ）（原点对称 xfy
9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：
在进行讨论 .
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域 .
例如：已知函数 f（x）= 1+
x
x
1
的定义域为 A，函数 f [ f （x） ]的定义域是 B，则集合 A与集合 B之间
的关系是 .
解： )(xf 的值域是 ))(( xff 的定义域 B ， )(xf 的值域 R，故 RB ，而 A 1| xx ，故 AB .
11. 常用变换：
①
)(
)(
)()()()(
yf
xf
yxfyfxfyxf .
证： )()(])[()(
)(
)()( yfyxfyyxfxf
xf
yfyxf
② )()()()()()( yfxfyxfyfxf
y
x
f
证： )()()()( yf
y
x
fy
y
x
fxf
12. ⑴熟悉常用函数图象：
例： ||2 xy → || x 关于 y轴对称 .
|2|
2
1
x
y →
||
2
1
x
y →
|2|
2
1
x
y
▲
x
y
▲
x
y
(0,1)
▲
x
y
(-2,1)
|122| 2 xxy → || y 关于 x轴对称 .
22
1
22
212122
2
22
121
)(
)()(
bxbx
xxxx
bxbxxfxf
x
）（
AB
⑵熟悉分式图象：
例：
3
72
3
12
xx
xy 定义域 },3|{ Rxxx ，
值域 },2|{ Ryyy →值域 x前的系数之比 .
（三）指数函数与对数函数
指数函数 )10( aaay x 且 的图象和性质
a>1 0图
象
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-0.5
-1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
y=1
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-0.5
-1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
y=1
性
质
(1) 定义域： R
（2）值域：（ 0，+∞）
（3）过定点（ 0，1），即 x=0时， y=1
(4)x>0 时， y>1;x<0 时， 00 时， 01.
（5）在 R 上是增函数 （ 5）在 R上是减函数
对数函数 y=log ax的图象和性质 :
对数运算：
▲
x
y
2
3
a
a
N
n
a
n
a
a
a
a
b
Na
n
M
nM
N
M
NM
a
1
llog
log
lo
1
log
log
loglog
)(log
2
log
推论：
换底公式：
（以上 10且...aa,a1,c0,c1,b0,b1,a0,a0,N0,M n21 ）
a>1 0注
⑴ ：
当
0,ba
时 ，
l o g ()l o g ( aba
.
⑵ ：
当
0M
时 ，
取
“ +
” ，
当 n
是偶数时且 0M 时， 0nM ，而 0M ，故取“—” .
例如： xxx aaa log2(log2log
2
中 x＞0 而 2log xa 中 x∈R）.
⑵ xay （ 1,0 aa ）与 xy alog 互为反函数 .
当 1a 时， xy alog 的 a值越大，越靠近 x轴；当 10 a 时，则相反 .
（四）方法总结
⑴. 相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同 .
⑴对数运算：
nanaaa
cba
b
b
a
N
a
n
a
a
n
a
aaa
aaa
aaaa
acb
a
N
N
Na
M
n
M
MnM
NM
N
M
NMNM
n
a
1121
loglog...loglog
1logloglog
log
log
log
log
1
log
loglog
logloglog
loglog)(log
32
log
)12
)1(
推论：
换底公式：
图
象
y=log a x
O
y
x
a>1
a<1x=1
性
质
（1）定义域：（0，+∞）
（2）值域： R
（3）过点（ 1，0），即当 x=1 时， y=0
（4） )1,0(x 时 0y
),1(x 时 y>0
)1,0(x 时 0y
),1(x 时 0y
（5）在（ 0，+∞）上是增函数 在（ 0， +∞）上是减函数
（以上 10且...aa,a1,c0,c1,b0,b1,a0,a0,N0,M n21 ）
注⑴：当 0,ba 时， )log()log()log( baba .
⑵：当 0M 时，取“ +”，当 n是偶数时且 0M 时， 0nM ，而 0M ，故取“—” .
例如： xxx aaa log2(log2log
2
中 x＞0而
2log xa 中 x∈R） .
⑵ xay （ 1,0 aa ）与 xy alog 互为反函数 .
当 1a 时， xy alog 的 a值越大，越靠近 x轴；当 10 a 时，则相反 .
⑵. 函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法 .
⑶. 反函数的求法：先解 x, 互换 x、y，注明反函数的定义域 (即原函数的值域 ).
⑷. 函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域 .常
涉及到的依据为①分母不为 0；②偶次根式中被开方数不小于 0；③对数的真数大于 0，底数大于零且不
等于 1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等 .
⑸ . 函数值域的求法：①配方法 (二次或四次 )；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式
法；⑥函数的单调性法 .
⑹. 单调性的判定法：①设 x1 ,x 2是所研究区间内任两个自变量，且 x 1＜ x 2 ；②判定 f(x 1)与 f(x 2 )
的大小；③作差比较或作商比较 .
⑺ . 奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算 f(-x) 与 f(x) 之间的关系：①
f(-x)=f(x) 为偶函数； f(-x)=-f(x) 为奇函数；② f(-x)-f(x)=0 为偶；f(x)+f(-x)=0 为奇；③ f(-x)/f(x)=1
是偶； f(x) ÷ f(-x)=-1 为奇函数 .
⑻. 图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、
翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象 .
高中数学 第三章 数列
考试内容：
数列．
等差数列及其通项公式．等差数列前 n 项和公式．
等比数列及其通项公式．等比数列前 n 项和公式．
考试要求：
（ 1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公
式写出数列的前几项．
（ 2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题．
（ 3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，井能解决简单的实际问题．
§03. 数 列 知识要点
数列
数列的定义
数列的有关概念
数列的通项
项
项数
通项
1. ⑴等差、等比数列：
等差数列 等比数列
定义 常数）为 (}{ 1 daaPAa nnn 常数）为 (}{ 1 q
a
a
PGa
n
n
n
通 项公
式
na = 1a +（ n-1 ） d= ka +（ n-k ）
kn
k
n
n qaqaa
1
1
等差数列 等比数列
定义 daa nn 1 )0(1 qq
a
a
n
n
递 推 公
式
daa nn 1 ； mdaa nmn
qaa nn 1 ；
mn
mn qaa
通 项 公
式
dnaan )1(1 1
1
n
n qaa （ 0,1 qa ）
中项
2
knkn aaA
（ 0,, * knNkn ）
)0( knknknkn aaaaG
（ 0,, * knNkn ）
前 n 项
和
)(
2
1 nn aa
n
S
d
nn
naSn 2
)1(
1
)2(
11
1
)1(
11
1
q
q
qaa
q
qa
qna
S n
n
n
重 要 性
质
)
,,,,( *
qpnm
Nqpnmaaaa qpnm ),,,,(
* qpnmNqpnmaaaa qpnm
等差数列
等差数列的定义
等差数列的通项
等差数列的性质
等差数列的前 n项和
等比数列
等比数列的定义
等比数列的通项
等比数列的性质
等比数列的前 n项和
d= dn+ 1a -d
求 和公
式
n
d
an
d
d
nn
na
aan
s nn
)
2
(
2
2
)1(
2
)(
1
2
1
1
)1(
11
)1(
)1(
11
1
q
q
qaa
q
qa
qna
s n
n
n
中 项公
式
A=
2
ba
推广： 2 na = mnmn aa abG
2
。推广： mnmnn aaa
2
性
质
1
若 m+n=p+q则 qpnm aaaa 若 m+n=p+q，则 qpnm aaaa 。
2 若 }{ nk 成 A.P（其中 Nkn ）则 }{ nka
也为 A.P。
若 }{ nk 成等比数列 （其中 Nkn ），
则 }{
nka 成等比数列。
3
． nnnnn sssss 232 ,, 成等差数列。 nnnnn sssss 232 ,, 成等比数列。
4
)(
1
1 nm
nm
aa
n
aa
d nmn
1
1
a
aq nn ，
m
nmn
a
aq
)( nm
5
⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：
① ),2(1 为常数dndaa nn
② 2 11 nnn aaa ( 2n )
③ bknan ( kn, 为常数 ).
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：
① )0,,2(1 且为常数qnqaa nn
② 11
2
nnn aaa ( 2n ， 011 nnn aaa )
①
注①： i. acb ，是 a、b、c成等比的双非条件，即 acb a、b、c 等比数列 .
ii. acb （ac＞0）→为 a、b、c 等比数列的充分不必要 .
iii. acb →为 a、b、c 等比数列的必要不充分 .
iv. acb 且 0ac →为 a、b、c等比数列的充要 .
注意：任意两数 a、c 不一定有等比中项，除非有 ac＞ 0，则等比中项一定有两个 .
③ nn cqa ( qc, 为非零常数 ).
④正数列 { na }成等比的充要条件是数列 { nx alog }（ 1x ）成等比数列 .
⑷数列 { na }的前 n项和 nS 与通项 na 的关系： )2(
)1(
1
11
nss
nas
a
nn
n
[ 注 ] ： ① danddnaan 11 1 （ d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差
数列）→若 d 不为 0，则是等差数列充分条件） .
②等差 { na }前 n 项和 n
d
an
d
BnAnSn
22
1
22 →
2
d 可以为零也可不为零→为等差的充要条件→
若 d 为零，则是等差数列的充分条件；若 d 不为零，则是等差数列的充分条件 .
③非零．．常数列既可为等比数列，也可为等差数列 . （不是非零，即不可能有等比数列）
2. ①等差数列依次每 k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的 k2倍 ...,, 232 kkkkk SSSSS ；
②若等差数列的项数为 2 Nnn ，则 ，奇偶 ndSS
1n
n
a
a
S
S
偶
奇
；
③若等差数列的项数为 Nnn 12 ，则 nn anS 1212 ，且 naSS 偶奇 ，
1n
n
S
S
偶
奇
得到所求项数到代入 12nn .
3. 常用公式：① 1+2+3 ? +n =
2
1nn
②
6
121
321 2222
nnn
n
③
2
2
1
321 3333
nn
n
[ 注 ] ：熟悉常用通项： 9， 99，999，? 110nna ； 5，55， 555，? 110
9
5 n
na .
4. 等比数列的前 n项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题 . 例如，第一年产量为 a，年增长率为 r，则每年的产量成等比数列，
公比为 r1 . 其中第 n年产量为 1)1( nra ，且过 n年后总产量为：
.
)1(1
])1([
)1(...)1()1( 12
r
raa
rararaa
n
n
⑵银行部门中按复利计算问题 . 例如：一年中每月初到银行存 a元，利息为 r ，每月利息按复利计算，则
每月的 a元过 n个月后便成为 nra )1( 元 . 因此，第二年年初可存款：
)1(...)1()1()1( 101112 rararara =
)1(1
])1(1)[1(
12
r
rra .
⑶分期付款应用题： a为分期付款方式贷款为 a元； m为 m个月将款全部付清； r 为年利率 .
11
11111......111 21 m
mm
mmmm
r
rarx
r
rxraxrxrxrxra
5. 数列常见的几种形式：
⑴ nnn qapaa 12 （p、q为二阶常数） 用特证根方法求解 .
具体步骤：①写出特征方程 qPxx 2 （ 2x 对应 2na ， x 对应 1na ），并设二根 21 , xx ②若 21 xx 可设
nn
n xcxca 2211. ，若 21 xx 可设
n
n xncca 121 )( ；③由初始值 21 ,aa 确定 21 ,cc .
⑵ rPaa nn 1 （P、 r 为常数） 用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数 n 转化为
nnn qaPaa 12 的形式，再用特征根方法求 na ；④
1
21
n
n Pcca （公式法）， 21 ,cc 由 21,aa 确定 .
①转化等差，等比：
1
)( 11
P
r
xxPxPaaxaPxa nnnn .
②选代法： rrPaPrPaa nnn )( 21 xPxaP
r
P
P
r
aa nnn
1
1
1
1 )(1
)
1
(
rrPaP nn Pr21
1 .
③用特征方程求解： 相减，
rPaa
rPaa
nn
nn
1
1
1na 111 1 nnnnnn PaaPaPaPaa ）（ .
④由选代法推导结果：
P
rP
P
racPca
P
rac
P
rc nnn 1111
1
11
1
2121 ）（，， .
6. 几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前 n项和为 nS ，在 0d 时，有最大值 . 如何确定使 nS 取最大值时的 n值，有两种方法：
一是求使 0,0 1nn aa ，成立的 n值；二是由 n
d
an
d
Sn )2
(
2 1
2
利用二次函数的性质求 n的值 .
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积， 求此数列前 n项和可依照等比数列前
n项和的推倒导方法：错位相减求和 . 例如： ,...
2
1)12,...(
4
13,
2
11 nn
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，
公差是两个数列公差 21 dd ， 的最小公倍数 .
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： (1) 定义法 :对于 n≥ 2 的任意自然数 , 验证
)(
1
1
n
n
nn
a
a
aa 为 同 一 常 数 。 (2) 通 项 公 式 法 。 (3) 中 项 公 式 法 : 验 证
212 nnn aaa Nnaaa nnn )( 2
2
1 都成立。
3. 在等差数列｛ na ｝中 ,有关 Sn 的最值问题： (1) 当 1a >0,d<0 时，满足 0
0
1m
m
a
a
的项数 m使得 ms 取最
大值 . (2) 当 1a <0,d>0 时，满足 0
0
1m
m
a
a
的项数 m使得 ms 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时 ,
注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法
1. 公式法 : 适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2. 裂项相消法 :适用于
1nn aa
c
其中 { na }是各项不为 0的等差数列， c 为常数；部分无理数列、
含阶乘的数列等。
3.错位相减法 :适用于 nnba 其中 { na }是等差数列， nb 是各项不为 0的等比数列。
4. 倒序相加法 : 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法 .
5.常用结论
1） : 1+2+3+...+n =
2
)1(nn
2） 1+3+5+...+(2n-1) = 2n
3）
2
333 )1(
2
121 nnn
4 ） )12)(1(
6
1321 2222 nnnn
5）
1
11
)1(
1
nnnn
)
2
11
(
2
1
)2(
1
nnnn
6） )()11(
11
qp
qppqpq
高中数学第四章 -三角函数
考试内容：
角的概念的推广．弧度制．
任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式 . 正弦、余弦的诱导公式．
两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．
正弦函数、 余弦函数的图像和性质． 周期函数． 函数 y=Asin( ω x+φ )的图像． 正切函数的图像和性质． 已
知三角函数值求角．
正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．
考试要求：
（ 1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．
（ 2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本
关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．
（ 3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
（ 4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
（ 5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数
y=Asin( ω x+φ )的简图，理解 A.ω、φ的物理意义．
（ 6）会由已知三角函数值求角，并会用符号 arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示．
（ 7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．
（ 8）“同角三角函数基本关系式： sin2 α+cos2α =1，sin α /cos α=tanα ,tan α?cosα =1”．
§04. 三角函数 知识要点
1. ①与 （0°≤ ＜360°）终边相同的角的集合 （角 与角 的终边重合） ： Zkk ,360|
②终边在 x 轴上的角的集合： Zkk ,180|
③终边在 y 轴上的角的集合： Zkk ,90180|
④终边在坐标轴上的角的集合： Zkk ,90|
⑤终边在 y=x 轴上的角的集合： Zkk ,45180|
⑥终边在 xy 轴上的角的集合： Zkk ,45180|
⑦若角 与角 的终边关于 x 轴对称，则角 与角 的关系： k360
⑧若角 与角 的终边关于 y 轴对称，则角 与角 的关系： 180360 k
⑨若角 与角 的终边在一条直线上，则角 与角 的关系： k180
⑩角 与角 的终边互相垂直，则角 与角 的关系： 90360 k
2. 角度与弧度的互换关系： 360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30 °=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零 .
、弧度与角度互换公式： 1rad ＝ 180°≈ 57.30°=57° 18ˊ． 1 °＝
180
≈ 0.01745 （ rad）
3、弧长公式： rl || . 扇形面积公式： 2
1 1
| |
2 2
s lr r扇形
4、三角函数：设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于 原点的）一点 P
x
y
tan ；（ x,y ） P 与原点的距离为 r，则
r
y
sin ；
r
xcos ；
y
x
cot ；
x
r
sec ； .
y
rcsc .
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
y
x
▲
SIN COS三角函数值大小关系图
sinx
cosx
1、2、3、4表示第一、二、三、
四象限一半所在区域
1
23
4
1
2 3
4
sinx
sinx sinx
cosxcosx
cosx
r
o x
y a的终边
P（ x,y )
正切、余切余弦、正割
-
-
-
-
- +
+
+
++
-
+
正弦、余割
o oox
y
x
y
x
y
6、三角函数线
正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： AT.
7. 三角函数的定义域：
三角函数 定义域
)( xf sin x Rxx |
)( xf cosx Rxx |
)( xf tan x
ZkkxRxx ,
2
1| 且
)( xf cot x ZkkxRxx ,| 且
)( xf secx
ZkkxRxx ,
2
1
| 且
)( xf cscx ZkkxRxx ,| 且
8、同角三角函数的基本关系式： tan
cos
sin
cot
sin
cos
1cottan 1sincsc 1cossec
1cossin
22
1tansec
22 1cotcsc 22
9、诱导公式：
2
k
把 的三角函数化为 的三角函数，概括为：
“奇变偶不变，符号看象限”
三角函数的公式：（一）基本关系
公式组二 公式组三
xxk
xxk
xxk
xxk
cot)2cot(
tan)2tan(
cos)2cos(
sin)2sin(
xx
xx
xx
xx
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
公式组四 公式组五 公式组六
公式组一
sinx·cscx=1 tanx=
x
x
cos
sin
sin
2
x+cos
2
x=1
cosx·secx x=
x
x
sin
cos
1+tan2 x =sec2x
tanx· cotx=1 1+cot2x=csc2x
=1
T
M AO
P
x
y
(3) 若 o(2)(1)
|sinx|>|cosx|
|cosx|>|sinx||cosx|>|sinx|
|sinx|>|cosx|
sinx>cosx
cosx>sinx
16. 几个重要结论 :
O Ox
y
x
y
xx
xx
xx
xx
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
xx
xx
xx
xx
cot)2cot(
tan)2tan(
cos)2cos(
sin)2sin(
xx
xx
xx
xx
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
（二）角与角之间的互换
公式组一 公式组二
sinsincoscos)cos( cossin22sin
sinsincoscos)cos( 2222 sin211cos2sincos2cos
sincoscossin)sin( 2tan1
tan22tan
sincoscossin)sin(
2
cos1
2
sin
tantan1
tantan
)tan(
2
cos1
2
cos
tantan1
tantan
)tan(
公式组三 公式组四 公式组五
2
tan1
2
tan2
sin
2
2
tan1
2
tan1
cos
2
2
2
tan1
2
tan2
tan
2
4
26
75cos15sin ,
4
26
15cos75sin , 3275cot15tan , 3215cot75tan .
10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：
xAy sin
（A、 ＞0）
定义域 R R R
值域 ]1,1[ ]1,1[ R R
AA,
coscos
2
1sinsin
coscos
2
1
coscos
sinsin
2
1sincos
sinsin
2
1
cossin
2
cos
2
sin2sinsin
2
sin
2
cos2sinsin
2
cos
2
cos2coscos
2
sin
2
sin2coscos
sin
cos1
cos1
sin
cos1
cos1
2
tan
ZkkxRxx ,
2
1
| 且 ZkkxRxx ,| 且
xy cotxy tanxy cosxy sin
sin)
2
1cos(
cos)
2
1sin(
cot)
2
1
tan(
sin)
2
1cos(
cos)
2
1
sin(
cot)
2
1
tan(
周期性 2 2 2
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 当 ,0 非奇非偶
当 ,0 奇函数
单调性
]2
2
,2
2
[
k
k
上 为 增 函
数 ；
]2
2
3
,2
2
[
k
k
上 为 减 函
数（ Zk ）
]2
,12[
k
k
；
上 为 增 函
数
]12
,2[
k
k
上 为 减 函
数
（ Zk ）
kk
2
,
2
上 为 增 函 数
（ Zk ）
1, kk 上为减函
数（ Zk ）
)(2
12
),(2
2
A
k
A
k
上为增函数；
)(2
32
),(2
2
A
k
A
k
上 为 减 函 数
（ Zk ）
注意：① xy sin 与 xy sin 的单调性正好相反； xy cos 与 xy cos 的单调性也同样相反 . 一般地， 若
)( xfy 在 ],[ ba 上递增（减），则 )(xfy 在 ],[ ba 上递减（增） .
② xy sin 与 xy cos 的周期是 .
③ )sin( xy 或 )cos( xy （ 0）的周期 2T .
2
tan xy 的周期为 2 （ 2TT ，如图，翻折无效） .
④ )sin( xy 的对称轴方程是
2
kx （ Zk ），对称中心（ 0,k ）； )cos( xy 的对称轴方程
是 kx （ Zk ），对称中心（ 0,
2
1
k ）； )tan( xy 的对称中心（ 0,2
k
） .
xxyxy 2cos)2cos(2cos 原点对称
⑤当 tan · ,1tan )(
2
Zkk ； tan · ,1tan )(
2
Zkk .
⑥ xy cos 与 kxy 2
2
sin 是同一函数 ,而 )( xy 是偶函数，则
)cos()
2
1sin()( xkxxy .
⑦函数 xy tan 在 R上为增函数 .（×） [ 只能在某个单调区间单调递增 . 若在整个定义域， xy tan 为
增函数，同样也是错误的 ].
⑧定义域关于原点对称是 )( xf 具有奇偶性的必要不充分条件 . （奇偶性的两个条件：一是定义域关于原
点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数： )()( xfxf ，奇函数： )()( xfxf ）
▲
O
y
x
奇偶性的单调性：奇同偶反 . 例如： xy tan 是奇函数， )
3
1tan( xy 是非奇非偶 .（定义域不关于原
点对称）
奇函数特有性质：若 x0 的定义域，则 )(xf 一定有 0)0(f . （ x0 的定义域，则无此性质）
⑨ xy sin 不是周期函数； xy sin 为周期函数（ T ）；
xy cos 是周期函数（如图）； xy cos 为周期函数（ T ）；
2
1
2cos xy 的周期为 （如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
Rkkxfxfy ),(5)( .
⑩
a
b
babay cos)sin(sincos 22 有 yba 22 .
11、三角函数图象的作法：
１）、几何法：
２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线） .
３）、利用图象变换作三角函数图象．
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数 y＝Asin（ωx＋φ）的振幅 |A| ，周期 2
| |
T ，频率
1 | |
2
f
T
，相位 ;x 初相 （即当 x＝
0 时的相位）．（当 A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
由 y＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当 |A| ＞1）或缩短（当 0＜|A| ＜ 1）到原
来的 |A| 倍，得到 y＝Asinx 的图象，叫做 振幅变换 或叫沿 y 轴的伸缩变换．（用 y/A 替换 y）
由 y＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（ 0＜ |ω |＜ 1）或缩短（ |ω |＞1）到原来
的 1| |倍，得到 y＝sin ω x 的图象，叫做 周期变换 或叫做沿 x 轴的伸缩变换． (用ωx 替换 x)
由 y＝sinx 的图象上所有的点向左（当 φ＞0）或向右（当 φ＜0）平行移动｜ φ｜个单位，得到 y
＝ sin （x＋φ）的图象，叫做 相位变换 或叫做沿 x 轴方向的平移． (用 x＋φ替换 x)
由 y＝sinx 的图象上所有的点向上 （当 b＞0）或向下（当 b＜0）平行移动｜ b｜个单位， 得到 y＝sinx
＋ b的图象叫做沿 y轴方向的平移．（用 y+(-b) 替换 y）
由 y＝sinx 的图象利用图象变换作函数 y＝Asin（ωx＋φ）（A＞ 0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特
别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x轴量伸缩量的区别。
4、反三角函数：
函数 y＝ sin x，
22
，x 的反函数叫做 反正弦函数 ，记作 y＝ arcsin x，它的定义域是［－ 1，1］，值域
是
22
，－ ．
函数 y＝cosx，（x∈［0，π］）的反应函数叫做 反余弦函数 ，记作 y＝arccos x，它的定义域是［－
1，1］，值域是［ 0，π］．
▲
y
x
y=cos|x|图象
▲
1/2
y
x
y=|cos2x+1/2|图象
函数 y＝ tan x，
22
，x
的反函数叫做 反正切函数 ，记作 y＝arctan x，它的定义域是 （－∞，＋∞），
值域是
22
，
．
函数 y＝ctg x，［ x∈（ 0，π）］的反函数叫做 反余切函数 ，记作 y＝arcctg x，它的定义域是（－
∞，＋∞），值域是（ 0，π）．
II. 竞赛知识要点
一、反三角函数 .
1. 反三角函数：⑴反正弦函数 xy arcsin 是奇函数，故 xx arcsin)arcsin( ， 1,1x （一定要注明
定义域，若 ,x ，没有 x与 y一一对应，故 xy sin 无反函数）
注： xx)sin(arcsin ， 1,1x ，
2
,
2
arcsin x .
⑵反余弦函数 xy arccos 非奇非偶，但有 kxx 2)arccos()arccos( ， 1,1x .
注：① xx)cos(arccos ， 1,1x ， ,0arccosx .
② xy cos 是偶函数， xy arccos 非奇非偶，而 xy sin 和 xy arcsin 为奇函数 .
⑶反正切函数： xy arctan ，定义域 ),( ，值域（
2
,
2
）， xy arctan 是奇函数，
xx arctan)arctan( ， x ),( .
注： xx)tan(arctan ， x ),( .
⑷反余切函数： xarcy cot ，定义域 ),( ，值域（
2
,
2
）， xarcy cot 是非奇非偶 .
kxarcxarc 2)cot()cot( ， x ),( .
注：① xxarc )cotcot( ， x ),( .
② xy arcsin 与 )1arcsin( xy 互为奇函数， xy arctan 同理为奇而 xy arccos 与 xarcy cot 非奇非偶但
满足 ]1,1[,2)cot(cot]1,1[,2arccos)arccos( xkxarcxarcxkxx .
⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：
a的取值范围 解集 a的取值范围 解集
① axsin 的解集 ② axcos 的解集
a ＞1 a ＞1
a =1 Zkakxx ,arcsin2| a =1 Zkakxx ,arccos2|
a ＜1 Zkakxx k ,arcsin1| a ＜1 Zkakxx ,arccos|
③ axtan 的解集： Zkakxx ,arctan|
③ axcot 的解集： Zkakxx ,cotarc|
二、三角恒等式 .
组一
组二
n
k
n
n
nk
1
2
sin2
sin
2
cos
8
cos
4
cos
2
cos
2
cos
n
k d
ndxdn
ndxdxxkdx
0 sin
)cos())1sin((
)cos()cos(cos)cos(
n
k d
ndxdn
ndxdxxkdx
0 sin
)sin())1sin((
)sin()sin(sin)sin(
tantantantantantan1
tantantantantantan)tan(
组三 三角函数不等式
xsin ＜ x＜ )
2
,0(,tan xx
x
xxf sin)( 在 ),0( 上是减函数
若 CBA ，则 CxyBxzAyzzyx cos2cos2cos2222
高中数学第五章 -平面向量
考试内容：
向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量
积．平面两点间的距离、平移．
考试要求：
（ 1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．
（ 2）掌握向量的加法和减法．
（ 3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．
（ 4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．
（ 5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的
问题，掌握向量垂直的条件．
（ 6）掌握平面两点间的距离公式， 以及线段的定比分点和中点坐标公式， 并且能熟练运用掌握平移公式．
§05. 平面向量 知识要点
1. 本章知识网络结构
2. 向量的概念
(1) 向量的基本要素：大小和方向 . (2) 向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示： a；
cos3cos43cos
sin4sin33sin
3
3
22
22
coscos
sinsinsinsin
sin2
2sin
2cos...4cos2coscos 1
1
n
n
n
坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ） .
(3) 向量的长度：即向量的大小，记作｜ a｜.
(4) 特殊的向量：零向量 a＝O ｜a｜＝ O.
单位向量 aO为单位向量 ｜aO｜＝ 1.
(5) 相等的向量：大小相等，方向相同 (ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ 2）
21
21
yy
xx
(6) 相反向量： a=- b b=- a a+b=0
(7) 平行向量 (共线向量 )：方向相同或相反的向量，称为平行向量 . 记作 a∥b.平行向量也称为共线向量 .
3. 向量的运算
运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质
向量的
加法
1.平行四边形法则
2.三角形法则 1 2 1 2( , )a b x x y y
a b b a
( ) ( )a b c a b c
ACBCAB
向量的
减法
三角形法则 1 2 1 2( , )a b x x y y
( )a b a b
AB BA , ABOAOB
数
乘
向
量
1. a 是 一 个 向 量 , 满
足 : | | | || |a a
2. >0 时, a a与 同向 ;
<0 时 , a a与 异向 ;
=0 时 , 0a .
( , )a x y
( ) ( )a a
( )a a a
( )a b a b
//a b a b
向
量
的
数
量
积
a b 是一个数
1. 0 0a b或 时，
0a b .
2.
0 0
| || | cos( , )
a b
a b a b a b
且 时，
1 2 1 2a b x x y y
a b b a
( ) ( ) ( )a b a b a b
( )a b c a c b c
2 2 2 2| | | |=a a a x y即
| | | || |a b a b
4.重要定理、公式
(1) 平面向量基本定理
e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数 λ1，
λ 2，使 a＝λ 1e1＋λ 2e2.
(2) 两个向量平行的充要条件
a∥b a＝λb( b≠0) x1y2－x2y1＝O.
(3) 两个向量垂直的充要条件
a⊥b a· b＝O x1x2＋ y1y2＝O.
(4) 线段的定比分点公式
设点 P分有向线段 21PP 所成的比为 λ，即 PP1 ＝λ 2PP ，则
OP ＝
1
1
1OP ＋
1
1
2OP ( 线段的定比分点的向量公式 )
.
1
,
1
21
21
yyy
xx
x
( 线段定比分点的坐标公式 )
当λ＝1 时，得中点公式：
OP ＝
2
1
（ 1OP ＋ 2OP ）或
.
2
,
2
21
21
yy
y
xx
x
(5) 平移公式
设点 P( x，y)按向量 a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点 P′（ x′， y′），
则 PO ＝ OP +a或
.
,
kyy
hxx
曲线 y＝ f （x）按向量 a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：
y－ｋ＝ f （x－ｈ )
(6) 正、余弦定理
正弦定理： .2
sinsinsin
R
C
c
B
b
A
a
余弦定理： a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A，
b2＝c2＋a2－2cacosB，
c2＝a
2
＋b
2
－2abcosC.
（ 7）三角形面积计算公式：
设△ ABC的三边为 a，b，c，其高分别为 ha，hb，hc，半周长为 P，外接圆、内切圆的半径为 R，r .
①S△=1/2 aha=1/2 bhb=1/2 chc ②S△=Pr ③S△=abc/ 4R
④S△=1/2sin C·ab=1/2ac·sin B=1/2cb·sin A ⑤S△= cPbPaPP [ 海伦公式 ]
⑥S△=1/2 （b+c-a）r a[如下图 ]=1/2 （b+a-c） r c=1/2（a+c-b）r b
[ 注 ] ：到三角形三边的距离相等的点有 4 个，一个是内心，其余 3 个是旁心 .
如图： A
BC
O
a
b
c
I
A
B C
D
E
F
I
A
B
C
D
E
F
r a
r a
ra
bc
a
a
bc
A
C
B N
E
F
图1 图2 图3 图4
图 1中的 I 为 S△ABC的内心， S△=Pr
图 2 中的 I 为 S△ABC的一个旁心， S△=1/2（b+c-a） r a
附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点 .
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点 .
内心：三角形三内角的平分线相交于一点 .
垂心：三角形三边上的高相交于一点 .
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点 .
⑸已知⊙ O是△ABC的内切圆，若 BC=a，AC=b，AB=c [ 注： s 为△ABC的半周长 ,即
2
cba ]
则：① AE= as =1/2（b+c-a）
②BN= bs =1/2 （a+c-b）
③ FC= cs =1/2 （a+b-c）
综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图 4） .
特例：已知在 Rt△ABC，c 为斜边，则内切圆半径 r =
cba
abcba
2
（如图 3）.
⑹在△ ABC中，有下列等式成立 CBACBA tantantantantantan .
证明：因为 ,CBA 所以 CBA tantan ，所以 C
BA
BA
tan
tantan1
tantan
， 结论！
⑺在△ ABC中，D是 BC上任意一点，则 DCBD
BC
BCABBDACAD
22
2 .
证明：在△ ABCD中，由余弦定理，有 BBDABBDABAD cos2222 ①
在△ ABC中，由余弦定理有
BCAB
ACBCABB
2
cos
222
②，②代入①，化简
可得， DCBD
BC
BCABBDACAD
22
2 （斯德瓦定理）
①若 AD是 BC上的中线， 222 22
2
1
acbma ；
②若 AD是∠ A的平分线， appbc
cb
t a
2 ，其中 p为半周长；
③若 AD是 BC上的高， cpbpapp
a
ha
2 ，其中 p为半周长 .
⑻△ ABC的判定：
222
bac △ABC为直角△ ∠A + ∠B =
2
D
A
CB
图 5
2c ＜ 22 ba △ABC为钝角△ ∠A + ∠B＜
2
2c ＞ 22 ba △ABC为锐角△ ∠A + ∠B＞
2
附：证明：
ab
cbaC
2
cos
222
，得在钝角△ ABC中， 222222 ,00cos cbacbaC
⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和 .
)(2 2222 bababa
空间向量
1．空间向量的概念：
具有大小和方向的量叫做向量
注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
baABOAOB
baOBOABA
)( RaOP
运算律：⑴加法交换律： abba
⑵加法结合律： )()( cbacba
⑶数乘分配律： baba )(
3 共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． a平
行于 b 记作 ba // ．
当我们说向量 a、 b 共线（或 a // b ）时，表示 a、 b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也
可能是平行直线．
4．共线向量定理及其推论：
共线向量定理： 空间任意两个向量 a、b（ b ≠ 0），a // b 的充要条件是存在实数 λ，使 a＝λ b .
推论：如果 l 为经过已知点 A且平行于已知非零向量 a的直线，那么对于任意一点 O，点 P在直线 l上
的充要条件是存在实数 t 满足等式
tOAOP a．
其中向量 a叫做直线 l的方向向量 .
5．向量与平面平行：
已知平面 和向量 a，作 OA a ，如果直线 OA平行于 或在 内，那么我们说向量 a平行于平面
，记作： //a ．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量
说明：空间任意的两向量都是共面的
6．共面向量定理：
如果两个向量 ,a b 不共线， p 与向量 ,a b 共面的充要条件是存在实数 ,x y使 p xa yb
推论：空间一点 P位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 ,x y，使 MP xMA yMB
或对空间任一点 O，有 OP OM xMA yMB ①
①式叫做平面 MAB的向量表达式
7 空间向量基本定理：
如果三个向量 , ,a b c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组 , ,x y z，使
p xa yb zc
推论：设 , , ,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个
有序实数 , ,x y z，使 OP xOA yOB zOC
8 空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量 ,a b ，在空间任取一点 O，作 ,OA a OB b ，则 AOB叫做向量 a与 b 的夹角，
记作 ,a b ；且规定 0 ,a b ，显然有 , ,a b b a ；若 ,
2
a b ，则称 a与 b 互相垂
直，记作： a b .
9．向量的模：
设 OA a ，则有向线段 OA的长度叫做向量 a的长度或模，记作： | |a .
10．向量的数量积： a b | | | | cos ,a b a b ．
已知向量 AB a和轴 l ， e是 l上与 l 同方向的单位向量，作点 A在 l上的射影 A ，作点 B在 l 上
的射影 B ，则 A B 叫做向量 AB 在轴 l上或在 e上的正射影 .
可以证明 A B 的长度 | | | | cos , | |A B AB a e a e ．
11．空间向量数量积的性质：
（ 1） | | cos ,a e a a e ．（ 2） 0a b a b ．（ 3） 2| |a a a ．
12．空间向量数量积运算律：
（ 1）( ) ( ) ( )a b a b a b ．（2）a b b a（交换律）（3） ( )a b c a b a c（分配律） ．
空间向量的坐标运算
一．知识回顾：
（ 1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的 x 轴是横轴（对应为横坐标）， y 轴是纵轴（对应为纵轴）， z
轴是竖轴（对应为竖坐标） .
①令 a =( a1,a 2, a3), ),,( 321 bbbb ，则
),,( 332211 babababa ))(,,( 321 Raaaa 332211 babababa a ∥
)(,, 332211 Rbababab
3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a 0332211 babababa
222
321 aaaaaa (用到常用的向量模与向量之间的转化： aaaaaa
2 )
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211
||||
,cos
bbbaaa
bababa
ba
baba
②空间两点的距离公式： 212
2
12
2
12 )()()( zzyyxxd .
（ 2）法向量：若向量 a所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 a ，如果 a 那
么向量 a叫做平面 的法向量 .
（ 3）用向量的常用方法：
①利用法向量求点到面的距离定理： 如图，设 n 是平面 的法向量， AB是平面 的一条射线， 其中 A ，
则点 B到平面 的距离为
||
||
n
nAB .
②利用法向量求二面角的平面角定理：设 21 , nn 分别是二面角 l 中平面 , 的法向量，则 21 , nn 所
成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（ 21 , nn 方向相同，则为补角， 21 , nn 反方，则为其夹角） .
③证直线和平面平行定理：已知直线 a 平面 ， DCaBA , ，且 CDE三点不共线，则 a∥ 的充
要条件是存在有序实数对 使 CECDAB . （常设 CECDAB 求解 , 若 , 存在即证毕，
若 , 不存在，则直线 AB与平面相交） .
▲
n
B
C A
▲
n2
n1 C
E
D
A B
高中数学第六章 -不等式
考试内容：
不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．
考试要求：
（ 1）理解不等式的性质及其证明．
（ 2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．
（ 3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
（ 4）掌握简单不等式的解法．
（ 5）理解不等式│ a│ -│ b│≤│ a+b│≤│ a│+│b│
§06. 不 等 式 知识要点
1. 不等式的基本概念
（ 1） 不等（等）号的定义： .0;0;0 babababababa
（ 2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式 .
（ 3） 同向不等式与异向不等式 .
（ 4） 同解不等式与不等式的同解变形 .
2. 不等式的基本性质
（ 1） abba （对称性）
（ 2） cacbba , （传递性）
（ 3） cbcaba （加法单调性）
（ 4） dbcadcba , （同向不等式相加）
（ 5） dbcadcba , （异向不等式相减）
（ 6） bcaccba 0,.
（ 7） bcaccba 0, （乘法单调性）
（ 8） bdacdcba 0,0 （同向不等式相乘）
(9) 0,0 a ba b c d
c d
（异向不等式相除）
1 1
(10) , 0a b ab
a b
（倒数关系）
（ 11） )1,(0 nZnbaba nn 且 （平方法则）
（ 12） )1,(0 nZnbaba nn 且 （开方法则）
3. 几个重要不等式
（ 1） 0,0||, 2aaRa 则若
（ 2） )2||2(2, 2222 ababbaabbaRba 或则、若 （当仅当 a=b时取等号）
（ 3）如果 a, b都是正数，那么 .
2
a bab （当仅当 a=b时取等号）
极值定理：若 , , , ,x y R x y S xy P 则：
○1 如果 P是定值 , 那么当 x=y 时， S的值最小；
○2 如果 S是定值 , 那么当 x=y 时， P的值最大 .
利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等 .
3,
3
a b c
a b c R abc(4) 若 、 、 则 （当仅当 a=b=c时取等号）
0, 2
b a
ab
a b
(5) 若 则 （当仅当 a=b时取等号）
2 2 2 2(6) 0 | | ; | |a x a x a x a x a x a x a a x a时， 或
（ 7） ||||||||||||, bababaRba 则、若
4. 几个著名不等式
（1）平均不等式： 如果 a, b都是正数，那么 2 22 .
1 1 2 2
a b a bab
a b
（当仅当 a=b时取等号）即：
平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（ a、b为正数）：
特别地，
2 2
2( )
2 2
a b a b
ab （当 a = b时，
2 2
2( )
2 2
a b a b
ab）
),,,(
33
2222
时取等cbaRcbacbacba
幂平均不等式：
2
21
22
2
2
1 )...(
1... nn aaan
aaa
注：例如： 2 2 2 2 2( ) ( )( )ac bd a b c d .
常用不等式的放缩法：①
2
1 1 1 1 1 1 1
( 2)
1 ( 1) ( 1) 1
n
n n n n n n n n n
②
1 1 11 1( 1)
1 2 1
n n n n n
n n n n n
（ 2）柯西不等式：
时取等号当且仅当
（
则若
n
n
nnnn
nn
b
a
b
a
b
a
b
a
bbbbaaaababababa
RbbbbRaaaa
3
3
2
2
1
1
22
3
2
2
2
1
22
3
2
2
2
1
2
332211
321321
))(()
;,,,,,,,,
（ 3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数 f(x), 对于定义域中任意两点 1 2 1 2, ( ),x x x x 有
1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .
2 2 2 2
x x f x f x x x f x f x
f f或
则称 f(x) 为凸（或凹）函数 .
5. 不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法 .
6. 不等式的解法
（ 1）整式不等式的解法（根轴法） .
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解 .
特例① 一元一次不等式 ax>b解的讨论；
②一元二次不等式 ax2+bx+c>0( a≠ 0)解的讨论 .
（ 2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
( ) ( ) 0( ) ( )
0 ( ) ( ) 0; 0
( ) 0( ) ( )
f x g xf x f x
f x g x
g xg x g x
（ 3）无理不等式：转化为有理不等式求解
○1
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x g x
f x g x
定义域
○2
0)(
0)(
)]([)(
0)(
0)(
)()(
2 xg
xf
xgxf
xg
xf
xgxf 或 ○3
2)]([)(
0)(
0)(
)()(
xgxf
xg
xf
xgxf
（ 4） .指数不等式：转化为代数不等式
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( 1) ( ) ( ); (0 1) ( ) ( )
( 0, 0) ( ) lg lg
f x g x f x g x
f x
a a a f x g x a a a f x g x
a b a b f x a b
（ 5）对数不等式：转化为代数不等式
( ) 0 ( ) 0
log ( ) log ( )( 1) ( ) 0 ; log ( ) log ( )(0 1) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( )
a a a a
f x f x
f x g x a g x f x g x a g x
f x g x f x g x
（ 6）含绝对值不等式
○1 应用分类讨论思想去绝对值； ○2 应用数形思想；
○3 应用化归思想等价转化
)()()()(
0)()0)(),((0)()(|)(|
)()()(
0)()(|)(|
xgxfxgxf
xgxgxfxgxgxf
xgxfxg
xgxgxf
或
或不同时为
注：常用不等式的解法举例（ x 为正数）：
① 2 31 1 2 4(1 ) 2 (1 )(1 ) ( )
2 2 3 27
x x x x x
②
2 2 2
2 2 32 (1 )(1 ) 1 2 4 2 3(1 ) ( )
2 2 3 27 9
x x xy x x y y
类似于
2 2sin cos sin (1 sin )y x x x x ，③ 1 1 1| | | | | | ( ) 2x x x
x x x
与 同号，故取等
高中数学第七章 -直线和圆的方程
考试内容：
直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式．
两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．
用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．
曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．
圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程．
考试要求：
（ 1）理解直线的倾斜角和斜率的概念， 掌握过两点的直线的斜率公式， 掌握直线方程的点斜式、 两点式、
一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．
（ 2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判
断两条直线的位置关系．
（ 3）了解二元一次不等式表示平面区域．
（ 4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．
（ 5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．
（ 6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程．
§07. 直线和圆的方程 知识要点
一、直线方程 .
1. 直线的倾斜角： 一条直线向上的方向与 x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角， 其中直线与
x轴平行或重合时，其倾斜角为 0，故直线倾斜角的范围是 )0(1800 .
注：①当 90 或 12 xx 时，直线 l 垂直于 x轴，它的斜率不存在 .
②每一条直线都存在惟一的倾斜角， 除与 x轴垂直的直线不存在斜率外， 其余每一条直线都有惟一的斜率，
并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定 .
2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式 .
特别地，当直线经过两点 ),0(),0,( ba ，即直线在 x 轴， y轴上的截距分别为 )0,0(, baba 时，直线方程
是： 1
b
y
a
x .
注：若 2
3
2 xy 是一直线的方程，则这条直线的方程是 2
3
2 xy ，但若 )0(2
3
2 xxy 则不是这
条线 .
附：直线系：对于直线的斜截式方程 bkxy ，当 bk, 均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果
bk, 变化时，对应的直线也会变化 . ①当 b为定植， k变化时，它们表示过定点（ 0， b）的直线束 .②当 k
为定值， b 变化时，它们表示一组平行直线 .
3. ⑴两条直线平行：
1l ∥ 212 kkl 两条直线平行的条件是： ① 1l 和 2l 是两条不重合的直线 . ②在 1l 和 2l 的斜率都存在的前提
下得到的 . 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误 .
（一般的结论是： 对于两条直线 21,ll ，它们在 y轴上的纵截距是 21 ,bb ，则 1l ∥ 212 kkl ，且 21 bb 或 21,ll
的斜率均不存在，即 2121 ABBA 是平行的必要不充分条件，且 21 CC ）
推论：如果两条直线 21 ,ll 的倾斜角为 21, 则 1l ∥ 212l .
⑵两条直线垂直：
两条直线垂直的条件：①设两条直线 1l 和 2l 的斜率分别为 1k 和 2k ，则有 12121 kkll 这里的前提是
21,ll 的斜 率都存在 . ② 0121 kll ，且 2l 的 斜率不 存在或 02k ，且 1l 的斜率 不存在 . （即
01221 BABA 是垂直的充要条件）
4. 直线的交角：
⑴直线 1l 到 2l 的角（方向角）；直线 1l 到 2l 的角，是指直线 1l 绕交点依逆时针方向旋转到与 2l 重合时所
转动的角 ，它的范围是 ),0( ，当 90 时
21
12
1
tan
kk
kk
.
⑵两条相交直线 1l 与 2l 的夹角：两条相交直线 1l 与 2l 的夹角，是指由 1l 与 2l 相交所成的四个角中最小的
正角 ，又称为 1l 和 2l 所成的角，它的取值范围是
2
,0 ，当 90 ，则有
21
12
1
tan
kk
kk .
5. 过两直线
0:
0:
2222
1111
CyBxAl
CyBxAl
的交点的直线系方程 (0)( 222111 CyBxACyBxA 为参数，
0222 CyBxA 不包括在内）
6. 点到直线的距离：
⑴点到直线的距离公式： 设点 ),( 00 yxP ，直线 PCByAxl ,0: 到 l 的距离为 d ，则有
22
00
BA
CByAx
d .
注：
1. 两点 P1(x 1,y 1)、P2(x 2,y 2)的距离公式： 212
2
1221 )()(|| yyxxPP .
特例：点 P(x,y) 到原点 O的距离： 2 2| |OP x y
2. 定比分点坐标分式。若点 P(x,y) 分有向线段
1 2 1 2PP PP PP所成的比为 即 , 其中 P1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2). 则
1
,
1
2121 yyy
xx
x
特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。
3. 直线的倾斜角（ 0°≤ ＜180°）、斜率 : tank
4. 过两点
12
12
222111 ),(),,(
xx
yy
kyxPyxP 的直线的斜率公式： . 1 2( )x x
当 2121 , yyxx （即直线和 x 轴垂直）时，直线的倾斜角 ＝ 90 ，没有斜率 王新敞
⑵两条平行线间的距离公式： 设两条平行直线 )(0:,0: 212211 CCCByAxlCByAxl ，它们之间的距
离为 d ，则有
22
21
BA
CC
d .
注；直线系方程
1. 与直线： Ax+By+C= 0 平行的直线系方程是： Ax+By+m=0.( m?R, C≠m).
2. 与直线： Ax+By+C= 0 垂直的直线系方程是： Bx-Ay+m=0.( m?R)
3. 过定点（ x1, y1）的直线系方程是： A( x- x1)+B( y- y1)=0 (A,B 不全为 0)
4. 过直线 l 1、 l 2交点的直线系方程：（ A1x+B1y+C1）+λ ( A 2x+B2y+C2）=0 ( λ?R） 注：该直线系不含
l 2.
7. 关于点对称和关于某直线对称：
⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等 .
⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相
等 .
若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线 .
⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线
方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点 .
注：①曲线、直线关于一直线（ bxy ）对称的解法： y 换 x，x 换 y. 例：曲线 f ( x , y)=0 关于直线
y=x–2 对称曲线方程是 f ( y+2 , x –2)=0.
②曲线 C: f ( x , y)=0 关于点 (a ,b) 的对称曲线方程是 f (a – x, 2b – y )=0.
二、圆的方程 .
1. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线 C上的 与一个二元方程 0),( yxf 的实数建立了如下关
系：
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解 .
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 .
那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形） .
⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点 ),( yxM 其坐标与方程 0),( yxf 的一种关系，曲线上任一
点 ),( yx 是方程 0),( yxf 的解；反过来，满足方程 0),( yxf 的解所对应的点是曲线上的点 .
注：如果曲线 C的方程是 f(x ,y)=0 ，那么点 P0(x 0 ,y) 线 C上的充要条件是 f(x 0 ,y 0)=0
2. 圆的标准方程：以点 ),( baC 为圆心， r为半径的圆的标准方程是 222 )()( rbyax .
特例：圆心在坐标原点，半径为 r 的圆的方程是： 222 ryx .
注：特殊圆的方程：①与 x轴相切的圆方程 222 )()( bbyax )],(),(,[ bababr 或圆心
②与 y轴相切的圆方程 222 )()( abyax )],(),(,[ babaar 或圆心
③与 x轴 y轴都相切的圆方程 222 )()( aayax )],(,[ aaar 圆心
3. 圆的一般方程： 022 FEyDxyx .
当 0422 FED 时，方程表示一个圆，其中圆心
2
,
2
ED
C ，半径
2
422 FED
r .
当 0422 FED 时，方程表示一个点
2
,
2
ED .
当 0422 FED 时，方程无图形（称虚圆） .
注：①圆的参数方程：
sin
cos
rby
rax
（ 为参数） .
②方程 022 FEyDxCyBxyAx 表示圆的充要条件是： 0B 且 0CA 且 0422 AFED .
③圆的直径或方程：已知 0))(())((),(),( 21212211 yyyyxxxxyxByxA （用向量可征） .
4. 点和圆的位置关系：给定点 ),( 00 yxM 及圆 222 )()(: rbyaxC .
① M 在圆 C内 220
2
0 )()( rbyax
② M 在圆 C上 220
2
0 )() rbyax（
③ M 在圆 C外 220
2
0 )()( rbyax
5. 直线和圆的位置关系：
设圆圆 C ： )0()()( 222 rrbyax ； 直线 l ： )0(0 22 BACByAx ；
圆心 ),( baC 到直线 l 的距离
22 BA
CBbAa
d .
① rd 时， l 与 C相切；
附：若两圆相切，则
0
0
222
22
111
22
FyExDyx
FyExDyx
相减为公切线方程 .
② rd 时， l 与 C相交；
附：公共弦方程：设
有两个交点，则其公共弦方程为 0)()()( 212121 FFyEExDD .
③ rd 时， l 与 C相离 .
附：若两圆相离，则
0
0
222
22
111
22
FyExDyx
FyExDyx
相减为圆心 21OO 的连线的中与线方程 .
由代数特征判断：方程组
0
)()( 222
CBxAx
rbyax 用代入法，得关于 x（或 y）的一元二次方程，其判别
式为 ，则：
l0 与 C相切；
l0 与 C相交；
l0 与 C相离 .
注：若两圆为同心圆则 0111
22 FyExDyx ， 0222
22 FyExDyx 相减，不表示直线 .
6. 圆的切线方程：圆 222 ryx 的斜率为 k的切线方程是 rkkxy 21 过圆 022 FEyDxyx
上一点 ),( 00 yxP 的切线方程为： 022
00
00 F
yy
E
xx
Dyyxx .
①一般方程若点 ( x0 , y0)在圆上，则 ( x – a)( x0 – a)+( y – b)( y0 – b)= R2. 特别地，过圆 222 ryx 上
一点 ),( 00 yxP 的切线方程为
2
00 ryyxx .
②若点 ( x0 , y0)不在圆上，圆心为 (a,b) 则
1
)(
)(
2
11
0101
R
xakyb
R
xxkyy
，联立求出 k 切线方程 .
0:
0:
222
22
2
111
22
1
FyExDyxC
FyExDyxC
A
B CD (a,b)
7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程 . 如图： ABCD四类共圆 . 已知 O
的方程 022 FEyDxyx ?① 又以 ABCD为圆为方程为 2))(())(( kbxyyaxxx AA ?②
4
)()( 222 byaxR AA ?③，所以 BC的方程即③代②，①②相切即为所求 .
三、曲线和方程
1. 曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线 C和方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：
1） 曲线 C上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解（纯粹性）；
2） 方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C上（完备性）。则称方程 f(x,y)=0 为曲线 C的方程，曲
线 C叫做方程 f(x,y)=0 的曲线。
2. 求曲线方程的方法： .
1）直接法：建系设点，列式表标 , 简化检验 ; 2 ）参数法 ; 3 ）定义法， 4 ）待定系数法 .
高中数学第八章 -圆锥曲线方程
考试内容：
椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程．
双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．
抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．
考试要求：
（ 1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．
（ 2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．
（ 3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．
（ 4）了解圆锥曲线的初步应用．
§08. 圆锥曲线方程 知识要点
一、椭圆方程 .
1. 椭圆方程的第一定义：
为端点的线段以
无轨迹
方程为椭圆
212121
2121
2121
,2
,2
,2
FFFFaPFPF
FFaPFPF
FFaPFPF
⑴①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点， 焦点在 x轴上： )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x . ii. 中心在原点， 焦点在 y轴上： )0(12
2
2
2
ba
b
x
a
y .
②一般方程： )0,0(122 BAByAx . ③椭圆的标准参数方程： 12
2
2
2
b
y
a
x
的参数方程为
sin
cos
by
ax
（一
象限 应是属于
2
0 ） .
⑵①顶点： ),0)(0,( ba 或 )0,)(,0( ba .②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长 a2 ，短轴长 b2 .③焦点： )0,)(0,( cc
或 ),0)(,0( cc .④焦距： 2221 ,2 baccFF . ⑤准线： c
ax
2
或
c
ay
2
. ⑥离心率： )10( e
a
ce .
⑦焦点半径：
i. 设 ),( 00 yxP 为椭圆 )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x
上的一点， 21,FF 为左、右焦点，则
由椭圆方程的第二定义可以推出 .
ii. 设 ),( 00 yxP 为椭圆 )0(12
2
2
2
ba
a
y
b
x
上的一点， 21,FF 为上、下焦点，则
由椭圆方程的第二定义可以推出 .
由椭圆第二定义可知： )0()(),0()( 000
2
200
2
01 xaexxc
aepFxexa
c
axepF 归结起来为 “左加右减” .
注意：椭圆参数方程的推导：得 )sin,cos( baN 方程的轨迹为椭圆 .
⑧通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经 .坐标： ),(2
2
2
2
a
bc
a
bd 和 ),(
2
a
bc
⑶共离心率的椭圆系的方程： 椭圆 )0(1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
的离心率是 )( 22 bac
a
ce ，方程 tt
b
y
a
x
(2
2
2
2
是大于 0 的参数， )0ba 的离心率也是
a
ce 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程 .
0201 , exaPFexaPF
0201 , eyaPFeyaPF
⑸若 P是椭圆： 1
2
2
2
2
b
y
a
x 上的点 . 21,FF 为焦点， 若 21PFF ，则 21FPF 的面积为 2
tan2b （用余弦
定理与 aPFPF 221 可得） . 若是双曲线，则面积为 2
cot2b .
二、双曲线方程 .
1. 双曲线的第一定义：
的一个端点的一条射线以
无轨迹
方程为双曲线
212121
2121
2121
,2
2
2
FFFFaPFPF
FFaPFPF
FFaPFPF
⑴①双曲线标准方程： )0,(1),0,(1
2
2
2
2
2
2
2
2
ba
b
x
a
yba
b
y
a
x . 一般方程： )0(122 ACCyAx .
⑵① i. 焦点在 x 轴上：
顶点： )0,(),0,( aa 焦点： )0,(),0,( cc 准线方程
c
a
x
2
渐近线方程： 0
b
y
a
x
或 02
2
2
2
b
y
a
x
ii. 焦点在 y轴上：顶点： ),0(),,0( aa . 焦点： ),0(),,0( cc . 准线方程：
c
ay
2
. 渐近线方程：
0
b
x
a
y 或 0
2
2
2
2
b
x
a
y ，参数方程：
tan
sec
by
ax
或
sec
tan
ay
bx .
②轴 yx, 为对称轴，实轴长为 2a, 虚轴长为 2b，焦距 2c. ③离心率
a
c
e . ④准线距
c
a22 （两准线的
距离）；通径
a
b 22 . ⑤参数关系
a
cebac ,222 . ⑥焦点半径公式： 对于双曲线方程 12
2
2
2
b
y
a
x （ 21,FF
分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则：
aexMF
aexMF
02
01
构成满足 aMFMF 221
aexFM
aexFM
02
01
（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计
算，而双曲线不带符号）
aeyFM
aeyFM
aeyMF
aeyMF
02
01
02
01
⑶等轴双曲线：双曲线 222 ayx 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 xy ，离心率 2e .
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲
线 . 2
2
2
2
b
y
a
x 与 2
2
2
2
b
y
a
x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： 0
2
2
2
2
b
y
a
x .
⑸共渐近线的双曲线系方程： )0(2
2
2
2
b
y
a
x
的渐近线方程为 02
2
2
2
b
y
a
x
如果双曲线的渐近线为
0
b
y
a
x 时，它的双曲线方程可设为 )0(
2
2
2
2
b
y
a
x .
▲
asinacos ,( )
bsinbcos( ),
N
y
x
N的轨迹是椭圆
▲
y
x
M'
M
F1
F2
▲
y
x
M' M
F1 F 2
▲
y
x
F1 F2
1
2
3
4
5
3
3
例如：若双曲线一条渐近线为 xy
2
1
且过 )
2
1,3(p ，求双曲线的方程？
解：令双曲线的方程为： )0(
4
2
2
y
x
，代入 )
2
1
,3( 得 1
28
22 yx .
⑹直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线， 2条与渐近线平行的直线，合计 2条；
区域②：即定点在双曲线上， 1 条切线， 2 条与渐近线平行的直线，合计 3 条；
区域③： 2 条切线， 2 条与渐近线平行的直线，合计 4 条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点， 1 条切线， 1条与渐近线平行的直线，合计 2条；
区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线 .
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条.
（ 2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入 ”“ 法与渐近线求交和两
根之和与两根之积同号 .
⑺若 P在双曲线 12
2
2
2
b
y
a
x
，则常用结论 1：P到焦点的距离为 m = n ，则 P到两准线的距离比为 m︰n.
简证：
e
PF
e
PF
d
d
2
1
2
1 =
n
m .
常用结论 2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b.
三、抛物线方程 .
3. 设 0p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
pxy 22 pxy 22 pyx 22 pyx 22
图形 ▲ y
x
O
▲ y
x
O
▲
y
x
O
▲
y
x
O
焦点
)0,
2
(
p
F )0,
2
(
p
F )
2
,0(
p
F )
2
,0(
p
F
准线
2
px
2
px
2
py
2
py
范围 Ryx ,0 Ryx ,0 0, yRx 0, yRx
对称轴 x轴 y轴
顶点 （0，0）
离心率 1e
焦点
12
x
p
PF 12
x
p
PF 12
y
p
PF 12
y
p
PF
注：① xcbyay 2 顶点 )
24
4(
2
a
b
a
bac .
② )0(22 ppxy 则焦点半径
2
PxPF ; )0(22 ppyx 则焦点半径为
2
PyPF .
③通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的 .
④ pxy 22 （或 pyx 2
2
）的参数方程为
pty
ptx
2
2
2
（或 2
2
2
pty
ptx
）（ t 为参数） .
四、圆锥曲线的统一定义 ..
4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 F和定直线 l 的距离之比为常数 e的点的轨迹 .
当 10 e 时，轨迹为椭圆；
当 1e 时，轨迹为抛物线；
当 1e 时，轨迹为双曲线；
当 0e 时，轨迹为圆（
a
c
e ，当 bac ,0 时） .
5. 圆锥曲线方程具有对称性 . 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称
的 .
因为具有对称性，所以欲证 AB=CD, 即证 AD与 BC的中点重合即可 .
注： 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
椭圆 双曲线 抛物线
定义 1．到两定点 F1,F 2的距离
之和为定值
2a(2a>|F 1F2|) 的点的轨
迹
1．到两定点 F1,F 2的距
离之差的绝对值为定值
2a(0<2a<|F 1F2|) 的点的
轨迹
2．与定点和直线的距离
之比为定值 e的点的轨
迹 .（ 02．与定点和直线的距离
之比为定值 e 的点的轨
迹 . （e>1）
与定点和直线的距离相等
的点的轨迹 .
图形
方
程
标准
方程 12
2
2
2
b
y
a
x ( ba >0
)
12
2
2
2
b
y
a
x (a>0,b>0
)
y 2=2px
参数
方程
为离心角）参数(
sin
cos
by
ax
为离心角）参数(
tan
sec
by
ax
pty
ptx
2
2 2 (t 为参数 )
范围 ─ a x a，─ b y b |x| a，y R x 0
中心 原点 O（ 0，0） 原点 O（ 0，0）
顶点 (a,0), ( ─a,0),
(0,b) , (0, ─b)
(a,0), ( ─a,0) (0,0)
对称轴 x 轴， y 轴；
长轴长 2a, 短轴长 2b
x 轴， y 轴 ;
实轴长 2a, 虚轴长 2b.
x轴
焦点 F1(c,0), F 2(─c,0) F1(c,0), F 2(─c,0)
)0,
2
(
p
F
焦距
2c （c= 22 ba ） 2c （c= 22 ba ）
离心率
)10( e
a
ce )1(e
a
ce
e=1
准线
x=
c
a
2
x=
c
a
2
2
px
渐近线
y=±
a
b x
焦半径 exar )( aexr
2
p
xr
通径
a
b
2
2
a
b
2
2 2p
焦参数
c
a2
c
a 2 P
1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质 .
2. 等轴双曲线
3. 共轭双曲线
5. 方程 y 2=ax与 x 2=ay 的焦点坐标及准线方程 .
6.共渐近线的双曲线系方程 .
高中数学第九章 -立体几何
考试内容
平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．
平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．
直线和平面平行的判定与性质． 直线和平面垂直的判定与性质． 点到平面的距离． 斜线在平面上的射影． 直
线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．
平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质．
多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．
考试要求
（ 1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图 ;能够画出空间两条直线、
直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．
（ 2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面
直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．
（ 3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜
线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理．
（ 4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离
的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．
（ 5）会用反证法证明简单的问题．
（ 6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．
（ 7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．
（ 8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．
（ 9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．
9（B）．直线、平面、简单几何体
考试内容：
平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．
平行直线．
直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理．
两个平面的位置关系．
空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积．
直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．
直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影．
平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性质．
多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．
考试要求：
（ 1）掌握平面的基本性质。 会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图： 能够画出空间两条直线、
直线和平面的各种位置关系的图形 .能够根据图形想像它们的位置关系．
（ 2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念 . 掌握直线和平面垂直的
判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理．
（ 3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘．
（ 4）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念 .掌握空间向量的坐标运算．
（ 5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两
点间距离公式．
（ 6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念．
（ 7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念 .对于异面直线的距离，只要求
会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握两个平面平行、垂直的
判定定理和性质定理．
（ 8）了解多面体、凸多面体的概念。了解正多面体的概念．
（ 9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．
（ 10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质。会画正棱锥的直观图．
（ 11）了解球的概念 .掌握球的性质 . 掌握球的表面积、体积公式．
（考生可在 9（A）和 9（B）中任选其一）
§ 09. 立体几何 知识要点
一、 平面 .
1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面 .
注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内 .
2. 两个平面可将平面分成 3 或 4 部分 . （①两个平面平行，②两个平面相交）
3. 过三条互相平行的直线可以确定 1 或 3 个平面 . （①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一
个平面内平行）
[ 注 ] ：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有 0 或 1个 .
4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分 .（X、Y、Z三个方向）
二、 空间直线 .
1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面 . 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没
有公共点；异面直线—不同在任一平面内
[ 注 ] ：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线 . （×）（可能两条直线平行，也可能是
点和直线等）
②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交
③若直线 a、b异面， a平行于平面 ，b与 的关系是相交、平行、在平面 内 .
④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点 .
⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线 . （×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）
⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等 . （×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和
斜线段）
⑦ ba, 是夹在两平行平面间的线段，若 ba ，则 ba, 的位置关系为相交或平行或异面 .
2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线 .（不
在任何一个平面内的两条直线）
3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行 .
4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同， 那么这两个角相等 （如下图） .
（二面角的取值范围 180,0 ）
（直线与直线所成角 90,0 ）
（斜线与平面成角 90,0 ）
（直线与平面所成角 90,0 ）
（向量与向量所成角 ])180,0[
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等 .
5. 两异面直线的距离：公垂线的长度 .
空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直 .
21 , ll 是异面直线，则过 21 ,ll 外一点 P，过点 P且与 21,ll 都平行平面有一个或没有，但与 21, ll 距离相等的点
在同一平面内 . （ 1L 或 2L 在这个做出的平面内不能叫 1L 与 2L 平行的平面）
三、 直线与平面平行、直线与平面垂直 .
1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内 .
2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平
面平行 .（“线线平行，线面平行”）
[ 注 ] ：①直线 a与平面 内一条直线平行，则 a∥ . （×）（平面外一条直线）
②直线 a与平面 内一条直线相交，则 a与平面 相交 . （×）（平面外一条直线）
③若直线 a与平面 平行，则 内必存在无数条直线与 a平行 . （√）（不是任意一条直线，可利用平行
的传递性证之）
④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面 . （×）（可能在此平面内）
⑤平行于同一直线的两个平面平行 .（×）（两个平面可能相交）
⑥平行于同一个平面的两直线平行 .（×）（两直线可能相交或者异面）
⑦直线 l 与平面 、 所成角相等，则 ∥ .（×）（ 、 可能相交）
1
2
方向相同
1 2
方向不相同
3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那
么这条直线和交线平行 .（“线面平行，线线平行”）
4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一
点有且只有一个平面和一条直线垂直 .
若 PA⊥ ， a⊥ AO，得 a⊥ PO（三垂线定理），
得不出 ⊥ PO . 因为 a⊥ PO，但 PO不垂直 OA.
三垂线定理的逆定理亦成立 .
直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂
直于这个平面 .（“线线垂直，线面垂直”）
直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 .
推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行 .
[ 注 ] ：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行 . （×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．． 的两个平面平行）
②垂直于同一直线的两个平面平行 .（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）
③垂直于同一平面的两条直线平行 .（√）
5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点 ．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜
线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比
任何一条斜线段短 .
[ 注 ] ：垂线在平面的射影为一个点 . [ 一条直线在平面内的射影是一条直线 .（×） ]
⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个
角的平分线上
四、 平面平行与平面垂直 .
1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行 .
2. 平面平行判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面， 哪么这两个平面平行 .（“线
面平行，面面平行”）
推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行 .
[ 注 ] ：一平面间的任一直线平行于另一平面 .
3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行 . （“面面
平行，线线平行”）
4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直 .
两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面 .
（“线面垂直，面面垂直”）
注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系 .
5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一
个平面 .
推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面 .
证明：如图，找 O作 OA、OB分别垂直于 21,ll ，
因为 OBPMOAPM ,,, 则 OBPMOAPM , .
6. 两异面直线任意两点间的距离公式： cos2222 mndnml （ 为锐角取加， 为钝取减， 综上，
都取加则必有
2
,0 ）
7. ⑴最小角定理： 21 coscoscos （ 1为最小角，如图）
⑵最小角定理的应用（∠ PBN为最小角）
简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有 4条 .
P
O
A
a
图1
θ
θ1
θ2
图2
P
θ
M AB
O
成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有 2 条 .
成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有 3条或者 2条 .
成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有 1 条或者没有 .
五、 棱锥、棱柱 .
1. 棱柱 .
⑴①直棱柱侧面积： ChS （ C 为底面周长， h是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的 .
②斜棱住侧面积： lCS 1 （ 1C 是斜棱柱直截面周长， l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面
展开图为平行四边形得出的 .
⑵ {四棱柱 } {平行六面体 } {直平行六面体 } {长方体 } {正四棱柱 } {正方体 }.
{直四棱柱 } {平行六面体 }={ 直平行六面体 }.
四棱柱 平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体
底面是
平行四边形
侧棱垂直
底面
底面是
矩形
底面是
正方形
侧面与
底面边长相等
⑶棱柱具有的性质：
①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．． ；正棱柱的各个侧
面都是全等的矩形．．．．． .
②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等 ．．多边形 .
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形 .
注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱 . （×）
（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）
②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直 .
⑷平行六面体：
定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．． ，并且在交点处互相平分 .
[ 注 ] ：四棱柱的对角线不一定相交于一点 .
定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和 .
推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为 ,, ，则 1coscoscos 222 .
推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为 ,, ，则 2coscoscos 222 .
[ 注 ] ：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 .（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形）
②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱 . （×）（应是各侧面都是正方形的直 ．棱柱才行）
③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体 .（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）
④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直 . （两条边可能相交，
可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）
2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形 .
[ 注 ] ：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形 .
②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以 棱柱棱柱 3VShV .
⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心 .
[ 注 ] ： i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形 . （不是等边三角形）
ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等
iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边
形 .
②正棱锥的侧面积：
'Ch
2
1
S （底面周长为 C，斜高为 'h ）
③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：
cos
底
侧
S
S （侧面与底面成的二面角为 ）
附： 以知 c⊥ l ， bacos ， 为二面角 bla .
则 laS
2
1
1 ① ， blS
2
1
2 ② ， bacos ③ ① ② ③ 得
cos
底
侧
S
S .
注： S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法） .
⑵棱锥具有的性质：
①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的
斜高） .
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的
射影也组成一个直角三角形 .
⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：
①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心 .
②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心 .
③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心 .
④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心 .
⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心 .
⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心 .
⑦每个四面体都有外接球，球心 0 是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；
⑧每个四面体都有内切球，球心 I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径 .
[ 注 ] ： i

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