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简单几何体三视图或直观图问题的解答方法
简单几何体的三视图是指简单几何体的主视图（也称正视图），侧视图（也称左视图）和俯视图。简单几何体的直观图是指直接观察简单几何体所形成的图形。纵观近几年的高考，简单几何体三视图或直观图问题主要包括：①已知简单几何体的直观图，确定简单几何体的三视图；②已知简单几何体的三视图，求简单几何体的表面积（或侧面积或体积）；③与简单几何体直观图相关的问题等几种类型。各种类型的问题在结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同，那么在实际解答简单几何体三视图或直观图问题时，到底应该如何根据问题的结构特征，选用恰当的方法快捷，准确地作出解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、 沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，
则该几何体的侧视图为（ ）


A B C D
【解析】
【知识点】①简单几何体直观图的定义与性质；②简单几何体三视图的定义与性质；③画简单几何体三视图的基本原则和方法。
【解题思路】运用画简单几何体三视图的基本原则和方法，结合问题条件就可得出结果。
【详细解答】根据简单几何体的直观图可知，其侧视图应该是一个正方形，可以排除D，
中间的棱在侧视图中是一条对角线，又可排除C，对角线的方向应该是从左上到右下，排除A，从而正确答案为B，选B。
2、如图所示是物体的实物图，其俯视图是（ ）



A B C D
【解析】
【知识点】①简单几何体直观图的定义与性质；②简单几何体三视图的定义与性质；③画简单几何体三视图的基本原则和方法。
【解题思路】运用画简单几何体三视图的基本原则和方法，结合问题条件就可得出结果。
【详细解答】根据简单几何体的直观图可知，其俯视图应该是一个矩形，中间棱在俯视图中是一个三角形，且一边为矩形左边，可以排除B，D，三角形的另一个顶点在矩形靠右的位置，又可以排除A，从而C正确，选C。
3、如图，下列几何体各自的三视图中，有且只有两个视图相同的是（ ）




A B C D
【解析】
【知识点】①简单几何体直观图的定义与性质；②简单几何体三视图的定义与性质；③画简单几何体三视图的基本原则和方法。
【解题思路】运用画简单几何体三视图的基本原则和方法，结合问题条件就可得出结果。
【详细解答】根据简单几何体的直观图可知，A的三视图是三个相等的正方形，A错误；B的主视图，侧视图都是等腰三角形，俯视图是一个圆，C的主视图，侧视图都是梯形，俯视图是一个大三角形中包含一个小三角形，但主视图的梯形中有一条连接上、下底中点的的线段，D的主视图，侧视图都是三角形，俯视图是一个矩形，但侧视图是直角三角形，可以排除C，D，从而B正确，选B。
4、中国古建筑借助焊卯将木构件连接起来，构件的凸比部分叫焊头，凹进部分叫卯眼。图中木构件右边的小长方形是卯头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）

A B C D
【解析】
【知识点】①简单几何体直观图的定义与性质；②简单几何体三视图的定义与性质；③画简单几何体三视图的基本原则和方法。
【解题思路】运用画简单几何体三视图的基本原则和方法，结合问题条件就可得出结果。
【详细解答】根据简单几何体的直观图可知，其俯视图应该是一个大矩形中包含一个小矩形，且小矩形一个在大矩形左边的中间位置，可以排除C，小矩形的一边在大矩形的左边，其余三边是看不见的，应该用虚线表示，又可以排除B，D，从而正确答案为A，选A。
『思考问题1』
（1）【典例1】是已知简单几何体的直观图，确定简单几何体三视图的问题，解答这类问题需要理解简单几何体三视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法的基本原则和方法；
（2）与几何体三视图相关问题主要包括：①已知简单几何体，识别简单几何体的三视图；②已知简单几何体的三视图，判断简单几何体的形状；③已知简单几何体中的两个视图，确定简单几何体第三个视图；
（3）由简单几何体的直观图，确定简单几何体三视图时，应该注意正（主）视图，侧（左）视图和俯视图的观察方向（看到的部分用实线，重叠的线只画一条，不能看到的部分用虚线）；
（4）由简单几何体的三视图确定简单几何体的形状，需要熟悉柱，锥，台，球的三视图，注意三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为简单几何体的直观图；
（5）由简单几何体的部分视图确定简单几何体其余视图，应该先根据已知的一部分视图，推测简单几何体直观图的可能形式，然后再找其剩余部分视图的可能形式，作为选择题可把选项逐项代入，看是否与已知的视图符合。
〔练习1〕解答下列问题：
1、在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所
示，则相应的侧视图为（ ）
| |
| | 正视图 俯视图
| |
A B C D
2、一个长方体去掉一个小长方体所得几何体
的正（主）视图与侧（左）视图分别如图所示，
则该几何体的俯视图为（ ） 正（主）视图 侧（左）视图



A B C D
3、如图是一个正方体截去两个三棱锥得到的几何体
则该几何体的侧视图为（ ）



A B C D
4、如图是将长方体截去一个四棱锥得到的几何体
（侧面为正方形），则该几何体的左视图为（ ）



A B C D
5、某几何体的三视图如图所示，则
这个几何体的直观图可以是（ ）

正视图 侧视图 俯视图




A B C D
【典例2】解答下列问题：
1、以空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
Ａ　 2+2　　　Ｂ 4+2　　　Ｃ　2+　　　Ｄ　　4+

（1题图） （2题图）
【解析】
【知识点】①简单几何体三视图的定义与性质；②根据简单几何体三视图确定简单几何体直观图的基本方法；③求简单几何体体积的基本方法。
【解题思路】运用简单几何体三视图，确定简单几何体的直观图，结合问题条件利用求简单几何体体积的基本方法通过运算求出结果。
【详细解答】由简单几何体的三视图可知，简单几何体是一个圆柱和一个四棱锥构成的组合体，四棱锥底面是以2为对角线的正方形，高是以2为边的正三角形的高，V=+
=12+=2+，C正确，选C。
2、某三棱锥的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为直角三角形，则该三棱锥四个面的面积中，最大值为（ ）
A 2 B C 3 D
【解析】
【知识点】①简单几何体三视图的定义与性质；②根据简单几何体三视图确定简单几何体直观图的基本方法；③求简单几何体体积的基本方法。
【解题思路】运用简单几何体三视图，确定简单几何体的直观图，结合问题条件利用求平面图形面积的基本方法通过运算求出结果。
【详细解答】根据简单几何体的三视图作出简单几何体
的直观图如图所示，由直观图可知三棱锥底面是腰为 P
的等腰三角形，侧面PBC中，cosBPC=
=， cosBPC=，=23 C
=3，C正确，选C。 B A
3、一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示（均为直角三角形）则该三棱锥的体积为（ ）
A 4 B 8 C 16 D 24

（3题图） （4题图） （题图）
【解析】
【知识点】①简单几何体三视图的定义与性质；②根据简单几何体三视图确定简单几何体直观图的基本方法；③求简单几何体体积的基本方法。
【解题思路】运用简单几何体三视图，确定简单几何体的直观图，结合问题条件利用求简单几何体体积的基本方法通过运算求出结果。
【详细解答】根据简单几何体的三视图作出简单几何体 P
的直观图如图所示，PAAB ，PAAC，AB AC
=A，AB，AC 平面ABC， PA平面ABC，
=24=4，=46=8，B正确，
选B。 B A
4、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是（ ）
A 4 B 6 C 8 D 10 C
【解析】
【知识点】①简单几何体三视图的定义与性质；②根据简单几何体三视图确定简单几何体直观图的基本方法；③求简单几何体体积的基本方法。
【解题思路】运用简单几何体三视图，确定简单几何体的直观图，结合问题条件利用求简单几何体侧面积的基本方法通过运算求出结果。
【详细解答】根据简单几何体的三视图作出简单几何体
直观图如图所示，由简单几何体的直观图可知，简单几
何体是一个圆柱体，圆柱体的底面直径为2，高为4，
=24=8，B正确，选B。
5、某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示，如果网络纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 ；
【解析】
【知识点】①简单几何体三视图的定义与性质；②根据简单几何体三视图确定简单几何体直观图的基本方法；③求简单几何体体积的基本方法。
【解题思路】运用问题条件，利用求简单几何体体积的基本方法分别求出正方体，四棱柱的体积，再求出两个简单几何体的差就可得出结果。
【详细解答】问题条件已经确定简单几何体是一个正方体截去一个四棱柱剩下的部分，
=444=64，=（2+4）24=24，简单几何体的体积=64-24=40。
『思考问题2』
（1）【典例2】是已知简单几何体的三视图，求简单几何体的体积（或表面积或侧面积）的问题，解决这类问题需要理解简单几何体体积，表面积，侧面积的定义，掌握各种简单几何体体积，表面积，侧面积的计算公式和方法；
（2）已知简单几何体的三视图，求该简单几何体的体积，表面积，侧面积的基本方法是：①根据简单几何体的三视图还原简单几何体的直观图；②求出各个面的面积（或底面面积和高）；③求各个面积求和（或运用公式求出体积或求出各个侧面面积的和）；
（3）以三视图为载体求简单几何体的体积，表面积，侧面积问题的关键是对给出的三视图进行恰当的分析还原简单几何体的直观图，确定几何体是什么几何体；根据三视图还原简单几何体直观图时要注意三视图画法的基本原则：①长对 ；②高平 ；③宽 ；三视图中的实，虚线实际上是原几何体中的可视线与被遮挡的线，注意想象简单几何体原形，进行三视图还原，准确画出简单几何体的直观图是解决该类问题的关键；还原后的简单几何体应该是比较熟悉的柱，锥，台，球或其简单的组合体。
（4）求解简单几何体的体积，表面积，侧面积综合问题的基本方法是：①根据图形分辨清楚简单几何体是柱体，锥体还是台体；②求出公式中的基本量（1》若是体积涉及到底面积和高，2》若是表面积涉及到各个面的面积，3》若是侧面积涉及到各个侧面面积）；③运用公式求出结果；
（5）求不规则简单几何体的体积，表面积，侧面积时，一般是将简单几何体分割成基本的柱，锥，台，分别求出各基本几何体的体积，表面积，侧面积再求和；
（6）解答表面积，体积，侧面积最值问题的基本方法是函数法，通过函数的性质求解。
〔练习2〕解答下列问题：
1、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）
A 4+2 B 2+4 C 2+2 D 4+4
2、已知某几何体的三视图中，正视图，侧视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与其内接直角三角形构成，如图所示，根据图中的数据可得几何体的体积为（ ）

（1题图） （2题图） （3题图）
3、已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），那么可得这个几何体的体积是（ ）
A cm B cm C cm D cm
4、已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
Ａ　 12　　　Ｂ　　 12　　　Ｃ　　8　　　Ｄ　　　　 10
5、在长方体ABCD—中，AB=BC=2，A与平面BC所成的角为，
则该长方体的体积为（ ）
Ａ　 8　　　Ｂ　　 6　　　Ｃ　 　8　　　Ｄ　　　　 8
6、已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为，若SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为 ；
7、已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为，若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为 ；
【典例3】解答下列问题：
1、一几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图是（ ）

（1题图） （2题图）
【解析】
【知识点】①简单几何体三视图的定义与性质；②根据简单几何体三视图确定简单几何体直观图的基本方法。
【解题思路】运用简单几何体的三视图，结合问题条件，就可确定简单几何体的直观图。
【详细解答】由主视图和侧视图可知，简单几何体是一个组合体，根据俯视图知道组合体上半部分是一个圆台，下半部分是一个圆柱，D正确，选D。
2、学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体ABCD—挖去四棱锥O—EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，A=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 ；
【解析】
【知识点】①简单几何体直观图的定义与性质；②根据简单几何体直观图求简单几何体体积的基本方法。
【解题思路】运用简单几何体的直观图，结合问题条件，求出简单几何体的体积，从而求出制作该模型所需原料的质量。
【详细解答】=664=144（cm），=643=12（cm），制作模型的体积=144-12=132（cm），制作该模型所需原料的质量=0.9132=118.8（g）。
3、有一块多边形的菜地，它的水平放置的平 y
面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），
，AB=AD=1，DC⊥BC，则这块菜 A D
地的面积为 。 B(O) C x
【解析】
【知识点】①斜二侧画法的定义与性质；②斜而侧法的基本原理和基本方法。
【解题思路】运用斜二侧画法的定义与性质，结合问题条件，确定多边形在直角坐标系中的图形，根据图像通过运算就可求出结果。
【详细解答】由多边形的直观图作出多边形在平面直角坐标系 y
中的图形如图所示，在直观图中过A作AEBC 于点E，
AB=1, AE=BE=，BC=BE+EC=BE+AD=+1，
直角梯形ABCD在直角坐标系中也是直角梯形，且
=1，=2，=+1，这块菜地的面积为： O x
=(1+)2=+1。
『思考问题3』
（1）【典例3】是与简单几何体直观图相关的问题，解答这类问题需要理解简单几何体直观图的定义，掌握简单几何体直观图的画法；
（2）简单几何体直观图的画法—斜二测画法：①画简单几何体的底面：在已知图形中取两条互相垂直的直线分别为X轴和Y轴，两轴的交点为原点，具体画图时使（或），已知图形中与X轴平行的线段在直观图图中长度保持不变，平行Y轴的线段长度变为原来的一半；②画空间几何体的高：在已知图形中过点O作Z轴垂直于XOY平面，在直观图中对应的也要垂直于平面，已知图形中平行于Z轴的线段，在直观图中也要平行轴且长度不变。
（4）简单几何体直观图中的“三变与三不变”：①“三变”是指直观图中坐标轴的夹角要改变，平行于Y轴的线段的长度要改变，直观图与原图相比也要改变；②“三不变”是指平行性不变，与X轴、Z轴平行的线段的平行性不变，相对位置不变。
〔练习3〕解答下列问题：
1、如图矩形是水平放置的一个平面
图形的直观图，其中=6cm，=2cm，则
原图形是（ ）
A 正方形 B 矩形 C 菱形 D 一般的平行四边形
2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
A 棱柱 B 棱台 C 圆柱 D 圆台

（2题图） （3题图）
3、如图是水平放置的某个三角形的直观图，是中边的中点，且//轴，，，三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么（ ）
A 最长的是AB，最短的是AC B 最长的是AC，最短的是AB
C 最长的是AB，最短的是AD D 最长的是AD，最短的是AC
4、圆柱正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图的面积为（ ）
A B C D

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