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平面基本性质运用问题的解答方法
平面基本性质具体涉及到三个公理和三个推论，它是学习立体几何问题的基础。平面基本性质运用问题归结起来主要包括：①证明空间三条直线共点问题；②证明空间三点共线问题；③证明空间四点（或三条直线）共面问题等几种类型，各种类型问题结构上具有各自的特征，解答方法也各不相同，那么在实际解答平面基本性质运用问题时，如何根据问题的结构特征，选用恰当的方法快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、判断下列命题的真假：
（1）平行四边形和梯形一定是平面图形；
（2）已知直线L和L外一点A，那么连接A和L上任意一点的直线都在点A和直线L确定的平面内。
【解析】
【知识点】①平面基本性质；②平面基本性质运用。
【解题思路】（1）运用平面基本性质的公理3的推论，就可直接判断命题的真假；（2）运用平面基本性质公理3的推论可知，直线l和直线l外一点A确定一个平面，根据平面 基本性质公理2就可判断命题的真假。
【详细解答】（1）梯形的两底平行，平行四边形的对边分别平行，梯形和平行四边形都在同一平面内，平行四边形和梯形是平面图形，命题“平行四边形和梯形一定是平面图形”是真命题；（2）点A是直线l外一点，点A与直线l确定一个平面，过点A和直线l上任意一点的直线，有点A和所取l上的点都在点A和直线l所确定的平面内，这条直线都在该平面内，命题“已知直线L和L外一点A，那么连接A和L上任意一点的直线都在点A和直线L确定的平面内”是真命题。
A
2、如图在四面体ABCD中，E，G分别是BC，AB的
中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2：3， G H
DH：HA=2：3。 B D
求证：EF，GH，BD交予一点。
【解析】 E F
【知识点】①平面基本性质；②平面基本性质运用。 C
【解题思路】设直线EF，GH相交于一点O，运用平面基本性质证明点O在直线BD上，从而结论得到证明。
【详细解答】设直线EF，GH相交于一点O， O直线EF，直线EF平面ABD，
O平面ABD， O直线GH，直线GH平面CBD，O平面CBD，平面ABD
平面CBD=BD， O直线BD，直线EF，GH，BD相交于点O。
3、如图已知E、F、G、H分别是正方体ABCD D H C
—的棱AB、BC、C、的中点。 A B
证明：EF、HG、三线共点。 G
【解析】 F
【知识点】①平面基本性质；②平面基本性质运用。 E
【解题思路】设直线EF，GH相交于一点O，运用平面基本性质证明点O在直线上，从而结论得到证明。
【详细解答】设直线EF，GH相交于一点O， O直线EF，直线EF平面，O平面 ， O直线GH，直线GH平面CD，O平面CD ，平面平面CD=， O直线，直线EF，GH，相交于点O。
『思考问题1』
（1）【典例1】是运用平面基本性质证明三条直线共点的问题，解答这类问题应该分辨清楚问题与平面基本性质中的哪一个或哪几个公理（或推论）相关，运用相关公理（或推论）时需要注意问题条件给出了公理（或推论）中的哪些条件，还需要证明哪些条件才能得到结论；
（2）证明三线共点的问题的基本方法是：①设其中两条直线相交于一点，②证明第三条直线也经过这一点，将问题转化为证明点在直线上的问题（一般是证明点在两个平面的交线上）。
〔练习1〕解答下列问题：
1、两个不全等的三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行。 D
求证：三对对应顶点的连线相交于一点；
2、已知空间四边形ABCD，如图所示，E，F分别 H
是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点， F C
且CG=CB，CH=CD。 G
求证：三直线FH，EG，AC共点。 A E B
3、如图正方体ABCD----中，E，F 分别是
AB和A的中点。
求证：CE，F，DA三线共点。 F
【典例5】解答下列问题： D C
1、如图正方体ABCD----中，对角线C A E B
∩平面BD=O，AC∩BD=M。
求证：，O，M三点共线。 O
【解析】 D M C
【知识点】①平面基本性质；②平面基本性质运用。 A B
【解题思路】连接M，运用平面基本性质证明点O在直线M上，从而结论得到证明。
【详细解答】连接M，对角线C∩平面BD=O，O平面BD，O直线C，
直线C平面AC，O平面AC，平面AC平面BD=M，O直线M，，O，M三点共线。
2、如图E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边 E A
AB，BC，CD，DA上的点，且EH与FG相交于点O。 H
求证：B，D，O三点共线； B D O
【解析】 G
【知识点】①平面基本性质；②平面基本性质运用。 F
【解题思路】连接BD，运用平面基本性质证明点
O在直线BD上，从而结论得到证明。 C
【详细解答】连接BD，EH与FG相交于点O，直线EH平面ABD，直线FG平面CBD，O平面ABD，O平面CBD，平面ABD平面CBD=BD， O直线BD，
B，D，O三点共线。
『思考问题2』
（1）【典例2】是运用平面基本性质，证明三点共线的问题，解决这类问题的基本方法是：①由三点中的两点确定在一条直线（一般选择两个平面的交线）；②证明第三点也在这条直线上(先确定该点为两个平面的公共点，再证明该点在交线上)；
（2）证明三点共线是根据平面基本性质公理3来展开的，即证明两平面相交于某条直线，在这个基础上证明第三点也在这条直线上。
〔练习2〕解答下列问题：
1、两个不全等的三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，设两对对应点的连线相交于点P。求证：第三对对应点与点P共线；
2、如图所示，在正方体ABCD----中，
O为正方形ABCD的中心，H为直线D与平
面AC的交点。 D H C
求证：，H，O三点共线。
【典例3】解答下列问题：
1、如图在正方体ABCD----中，E，F
分别是棱A，C的中点。 F
求证：，E，F，B共面； E D C H
【解析】
【知识点】①平面基本性质；②平面基本性质运用。 A B
【解题思路】连E，并延长交DA的延长线于点 G
G，连接F并延长交DC的延长线于点H，连接BG，BH，证明G，B，H三点共线，运用平面基本性质证明直线E，F确定一个平面，利用平面基本性质证明点B在该平面内，从而证明结论。
【详细解答】连接E ，并延长交DA的延长线于点G，连接F并延长交DC的延长线于点H，连接BG，BH，E是A的中点，AG=AD=AB，ABG=，同理可证CBH=，ABC=，GBH=ABG+ABC+CBH=，G，B，H三点共线，直线E F=，直线E， F 确定一个平面F E， G直线E，H直线F， G平面EF，H平面EF，直线GH平面EF，
B直线GH， B平面EF，，E，F，B共面。
2、如果一条直线与两条平行线都相交。
求证：这三条直线在同一个平面内。
【解析】
【知识点】①平面基本性质；②平面基本性质运用。
【解题思路】运用平面的基本性质可知两条平行线确定一个平面，设第三条直线与一条平行线相交于点A，与另一条平行线相交于点B，根据A，B平面，证明直线AB在平面，从而结论得到证明。
【详细解答】如图，设直线//，=A， A
=B，直线//，直线，确定一
个平面，=A，=B， A ， B
B， A 平面，B平面，直线AB平面， A ，B，直线平面，直线，，在同一个平面内。
3、如图已知E、F、G、H依次是空间四边形ABCD A
各边的中点。 H
（1）求证：E，F，G，H四点共面； D E
（2）如果AC=BD，那么EFGH是什么四边形？ G
（3）如果AC⊥BD，那么EFGH是什么四边形？ C F B
（4）AC、BD满足什么条件时，EFGH是正方形？
【解析】
【知识点】①平面基本性质；②平面基本性质运用。
【解题思路】（1）连接EH，GF，运用三角形中位线定理，证明EH//BD，GF//BD，得到EH//GF，从而证明E，F，G，H，共面；（2）由（1）可知四边形EFGH是平行四边形，根据条件可证明EF=EH，从而得到四边形是菱形；（3）由（1）可知四边形EFGH是平行四边形，根据条件可证明FGH=，，从而得到四边形是矩形；（4）由（2），（3）可知，当AC=BD，且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形。
【详细解答】（1）E，H分别是AB，AD的中点，EH//BD，EH=BD，同理可证FG//BD，FG=BD，EH//FG，EH=FG，四边形EFGH是平行四边形， E，F，G，H四点共面；（2）四边形EFGH是平行四边形，EH=BD，同理可证GH=AC，AC=BD，
EH=GH，四边形EFGH是菱形；（3）四边形EFGH是平行四边形，EH//BD，同理可证GH//AC，ACBD，EHGH，四边形EFGH是矩形；（4）由（2），（3）可知，当AC=BD，且ACBD时，四边形EFGH是正方形。
4、已知正方体ABCD —中E、F分别 E
为、的中点。ACBD=P， F
EF=Q。 R
求证：（1）D，B，E，F四点共面； D C
（2）若C平面DBEF=R，则P，Q，R三点 A B
共线。
【解析】
【知识点】①平面基本性质；②平面基本性质运用。
【解题思路】（1）运用三角形中位线定理，证明EF//，由//BD，得到EF//BD，从而证明E，F，G，H，共面；（2）连接PQ，根据平面基本性质证明点R在直线PQ上，从而证明结论。
【详细解答】（1）E，F分别是，的中点，EF//，//BD，EF//BD，
D，B，E，F四点共面；（2）连接PQ，C平面DBEF=R，R直线C，R平面BDEF， R平面AC，平面BDEF平面AC=PQ，R直线PQ，
P，Q，R三点共线。
『思考问题3』
（1）【典例3】中的1，2，3题，4题的（1）小题是证明点，线共面的问题，解答这类问题的基本方法是：①纳入平面法；②辅助平面法；
（2）纳入平面法的基本方法是：①先确定一个平面，②证明有关点、线在这个平面内；
（3）辅助平面法的基本方法是：①先证明有关点、线确定一个平面，其余点、线也确定一个平面；②证明这两个平面重合。
〔练习3〕解答下列问题：
1、如图已知直线L和三条平行直线a，b，c， l
相交于A，B，C。 a A
求证：L，a，b，c四条直线共面。
b B
c C

2、如图平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与 F
ABCD都是直角梯形，=，
BCAD，BEAF。 E D
求证：C，D，E，F四点共面； A
B C

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