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淮阴区2020届高三第二学期期初模拟训练二
数 学
填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）
1．已知集合，，________．
2．________．
3.某校高三数学组有5名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为______.



4.根据如图所示的伪代码，输出的的值为______.


5．若满足，，，则从小到大的顺序为______.
6.将A，B，C三个小球放入甲、乙两个盒子中，则A,B放入同一个盒子中的概率为 .
如下图，在正三棱锥中，，为棱的中点，若的面积为，则三棱锥的体积为______.

已知函数的部分图像如上图，且，则的值为 .
9.已知点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，点为
圆上一点，则的最小值为 .
10.已知函数是奇函数，若对于任意的，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是____.
11．若函数的图象上存在两个点，关于原点对称，则称点对为的“友情点对”，点对与可看作同一个“友情点对”，若函数恰好有两个“友情点对”，则实数的值为_______.
12.在中，点为边的中点，且满足，则的最小值为 .
13．若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围为 .
14.已知数列的各项均为正数，其前项和为满足，，设，为数列的前项和，则______.
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15.（本小题满分14分）
的内角所对的边分别为，已知．
求的大小；
若，，且的面积为，求．





16.（本小题满分14分）
如图，在三棱柱中，已知，，为棱的中点，且平面与棱柱的下底面交于.
(1)求证：∥平面.
(2)求证：.

17．（本题满分14分）
如图，OM，ON是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路OM上一游客休息区．已知tan∠MON＝－3，OA＝6(百米)，Q到直线OM，ON的距离分别为3(百米)，(百米)．现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路ON于点B，并在B处修建一游客休息区．
（1）求有轨观光直路AB的长；
（2）已知在景点Q的正北方6 百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演
一次的时长为9 分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且
t分钟时，(百米)（0≤t≤9，0＜a＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车
S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道BA以(百米/分钟)的速度
开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．






18．（本题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：过点，其离心率等于．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若A，B分别是椭圆E的左，右顶点，动点M满足，且MA交椭圆E于点P．
①求证：为定值；
②设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ经过定点．

19．（本题满分16分）
已知数列满足：（常数k＞0），（n≥3，）．数列满足：（）．
（1）求b1，b2的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在k，使得数列的每一项均为整数? 若存在，求出k的所有可能值；若不存在，请说明理由．
20．（本题满分16分）
设函数f (x)＝(x－a)lnx－x＋a，a∈R．
（1）若a＝0，求函数f (x)的单调区间；
（2）若a＜0，且函数f (x)在区间内有两个极值点，求实数a的取值 范围；
（3）求证：对任意的正数a，都存在实数t，满足：对任意的x∈(t，t＋a)， f (x)＜a－1．

淮阴区2020届高三第二学期期初模拟训练二
数 学（附加卷）
注：本卷共三大题共4小题，共计40分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字
说明证明过程或演算步骤．
21．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵．
（1）求；
（2）求．

B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，圆的圆心坐标为，半径为2． 以极点为原点，极轴为的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线的参数方程为为参数．
（1）求圆的极坐标方程；
（2）设与圆的交点为， 与轴的交点为，求．

22．（本小题满分10分）
已知，记．
（1）；
（2）求．


23．（本小题满分10分）
已知Sn＝1＋＋＋…＋．
（1）求S2，S4的值；
（2）若Tn＝，试比较与Tn的大小，并给出证明．
淮阴区2020届高三第二学期期初模拟训练二
数 学
填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）
1．已知集合，，________．
【答案】
2．________．
【答案】
3.某校高三数学组有5名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为______.
【答案】40
4.根据如图所示的伪代码，输出的的值为______.
【答案】11
5．若，，，满足，，，则，，从小到大的顺序为______.
【答案】
6.将A，B，C三个小球放入甲、乙两个盒子中，则A,B放入同一个盒子中的概率为 .
【答案】
如图，在正三棱锥中，，为棱的中点，若的面积为，则三棱锥的体积为______.

【答案】
已知函数的部分图像如右图，且，则的值为 .


【答案】

9.已知点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，点为
圆上一点，则的最小值为 .
【答案】9
10.已知函数是奇函数，若对于任意的，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是____.
【答案】
11．若函数的图象上存在两个点，关于原点对称，则称点对为的“友情点对”，点对与可看作同一个“友情点对”，若函数恰好有两个“友情点对”，则实数的值为_______.
【答案】2
12.在中，点为边的中点，且满足，则的最小值为 .
【答案】2
13．若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
14.已知数列的各项均为正数，其前项和为满足，，设，为数列的前项和，则______.
【答案】
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15.（本小题满分14分）
的内角所对的边分别为，已知．
求的大小；
若，，且的面积为，求．

【解析】（1）由，得，
所以，即，
所以有，
因为，所以，所以，
即，所以，
又，所以，所以，即．
（2）因为，所以，
又，
所以，把代入到中，得．

16.（本小题满分14分）
如图，在三棱柱中，已知，，为棱的中点，且平面与棱柱的下底面交于.
求证：∥平面.
求证：.





17．（本题满分14分）
如图，OM，ON是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路OM上一游客休息区．已知tan∠MON＝－3，OA＝6(百米)，Q到直线OM，ON的距离分别为3(百米)，(百米)．现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路ON于点B，并在B处修建一游客休息区．
（1）求有轨观光直路AB的长；
（2）已知在景点Q的正北方6 百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演
一次的时长为9 分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且
t分钟时，(百米)（0≤t≤9，0＜a＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车
S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道BA以(百米/分钟)的速度
开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．








【解析】（1）以点O为坐标原点，直线OM为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
则由题设得：A(6，0)，直线ON的方程为．
由，解得，所以．
故直线AQ的方程为，
由得
即，故，
答：水上旅游线的长为km．
（2）将喷泉记为圆P，由题意可得P(3，9)，
生成t分钟时，观光车在线段AB上的点C处，
则BC＝t，0≤t≤9，所以C(－3＋t，9－t)．
若喷泉不会洒到观光车上，则PC2＞r2对t∈[0，9]恒成立，
即PC2＝(6－t)2＋t2＝2t2－12t＋36＞4at，
当t＝0时，上式成立，
当t∈(0，9]时，2a＜t＋－6，(t＋－6)min＝6－6，当且仅当t＝3
时取等号，
因为a∈(0，1)，所以r＜PC恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．
答：喷泉的水流不会洒到观光车上．
18．（本题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：过点，其离心率等于．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若A，B分别是椭圆E的左，右顶点，动点M满足，且MA交椭圆E于点P．
①求证：为定值；
②设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ经过定点．
【解析】（1）设椭圆焦距为2c，所以且，
解得 所以椭圆的方程为；
（2）设，，
①易得直线的方程为：，
代入椭圆得，，
由得，，从而，
所以．
②直线过定点，理由如下：
依题意，， 由得，，
则的方程为：，即，所以直线过定点．

19．（本题满分16分）
已知数列满足：（常数k＞0），（n≥3，）．数列满足：（）．
（1）求b1，b2的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在k，使得数列的每一项均为整数? 若存在，求出k的所有可能值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由已知得，，
所以，．
（2）由条件可知：，①
所以.②
①－②得.
即：．
因此：， 故，又因为，，
所以．
（3）假设存在，使得数列的每一项均为整数，则k为正整数．
由（2）知
由，所以k=1或2，
检验：当时，为整数，
利用结合，{an}各项均为整数；
当时变为
消去得：
由所以偶数项均为整数，
而，所以为偶数，故，故数列是整数列. 综上所述，的取值集合是.
20．（本题满分16分）
设函数f (x)＝(x－a)lnx－x＋a，a∈R．
（1）若a＝0，求函数f (x)的单调区间；
（2）若a＜0，且函数f (x)在区间内有两个极值点，求实数a的取值范围；
（3）求证：对任意的正数a，都存在实数t，满足：对任意的x∈(t，t＋a)， f (x)＜a－1．
【解析】（1）当a＝0时，f(x)＝xlnx－x，f’(x)＝lnx，
令f’(x)＝0，x＝1，列表分析
x (0，1) 1 (1，＋∞)
f’(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 单调递增

故f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
（2）f(x)＝(x－a)lnx－x＋a，f’(x)＝lnx－，其中x＞0，
令g(x)＝xlnx－a，分析g(x)的零点情况．
g’(x)＝lnx＋1,令g’(x)＝0，x＝，列表分析
x (0，) (，＋∞)
g’(x) － 0 ＋
g(x) 单调递减 单调递增

g(x)min＝g()＝－－a，
而f’()＝ln－ae＝－1－ae，＝－2－ae2＝－(2＋ae2)，
f’(e2)＝2－＝(2e2－a)，
①若a≤－，则f’(x)＝lnx－≥0，
故f(x)在内没有极值点，舍；
②若－＜a＜－，则f’()＝ln－ae＜0，f’(e－2)＝－(2＋ae2)＞0，
f’(e2)＝(2e2－a)＞0，
因此f’(x)在有两个零点，设为，，
所以当时，f(x)单调递增，当时，f(x)单调递减，
当时，f(x)单调递增，此时f(x)在内有两个极值点；
③若－≤a＜0，则f’()＝ln－ae＜0，f’(e－2)＝－(2＋ae2)≤0，
f’(e2)＝(2e2－a)＞0，
因此f’(x)在有一个零点，f(x)在内有一个极值点；
综上所述，实数a的取值范围为(－，－)．
（3）存在：x∈(1，1＋a)，f(x)＜a－1恒成立．
证明如下：由（2）得g(x)在(，＋∞)上单调递增，
且g(1)＝－a＜0，g(1＋a)＝(1＋a)ln(1＋a)－a．
因为当x＞1时，lnx＞1－(*)，所以g(1＋a)＞(1＋a)(1－)－a＝0．
故g(x)在(1，1＋a)上存在唯一的零点，设为x0．
x (1，x0) x0 (x0，1＋a)
f’(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 单调递增

知，x∈(1，1＋a)，f(x)＜max{f(1)，f(1＋a)}．
又f(1＋a)＝ln(1＋a)－1，而x＞1时，lnx＜x－1(**)，
所以f(1＋a)＜(a＋1)－1－1＝a－1＝f(1)．即x∈(1，1＋a)，f(x)＜a－1．
所以对任意的正数a，都存在实数t＝1，使对任意的x∈(t，t＋a)，使 f(x)＜a－1．
补充证明（*）：令F(x)＝lnx＋－1，x≥1．F’(x)＝－＝≥0，所以F(x)在[1，＋∞)上单调递增．所以x＞1时，F(x)＞F(1)＝0，即lnx＞1－．
补充证明（**）令G(x)＝lnx－x＋1，x≥1．G’(x)＝－1≤0，所以G(x)在[1，＋∞)上单调递减．所以x＞1时，G(x)＜G(1)＝0，即lnx＜x－1．
21．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵．
（1）求；
（2）求．
解：（1）因为，所以.
（2）因为，，所以.
所以.

B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，圆的圆心坐标为，半径为2． 以极点为原点，极轴为的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线的参数方程为为参数．
（1）求圆的极坐标方程；
（2）设与圆的交点为， 与轴的交点为，求．
解：（1）设为圆上任意一点，则
圆的圆心坐标为，半径为2，得圆过极点，
所以，，即，
所以圆的极坐标方程为．
（2）由（1）得，即，
根据，得
，即．（*）
设,将直线的参数方程代入（*），整理得


所以，．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
已知，记．
（1）；
（2）求．
解： 由得.
同理，，
（2）由（1）得，当时，，
当时，；
当时，，
当时，.
所以，


所以，
．
23．（本小题满分10分）
已知Sn＝1＋＋＋…＋．
（1）求S2，S4的值；
（2）若Tn＝，试比较与Tn的大小，并给出证明．
解：（1）S2＝1＋＝，S4＝1＋＋＋＝．
（2）当n＝1，2时，T1＝＝，T2＝＝，所以，＝Tn．
当n＝3时，T3＝＝，S8＝1＋＋＋＋＋＋＋＝＞＝T3．
于是，猜想，当n≥3时，＞Tn．
下面用数学归纳法证明：
①当n=3时，结论成立；
②假设n＝k(k≥3)时结论成立，即＞Tk；
当n＝k＋1时，＝＋＋＋…＋
＞＋（＋＋…＋）＋（＋＋…＋）
＞＋×2k－1＋×2k－1＝＋＋＝，
当n＝k＋1时，＞Tn．
根据①、②可知，对任意不小于3的正整数n，都有＞Tn．
综上，当n＝1，2时，=Tn；当n≥3时，＞Tn．
























































































































































































































































姓名 学校 班级

淮阴区2020届高三第二学期期初模拟训练二
数学答题卡


一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相
应位置上．
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12. 13. 14.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）






































请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效



17.（本小题满分14分）


























请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效



16．（本小题满分14分）


17．（本小题满分14分）


18．（本小题满分16分）


19．（本小题满分16分）


20．（本小题满分16分）


请在各题的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效









































































































21．本题包括A、B小题
A小题答题区



















淮阴区2020届高三第二学期期初模拟训练二
数学附加题答题卡


姓名 学校 班级



B小题答题区





















22．（本小题满分10分）


23．（本小题满分10分）

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