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第八章 向量的数量积
8.1向量的数量积
8.1.1向量数量积的概念
1、夹角：
给定两个非零向量，，在平面内任选一个点O，作，，则称内的为向量与向量的夹角，记作.

注意：（1），是非零向量；
（2）非零向量，的夹角范围是；
（3）；
（4）当时，向量与向量，记作
（5）规定，零向量与任意向量垂直
（6）注意下列向量的夹角：



2、向量数量积
一般地，当与都是非零向量时，称为向量与的数量积（也称为内积），记作，即，即=
注：（1）的结果是一个实数，而不是向量
（2）的符号由决定，即由决定.
当时，是正数
当时，等于0
当时，是负数
3、向量数量积的性质
（1）
（2），即
（3）
4、向量的投影与向量数量积的几何意义
设非零向量，过，分别作直线的垂线，垂足分别为，，则称向量为向量在直线上的投影向量或投影.

类似地，给定平面上的一个非零向量，设所在的直线为，则在直线上的投影称为在向量上的投影.

由图可知，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向即有肯能相同，也有可能相反.
如图（1），当时，的方向与的方向相同，而且；
如图（2），当时，为零向量，即
如图（3），当时，的方向与的方向相同，而且

一般地，如果，都是非零向量，则称为向量在向量上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.因为==，所以两个非零向量，的数量积，等于在向量上的投影的数量与的模的乘积.这就是两个向量数量积的几何意义.
8.1.2向量数量积的运算律
1、交换律
（1）
（2）当是实数时，
2、分配律
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）


8.1.3向量数量积的坐标运算
1、向量的坐标与向量的数量积
在平面直角坐标系中，分别给定与轴、轴正方向相同的单位向量，之后，如果对于平面内的向量，有，则就是向量的坐标，记作，而且，，是一组单位正交基底.
设，由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底，，使得，，所以
=
=
=
所以=
当，都不是零向量时，因为，，所以
2、用向量的坐标表示两个向量垂直的条件
设，，由的充要条件是，
所以

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