资源简介

直接证明与间接证明

【学习目标】
1． 知识与技能
通过具体的例子了解综合法和分析法、反证法的思路过程和特点；
通过已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法——直接证明和间接证明，及间接证明的重要方法之一——反证法；
能够用直接法和间接法证明一些基本的数学问题．
2．过程与方法
通过对实例的分析，归纳和总结的过程，培养数学理性思维能力；
通过实际演练，体会综合法、分析法、反证法的证明过程及两种证明方法的特点．
3．情感、态度与价值观
通过实际参与，激发学习数学的兴趣，在学习过程中感受逻辑证明在数学已经日常生活中的作用，使学生养成言之有理，论证有据的习惯．
通过反证法的运用，了解在解决问题中有正难则反的思维方向，发展思维能力，渗透运用辩证观点解决问题的意识．
【要点梳理】
要点一：直接证明
直接证明最常见的两种方法是综合法和分析法，它们是思维方向相反的两种不同的推理方法．
综合法
定义：
一般地，从命题的已知条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过演绎推理，一步步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，我们把这种思维方法叫做综合法．
基本思路：执因索果
综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”．它是由已知走向求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后导出待证结论或需求的问题．
综合法这种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．
综合法的思维框图：
用表示已知条件，表示要证明的结论，为已知的定义、定理、公理等，则综合法可用框图表示为：

（已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论）
要点诠释
（1）从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件；
（2）用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹；
（3）因用综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为：

故要从A推理到D，由A推演出的中间结论未必唯一，如B、B1、B2等，可由B、B1、B2进一步推演出的中间结论则可能更多，如C、C1、C2、C3、C4等等．
所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈”．
综合法证明不等式时常用的不等式
（1）a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）；
（2）（a，b∈R*，当且仅当a=b时取“=”号）；
（3）a2≥0，|a|≥0，(a－b)2≥0；
（4）（a，b同号）；（a，b异号）；
（5）a，b∈R，，
（6）不等式的性质
定理1 对称性：a＞bb＜a．
定理2 传递性：．
定理3 加法性质：．
推论 ．
定理4 乘法性质：．
推论1 ．
推论2 ．
定理5 开方性质：．
分析法
定义
一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法．
基本思路：执果索因
分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”．它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止．
分析法这种执果索因的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．
分析法的思维框图：
用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：

（结论） （逐步寻找使结论成立的充分条件） （已知）
格式：
要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证．
要点诠释：
（1）分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件．
（2）由于分析法是逆推证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析法有独特的表述．
综合法与分析法的横向联系
（1） 综合法是把整个不等式看做一个整体，通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不等式作为证题的出发点，其难点在于到底从哪个不等式出发合适，这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式，还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用．
分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是宜于表述，条理清晰，形式简洁．
我们在证明不等式时，常用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的“因”，再用综合法有条理地表述证题过程．分析法一般用于综合法难以实施的时候．
（2）有不等式的证明，需要把综合法和分析法联合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P．若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称之为分析综合法，或称“两头挤法”．
分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点．
命题“若P则Q”的推演过程可表示为：

要点二：间接证明
间接证明不是从正面确定命题的真实性，而是证明它的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到目的，反证法是间接证明的一种基本方法．
　 反证法定义：
一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．　
反证法的基本思路：假设——矛盾——肯定
①分清命题的条件和结论．
②做出与命题结论相矛盾的假设．
③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果．
④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真．
反证法的格式：
用反证法证明命题“若p则q”时，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下：

要点诠释：
（1）反证法是间接证明的一种基本方法．
它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的．
(2) 反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件．
反证法的一般步骤：
（1）反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立；
（2）归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；
（3）结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．
要点诠释：
（1）结论的反面即结论的否定，要特别注意：
“都是”的反面为“不都是”，即“至少有一个不是”，不是“都不是”；
“都有”的反面为“不都有”，即“至少有一个没有”，不是“都没有”；
“都不是”的反面是“部分是或全部是”，即“至少有一个是”，不是“都是”；
“都没有”的反面为“部分有或全部有”，即“至少有一个有”，不是“都有”
（2）归谬的主要类型：
①与已知条件矛盾；
②与假设矛盾（自相矛盾）；
③与定义、定理、公理、事实矛盾．
宜用反证法证明的题型：
① 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；比如“存在性问题、唯一性问题”等；
② 如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．比如带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题．
要点诠释：
反证法体现出正难则反的思维策略（补集的思想）和以退为进的思维策略，故在解决某些正面思考难度较大和探索型命题时，有独特的效果．
【典型例题】
类型一：综合法证明
例1．已知，，试用综合法证明： ．
【证明】因为，，
所以．
又因为，，
所以．
因此．
【总结升华】 利用综合法时，从已知出发，进行运算和推理得到要证明的结论，并且在用均值定理证明不等式时，一要注意均值定理运用的条件，二要运用定理对式子作适当的变形，把式分成若干部分，对每部分运用均值定理后，再把它们相加或相减．
举一反三：
【变式1】求证：．
【解析】待证不等式的左端是3个数和的形式，右端是一常数的形式，而左端3个分母的真数相同，由此可联想到公式，转化成能直接利用对数的运算性质进行化简的形式．
∵ ，
∴左边

∵，
∴．
【变式2】设、是互不相等的正数，且，试用综合法证明：．
【解析】因为，
所以．
例2．已知数列满足, ，．求证：是等比数列．
【思路点拨】根据等比数列的定义变形．
【解析】由an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1) (n≥2)
∵a1＝5，a2＝5
∴a2＋2a1＝15
故数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列
【总结升华】本题从已知条件入手，分析数列间的相互关系，合理实现了数列间的转化，从而使问题获解，综合法是直接证明中最常用的证明方法．
举一反三：
【变式】已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，…），a1=1．
（1）设bn=an+1－2an（n=1，2，…），求证：数列{bn}是等比数列．
（2）设（n=1，2，…），求证：数列{cn}是等差数列．
【解析】（1）∵Sn+1=4an+2，∴Sn+2=4an+1+2，
两式相减，得Sn+2―Sn+1=4an+1―4an（n=1，2，3，…）,
即an+2=4an+1―4an，变形得an+2―2an+1=2(an+1―2an)．
∵bn=an+1－2an（n=1，2，…），
∴bn+1=2bn（n=1，2，…）．
由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列．
由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1，
得a2=5，b1=a2―2a1=3．故bn=3·2n―1．
（2）∵（n=1，2，…）
∴
将bn=3·2n－1代入，得（n=1，2，…）．
由此可知，数列{cn}是公差的等差数列，它的首项，故．
例3．如图，设在四面体中，，，是的中点．
求证：垂直于所在的平面．

【思路点拨】要证垂直于所在的平面，只需在所在的平面内找到两条相交直线与垂直．
【解析】
证明：连、
因为是斜边上的中线，
所以
又因为,而是、、的公共边，
所以
于是,
而，因此
∴，
由此可知垂直于所在的平面．
【总结升华】利用综合法证明立体几何中线线、线面和面面关系的关键在于熟练地运用判定定理和性质定理．这是一例典型的综合法证明．现将用综合法证题的过程展现给大家，供参考：
（1）由已知是斜边上的中线，推出，记为（已知）；
（2）由和已知条件，推出三个三角形全等，记为；
（3）由三个三角形全等，推出，记为；
（4）由推出，记为（结论）．
这个证明步骤用符号表示就是（已知）（结论）．
举一反三：
【变式】如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
求证：（1）PA∥平面EDB；
（2）PB⊥平面EFD．
【解析】
证明：（1）连结AC交BD于O，连结EO．
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点，
在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO．
而EO平面EDB且PA平面EDB，∴PA∥平面EDB．
（2）PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，∴PD⊥DC．
由PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，
而DE是斜边PC上的中线，∴DE⊥PC．①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．
∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．
而DE平面PDC，∴BC⊥DE．②
由①和②推得DE⊥平面PBC．而PB平面PBC，∴DE⊥PB．
又EF⊥PB且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD．
类型二：分析法证明
例4．求证：．
【解析】
证明：欲证不等式，
只需证成立，
即证 ，
即证18＜20成立．
由于18＜20是成立的，
因此． 证毕．
【总结升华】
1．在证明过程中，若使用综合法出现困难时，应及时调整思路，分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举．从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件的方法．
2．用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”“也即证”等词语．
3. 掌握分析法的流程，避免与综合法混淆。在本题中应避免下面的错误证法：
错证：由不等式 ， ①
两边平方得 ， ②
即 ， ③
则18＜20， ④
因为18＜20，所以．
错因：由于上述分析法的流程结构是 ①②③④，因而上述书写格式导致了逻辑错误．
举一反三：
【变式1】 已知、是正数，用分析法证明: ．
【解析】
证明：要证 成立，
只需证成立，
即证．
即证，
也就是要证,即．
该式显然成立，所以．
【变式2】用分析法证明：若a>0，则．
【解析】
证明：要证，
只需证．
∵a>0，∴两边均大于零，因此只需证
只需证，
只需证，只需证，
即证，它显然成立．∴原不等式成立．

【变式3】已知，求证：
【解析】
证明：要证
只需证，
，只需证，即
要证，只需证，即显然成立．
要证，只需证，即显然成立．
成立，且以上各步都可逆，故原不等式成立．
例5．求证：
【思路点拨】由于本题所给的条件较少，且不等式中项都是根式的形式，因而用综合法证明比较困难．这时，可从结论出发，逐步反推，寻找使命题成立的充分条件；此外，若注意到，，也可用综合法证明．
【解析】
法一：分析法
要证成立，
只需证明，
两边平方得，
所以只需证明，
两边平方得，
即，
∵恒成立，
∴原不等式得证．
法二：综合法
∵，，
，
∴．
∴．
∴． 即原不等式成立．
【总结升华】
1．在证明过程中，若使用综合法出现困难时，应及时调整思路，分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举．从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件的方法．
2．综合法写出的证明过程条理清晰，易于理解；但综合法的证题思路并不容易想到，因此，在一般的证题过程中，往往是先用分析法寻找解题思路，再用综合法书写证明过程．
?举一反三：
【变式】设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：＋＞
【解析】
证明一：(分析法)
要证+＞成立，
只需证(a+b)( -ab+)＞ab(a+b)成立，
即需证-ab+＞ab成立．(∵a+b＞0)
只需证-2ab+＞0成立，
即需证＞0成立．
而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以＞0显然成立，由此命题得证．
证明二：(综合法)
∵a≠b，∴a-b≠0，∴＞0，即-2ab+＞0
亦即-ab+＞ab
由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)( -ab+)＞(a+b)ab
即+＞，由此命题得证．
类型三：反证法证明
例6． 已知、、是整数，且求证：、、不可能都是奇数．
【思路点拨】证明含有“不”“没有”“无”等否定性词语的命题，应考虑反证法．
【解析】设、、都是奇数，则、、都是奇数，
所以为偶数， 所以 ， 这与已知矛盾，
所以、、不可能都是奇数．
【总结升华】结论中含有“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适宜应用反证法．
?举一反三：
【变式1】设{an}是公比为q的等比数列，Sn为它的前n项和．
（1）求证：数列{Sn}不是等比数列．
（2）数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
【解析】
证明：假设{Sn}是等比数列，则，
即．
∵a1≠0，∴(1+q)2=1+q+q2．
即q=0，与等比数列中公比q≠0矛盾．
故{Sn}不是等比数列．

【变式2】证明：是无理数．
【解析】
证明：假设不是无理数．即是有理数，那么必存在整数，
使得，其中为既约分数，则，所以，
于是能整除，从而为偶数，设，所以，
即，所以2能整除，于是m,n均为偶数，这与为既约分数矛盾，
所以假设不成立．从而原命题成立，即是无理数．
例7． 如图所示，已知a，b，c是同一平面内的三条直线，a⊥c，b与c不垂直，
求证：a与b必相交．
【解析】
证法一：假设a与b不相交，则a∥b，所以∠1=∠2．
由于b与c不垂直，则∠2≠90°，即∠1≠90°，
所以a与c不垂直，这与已知条件矛盾，所以a与b必相交．
证法二：假设a与b不相交，则a∥6，所以∠1=∠2．
因为a⊥c，所以∠1=90°，即∠2=90°，
所以b⊥c，这与已知b与c不垂直矛盾，所以a与b必相交．
证法三：假设a与b不相交，则a∥b，所以∠1=∠2．
又b与c不垂直，则∠2≠90°，即∠1≠90°．
又因为a⊥c，所以∠1=90°，得出∠1≠90°与∠1=90°自相矛盾，所以a与b必相交．
【总结升华】题设简单明了，从正面入手较难，而反面易于导出矛盾的命题，常用反证法．
用直接法难以下手，但其结论的反面非常明显，因此用反证法证明比较方便．
举一反三：
【变式】求证：两条相交直线有且只有一个交点．
【解析】证明：假设结论不成立，即有两种可能：
（1）若直线a、b无交点，那么a∥b，与已知矛盾；
（2）若直线a、b不止有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A、B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．
综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．
例8．若都是正实数，，求证: 、中至少有一个成立．
【思路点拨】“至多”或“至少”语句的证明宜用反证法．
【解析】
证明：假设和都不成立，则有和同时成立．
因为且，所以且．
两式相加得 ，
所以， 这与已知条件矛盾，
所以、中至少有一个成立．
【总结升华】从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形的问题多用反证法．比如带有“至少有一个”等字样的数学问题．
举一反三：
【变式】已知，求证：中至少有一个大于．
【解析】假设都小于或等于，
因为 ，所以三者同为正或一正两负，
又因为，所以三者中有两负一正，
不妨设，则
由均值不等式得，即，
解得，与假设矛盾，所以 中至少有一个大于．
【巩固练习】
一、选择题
1．分析法是（ ）
A．执果索因的逆推法 B．执因导果的顺推法
C．因果分别互推的两头凑法 D．逆命题的证明方法
2．命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立(　　)
A．不成立 B．成立
C．不能断定 D．能断定
3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是(　　)
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
4．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是(　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
5.设a，b是两个实数，给出下列条件：
(1)a＋b>1；(2)a＋b＝2；(3)a＋b>2；(4)a2＋b2>2；(5)ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是(　　)
A．(2)(3) B．(1)(2)(3)
C．(3) D．(3)(4)(5)
6．已知a、b是不相等的正数，，，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＞y B．y＞x
C． D．不确定
7．已知m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．设a、b、c都是正数，则三个数，，（ ）．
A．都大于2 B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2
二、填空题
9．用反证法证明命题：若p则q，其第一步是反设命题的结论不成立，正确的反设是 .
10. 要证明不等式成立，只需证明： .
11．如果x，y，x满足z＜y＜x，且xz＜0，那么①xy＞xz；②z(y－x)＞0；③zy2＜xy2；④xz(x－z)＜0中，正确命题的序号是 .
12．已知函数f(x)＝ax＋2a＋1，当x∈[－1,1]时，f(x)有正值也有负值，则实数a的取值范围为 .
三、解答题
13. 已知,求证.
14．设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.证明l1与l2相交；
15．在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．

【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】 由分析法的定义知A正确，故选A。
2.【答案】　B
【解析】　∵Sn＝2n2－3n，
∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，
∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5.
当n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式．
∵an＋1－an＝4(n≥1)为常数，
∴{an}是等差数列．
3. 【答案】　B
【解析】　至少有一个不大于60°的反面是都大于60°.
4. 【答案】C
【解析】在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，
即2·a＝c.
∴a2＋c2－b2＝c2，∴a2＝b2，∴a＝b.
∴△ABC是等腰三角形，选C.
5.【答案】　C
【解析】　本题可用特值法，令a＝b＝知(1)不行，令a＝b＝1知(2)不行，令a＝b＝－2知(4)(5)都不成立．
6．【答案】B
【解析】 ∵，a≠b，a，b＞0，
∴。∴y＞x。故选B。
7．【答案】D
【解析】 根据性质“垂直于同一平面的两条直线平行”，立刻可知选D。其他选项可以利用正方体模型进行检验。
8．【答案】C
【解析】 ，当且仅当a=b=c=1时取“=”。故选C。
9．【答案】非q
【解析】 对“若p则q”的否定已经不是“四种命题”中的任何一种，而是命题：p且非q，即反设命题的结论不成立为非q。
10. 【答案】
【解析】 常见的变形手段是平方，这样可消去或减少根号。
11．【答案】①②④
【解析】 ①∵成立；
②∵成立；
③∵z＜y＜x且xz＜0，∴x＞0且z＜0，
当y=0时，zy2=xy2；
当y≠0时，zy2＜xy2。故③不正确。
④∵x＞z，∴x－z＞0，
又∵xz＜0，∴(x－z)xz＜0成立。
12. 【答案】－1【解析】f(1)·f(－1)<0，
∴(a＋2a＋1)·(2a－a＋1)<0.∴－113. 【解析】
要证，只需证
即，只需证，即证
显然成立，因此成立
14. 【解析】
　假设l1与l2不相交，则l1与l2平行或重合，则k1＝k2
∵k1·k2＋2＝0，
∴k1·k1＋2＝0，
即k2＝－2不可能，故假设错误，∴l1与l2相交
15. 【解析】由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C. ①
因为A、B、C为△ABC的内角，
所以A＋B＋C＝π. ②
由①②得，B＝. ③
由a、b、c成等比数列，有b2＝ac. ④
由余弦定理及③可得，
b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.
再由④得，a2＋c2－ac＝ac.
即(a－c)2＝0，因此a＝c.
从而有A＝C. ⑤
由②③⑤得，A＝B＝C＝.
所以△ABC为等边三角形．

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