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解决与三角形相关的取值范围问题
例1：在锐角中，，则的取值范围是
解析：由
得，所以，又所以
点评：①本题易错在求的范围上，容易忽视“是锐角三角形”这个条件。②本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通性通法。
例2：若的三边成等比数列，所对的角依次为，则的取值范围是
解析：由题设知，又余弦定理知
所以，又所以即的取值范围是。
点评：本题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起来，有利于提高学生解题的综合能力。
例3：在中，角的对边分别为，且成等差数列。（1）求的大小。
（2）若，求周长的取值范围。
解析：（1）由题意知，
由正弦定理得
所以，于是
（2）由正弦定理，所以

又由得，所以
。
点评：对三角函数式的处理常常借助于同角三角函数间关系、诱导公式以及恒等变换式等实施变形，达到化简、求值域的目的。
例4：在中，，若的外接圆半径为，则的面积的最大值为
解析：又及余弦定理得，所以，
又由于，所以即
所以，又由于，故当且仅当时，的面积取最大值
点评：先利用余弦定理求的大小，再利用面积公式结合基本不等式，求面积的最大值，要注意正弦定理与余弦定理的综合应用。
例5：（2008，江苏）满足的的面积的最大值是
解析：设，则，
根据面积公式得 ①
由余弦定理得
代入①式得
由三角形三边关系有，所以，
故当时，取得最大值。
点评：本题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面积公式、余弦定理等知识，是一道考察解三角形的好题。
例6：已知角是三个内角，是各角的对边，向量，，且
（1）求的值。
（2）求的最大值。
解析：由，，且得
，所以，
即，所以
（2）由余弦定理得，而

即有最小值，又，
所以有最大值（当且仅当时取等号）
所以的最大值为
通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮助。
巩固练习
1．在中，，则的取值范围为
2．若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为，则的取值范围是
3．在中，，且所对的边满足，则实数的取值范围为
4．在锐角中，，，则的取值范围是
5．在锐角中，三个内角成等差数列，记，则的取值范围是
6．已知锐角三角形的边长分别为，则的取值范围是
7．已知外接圆的半径为，若面积且，则 ，的最大值为
8．在中，，且
（1）求证：为直角三角形
（2）若外接圆的半径为，求的周长的取值范围
9．在中所对的边分别为，已知
（1）若，求实数的值
（2）若，求面积的最大值。

参考答案
1．
2．
3．
4．同例1知，由正弦定理
5．易知，则

由于，所以，故
6.设所对的角分别为，由三角形三边关系有，故，易知，要保证为锐角三角形，只需，即，解得
7．由，得
由余弦定理得，故有，易得为锐角，且，即，故有，
则
（当且仅当时取等号）
即的最大值为
8．（1）由，且
得，
由正弦定理得，
由余弦定理得
整理得
又由于，故，即是直角三角形
（或者：由得，

化简得，由于，故，
即是直角三角形）
（2）设内角所对的边分别为
由于外接圆的半径为，，所以，
所以
又，故，因而
故
即的周长的取值范围为
9．（1）由两边平方得
即，解得
由得
即，所以
（2）由（1）知，则，
又，所以，即，
故

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