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二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
1、一元二次方程根的分布情况
设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分布情况 两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0
大致图象（）
得出的结论
大致图象（）
得出的结论
综合结论（不讨论）


表二：（两根与的大小比较）

分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即
大致图象（）
得出的结论
大致图象（）
得出的结论
综合结论（不讨论）


表三：（根在区间上的分布）
分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内，
大致图象（）
得出的结论 或
大致图象（）
得出的结论 或
综合结论（不讨论） ——————
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是


（1）时，； （2）时，

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：
（1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况：
若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求；
方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内，求的取值范围。分析：①由即得出；②由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或

根的分布练习题
例1、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。
解：由 即 ，从而得即为所求的范围。

例2、已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。
解：由

或即为所求的范围。

例3、已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围。
解：由 即 即为所求的范围。

例4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围。
解：由题意有方程在区间上只有一个正根，则 即为所求范围。
（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在内，由计算检验，均不复合题意，计算量稍大）
例1、当关于的方程的根满足下列条件时，求实数的取值范围：
（1）方程的两个根一个大于2，另一个小于2；
（2）方程的一个根在区间上，另一根在区间上；
（3）方程的两根都小于0；
变题：方程的两根都小于1．
（4）方程的两根都在区间上；
（5）方程在区间（1，1）上有且只有一解；
例2、已知方程在区间[1，1]上有解，求实数m的取值范围．
例3、已知函数f (x)的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围．
检测反馈：
1．若二次函数在区间上是增函数，则的取值范围是___________．
2．若、是关于x的方程的两个实根, 则的最小值为 ．
3．若关于的方程只有一根在内，则_ _．
4．对于关于x的方程x2+(2m1)x+4 2m=0 求满足下列条件的m的取值范围：
（1）有两个负根 （2） 两个根都小于1
（3）一个根大于2，一个根小于2 （4） 两个根都在（0 ，2）内
（5）一个根在(2，0)内，另一个根在(1，3)内 （6）一个根小于2，一个根大于4
（7） 在（0， 2）内 有根
（8） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大
5．已知函数的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。

2、二次函数在闭区间上的最大、最小值问题探讨
设，则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况：
即
图象
最大、最小值
对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：
（1）若，则，；
（2）若，则，
另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越小。
二次函数在闭区间上的最值练习
二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。
例1、函数在上有最大值5和最小值2，求的值。
解：对称轴，故函数在区间上单调。
（1）当时，函数在区间上是增函数，故 ；
（2）当时，函数在区间上是减函数，故
例2、求函数的最小值。
解：对称轴
（1）当时，（2）当时，；（3）当时，
改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？
解：（1）当时，；
（2）当时，。
2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？
解：（1）当时，，；
（2）当时， ，；
（3）当时，，；
（4）当时， ，。
例3、求函数在区间上的最小值。
解：对称轴
（1）当即时，；（2）当即时，；
（3）当即时，
例4、讨论函数的最小值。
解：，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线，，当，，时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）

因此，（1）当时，； （2）当时，；
（3）当时，
以上内容是自己研究整理，有什么错误的地方，欢迎各位指正，不胜感激！















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