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第七章 不等式
第一节 不等式的性质
考点一　比较两个数（式）的大小
[典例]　(1)(2016·北京高考) 已知，且，则（ ）

(2)若，则（填“>”或“<”）
[解析](1)因为，所以A错误；因为当时，，所以B错误；因为函数在上单调递减，所以，即，所以C正确；因为当时，，所以D错误.
(2)易知都是正数，，所以.
[答案]　(1)C (2)<
[题组训练]
1.已知，若，则与的大小关系是（ ）
不确定
解析：选B　.
，即,

2.已知等比数列中，，前项和为，则与的大小关系为_____.
解析：当时，，所以.
当时，，
所以，综上可知. 答案：
考点二　不等式的性质及应用
考法(一)　判断不等式是否成立
[典例]（1）对于任意实数，有以下四个命题：
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则.
其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(2)(2018·山西陵川一中期中)若，则下列不等式一定成立的是（ ）

[解析](1)①由，得，则，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③错误，当时，不等式不成立.④错误，令满足，
但，故选B.
(2) 故选A.
[答案]　(1)B (2)A
考法(二)　求代数式的取值范围
[典例]已知，则的取值范围是____________，的取值范围是__________________.
[解析]
由，得
[答案]　
[题组训练]
1.已知，则下列不等式中恒成立的是（ ）

解析：选D 只有在时，A才有意义，A错；B选项需要同正或同负，B错；C只有时正确；因为，所以D正确.
2.若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解析：选D 即
故选D
第二节 一元二次不等式及其解法
考点一　一元二次不等式的解法
考法(一)　不含参数的一元二次不等式
[典例] 解下列不等式：
（1）
[解](1)原不等式可化为，即，解得，
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于

原不等式的解集为
考法(二)　含参数的一元二次不等式
[典例] 解不等式
[解] 原不等式变为，因为，所以.
当时，即时，解为；
当时，即时，解集为；
当时，即时，解为
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
[题组训练]
1.不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
解析：选D 不等式可化为，所以，
解得.所以不等式的解集是
2.已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
解析：选A 由题意知是方程的两根，所以由根与系数的关系得
，解得，
不等式即为，解集为
3. 求不等式的解集.
解：原不等式可化为，即，
令，解得.
当时，即时，不等式的解集为
当时，即时，不等式的解集为
当时，即时，不等式的解集为
考点二　一元二次不等式恒成立问题
考法(一)　在R上的恒成立问题
[典例] 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
[解析] 当，即时，不等式为，对一切恒成立.
当时，则，即，解得
∴实数的取值范围是. [答案]　 C
考法(二)　在给定区间上的恒成立问题
[典例] 若对任意的，都有（为常数），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
[解析] 法一：令，则由题意，得，
解得，故选A.
法二：当时，不等式恒成立等价于恒成立，则由题意，得.而，则当时，
，所以，故选A.
[答案]　 A
考法(三)　在给定参数范围求x范围的恒成立问题
[典例] 求使不等式恒成立的的取值范围.
[解] 将原不等式整理为形式上是关于的不等式.
令，因为在时恒成立，所以
(1)若，则，不符合题意，舍去.
(2)若，则由一次函数的单调性，可得，即，
解得，综上可知，使原不等式恒成立的的取值范围是
[题组训练]
1. (2018·忻州第一中学模拟)已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
解析：选A 对任意恒成立，令，∵图像的对称轴为直线，所以在上单调递减，∴当时，取到最小值，为-3，
∴实数的取值范围是,故选A
2.若不等式对于任意都成立，则实数的取值范围是_____.
解析：由题意，得函数在上的最大值小于0，又抛物线开口向上，所以只需，即，
解得，答案：
3.不等式对恒成立，则的取值范围是__________.
解析：由题意知对恒成立等价于对恒成立.令，当时，，不满足题意.当时，则，得.
答案：
第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
考点一　二元一次不等式（组）表示的平面区域
[典例] (1)已知约束条件，表示面积为1的直角三角形区域，则实数的值为( )
A. B. C. D.
(2)不等式组，表示的平面区域的面积为_________________.
[解析] (1)作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，要使阴影部分为直角三角形，
当时，此三角形的面积为；所以不成立，所以，则必有,因为的斜率为，所以直线的斜率为1，即.
故选A.
(2)不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分), 的面积即为所求.求出点的坐标分别为,则的面积为
[答案]　(1)A (2)1
[题组训练]
1.若为不等式组表示的平面区域，则当从连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为( )
A. B. C. D.
解析：选D 不等式组表示的平面区域是,
动直线（即）在轴上的截距从-2变化到1.知是斜边为3的等腰直角三角形，是直角边为1的等腰直角三角形，所以区域的面积.
故选D.
2.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
解析：选D 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由得，由得
若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线中的取值范围是或.
考点二　求目标函数的最值
考法(一)　求线性目标函数的最值
[典例] (2018·全国卷III)若变量满足约束条件则的最大值是_______________.
[解析] 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示；由得，作出直线，并平移该直线，当直线过点时，目标函数取得最大值，.
[答案]　3
考法(二)　求非线性目标函数的最值
[典例] (2019·广州高中综合测试)若满足约束条件则的最小值为( )
A. B. C. D.
[解析] 作出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数的几何意义是平面区域内的点到定点的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点的距离的最小值为，故的最小值为，选D.
[答案]　D
考法(三)　线性规划中的参数问题
[典例] (2019·湖北八校联考)已知满足约束条件且的最小值为2，则常数=____________
[解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由得，结合图形可知当直线过点时，最小，联立方程，得
得，此时，解得
[答案]　
[题组训练]
1.若实数满足不等式组目标函数的最大值为12，最小值为0，则实数=（ ）
A. B. C. D.
解析：选D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数可化为，若，则的最小值不可能为0，若，当直线过点
时，取最小值0，得，此时直线过点时，取得最大值12，符合题意，故.
2. (2019·石家庄质检)设变量满足约束条件则的最大值为_________.
解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，而表示区域内的动点与定点连线的斜率的取值范围，由图可知，当直线过点时斜率最大，为.
答案： 3
考点三　线性规划的实际应用
[典例] (2019·合肥一检)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A,B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时.A,B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( )
A.320千元 B. 360千元 C.400千元 D. 440千元
[解析] 设生产甲产品件，生产乙产品件，利润为千元，则，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线，平移该直线，当直线经过直线与直线的交点时，取得最大值，为360.
[答案]　 B
[题组训练]
1.某玩具生产厂计划每天生产舰艇模型、坦克模型、战斗机模型这三种玩具共100个，生产一个舰艇模型需要5分钟，生产一个坦克模型需要7分钟，生产一个战斗机模型需要4分钟.
已知总生产时间不超过10小时，若生产一个舰艇模型可获利润8元，生产一个坦克模型可获利润9元，生产一个战斗机模型可获利润6元.该玩具生产厂合理分配生产任务使每天的利润最大，则最大利润是____________元.
解析：设该玩具生产厂每天生产个舰艇模型，个坦克模型，可获利润为，则其每天生产个战斗机模型，所以由题意可得，约束条件为整理，得目标函数为
.作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分.初始直线，由图可知，当平移初始直线经过点时，有最大值.联立方程组，解得，则最优解为，所以
.因此每天生产舰艇模型50个，坦克模型50个，战斗机模型0个时利润最大，为850元.
答案： 850
2.某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元.该厂每个月木工最多完成8000个工作时，漆工最多完成1300个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是____________元.
解析：设该厂每个月生产把椅子，张桌子，利润为元，则得约束条件
.
作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，画出直线，平移该直线，可知当该直线经过点时，取得最大值.由得即,所以.故每个月所获得的最大利润为2100000元.
答案： 2100000
第四节 基本不等式
考点一　利用基本不等式求最值
[典例] （1）已知，则的最小值是( )
A. B. C. D.
(2)设，则函数的最大值为___________.
(3)已知，且，则的最小值为________.
(4)已知，，则的最小值为________.
[解析] (1)拼凑法
因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号.故选C.
(2)拼凑法
，当且仅当，即时，等号成立. ，函数的最大值为.
(3)常数代换法
，且，
.
当且仅当且，即时，取得等号.
的最小值为.
(4)拼凑法
因为，所以，
令，则，即，解得或，
即或（舍去）
当且仅当，即时等号成立.
[答案]　 (1)C (2) (3) (4)
[题组训练]
1.(常数代换法)若且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
解析：选B 因为，故(当且仅当时取等号).
又因为，，
，故的最小值为.故选B.
2.（两次基本不等式）设，且，则的最大值是( )
A. B. C. D.
解析：选D 因为，且，所以
.(当且仅当时取“=”),
所以.所以.
所以.
所以的最大值是2.
3.(拼凑法)设，则的最小值是( )
A. B. C. D.
解析：选D
，当且仅当，
即时取等号，故选D.
4.(常数代换法) 已知，且，则的最小值为________.
解析：由，且，得，所以
.当且仅当时取等号.
答案：
考点二　基本不等式的实际应用
[典例] 某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为,当年产量不足80千件时，(万元).当年产量不小于80千件时，(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润(万元)关于年产量（千件）的函数解析式.
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
[解] (1)因为每件商品售价为0.05万元，则千件商品销售额为万元，依题意得：当时，.
当时，
所以
(2)当时，.
此时，当时，取最大值万元，
当时，.此时，，即时，取得最大值1000万元.
由于，所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润 最大，最大利润为1000万元.
[题组训练]
1. (2017·江苏高考) 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是_____.
解析：由题意，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为，当且仅当时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时的值是30.
答案： 30
2.某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计).则泳池的长设计为______米时，可使总造价最低.
解析：设泳池的长为米，则宽为米，总造价
（元），当且仅当，即时等号成立.即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低.
答案： 15




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