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类型二 图形规律
例1.将一些相同的“”按如图所示摆放，观察每个图形中的“”的个数，若第n个图形中“”的个数是78，则n的值是(　　)

第1题图
A．11　　　　B．12　　　　C．13　　　　D．14
例2. 如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…，按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是(　　)

第2题图
A. ()n·75° B. ()n－1·65°
C. ()n－1·75° D. ()n·85°
例3. 下列图形都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中的颗数为(　　)

第3题图
A.116 B. 144 C. 145 D. 150
例4.如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…，组成一条平滑的曲线．点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2017秒时，点P的坐标是(　　)

第4题图
A. (2014，0) B. (2015，－1) C. (2017，1) D. (2016，0)
例5. 如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“”的个数为a1，第2幅图形中“”的个数为a2，第3幅图形中“”的个数为a3，…，以此类推，则＋＋＋…＋的值为(　　)

第5题图
A. B. C. D.
例6.如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，依此类推，这样连续旋转2017次．若AB＝4，AD＝3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为(　　)

第6题图
A. 2017π B. 2034π
C. 3024π D. 3026π
例7. 如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(　　)

第7题图
A.(1，－1) B. (－1，－1) C. (，0) D. (0，)
例8. 某广场用同一种如下图所示的地砖拼图案，第一次拼成形如图①所示的图案，第二次拼成形如图②所示的图案，第三次拼成形如图③所示的图案，第四次拼成形如图④所示的图案…按照这样的规律进行下去，第n次拼成的图案共用地砖________块．

第8题图 地砖图案
例9.下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，其中第1个图形的周长为4，第2个图形的周长为10，第3个图形的周长为18，…，按此规律排列，第5个图形的周长为________．

第9题图
例10. 如图，在△ABC中，BC＝1，点P1、M1分别是AB、AC边的中点，点P2、M2分别是AP1、AM1的中点，点P3、M3分别是AP2、AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为________(n为正整数)．

第10题图
例11. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y＝x＋1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则An的坐标是________．

第11题图
例12. 如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝－x的图象分别为直线l1，l2，过点(1，0)作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2017的坐标为________．

第12题图 第13题图
例13. 如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点Bn到ON的距离是________．
例14. 如图，Rt△OA0A1在平面直角坐标系内，∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，以OA1为直角边向外作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90，∠A1OA2＝30°，以OA2为直角边向外作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，按此方法进行下去，得到Rt△OA3A4，Rt△OA4A5，…，Rt△OA2016A2017，若点A0(1，0)，则点A2017的横坐标为________．

第14题图
例15. 如图，直线y＝x上有点A1，A2，A3，…，An＋1，且OA1＝1，A1A2＝2，A2A3＝4，…，AnAn＋1＝2n，分别过点A1，A2，A3，…，An＋1作直线y＝x的垂线，交y轴于点B1，B2，B3，…，Bn＋1，依次连接A1B2，A2B3，A3B4，…，AnBn＋1，得到△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…，△AnBnBn＋1，则△AnBnBn＋1的面积为________(用含正整数n的式子表示)．

第15题图
例16. 如图，∠AOB＝60°，点O1是∠AOB平分线上一点，OO1＝2，作O1A1⊥OA，O1B1⊥OB，垂足分别为A1，B1，以A1B1为边作等边三角形A1B1O2；作O2A2⊥OA，O2B2⊥OB，垂足分别为A2，B2，以A2B2为边作等边三角形A2B2O3；作O3A3⊥OA，O3B3⊥OB，垂足分别为A3，B3，以A3B3为边作等边三角形A3B3O4；…，按这样的方法继续下去，则△AnBnOn的面积为________(用含正整数n的代数式表示)．
























类型二 图形规律
例1.将一些相同的“”按如图所示摆放，观察每个图形中的“”的个数，若第n个图形中“”的个数是78，则n的值是(　　)

第1题图
A．11　　　　B．12　　　　C．13　　　　D．14
【答案】B　
【解析】由每个图形中小圆的个数规律可得第n个图形中，小圆的个数为，由此可得方程＝78，解得n＝12，故选B.
例2. 如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…，按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是(　　)

第2题图
A. ()n·75° B. ()n－1·65°
C. ()n－1·75° D. ()n·85°
【答案】C　
【解析】在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得，∠EA3A2＝()2×75°，∠FA4A3＝()3×75°，∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是()n－1×7
例3. 下列图形都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中的颗数为(　　)

第3题图
116 B. 144 C. 145 D. 150
【答案】 B　
【解析】将图中下半部分组成的梯形放到矩形上方，第n个组合图形可看作是由下半部分为n行n列方阵和上半部分的梯形成，第n个图中方阵中的为(n＋1)2，梯形中为·(n－1)＝，∴第n个图中的的个数为(n＋1)2＋＝＋，令n＝9，解得第9个中个数为144个．
例4.如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…，组成一条平滑的曲线．点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2017秒时，点P的坐标是(　　)

第4题图
A. (2014，0) B. (2015，－1)
C. (2017，1) D. (2016，0)
【答案】C　
【解析】由图象可知，半圆的周长为π，∴运动一秒后的坐标为(1，1)，两秒后的坐标为(2，0)，三秒后的坐标为(3，－1)，四秒后的坐标为(4，0)，…，其中纵坐标以1，0，－1，0循环变化，∵2017÷4＝504……1，∴第2017秒时，点P的坐标为(2017，1)．
例5. 如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“”的个数为a1，第2幅图形中“”的个数为a2，第3幅图形中“”的个数为a3，…，以此类推，则＋＋＋…＋的值为(　　)

第5题图
A. B. C. D.
【答案】C　
【解析】由所给图形可知，a1＝3＝22－1＝(1＋1)2－1，a2＝8＝32－1＝(2＋1)2－1，a3＝15＝42－1＝(3＋1)2－1，a4＝24＝52－1＝(4＋1)2－1，由此猜想an＝(n＋1)2－1＝n(n＋2)，∴＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝×(1－＋－＋－＋…＋－＋－)＝ ×(1＋－－)＝.
例6.如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，依此类推，这样连续旋转2017次．若AB＝4，AD＝3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为(　　)

第6题图
A. 2017π B. 2034π
C. 3024π D. 3026π
【答案】D　
【解析】∵AB＝4，AD＝3，∴AC＝BD＝5，转动一次A的路线长是＝2π，转动第二次A的路线长是＝π，转动第三次A的路线长是＝π，转动第四次A的路线长是0，以此类推，每四次一个循环，且顶点A转动一个循环的路线长为：π＋π＋2π＝6π，∵2017÷4＝504……1，∴顶点A转动2017次经过的路线长为：6π×504＋2π＝3026π.
例7. 如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(　　)

第7题图
A.(1，－1) B. (－1，－1) C. (，0) D. (0，)
【答案】B　
【解析】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，点B的坐标是(2，2)，∴BO与x轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D 是线段OB的中点，∴点D 的坐标是(1，1) ，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．
例8. 某广场用同一种如下图所示的地砖拼图案，第一次拼成形如图①所示的图案，第二次拼成形如图②所示的图案，第三次拼成形如图③所示的图案，第四次拼成形如图④所示的图案…按照这样的规律进行下去，第n次拼成的图案共用地砖________块．

第8题图 地砖图案
【答案】2n2＋2n　
【解析】①4，②4＋2×4，③4＋2×4＋2×6，…，故第n个图形共有4＋2×4＋2×6＋…＋2×2n＝4＋4×2＋4×3＋…＋4n＝4(1＋2＋3＋…＋n)＝4×＝2n2＋2n.
例9.下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，其中第1个图形的周长为4，第2个图形的周长为10，第3个图形的周长为18，…，按此规律排列，第5个图形的周长为________．

第9题图
【答案】40　
【解析】第一个图形周长1×2＋1×2；第二个图形周长(2＋1)×2＋2×2；第三个图形周长(3＋2＋1)×2＋2×3；第四个图形周长(4＋3＋2＋1)×2＋2×4；第五个图形周长(5＋4＋3＋2＋1)×2＋2×5＝40.
例10. 如图，在△ABC中，BC＝1，点P1、M1分别是AB、AC边的中点，点P2、M2分别是AP1、AM1的中点，点P3、M3分别是AP2、AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为________(n为正整数)．

第10题图
【答案】　
【解析】在△ABC中，BC＝1，P1、M1分别是AB、ACnnnn的中点，∴P1M1＝BC＝，按照题设给定的规律，列表如下：
图形序号 PnMn PnMn的长度
① P1M1
② P2M2 ＝
③ P3M3 ＝
… … …
n PnMn
例11. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y＝x＋1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则An的坐标是________．

第11题图
【答案】(2n－1－1，2n－1)　
【解析】∵点A1、A2、A3…在直线y＝x＋1上，∴A1的坐标是(0，1)，即OA1＝1，∵四边形A1B1C1O为正方形，∴OC1＝1，即点A2的横坐标为1，∴A2的坐标是(1，2)，A2C1＝2，∵四边形A2B2C2C1为正方形，∴C1C2 ＝2，∴OC2 ＝1＋2＝3，即点A3的横坐标为3，∴A3的坐标是(3，4)，…，观察可以发现：A1的横坐标是：0＝20－1，A1的纵坐标是：1＝20；A2的横坐标是：1＝21－1，A2的纵坐标是：2＝21；A3的横坐标是：3＝22－1，A3的纵坐标是：4＝22；…据此可以得到An的横坐标是：2n－1－1，纵坐标是：2n－1.所以点An的坐标是(2n－1－1，2n－1)．
例12. 如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝－x的图象分别为直线l1，l2，过点(1，0)作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2017的坐标为________．

第12题图 第13题图
【答案】(21008，21009)　
【解析】观察，发现规律：A1(1，2)，A2(－2，2)，A3(－2，－4)，A4(4，－4)，A5(4，8)，…，∴A2n＋1((－2)n，2(－2)n)，A2n＋2(－2)n＋1，2(－2)n，(n为自然数)，∵2017＝1008×2＋1，∴A2017的坐标为((－2)1008，2(－2)1008)＝(21008，21009)．
如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点Bn到ON的距离是________．
【答案】3n－1　
【解析】由题可知，∠MON＝60°，不妨设Bn到ON的距离为hn，∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，则A1B1＝1，易知△A1OF1为等边三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，则h1＝2×＝，又OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，则h2＝6×＝3，同理可求：OB3＝18，则h3＝18×＝9，…，依此可求：OBn＝2×3n－1，则hn＝2×3n－1×＝3n－1，∴Bn到ON的距离hn＝3n－1.
例14. 如图，Rt△OA0A1在平面直角坐标系内，∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，以OA1为直角边向外作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90，∠A1OA2＝30°，以OA2为直角边向外作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，按此方法进行下去，得到Rt△OA3A4，Rt△OA4A5，…，Rt△OA2016A2017，若点A0(1，0)，则点A2017的横坐标为________．

第14题图
【答案】()1008　
【解析】由题意可知，经过12次变换后，点A13落在射线OA1上，∵2017÷12＝168……1，∴点A2017落在射线OA1上，其横坐标与点A2016相同，∵OA0＝1，经过12次变换后，OA12＝()12，再经过12次变换后，OA24＝()24，综上可猜想，OA2016＝()2016＝()1008，∴点A2017的横坐标为()1008.
例15. 如图，直线y＝x上有点A1，A2，A3，…，An＋1，且OA1＝1，A1A2＝2，A2A3＝4，…，AnAn＋1＝2n，分别过点A1，A2，A3，…，An＋1作直线y＝x的垂线，交y轴于点B1，B2，B3，…，Bn＋1，依次连接A1B2，A2B3，A3B4，…，AnBn＋1，得到△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…，△AnBnBn＋1，则△AnBnBn＋1的面积为________(用含正整数n的式子表示)．

第15题图
【答案】 ×22n－×2n　
【解析】如解图，作A1C1⊥x轴于C1，A2C2⊥x轴于C2，AnCn⊥x轴于Cn，∵点An在直线上y＝x，∴＝＝＝，∴∠AnOCn＝30°，∴OCn＝OAn＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)，∠AnOBn＝60°，∵BnAn⊥OAn，∴OBn＝2OAn，∴
BnBn＋1＝2OAn＋1－2OAn＝2AnAn＋1＝2×2n＝2n＋1.

第15题解图
S△AnBnBn＋1＝BnBn＋1×OCn＝×2n＋1·(1＋2＋22＋…＋2n－1)，设S＝1＋2＋4＋…＋2n－1，则2S＝2＋4＋…＋2n＋1＋2n，∴S＝2S－S＝(2＋4＋…＋2n－1＋2n)－(1＋2＋4＋…＋2n－1)＝2n－1 ，综上可知
S△AnBnBn＋1＝×2n＋1×(2n－1)＝×22n－×2n.
例16. 如图，∠AOB＝60°，点O1是∠AOB平分线上一点，OO1＝2，作O1A1⊥OA，O1B1⊥OB，垂足分别为A1，B1，以A1B1为边作等边三角形A1B1O2；作O2A2⊥OA，O2B2⊥OB，垂足分别为A2，B2，以A2B2为边作等边三角形A2B2O3；作O3A3⊥OA，O3B3⊥OB，垂足分别为A3，B3，以A3B3为边作等边三角形A3B3O4；…，按这样的方法继续下去，则△AnBnOn的面积为________(用含正整数n的代数式表示)．

【答案】　
【解析】∵∠AOB＝60°，OOn平分∠AOB，∴∠AOOn＝30°，∵A1O1⊥AO，OO1＝2，∴A1O1＝1，OA1＝.∵O1A1⊥OA，O1B1⊥OB，∴O1A1＝O1B1，∵O1O＝O1O，∴Rt△O1A1O≌Rt△O1B1O(HL)，∴OA1＝OB1，∵∠A1OB1＝60°，∴△A1OB1是等边三角形，∴A1B1＝OA1＝，∵△A1O2B1是等边三角形，∴A1O2＝A1B1＝，在Rt△A1O2A2中，∠O2A1A2＝60°，A1O2＝，∴A2O2＝A1O2＝O1A1，同理A3O3＝A2O3＝()2A1O1，∴AnOn＝()n－1A1O1. 又 S△O1A1B1＝2S△O1A1O－S△A1B1O＝2××1×－·()2＝ .易得∠AnOnBn＝∠A1O1B1＝120°，AnOn＝BnOn，∴＝，∴△A1O1B1∽△AnOnBn，∴＝()2＝()2n－2.∴S△AnBnOn＝.






















类型一 数式规律
1、数列型数字问题
例1、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为_________．
例2、古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为_________.
2、图示型数字问题
例3、为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比
赛．如图所示：



按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）
A． B． C． ? D．
例4、下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成。依此规律，第5个图案中小正方形的个数为_______________。

例5、按如下规律摆放三角形：
则第（4）堆三角形的个数为_____________；第(n)堆三角形的个数为_____________.


例6、柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图：
?
?

?
第一层有2×3听罐头，第二层有3×4听罐头，第三层有4×5听罐头，……
根据这堆罐头排列的规律，第n（n为正整数）层有???????? 听罐头（用含n的式子表示）。
例7、下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第幅图中共有 个。


3、恒等式型数字问题
例8、试观察下列各式的规律，然后填空：


……
则 HYPERLINK "http://www.1230.org/" INCLUDEPICTURE "http://www.pep.com.cn/czsx/jszx/zkzl/ztjz/200710/W020071017320906048292.gif" \* MERGEFORMAT _______________。
例9、观察下列各式：
　　
　　
　　
……依此规律，第n个等式（n为正整数）为????????? 。
例10、观察下列等式：
第一行???? 3=4－1
第二行???? 5=9－4
? 第三行?? ? 7=16－9
? 第四行??? 9=25－16
…???? …　按照上述规律，第n行的等式为____________??
例11、观察下列各式：
?

请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来 。
4、幂指数型数字问题
例12、已知：21=2，22=4，23=8，24=16、25=32，…………………，
仔细观察，式子的特点，根据你发现的规律，则22008的个位数字是：
A 2 B 4 C 6 D 8
5 、排列型数字问题
例13、把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列：

1
2，3，
4，5，6，7，
8，9，10，11，12，13，14，15，
…?? …?? …?? …??
按此规律，可知第n行有???????? 个正整数
例14、将正整数按如图所示的规律排列下去。若用有序实数对（，）表示第排，从左到右第个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是???????? 。

6、图表型数字问题
例15、观察表1，寻找规律．表2是从表1中截取的一部分，其中的值分别为（ ）。
表1　　　　　　　　　　　　　　　　 表2
1 2 3 4 ……
2 4 6 8 ……
3 6 9 12 ……
4 8 12 16 ……
…… …… …… …… ……

16
20
30
A．20，25，24 B．25，20，24 C．18，25，24 D．20，30，25


1

2

3



…

…





















类型一 数式规律
1、数列型数字问题
例1、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为_________．
【答案】：50
【解析】：仔细观察这一数列中的各个数字的构成特点，不难发现如下；
第一个数是1，第二个数数1+1，第三个数是1+1+3，第四个数是1+1+3+5，第五个数是1+1+3+5+7，第六个数是1+1+3+5+7+9，
为了使规律凸显的明显，我们不妨把第一个数1也写成两个数的和的形式，为1+0，
这样，就发现数字1是固定不变的，规律就蕴藏在新数列0，1，4，9，16 中，而0，1，4，9，16 这些数都是完全平方数，并且底数恰好等于这个数字对应的序号与1的差，即1=1+（1-1）2，2=1+（2-1）2，5=1+（3-1）2，10=1+（4-1）2，17=1+（5-1）2，
26=1+（5-1）2，这样，第n个数为1+（n-1）2，找到数列变化的一般规律后，就很容易求得任何一个序号的数字了。因此，第八个数就是当n=8时，代数式1+（n-1）2的值，此时，代数式1+（n-1）2的值为1+（8-1）2=50。所以，本空填50。
古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为_________.
【答案】：199
【解析】：本题中数列的数字，不容易发现其变化的规律。我们不妨利用函数的思想去试一试。
当序号为1时，对应的值是1，有序号和对应的数值构成的点设为A，
则A（1，1）；
当序号为2时，对应的值是3，有序号和对应的数值构成的点设为B，
则B（2，3）；
当序号为3时，对应的值是6，有序号和对应的数值构成的点设为C，
则C（3，6）；
因为，，，所以有：成立，所以，对应的数值y是序号n的二次函数，因此，我们不妨设y=an2+bn+c，
把A（1，1），B（2，3），C（3，6）分别代入y=an2+bn+c中，
得：a+b+c=1，4a+2b+c=3，9a+3b+c=6，解得：a=，b=，c=0，
所以，y= n2+n，因此，当n=100时，y= ×1002+×100，
当n=98时，y= ×982+×98，因此（×1002+×100）-（×982+×98）=199，所以该空应该填199。
2、图示型数字问题
例3、为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比
赛．如图所示：



按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）
　A． B． C． ? D．
【答案】：A
【解析】：第一个图需要火柴的根数是8，有序号和对应的数值构成的点设为A，则A（1，8）；
第二个图需要火柴的根数是14，有序号和对应的数值构成的点设为B，则B（2，14）；
第三个图需要火柴的根数是20，有序号和对应的数值构成的点设为C，则C（3，20）；
因为，，，所以有：成立，所以，每个图形中所需要的火柴的总根数y是这个图形的序号n的一次函数，因此，我们不妨设y=kn+b，
把A（1，8），B（2，14）分别代入y=kn+b中得：k+b=8，2k+b=14，解得：k=6，b=2，
所以，y=6n+2。因此选A。
例4、下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成。依此规律，第5个图案中小正方形的个数为_______________。

【答案】：50
【解析】：
仔细观察第一个图，正方形的个数为1，第二个图形中正方形的特点是中间是3个，左右两边各一个，即为1+3+1个，第三个图形中正方形的特点是中间是5个，左右分别是1+3个，即为1+3+5+3+1，分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第n个图形中正方形的个数为1+3+5+ +（2n-1）+ +5+3+1=2n2-2n+1，这样，第5个图形中正方形的个数，也就是当n=5时，代数式2n2-2n+1的值，所以，代数式的值为：2n2-2n+1=2×52-2×5+1=41个。所以，本空填50。
例5、按如下规律摆放三角形：
则第（4）堆三角形的个数为_____________；第(n)堆三角形的个数为_____________.
【答案】：14,3n+2
【解析】：仔细观察第一个图形，三角形排列的特点是中间3=(1+2)个,左右各1个,即图1中三角形的总数为1+(1+2)+1,第二个图形中三角形形的特点是中间是4=(2+2)个，左右两边各2个，即为2+(2+2)+2个，第三个图形中三角形的特点是中间是5=(3+2)个，左右分别是3个，即为3+(3+2)+3，分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第n个图形中三角形的个数为n+（n+2）+n =3n+2，这样，第4个图形中三角形正方形的个数，也就是当n=4时，代数式3n+2的值，所以，代数式的值为：3n+2=3×4+2=14个。所以，本题的两个空分别填14和3n+2。
例6、柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图：
?
?

?


第一层有2×3听罐头，第二层有3×4听罐头，第三层有4×5听罐头，……
根据这堆罐头排列的规律，第n（n为正整数）层有???????? 听罐头（用含n的式子表示）。
【答案】：n2+3n+2
【解析】：仔细观察图形，第一层有2×3听罐头，对应的序号为1，第一个数字2与序号1的关系是序号+1，第二个数字是3，它与序号的关系是序号+2；第二层有3×4听罐头，对应的序号为2，第一个数字3与序号的关系是序号+1，第二个数字是4，它与序号的关系是序号+2；第三层有4×5听罐头，对应的序号为3，第一个数字4与序号的关系是序号+1，第二个数字是5，它与序号的关系是序号+2；分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第n层中有（n+1）（n+2）听罐头，即n2+3n+2。所以，本题的空填n2+3n+2。
例7、下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第幅图中共有 个。


【答案】：2n+1
【解析】：仔细观察第一个图形，有一个菱形，第二个图形中有3个菱形，第三个图形中有5个菱形，………仔细观察这些数的特点，恰好是奇数构成的数列，由此，就清楚了变化的规律了。所以，第n个图形中有2n+1个菱形。
3、恒等式型数字问题
例8、试观察下列各式的规律，然后填空：


……
则 HYPERLINK "http://www.1230.org/" _______________。
【答案】：
【解析】：要想找到式子的变化规律，同学们应该仔细观察式子的特点，找出式子中，哪些量是在固定不变的，哪些量是在不断变化。这对解题很关键。
仔细观察式子，不难发现等式左边中的（x-1）是个固定不变的量。左边式子中第二个括号中多项式的次数是不断变化的，且多项式的次数等于对应等式的序号数，即第一个等式中的多项式的次数是1，第二个等式中的多项式的次数为2， 所以，第n个等式中的多项式的次数为n，这是等式左边的变化规律；
等式右边的规律，容易找些，多项式中的常数项是保持不变的，字母x的指数随等式的序号变化而变化，且满足字母x的指数等于等式的序号加1。所以，第10个等式的结果为。
例9、观察下列各式：
　　
　　
　　
……依此规律，第n个等式（n为正整数）为????????? 。
【答案】：（10n+5）2=n（n+1）×100+52。
【解析】：要想找到式子的变化规律，同学们应该仔细观察式子的特点，找出式子中，哪些量是在固定不变的，哪些量是在不断变化。这对解题很关键。
等式左边底数的特点是，个位数字都5，是个不变的量，十位数字与对应的序号一致，分别是1、2、3、4…………；
等式右边的特点是：第一个数字与对应的序号是一致的，括号里的数字的特点是对应的序号与常数1的和；第三个数字又是一个固定的常数100；第四个数字是常数5的平方，也是固定不变的。
通过分析，我们知道在这里对应的序号是问题的根本。而第n个等式的序号为n，所以第n个等式应该是：（10n+5）2=n（n+1）×100+52。
例10、观察下列等式：
第一行???? 3=4－1
第二行???? 5=9－4
? 第三行?? ? 7=16－9
? 第四行??? 9=25－16
…???? …　按照上述规律，第n行的等式为____________??
【答案】：2n+1=（n+1）2- n2。
【解析】：等式的左边的特点是：奇数3、5、7、9 …，
这些奇数可以用对应的序号表示，3=2×1+1， 5=2×2+1，7=2×3+1，9=2×4+1，
其中1、2、3、4等恰好是对应的序号，所以，第n 个奇数为2n+1，这样，我们就把等式左边的规律找出来了；
等式右边的特点是：被减数为4、9、16、25、…恰好是22，32，42，52，…等对应的幂，幂的底数与对应的序号的关系是：底数=对应序号+1，这样，我们就又找到了一部分规律，
第n 个被减数为（n+1）2；
减数分别为1、4、9、16…恰好是12，22，32，42，…等对应的幂，幂的底数与对应的序号的关系是：底数=对应序号，这样，我们就又找到了一部分规律，第n 个减数为n2；
所以，本题的变化规律为：2n+1=（n+1）2- n2。
例11、观察下列各式：

请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来 。
【答案】：=( n+1 )。
【解析】：仔细观察我们发现，等式的左边的特点是：
被开方数中，第一个加数分别是1、2、3、………等的自然数，第二个加数是一个分数，且分子都是1，是固定不变的，这就是一条规律；分母分别是3、4、5、6………，这些数与第一个加数的关系是：分母=第一个加数+2，这是第二规律；
等式的右边的特点是：二次根式的系数分别是2、3、4、5、………，这些数与左边的被开方数中的第一个加数的关系是：二次根式系数=左边的被开方数中的第一个加数+1，这是右边的第一个规律；而被开方数也是一个分数，且分子是1，保持不变，这是一条规律，分数中的分母与左边分数中分母一样。这是第二条规律。这样的话，因为，第n个等式中的第一个加数为n，所以，第n个等式为：=( n+1 )。
4、幂指数型数字问题
例12、已知：21=2，22=4，23=8，24=16、25=32，…………………，
仔细观察，式子的特点，根据你发现的规律，则22008的个位数字是：
A 2 B 4 C 6 D 8
【答案】：C
【解析】：仔细观察，不难发现，当幂的指数能被4整除时，这个数的个位数字是6，当被4除，余数是3时，这个数的个位数字为8，当被4除，余数是2时，这个数的个位数字为4，当被4除，余数是1时，这个数的个位数字为2， 所以，问题解决的关键，就是看幂的指数被4除的情形就可了。我们知道2008是能被4整除的，所以，22008的个位数字是6，
所以，选C。
5 、排列型数字问题
例13、把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列：
1
2，3，
4，5，6，7，
8，9，10，11，12，13，14，15，
…?? …?? …?? …??
按此规律，可知第n行有???????? 个正整数
【答案】：
【解析】：仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行有4个数字，第四行有8个数字，再用我们前面所用的方法，我们就不容易找到变化的规律了。我们不妨换一种思路。利用幂指数的思想试一试。由于第一个数字是1，联想到任何不是零的数的任何次幂都是1，所以，指数0=序号1-1，又因为第二行有2个数字，第三行有4个数字，第四行有8个数字，这些数字都是偶数，所以底数一定是偶数，是2、或4或6等等，但是，第二个数为2，指数等于2-1=1，所以，底数为2，这样，我们就找到规律，第n行中的数字个数为。
例14、将正整数按如图所示的规律排列下去。若用有序实数对（，）表示第排，从左到右第个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是???????? 。


【答案】：23
【解析】：仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行有3个数字，第四行有4个数字，……第n行有n 个数字，这是第一条变化规律；我们再来观察一下，每一行最后的一个数字的特点，不难发现，第二行的最后一个数字3=第一行中的数字个数1+第二行数字个数2，第三行最后的数字6=第一行数字个数1+第二行数字2+第三行数字个数3；因此，第n行的最后一个数字=1+2+3+4+ …………+n=，
所以，第六行最后的数字为：==21，所以，第七行的第一个数字为22，第二个数字位23，因为（7，2）的意义就是第七行第二个数的意思，所以，（7，2）表示的实数是?23。
6、图表型数字问题
例15、观察表1，寻找规律．表2是从表1中截取的一部分，其中的值分别为（ ）。

表1　　　　　　　　　　　　　　　　 表2
1 2 3 4 ……
2 4 6 8 ……
3 6 9 12 ……
4 8 12 16 ……
…… …… …… …… ……

16
20
30
A．20，25，24 B．25，20，24 C．18，25，24 D．20，30，25
【答案】：A
【解析】：仔细观察图表的结构，发现第n行，第m列的交叉处的数恰好是n与m的积。
结合表1，就知道数c在六行，四列的交叉处，所以c的数值为6×4=24；a 在四行，五列的交叉处，所以a的数值为4×5=20；b在五行，五列的交叉处，所以b的数值为5×5=25；
所以，选A。


1

2

3



…

…

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