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五年级知识点梳理&经典例题
第二单元因数和倍数
一、知识点梳理
（1）、因数和倍数
a.因数和倍数相互依存。（注意研究因倍数不考虑0；因数和倍数是针对整数）
b.一个数最小因数是1，最大因数是他本身；一个数最小倍数是本身。（注意没有最大倍数）
c.一个数的因数是有限的，倍数是无限的。
d.一个数找因数时可以借助乘法算式。（例：4=1×4 ；4=2×2则4的因数是1、2、4）
（2）、2、3、5的倍数
a. 2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8
b. 5的倍数特征：个位是0、5
c. 3的倍数特征： 各个数位和是3的倍数。
d. 2、3、5最小倍数是30
e. 2、5的公倍数个位是0。
f. 自然数范围内，最小奇数是1，最小偶数是2，最小的合数是4。
（3）质数与合数
a.质数只有1和它本身两个因数。（公因数只有1的两个数，叫做互质数）
b.除了1和它本身外还有其他因数。
c.1既不是质数也不是合数。
d.同奇数和是偶，同偶数和还偶。一奇一偶和是奇。
f.自然数范围内非奇即偶（自然数范围内包括0、1、质数、合数四类）
二、经典例题
1、(1).一个数的倍数一定大于它的因数。（x）
解析：一个数最大公因数和最小公倍数都是这个数本身。
(2).在算式18÷2=9中，18是2和9的倍数，因此在算式1.8÷9=0.2中，1.8是9和0.2的倍数。 （x）
解析：因数和倍数是针对整数。
(3).个位上是3、6、9的数，都是3的倍数。 （x）
解析： 3的倍数特征： 各个数位和是3的倍数。
(4).如果四位数111( ) 是3的倍数，那么（ ）里最小能填3。 （x）
解析：3的倍数是要求各个数位和是3的倍数即可，前三位已经满足，（）里最小可填0。
(5).一个三位数，百位上是最小的奇数，十位上是0，个位上是一位数中最大的偶数，那么这个数即是2的倍数，又是3的倍数。 （√）
解析：百位上是1，个位是8。这个数是108，满足2、3的倍数要求。
(6).自然数（0除外）不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。 （x）
解析：自然数（0除外）=奇数+偶数；自然数（0除外）=质数+合数+1
(7).质数都是奇数，偶数都是合数。 （x）
解析：2是最小的质数，也是偶数。
2、(1).一个三位数41( ),如果这个数是2的倍数，（ ）里可以填（ 0、2、4、6、8 ）；如果这个数是5的倍数，（ ）里可以填（ 0、5 ）；如果这个数即是5的倍数又是2的倍数，（ ）里只能填（ 0 ）。
解析： 2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8 ；5的倍数特征：个位是0、5
(2).一个三位数，既有因数3，又有因数2，同时又是5的倍数，这个三位数最小是（ 120 ），最大是（ 990 ）。
解析：2、3、5最小倍数是30，写三位数时直接判断30的倍数即可。
(3).一个五位数，万位是最小的合数，千位是最小的奇数，十位即是质数又是偶数，其余各位都是0，这个数写作（ 41020 ）。
解析：最小合数4，最小奇数1，即是质数又是偶数的是2。
3、一个长方形周长是16㎝，它的长和宽的米数分别是两个质数，这个长方形的面积是多少平方米？
解题思路:确定长宽和后再确定长宽具体数值。注意1既不是质数又不是合数。
解题步骤: 16÷2=8；8=3+5；面积：3×5=15

4、美术小组郊外写生。该兴趣小组人数多余30但不到35，刚好可以分成几个人数相等的小组，且小组数和每组人数都是不同的质数，那么该小组有多少人？
解题思路:小组人数大于30小于35，在其中确定能被两个质数相乘的即为答案。
解题步骤：大于30小于35的数有31、32、33、34。
其中33=3×11；34=2×17 满足要求。

5.篮子里有64个苹果，如果不能一个一个地拿，也不能一次性全部拿走，要求每次拿出的个数都一样，一共有多少种拿法？
解题思路:每次次数相同即要求找到64的因数。
解题步骤：64=1×64；64=2×32；64=4×16；64=8×8；
题目要求不能一次都拿走也不能逐一拿取。那么排除1和64。还有2、32、4、16、8共计5个因数，则共有5种取法。

6.妈妈给手机设置的密码为六位数，第一位上数字是10以内最大的质数；第二位上数字只有一个因数；第三位上数字的最大因数和最小倍数的乘积为49；第四位上数字是最小的合数；第五位和第六位上是两个连续的自然数，且都是质数。你能根据以上的线索来推理出密码吗
解题思路:10以内最大的质数7;只有一个因数的数是1；最大因数和最小倍数为同一个人数，二者的乘积为49，则这个数为7；最小合数是4；两个连续的自然数且都是质数的是2、3。
解题步骤：717423

7.有三个学生，他们最大的比最小的大6岁，中间的人的年龄为三个人年龄的平均数，他们三人年龄的乘积是1620，这三个学生的年龄分别是几岁？
解题思路：涉及乘积问题用分解质因数和假设法。
解题步骤：1620=2×2×3×3×3×3×5；
假设最小年龄为a，中间年龄为△，年龄最大为a+6。
3△=a+△+a+6
△=a+3。
则三人年龄相差3，且为3的倍数。
根据分解质数，三人年级为9、12、15。


第二单元
基础知识
一、填空题：
（1）36的因数有（ ）。
（2）写出100以内14的倍数（ ）。
（3）在20以内的自然数中，既不是质数也又不是合数的是（ ）；既是奇数又是合数的有（ ）。
（4）三个连续奇数的和是93，这三个奇数分别是（ ）、（ ）、（ ）。
（5）在0、3、7、8中选出3个数字，组成能同时是2、3、5倍数的最小三位数是（ ），最大三位数是（ ）。
二、选择题：
a+3的和是奇数，a一定是（ ）。
A.质数 B.合数 C.奇数 D.偶数
（2）两个质数的积一定是（ ）。
A.质数 B.合数 C.奇数 D.偶数
（3）用0、3、4、8组成的所有四位数一定都是（ ）的倍数。
A.0 B.5 C.3 D.2
三、综合应用
（1）540这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？

（2）小江每天坚持书法练习，开学前4天，他每天坚持练习的张数是四个连续的自然数，并且乘积是360，请问小江这四天各写了几张？

能力发展
例1：
（1）120能被2和5整除，并且2与5互质，那么120能否被2和5的乘积整除？
（2）18能被2和3整除，并且2与3互质，那么18能否被2和3的乘积整除？18能被2和6整除，那么18能否被2和6的乘积整除？为什么？


举一反三：
如果六位数591□□□能分别被2、3、5整除，则这个六位数最小是多少？

例2：不计算，你能判断15×385与75×77的两个积是否相等吗？
（温馨提示：左右两边分解质因数后，各有哪些质因数？）


举一反三：有8张数字卡片分别是14、20、35、39、49、66、143、169，小江和小浙各抽4张卡片，正巧每位同学手中的四张数字卡片的乘积相等，你能猜出小浙和小江分别抽了哪四张数字卡片呢？


思维提升
已知7A+2B=1996，其中A，B都是质数，那么A+B的和是多少？
第三单元长方体和正方体
一、知识点梳理
1.长方体
(1).有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱长相等。
(2).一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。
(3).长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4
(4).长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 （注意实际情况的表面积个数计算）
(5).长方体的体积=长×宽×高
2.正方体
(1).有6个面，8个顶点，12条棱，每个面的面积都相等，所有棱长相等。
(2).正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。
(3).正方体的棱长总和=棱长×12
(4).正方体的表面积=棱长×棱长×6 （注意实际情况的表面积个数计算）
(5).正方体的体积=棱长×棱长×棱长
3.*形状不规则的物体求体积
排水法的公式：V物体 =V现在－V原来
V物体 =S×(h现在- h原来)
V物体 =S×h升高
二、经典例题
1、判断
(1).一个长方体表面积时24dm2，把它平均分成两个长方体后，每个长方体的表面积是12dm2。 （x）
解析：长方体切割后表面积会增加，每个长方体表面积会比原来增加。
(2).一个正方体棱长扩大到原来的2倍，它的表面积就扩大到原来的8倍。 （x）
解析：正方体表面积=棱长×棱长×6 棱长扩大2倍，面积就扩大4倍。
(3).把5个棱长为1㎝的小正方体拼成一个长方体，长方体的表面积就是2cm2。 (X）
解析：五个小正方体拼接，总表面积减少8个面。小正方体表面积是30cm2，长方体表面积是22cm2。
(4).一个长方体木箱能装货8m3 ，长方体木箱的体积就是8m3。 （X）
解析：体积≠容积，要注意实际情况。
(5).把表面积为6cm2的两个正方体拼成一个长方体，长方体表面积是12cm2。 （X）
解析:正方体拼接后表面积减少两个面。长方体表面积应该是10cm2
(6).一个正方体棱长减少1dm，体积就比原来减少1dm3。 （X）
解析：正方体体积=棱长3（可以用假设法，解题更加方便）开始：体积=13 减少后：体积=23,减少了7dm3.
2、用一根60㎝长的钢丝焊接一个长方体框架，如果这个长方体的长是7㎝，宽是3㎝，那么高是多少？（不记焊接处的材料长度）
解析:长方体棱长和=（长+宽+高）×4
60=（7+3+高）×4
高=60÷4－10
高=2

3、一个礼品盒长10㎝，宽6㎝，高2㎝，彩带打结部分长15㎝，包装这个盒子至少需要多长的彩带？
解题思路：长方体礼盒包装共计长、宽各两次，高四次。
解析过程：（长+宽）×2+高×4+打结部分
（10+6）×2+2×4+15=87

4、一个正方体框架是用一根长48㎝的铁丝焊成，要给这个框架的各个面都糊上彩纸，至少需要多大面积的彩纸？（接口处不计）
解题思路：借助棱长和求出正方体表面
解题步骤：48÷12=4 4×4×6=96

5、某小学建立一个长方体游泳池，长是50米，宽是5米，深是2米。
（1）游泳池占地面积多少平方米？（2）在游泳池四周和底面抹上水泥，抹水泥的部分是多少平方米？（3）沿游泳池的内壁1.5米高处用白漆画一条水位线，水位线全长多少米？(4)按水位线的高度蓄水，蓄水池内蓄水多少立方米？
解题步骤：1）占地面积：50×5=250 2)表面积：50×5+50×2×2+5×2×2= 470
3）（50+5）×2=110 4）50×5×1.5=375

6、一个长方体玻璃容器，底面是边长2dm的正方形容器，向容器中倒入5L水，再放入一块铁块，铁块浸没在水中，这是水面高度是20㎝（水没有溢出），这块铁块体积是多少？
解题思路：水上升部分体积=铁块体积
解题步骤；2dm=20cm 上升部分水体积：20×20×20=8000cm3
易错点：本题提示水没有溢出。若投入铁块，没有明确文字说明，先确定水上升高度是否溢出。

7、将一个长方体沿底面平行的方向切成5个同样大小的正方体，切成的5个正方体表面积比原来长方体表面积增加了200cm2,求原来长方体表面积。
解题思路：长方体切割开，表面积增加8个底面。长方体表面积=正方体表面积×5－200
解题步骤: 200÷8=25 25×6×5－200=550

8、一个空的长方体容器A长30cm、宽20cm、另一个装有水的长方体容器B长20cm、宽15cm、水深12厘米.现将容器B中的水倒一部分到容器A,使两容器内水的高度一样.这时水深几厘米?
解题思路：水的总体积=A容器水体积+B容器水体积
解题步骤：水的体积： 20×15×12=3600 3600=20×30×h+20×15×h
3600=600h+300h
h=4
易错点：注意题目中条件是两个容器中水的体积相同、容器底面积相同、容器中水高度相同。






第三单元
一、基础知识
1、填空题：
（1）将两个同样大小的正方体黏合乘一个长方体，黏合乘的长方体比原来两个正方体少掉（ ）个面。如果正方体的棱长是5分米，那么黏合成的长方体的长是（ ）分米，宽是（ ）分米，高是（ ）分米。
（2）一个集装箱长是7.5m，宽是4m，高是4m，这个集装箱左右面的面积之和是（ ）㎡，其余四个面的面积相等，面积之和是（ ）㎡。
（3）一个正方体的棱长总和为60cm，这个正方体侧面积是（ ）cm?。
（4）长方体的地面周长为36cm，如果高增加10cm，那么表面积增加了（ ）cm?。
（5）有一个棱长是5分米的正方体水箱中装有半箱水，现把一块石头完全浸没在水中，水面上升6厘米（未溢出）。这块石头的体积是（ ）。

2、选择题：
用一根52厘米长的铁丝，恰好可以焊成一个长6厘米、宽4厘米，高（ ）厘米的长方体教具。
A.2 B.3 C.4 D.5
（2）把1立方米的正方体木块切成1立方厘米的小正方体木块，如果把这些小木块排成一行，共有（ ）长。
A.10千米 B.1千米 C.1000米 D.10000分米
（3）一段钢材长0.4m，横截面积是120cm?，它的体积是（ ）cm?。
A.48 B.480 C.4800 D.8000
（4）一个正方体的棱长为10厘米，一个长方体的长、宽、高分别是9厘米、10厘米、11厘米。它们的表面积相比（ ）。
A.一样大 B.正方体大 C.长方体大
一个长方体，地面是周长为8分米的正方形，侧面展开也是一个正方形，这个长方体的体积是（ ）立方分米。
A.512 B.64 C.32 D.128


二、综合应用
1、一种长方体钢材，长2.5米，宽和高都是6厘米。每立方米钢材重7.8吨，这根钢材重多少吨？


2、一个长方体，地面是周长36分米的正方形，侧面展开也是一个正方形，这个长方体的体积是多少？



三、能力发展
1.在一个长24m，宽12m，深1.6m的长方体游泳池里面贴瓷砖，瓷砖为边长0.2m的正方形，共需要多少块瓷砖？

2.有一张长40厘米，宽20厘米的长方形硬纸片，从四个角各剪去边长为5厘米的正方形，做成纸盒。该纸盒的表面积和容积各为多少？



四、思维提升
一个木盒从外面量长12厘米，宽10厘米，高6厘米，木板厚1厘米。做这个木盒最少需要1厘米厚的木板多少平方厘米？这个木盒的容积是多少立方厘米？

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