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空间向量应用问题解答的基本方法
纵观近几年的高考数学试题，理科立体几何大题的第二小题都是求空间角的余弦值（或正弦值）的问题。解答时，一般都是通过建立空间直角坐标系，运用空间向量的方法达到解题的目的。这样一来，空间向量应用问题解答的基本方法就显得尤为重要，归结起来，空间向量应用问题主要包括：①建立空间直角坐标系的基本方法；②应用空间向量证明平行问题的基本方法；③应用空间向量证明垂直问题的基本方法；④应用空间向量求空间角余弦值（或正弦值）问题的基本方法等几种类型。各种类型结构上具有一定的特征，解答的基本方法也各不相同，那么在实际解答该类问题时，到底如何抓住题型的特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题： z
1、如图在正方体ABCD---中
建立直角坐标系D----XYZ；
【解析】 D C y
【知识点】①空间直角坐标系的定义与性质；②空间 x
直角坐标系建立的基本方法；③正方体的定义与性质。 A B
【解题思路】运用正方体的性质，结合空间直角坐标系建立的基本方法就可解答问题。
【详细解答】 ABCD---是正方体，DDA，DDC，ADDC，如图，以D为原点，射线DA，DC，D分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz。 z
2、如图在几何体中，底面ABCD是边长为 E F
6的正方形，是以E为直角顶点的等腰
直角三角形且垂直于底面，试建立直角坐标系
O----XYZ； D C
【解析】 O F y
【知识点】①空间直角坐标系的定义与性质；②空间 x
直角坐标系建立的基本方法；③等腰三角形的定义与 A B
性；④正方形的定义与性质；⑤平面垂直平面的性质。
【解题思路】分别取AD，BC的中点O，F，连接EO，FO，运用等腰三角形的性质，结合问题条件可证EOOA，EOOF，AOOF，利用空间直角坐标系建立的基本方法就可解答问题。
【详细解答】分别取AD，BC的中点O，F，连接EO，FO，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，O是AD的中点， EOAD，平面EAD平面ABCD，平面EAD 平面ABCD=AD，EO 平面EAD， EO平面ABCD， EOOA，EOOF，四边形ABCD是边长为6的正方形， AOOF，如图，以O为原点，射线OA，OF，OE分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz。
3、如图在四菱锥P----ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD的中点，试建立直角坐标系O---XYZ；
【解析】
【知识点】①空间直角坐标系的定义与性质；②空间 P z
直角坐标系建立的基本方法；③平面垂直平面的性质；
④直角梯形的定义与性质；⑤等腰三角形的定义与性质。
【解题思路】连接PO，运用等腰三角形的性质，结合 A O D y
问题条件可证POOD，POOC，COOD，利用
空间直角坐标系建立的基本方法就可解答问题。 B x C
【详细解答】连接CO， PA=PD=，O为AD的中点， POAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD 平面ABCD=AD，PO 平面PAD， PO平面ABCD， POOD，POOC， BC∥AD， AD=2AB=2BC=2，四边形ABCO是菱形，AB⊥AD，四边形ABCO是正方形， OCOD，如图，以O为原点，射线OC，OD，OP分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz。
4、如图在四菱锥O----ABCD中，底面ABCD是 O z
边长为1的菱形，，OA⊥底面ABCD，
试建立直角坐标系A---XYZ。 A D y
【解析】
【知识点】①空间直角坐标系的定义与性质；②空间 x
直角坐标系建立的基本方法；③菱形的定义与性质；④B E C
直线垂直平面的定义与性质。
【解题思路】过A作AEAD，垂足为A，交BC于点E，运用直线垂直平面的性质，结合问题条件可证ADOA，AEOA，利用空间直角坐标系建立的基本方法就可解答问题。
【详细解答】过A作AEAD，垂足为A，交BC于点E， OA⊥底面ABCD，AD，AE 平面ABCD， ADOA，AEOA，如图，以A为原点，射线AE，AD，AO分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系A—xyz。
『思考题1』
（1）【典例1】是空间向量运用的首要问题—建立空间直角坐标系，【典例1】中的（1）可以直接建立空间直角坐标系D—xyz，原因是AD⊥D，AD⊥DC，DC⊥D是条件ABCD---是正方体给定了的；
（2）【典例1】中的（2），（3），（4）中没有现成的系，这时需要我们去找系。找系的基本规律是：①条件中有两个平面垂直可利用平面垂直平面的性质，在一个平面内找垂直于另一个平面的直线，其垂足为原点建立直角坐标系；②条件中没有两个平面垂直，但有直线垂直于平面，可利用直线垂直平面的性质直接取垂足为原点建立直角坐标系。
〔练习1〕按要求解答下列各题： S
1、如图四菱锥S----ABCD中，底面ABCD是矩形，
SD⊥底面ABCD，试建立直角坐标系D----XYZ；
D C

A B



E
2、如图DC⊥平面ABC，EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2，
，P、Q分别为AE、AB的中点，试 D
建立直角坐标系C----XYZ。 P
C B

A Q
【典例2】解答下列问题：
1、如图在正方体ABCD----中，E，F分别是B、CD的中点，M是AE上一点，且=。求证： z
（1）M⊥平面DAE；
（2）M⊥AD； D M F E C y
（3）平面AED⊥平面F。 x A B
【解析】
【知识点】①建立空间直角坐标系的基本方法；②空间点坐标确定的基本方法；③直线所在向量的求法；④平面法向量的基本求法；⑤运用空间向量证明直线垂直平面的基本方法；⑥运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法；⑦运用空间向量证明平面垂直平面的基本方法。
【解题思路】（1）如图运用建立空间自己坐标系的基本方法建立空间直角坐标系D—xyz，根据确定点坐标的基本方法分别确定点，M，D，A，E的坐标，从而求出直线M，DA，DE所在向量，，，得到.=0，. =0，可证M⊥DA，M⊥DE，利用直线垂直平面判定定理和判定方法就可证明结论；（2）由（1）点的坐标分别求出直线M，AD所在的向量，，得到.=0，从而证明M⊥AD；（3）设平面DAE的法向量为=（，，），由.=0，. =0，求出法向量，用同样的方法求出平面F的法向量，得到.=0，利用证明平面垂直平面的基本方法就可证明结论。
【详细解答】（1） ABCD---是正方体，DDA，DDC，ADDC，如图，以D为原点，射线DA，DC，D分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz，设正方体的棱长为1，M（x，y，z）， D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），（0，0，1），（1，1，1），（1，0，1），E是B的中点， E（1，1，），=（1，0，0），=（1，1，），=（x-1，y，z），=（0，1，），=，x-1=0，y=，z=，M（1，，），=（0，，-），.=0+0+0=0，. =0+-=0，M⊥DA，M⊥DE，DA，DE
平面DAE，DADE=D，M⊥平面DAE；（2）由（1）知=（0，，-），=
（-1，0，0），.=0+0+0=0，M⊥AD；（3）设平面DAE的法向量为=（，，），.=+0+0==0，. =++=0，=0，=-1，=2，=（0，-1，2），同理求出平面F的法向量=（0，2，1），.=0-2+2=0，平面AED⊥平面F。
2、如图在正方体ABCD----中，点E，F z
分别是B，的中点。 F
求证：EF⊥D； D E C y
【解析】 x
【知识点】①建立空间直角坐标系的基本方法； A B
②空间点坐标确定的基本方法；③直线所在向量的求法；④运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法。
【解题思路】如图运用建立空间自己坐标系的基本方法建立空间直角坐标系D—xyz，根据确定点坐标的基本方法分别确定点D，，B，，的坐标，由问题条件求出点E，F的坐标，从而求出直线EF，D，所在向量，，得到.=0，利用空间向量证明直线垂直直线的基本方法就可证明结论。
【详细解答】 ABCD---是正方体，DDA，DDC，ADDC，如图，以D为原点，射线DA，DC，D分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz，设正方体的棱长为1， D（0，0，0），（1，0，1），B（1，1，0），（0，0，1），（1，1，1），E，F分别是B，的中点， E（1，1，），F （，，1），=（1，0，1），=（-，-，），.=-+0+=0，
EF⊥D。
3、如图四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点，该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图所示。 P z
（1）证明：AM//平面PBC； 1
（2）证明：BC⊥平面PBD；
（3）线段CD上是否存在点N，使AM与BN所成角 M 4
的余弦值为？若存在，找出所有符合要求的 D y C 2 2 3
点N，并求CN的长；若不存在，请说明理由。 x A B
【解析】
【知识点】①建立空间直角坐标系的基本方法；②空间点坐标确定的基本方法；③直线所在向量的求法；④运用空间向量证明直线平行平面的基本方法；⑤运用空间向量证明直线垂直平面的基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦运用空间向量求直线与直线所成角余弦值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，运用直线垂直平面的性质可证PD⊥DA ，PD⊥DC，由底面ABCD是直角梯形，得到AD⊥DC，利用建立空间自己坐标系的基本方法建立空间直角坐标系D—xyz，根据确定点坐标的基本方法分别确定点D，A，B，C，P的坐标，由问题条件求出点M的坐标，从而求出直线AM，BP，BC所在向量，，，由求平面法向量的基本方法求出平面PBC的法向量，得到.=0，利用空间向量证明直线平行平面的基本方法就可证明结论；（2）由（1）点的坐标求出直线BD所在向量，得到.=0，.=0，从而证明BC⊥BP， BC⊥BD，利用空间向量证明直线垂直平面的基本方法就可证明结论；（3）设线段CD上存在点N（x，y，z），使AM与BN所成角的余弦值为，由（1）点的坐标求出直线AM，BN所在向量，，根据公式cos<，>=
计算，利用计算结果得出结论。
【详细解答】（1） PD⊥底面ABCD，AD，CD 平面ABCD， PD⊥DA ，PD⊥DC，
底面ABCD是直角梯形， AD⊥CD，如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz， D（0，0，0），A（，0，0），B（，1，0），P（0，0，4），M（0，0，3），C（0，4，0），=（-，0，3），=（-，-1，4），，=（-，3，0），设平面PBC的法向量为=（，，），.=--+4=0，. =-+3+0=0，=，=1，=1，=（，1，1），.=-3+0+3=0，AM平面PBC， AM//平面PBC；（2）
由（1）得=（-，-1，0），.=3-3+0=0，.=3-3+0=0， BC⊥BP， BC⊥BD，BP，BD平面PBD，BPBD=B，BC⊥平面PBD；（3）设线段CD上存在点N（x，y，z），使AM与BN所成角的余弦值为，=（0，-4，0），=（x，y-4，z），点N在线段CD上，存在tR，使=t，（x，y-4，z）=（0，-4t，0），x=0，y=4-4t，z=0，=（-，3-4t，0）， cos<，>== = =，=2，t=或t=1，y=1或y=-1，04、如图在几何体中底面ABCD是边长为6的 E z F
正方形，是以E为直角顶点的等腰直
角三角形且垂直于底面，EF⊥平面EAD,EF=3， G
若R是BC的中点，G、H是BF上的两个三等
分点。求证： D H C
（1）EF∥平面ABCD； R y
（2）AG⊥FB, RH⊥FB. A x B
【解析】
【知识点】①建立空间直角坐标系的基本方法；②空间点坐标确定的基本方法；③直线所在向量的求法；④运用空间向量证明直线平行平面的基本方法；⑤运用空间向量证明直线垂直平面的基本方法；⑥求平面法向量的基本方法。
【解题思路】（1）如图，取AD的中点O，连接EO，OR，运用平面垂直平面的性质可证EO⊥平面ABCD，得到EO⊥OA ，EO⊥OR，由底面ABCD是正方形，得到AO⊥OR，利用建立空间自己坐标系的基本方法建立空间直角坐标系O—xyz，根据确定点坐标的基本方法分别确定点O，E，F的坐标，从而求出直线EO，EF所在向量， ，得到.=0，利用空间向量证明直线平行平面的基本方法就可证明结论；（2）根据确定点坐标的基本方法分别确定点A，B，C的坐标，由问题条件求出点R，G，H的坐标，得出直线AG，BF，RH所在向量，，，得到.=0，.=0，从而证明AG⊥BF， RH⊥BF。
【详细解答】（1）如图，取AD的中点O，连接EO，OR，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，O是AD的中点， EOAD，平面EAD平面ABCD，平面EAD 平面ABCD=AD，EO 平面EAD， EO平面ABCD， EOOA，EOOF，四边形ABCD是边长为6的正方形， AOOF，以O为原点，射线OA，OF，OE分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz，四边形ABCD是边长为6的正方形，EF⊥平面EAD,EF=3，O是AD的中点，O（0，0，0），E（0，0，3），
F（0，3，3），= （0，0，-3），=（0，3，0），.=0+0+0=0，EF平面ABCD， EF//平面ABCD；（2）A（3，0，0），B（3，6，0），C（-3，6，0），R是BC的中点，G、H是BF上的两个三等分点， R（0，6，0），H（2，5，1），G（1，4，2），
= （-2，4，2），=（-3，-3，3），=（2，-1，1），.=6-12+6=0，
.=-6+3+3=0， AG⊥BF， RH⊥BF。
5、如图在正方体ABCD---中，M， D z C
N，P分别是C、、的中点。 A B M
求证：（1）AP⊥MN； P N y
（2）平面MNP∥平面BD； x
【解析】
【知识点】①建立空间直角坐标系的基本方法；②空间点坐标确定的基本方法；③直线所在向量的求法；④运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法；⑤运用空间向量证明平面平行平面的基本方法；⑥求平面法向量的基本方法。
【解题思路】（1）如图，运用正方体的性质可证D，D，，以为原点，射线，，D分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系—xyz，根据确定点坐标的基本方法分别确定点，，，，，A，C的坐标，结合问题条件得到点M，N，P的坐标，从而求出直线AP，MN所在向量，，得到.=0，利用空间向量证明直线垂直直线的基本方法就可证明结论；（2）根据确定点坐标的基本方法分别确定点B，D的坐标，求出直线D，B，PM，PN所在向量，，，，运用求平面法向量的基本方法，分别求出平面MNP,平面BD的法向量法向量，，得到//=0，利用证明平面平行平面的基本方法就可证明结论。
【详细解答】（1）如图， ABCD---是正方体，D，D，，以为原点，射线，，D分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系—xyz，设正方体的棱长为1，（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（1，1，0），A（1，0，1），C（0，1，1），M，N，P分别是C，，的中点，P（0，，0），M（0，1，），N（，1，0），= （-1，，-1），=（，0，-），.=-+0+=0， AP⊥MN；（2）B（1，1，1），D（0，0，1），=（0，1，1），=（-1，0，1），=（0，，），=（，-，0），设平面BD的法向量为=（，，），.=0++=0，. =-+0+=0，=1，=-0，=1，=（1，-1，1），同理求出平面PMN的法向量=（-1，1，-1），//，平面MNP∥平面BD。
6、如图已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， B E
ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为
CD的中点。 z
（1）求证：AF//平面BCE； M A
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值 C F D y
【解析】 x
【知识点】①建立空间直角坐标系的基本方法；②空间点坐标确定的基本方法；③直线所在向量的求法；④运用空间向量证明直线平行平面的基本方法；⑤运用空间向量证明平面垂直平面的基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦三角形中位线的定义与性质；⑧求直线与平面所成角正弦值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，取CE的中点M，连接FM，运用三角形中位线的性质可证MF平面ACD，得到FMFD，FM FA，FA FD，以F为原点，AF的延长线，射线FD，FM分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系F—xyz，根据确定点坐标的基本方法分别确定点，A，F，B，C，E的坐标，从而求出直线AF，BC，BE所在向量，，，根据求平面法向量的基本方法求出平面BCE的法向量，得到.=0，利用空间向量证明直线平行平面的基本方法就可证明结论；（2）根据确定点坐标的基本方法分别确定点D的坐标，求出直线DC，DE所在向量，，运用求平面法向量的基本方法，分别求出平面CDE的法向量法向量，得到.=0，利用证明平面垂直平面的基本方法就可证明结论；（3）求出直线BF所在向量，运用求直线与平面所成角正弦值的基本方法通过计算就可求出结果。
【详细解答】（1）如图，取CE的中点M，连接FM，延长AF，M，F分别是CE，CD的中点，FM//DE， DE⊥平面ACD，FM⊥平面ACD， FMFD，FM FA，ACD为等边三角形，D是CD的中点，FA FD，以F为原点，AF的延长线，射线FD，FM分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系F—xyz，设AD=DE=2，平面BCE的法向量为=（，，）， AD=DE=2AB，A（-，0，0），F（0，0，0），B（-，0，1），C（0，-1，0），E（0，1，2），=（，0，0），=（，-1，-1），=（，1，1），.=--=0，. =-++=0，=0，=-1，=1，=（0，-1，1），. =-0+0+0=0，AF平面BCE， AF//平面BCE；（2）D（0，1，0），=（0，-2，0），=（0，0，2），设平面CDE的法向量为=（x，y，z），.=0-2y+0=0，.=-0+0+2z=0，x=，y=0，z=0，=（x，0，1），.=0+0+0=0，平面BCE⊥平面CDE；（3）设直线BF与平面BCE所成角为，=（，0，-1），sin=cos<，>==
=。
『思考题2』
（1）【典例2】是证明直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行、垂直问题，解答这类问题，首先是建立空间直角坐标系，然后把相关的点，直线的方向向量用坐标表示出来，再根据问题的条件和要求选择恰当的方法进行解答；
（2）证明两直线垂直的基本方法是证明两直线的方向向量互相垂直或方向向量的数量积为零，其步骤为：①分别在直线上取两点，求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；②证明两个向量垂直或两个向量的数量积为零；③得出结论；
（3）证明直线与平面垂直的基本方法是：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行，其基本步骤为：①在直线上取两点，求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；②求出平面的法向量；③证明直线的方向向量与平面的法向量平行；
②证明直线方向向量与平面内两条相交直线的方向向量分别垂直或与两向量的数量积分别为零；其步骤为：①在直线上取两点，求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；②在平面内找两条相交直线并分别求出其方向向量；③分别证明两向量垂直或与两向量的数量积为零；
（4）证明平面与平面垂直的基本方法是证明两平面的法向量垂直或两法向量的数量积为零，其基本步骤为：①分别求出两个平面的法向量；②证明两法向量垂直或两法向量的数量积为零； ③得出结论；
（5）证明直线与直线平行的基本方法是两直线的方向向量平行，但要注意说明两条直线不在一条直线上；其基本步骤为：①分别在直线上取零点，求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；②证明两个向量平行；③得出结论；
（6）证明直线与平面平行的基本方法是①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，但应注意说明直线不在平面内，其基本步骤为：①在直线上取两点，求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；②求出平面的法向量；③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；或证明直线的方向向量与平面内的一条直线的方向向量共线，但应注意说明直线不在平面内，其基本步骤为：①在直线上取两点，求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；②在平面内找一条直线并求出其方向向量；③证明两向量共线；
（7）证明平面与平面平行的基本方法是证明两个平面的法向量平行，但应注意说明两法向量不在一条直线上；其基本步骤为：①分别求出两个平面的法向量；②证明两个法向量平行； ③得出结论；
（8）求平面法向量的基本方法：①设平面的法向量为，在平面内找两条相交的直线并求出其方向向量分别为，；②由⊥，⊥，.=0，.=0，从而得到含坐标的两个方程组成的方程组；③求解②中的方程组（这里三个未知数只有两个方程，解答时可令其中的一个坐标为单位1，再代入方程组求出其余两个坐标的值）得到法向量。
〔练习2〕按要求解答下列各题： V
1、如图在四棱锥V----ABCD中，底面ABCD
是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底
面ABCD。
求证：①AB⊥平面VAD； D C
②CD⊥AV； A B
③平面VAD⊥平面VDC. P
2、如图在三棱锥P---ABC中，AB=BC=PA，O， D
D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC。 O C
求证：①OD∥平面ABP； A O
②OP∥AP。 B P
3、已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N Q
为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若 A N C
AB=OC，求证：PM⊥QN。 D C M
4、如图所示在正方体ABCD---中，M，N A B M B
分别是C，的中点。
求证：MN//平面BD。
【典例3】按要求解答下列各题： z
1、如图在三棱锥P---ABC中，PA⊥平面ABC， P
，D、E、F分别是棱AB，BC， F
PC的中点，AB=AC=1，PA=2。求：
（1）异面直线PB、DF所成角的余弦值； A C y
（2）直线PA与平面DEF所成角的正弦值； D E
（3）二面角A---BC----P的余弦值。 x
【解析】
【知识点】①建立空间直角坐标系的基本方法；②空间点坐标确定的基本方法；③直线所在向量的求法；④求平面法向量的基本方法；⑤运用空间向量求直线与直线所成角余弦值的基本方法；⑥运用空间向量求直线与平面所成角正弦值的基本方法；⑦运用空间向量求平面与平面所成角余弦值的基本方法；
【解题思路】（1）如图，运用直线垂直平面的性质可证APAB，AP AC，由，得到ABAC，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系A—xyz，根据确定点坐标的基本方法分别确定点A，B，C，P的坐标，结合问题条件得到点D，F的坐标，从而求出直线PB，DF所在向量，，利用空间向量求直线与直线所成角余弦值的基本方法就可求出结果；（2）根据问题条件确定点E的坐标，求出直线PA，DE所在向量，，运用求平面法向量的基本方法，求出平面DEF的法向量法向量，利用空间向量求直线与平面所成角正弦值的基本方法通过计算就可求出结果；（3）求出直线PC式子向量，运用求平面法向量的基本方法，求出平面PBC的法向量法向量，利用空间向量求平面与平面所成角余弦值的基本方法通过计算就可求出结果。
【详细解答】（1）如图， PA⊥平面ABC，AB,AC 平面ABC， PAAB，PA AC，
，ABAC，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系A—xyz，A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2），D，F分别是棱AB，PC的中点， D（，0，0），F（0，，1），
=（1，0，-2），=（-，，1）， cos<，>=||=||
==；（2）设平面DEF的法向量为=（，，），直线PA与平面DEF所成角为，点E是BC的中点，E（，，0），=（0，0，-2），=（0，，0），.=0++0=0，.=-++=0，=2，=0，=1，=（2，0，1），sin=cos<，>=||=||=；（3）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），=（0，1，-2），.=0+y-2z=0，.=x+0-2z=0，x=2，y=2，z=1，=（2，2，1）， cos<，>==
==，二面角A—BC—P的余弦值为。
2、如图在正方体ABCD---中，、分别是，的一个四等分点，求B与D所成角的余弦值。
【解析】 z
【知识点】①建立空间直角坐标系的基本方法；
②空间点坐标确定的基本方法；③直线所在向量 D C y
的求法；④求平面法向量的基本方法；⑤运用空 x
间向量求直线与直线所成角余弦值的基本方法。 A B
【解题思路】如图，运用正方体的性质可证DDA，DDC，DADC，以D为原点，射线DA，DC，D分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz，根据确定点坐标的基本方法分别确定点D，B，，，，的坐标，结合问题条件求出点，的坐标，从而求出直线B，D所在向量，，利用空间向量求直线与直线所成角余弦值的基本方法就可求出结果。
【详细解答】如图， ABCD---是正方体， DDA，DDC，DADC，以D为原点，射线DA，DC，D分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz，设正方体的棱长为1，（x，y，z），（，，）， D（0，0，0），B（1，1，0），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），（0，0，1），=（0，1，0），=（x-1，y，z-1），是的一个四等分点，=，
x-1=0，y=，z-1=0，（1，，1），同理可得（1，-，1），=（0，-，1），=（1，-，1）， cos<，>=||=||=，
B与D所成角的余弦值为。
3、如图正方体ABCD---的棱长为a， z
（1）求B和C夹角的余弦值；
（2）求证：B⊥A 。 D C y
【解析】 A B
【知识点】①建立空间直角坐标系的基本方法； x
②空间点坐标确定的基本方法；③直线所在向量的求法；④求平面法向量的基本方法；⑤运用空间向量求直线与直线所成角余弦值的基本方法；⑥运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法。
【解题思路】（1）如图，运用正方体的性质可证DDA，DDC，DADC，以D为原点，射线DA，DC，D分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz，根据确定点坐标的基本方法分别确定点B，，，C的坐标，从而求出直线B，C 所在向量，，利用空间向量求直线与直线所成角余弦值的基本方法就可求出结果；（2）根据确定点坐标的基本方法分别确定点A，的坐标，求出直线B，A 所在向量，，利用空间向量证明直线垂直直线的基本方法就可证明结论。
【详细解答】（1）如图， ABCD---是正方体， DDA，DDC，DADC，以D为原点，射线DA，DC，D分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系D—xyz， B（a，a，0），（a，0，a），（a，a，a），C（0，a，0），=（0，a，-a），=（-a，0，-a）， cos<，>=||=||=，
B和C夹角的余弦值为；（2） A（a，0，0），（0，a，a），=（-a，a，a），.=0+-=0，B⊥A 。
P z
4、如图已知两个正四棱锥P—ABCD与
Q—ABCD的高分别为1，2，AB=4。 D C
（1）证明：PQ⊥平面ABCD； x O
（2）求异面直线AQ与PB所成角的余弦值。 A B y
【解析】
【知识点】①建立空间直角坐标系的基本方法； Q
②空间点坐标确定的基本方法；③直线所在向量的求法；④求平面法向量的基本方法；⑤运用空间向量证明直线垂直平面的基本方法；⑥运用空间向量求直线与直线所成角余弦值的基本方法；⑦正四棱锥的定义与性质。
【解题思路】（1）如图，连接AC，BD相较于点O，根据正四棱锥的性质，可证 PO平面ABCD，OAOB，得到 OPOA，OPOB，以O为原点，射线OA，OB，OP分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz，根据确定点坐标的基本方法分别确定点P，Q，O，A，B，的坐标，求出直线PQ，OA，OB所在向量，，，由.=0，. =0证明PQOA，PQOB，利用空间向量证明直线垂直平面的基本方法就可证明结论；（2）求出直线AQ，PB所在向量，，利用空间向量求直线与直线所成角余弦值的基本方法就可求出结果。
【详细解答】（1）如图，四棱锥P—ABCD是正四棱锥， PO平面ABCD，OAOB，
OPOA，OPOB，以O为原点，射线OA，OB，OP分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系O—xyz，正四棱锥P—ABCD与Q—ABCD的高分别为1，2，AB=4， P（0，0，1），Q（0，0，-2），O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），=（0，0，-3），=（2，0，0），=（0，2，0），.=0+0+0=0，. =0+0+0=0， PQOA，PQOB，OA，OB平面ABCD，OA OB=O，
PQ⊥平面ABCD； （2）=（-2，0，-2），=（0，2，-1）， cos<，>=||=||=，异面直线AQ和PB夹角的余弦值为。
5、如图直三棱柱ABC—中，AC=BC z
=A，D是棱A的中点，D⊥BD。
（1）证明：D⊥BC； D C B y
（2）求二面角—BD—的大小。 x A
【解析】
【知识点】①建立空间直角坐标系的基本方法；②空间点坐标确定的基本方法；③直线所在向量的求法；④求平面法向量的基本方法；⑤运用空间向量证明直线垂直直线的基本方法；⑥运用空间向量求平面与平面所成角大小的基本方法；⑦直三棱柱的定义与性质。
【解题思路】（1）如图，根据直三棱柱的性质，可证C 平面ABCD，得到CCA，CCB，结合问题条件证明D⊥平面BCD，从而就可证明结论；（2）由（1）结合问题条件可证BC⊥平面AC，得到BC⊥AC，以C为原点，射线CA，CB，O分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系C—xyz，根据确定点坐标的基本方法分别确定点A，B，C，，的坐标，结合问题条件求出点D的坐标，直线B，D所在向量，，运用求平面法向量的基本方法求出平面BD的法向量，同理可求出平面BD的法向量，利用空间向量求平面与平面所成角余弦值的方法求出二面角的余弦值，再得出二面角的大小。
【详细解答】（1）如图， AC=BC=A，D是棱A的中点，三棱柱ABC—是直三棱柱， AC=AD=A，DC=D=AC=A，DC+D=A+A=A=C， DC⊥D， D⊥BD，DC，BD平面BCD，DC BD=D， D⊥平面BCD, BC平面BCD， D⊥BC；
（2）三棱柱ABC—是直三棱柱， C⊥平面ABC, AC，BC平面ABC， C⊥BC, C⊥AC, D⊥BC, D，C平面AC，D C=， BC⊥平面AC， BC⊥AC，以C为原点，射线CA，CB，O分别为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系C—xyz，设AB=BC=1，平面BD的法向量=（x，y，z），A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），（0，0，2），（1，0，2）的坐标，D是棱A的中点，D（1，0，1），=（-1，1，-2），=（0，0，-1）
.=-x+y-2z=0，.=-0+0-z=0，x=1，y=1，z=0，=（1，1，0），设平面
BD的法向量=（，，），=（0，1，-2），=（1，0，-1），.
=0+-2=0，.=+0-=0，=1，=2，=1，=（1，2，1），cos<，>===，二面角—BD—的大小是。
『思考题3』
(1) 【典例3】是求空间角余弦值（或正弦值）的问题，解答这类问题需要建立空间直角坐标系，然后把相关的点，直线的方向向量用坐标表示出来，再根据问题的条件和要求选择恰当的方法进行解答；
（2）求异面直线所成角的余弦值的基本方法是先确定两异面直线的方向向量，再运用公式cos= ||求出结果，（其中是两异面直线所成角，，分别是异面直线所在向量）；其基本步骤为：①分别在直线上取两点，求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；②直接代入公式cos= ||求出结果；
(3)求直线与平面所成角正弦值的基本方法是先确定直线的方向向量和平面的法向量，再运用公式sin= ||求出结果，（其中是直线与平面法向量所成角，，分别是平面法向量，直线所在向量）；其基本步骤为：①在直线上取两点，求出两点确定的向量（注意两点的顺序）；②求出平面的法向量；③直接代入公式sin= ||求出结果；
(4)求平面与平面所成角余弦值的基本方法先确定两个平面的法向量，再运用公式cos=求出结果，（其中是两个平面所成角，，分别是两个平面的法向量）；其基本步骤为：①分别求出两个平面的法向量；②直接代入公式cos=求出结果；
〔练习4〕按要求解答下列各题： P
1、 1、如图在四棱锥P-----ABCD中，PC⊥平面ABCD，
PC=2，在四边形ABCD中，，AB=4， C D
CD=BC=1。求：
（1）直线PB与平面ABCD所成角的正弦值； A B
（2）直线PA与BD所成角的余弦值。 P
2、如图在四棱锥P-----ABCD中，底面ABCD是矩形，
已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，。
（1）求异面直线PC与AD所成角的余弦值； A D
（2）求二面角P---BD---A的余弦值。
3、如图在正方体ABCD---中，点M是 B C
AB的中点。
求直线D与CM所成角的余弦值。
D C

A M B
4、如图点M，N分别是正方体ABCD
—的棱B和的中点。 N
求：（1）直线MN与C所成角的余弦值；
（2）MN和AD所成角的余弦值。 D M C

A B

5、如图已知正方体ABCD---，B
和C相交于O，连接DO。
求证：DO⊥B 。
6、如图在正方体ABCD--- 中 ，点E， D O C
F，G，H，K，L分别是棱AB，B ，， A B
，D，DA的中点。 H
①求证：C⊥平面EFGHKL； K
②求D与平面EFGHKL所成角的余弦值。 D F C
7、如图空间四边形OABC各边以及AC，BO的 A E B
长都是1，点D,E分别是边OA,BC的中点， O
连接DE。
①计算DE的长； D C
②求点O到平面ABC的距离。
8、已知和所在平面互相垂直， A E A
且AB=BC=BD，。 B
求：①直线AD与平面BCD所成角的正弦值；
②直线AD与直线BC所成角的余弦值； D
③二面角A—BD—C的余弦值。 C
B

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