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课时6.牛顿运动定律在曲线运动中的应用
【模型拆解】
在高考的考查中，牛顿运动定律在曲线运动中的应用具体内容可分为四个方面：运动的合成与分解；抛体运动（平抛、类平抛、斜抛）的规律；圆周运动的基本规律；万有引力与航天。
运动的合成与分解的考查特点是以物体的某种运动形式（如船渡河模型、绳拉物体模型等）为背景，考查对分运动、合运动的理解及合成与分解方法的应用。题型以选择题为主，也不排除计算形式；题目难度以中档题为主，涉及计算题则难度会稍偏高。合成分解的思想方法每年必考，其中以运动的合成分解更多见。
抛体的运动规律是高考命题的热点，特别要关注以运动项目为背景的实际问题题型方面，近5年出现的都是难度中档的选择题，多与其它模型进行组合考查。
圆周运动的考查热点近几年集中在物体的受力分析、圆周运动的基本概念及动力学知识、应用静摩擦力分析临界问题等。题型同样也是以中档选择题为主，可单独考查也可与其它模型进行组合考查。
万有引力与航天近几年稳定在以中档选择题的形式考查，考查内容涉及“一模型、两思路、三难点、四关系”：“一模型”即环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动；“两思路”即1.，2.；“三难点”即1.变轨问题，2.双星、多星系统问题，3.模型对比；“四关系”即1.得，2.得，3.得，4.得。
高频考点：运动的合成与分解；平抛运动规律的应用；圆周运动问题；天体质量和密度的估算；卫星运行参数的分析；卫星变轨问题。
【真题精析】
1.（2015全国2卷）由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道。当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行。已知同步卫星的环绕速度约为3.1x103/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55x103/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为（ ）
A. 西偏北方向，1.9x103m/s B. 东偏南方向，1.9x103m/s
C. 西偏北方向，2.7x103m/s D. 东偏南方向，2.7x103m/s

2.(2015·全国1卷)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使兵乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是(　　)
A. B. C. D. 3.（高考安徽卷）一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图（a）所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向已速度υ0抛出，如图（b）所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是（ ）
A． B．
C． HYPERLINK "http://hfwq.cersp.net" D． HYPERLINK "http://hfwq.cersp.net"

4.（2017全国1卷）发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球（忽略空气的影响）。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网，其原因是（ ）
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
5.(2014·全国1卷)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是(　　)
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
6.（2019天津卷）2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为、半径为，探测器的质量为，引力常量为，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为的匀速圆周运动时，探测器的（ ）

周期为 B. 动能为
C. 角速度为 D. 向心加速度为
7.（2016天津卷）我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发生“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是（ ）
A、使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B、使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C、飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D、飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
8.（2016全国3卷）如图，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P。它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W。重力加速度大小为g。设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则

A． B．
C． D．



9.(2013·全国1卷)水平桌面上有两个玩具车A和B，两者用一轻质细橡皮筋相连，在橡皮筋上有一红色标记R。在初始时橡皮筋处于拉直状态，A、B和R分别位于直角坐标系中的 (0,2l)、(0，－l) 和 (0,0) 点。已知A从静止开始沿y轴正向做加速度大小为a的匀加速运动；B平行于x轴朝x轴正向匀速运动。在两车此后运动的过程中，标记R在某时刻通过点(l，l)。假定橡皮筋的伸长是均匀的，求B运动速度的大小。



10.（2016浙江卷）在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示。P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒。高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h。
（1）若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
（2）求能被屏探测到的微粒的初速度范围；
（3）若打在探测屏A、B两点的微粒的动能相等，求L与h的关系。







11.（高考山东卷）某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内(所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多)，底端与水平地面相切。弹射装置将一个小物体(可视为质点)以Va=5m/s的水平初速度由a点弹出，从b点进入轨道，依次经过“8002”后从p点水平抛出。小物体与地面ab段间的动摩擦因数μ=0.3，不计其它机械能损失。已知ab段长L=l.5m,数字“0”的半径R=0.2m，小物体质量m=0.0lkg，g=10m／s2。求：
(1)小物体从p点抛出后的水平射程。
(2)小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向。



【模拟演练】
一、 单选题 （本题共计 5 小题，共计 30 分）
1、（6分）2017年诺贝尔物理学奖颁给LIGO科学合作组织的三位主要成员，以表彰他们对引力波研究的卓越贡献。在物理学中，引力波是指时空弯曲中的涟漪，通过波的形式从辐射源向外传播，并以引力辐射的形式传输能量。2015年9月，LIGO科学合作组织成功探测到来自于13亿年前两个黑洞合并时产生的引力波信号。假设两黑洞合并前绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，不计其它天体的影响，下列判断正确的是(　　)
A．合并前两黑洞间的万有引力越来越小
B．合并前两黑洞旋转的周期越来越大
C．合并前两黑洞旋转的线速度越来越大
D．合并前后两黑洞的总质量保持不变
2、（6分）质量为m的小球由轻绳a、b分别系于一轻质木架上的A和C点，绳长分别为la、lb（且la≠lb），如图所示，当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时轻杆停止转动，则（ ）
A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B．在绳b被烧断瞬间，绳a中张力突然增大到mg+ mω2la
C．无论角速度ω多大，小球都不可能再做完整的圆周运动
D．绳b未被烧断时，绳a的拉力等于mg，绳b的拉力为mω2lb
3、（6分）如图甲所示，轻绳一端固定在O点，另一端固定一小球(可看成质点)，让小球在竖直平面内做圆周运动。改变小球通过最高点时的速度大小v，测得相应的轻绳弹力大小F，得到F-v2图象如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点坐标为(0，－b)，斜率为k。不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．该小球的质量为bg
B．小球运动的轨道半径为
C．图线与横轴的交点表示小球所受的合外力为零
D．当v2=a时，小球的向心加速度为g
4、（6分）一月球探测车在月球成功软着陆，在实施软着陆过程中，月球探测车离月球表面4 m高时最后一次悬停，确认着陆点．若总质量为M的月球探测车在最后一次悬停时，反推力发动机对其提供的反推力为F，已知引力常量为G，月球半径为R，则月球的质量为（ ）
A． B． C． D．
5、（6分）一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点的竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力F大小随时间t的变化规律如图乙所示．F1＝7F2，设R、m、引力常量G以及F1为已知量，忽略各种阻力．以下说法正确的是（ ）
A．该星球表面的重力加速度为
B．卫星绕该星球的第一宇宙速度为
C．星球的密度为
D．小球过最高点的最小速度为0
二、 多选题 （本题共计 3 小题，共计 18 分）
6、（6分）如图所示，在某行星表面上有一倾斜的匀质圆盘，盘面与水平面的夹角为30°，圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度转动，盘面上离转轴距离L处有一小物体与圆盘保持相对静止，当圆盘的角速度为ω时，小物块刚要滑动。物体与盘面间的动摩擦因数为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，该星球的半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）

A．这个行星的质量
B．这个行星的第一宇宙速度
C．这个行星的同步卫星的周期是
D．离行星表面距离为R的地方的重力加速度为
7、（6分）如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切。BC为圆弧轨道的直径。O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sinα=，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。则水平恒力的大小F和小球到达C点时速度的大小V为（ ）
A． B． C． D．
8、（6分）一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线间的夹角为θ＝30°，如图所示。一条长为L的细绳，一端拴着一个质量为m的物体。物体沿锥面在水平面内绕轴线以速度V做匀速圆周运动，则（ ）
A．随着物体线速度的不断增大，绳子的拉力不断增大
B．随着物体线速度的不断增大，物体受到的支持力先增大后减小
C．当V＝时物体恰好飘离圆锥面
D．当V＝时物体只受到两个力的作用
三、 计算题 （本题共计 4 小题，共计 52 分）
9、（8分）如图，可视为质点的小球1、2由不可伸长的细绳相连，小球1悬挂在定滑轮O的下方，小球2在半径为R的半球形固定容器内，定滑轮O与容器的边缘D及球心C在同一水平线上。系统静止时，小球1在定滑轮正下方R处的A点，小球2位于B点，BD间的细绳与水平方向的夹角θ=。已知小球1的质量为m，重力加速度为g，不计一切摩擦，忽略滑轮的质量。(结果用根号表示)
(1)试求小球2的质量；
(2)现将小球2置于D处由静止释放(小球1未触及地面)，求小球1到达A点时的动能；
(3)在第(2)问中，小球2经过B点时，突然剪断细绳，求小球2经过容器晟低点时对容器的压力。


10、（14分）如图所示，长为的细绳上端系一质量不计的环，环套在光滑水平杆上，在细绳的下端吊一个质量为的铁球(可视作质点)，球离地的高度，当绳受到大小为的拉力时就会断裂，现让环与球一起以的速度向右匀速运动，在A处环被挡住而立即停止，已知A离右墙的水平距离也为，当地的重力加速度为，不计空气阻力。
（1）试通过计算分析环在被挡住停止运动时绳子是否会断；
（2）球的第一次碰撞点离墙角B点的距离是多少。



11、（14分）一转动装置如图甲所示，两根足够长轻杆OA、OB固定在竖直轻质转轴上的O点，两轻杆与转轴间夹角均为30?。小球a、b分别套在两杆上，小环c套在转轴上，球与环质量均为m.c与a、b间均用长为L的细线相连，原长为L的轻质弹簧套在转轴上，一端与轴上P点固定，另一端与环c相连。当装置以某一转速转动时，弹簧伸长到1.5L，环c静止在O处，此时弹簧弹力等于环的重力，球、环间的细线刚好拉直而无张力。弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)细线刚好拉直而无张力时，装置转动的角速度ω1；
(2)如图乙所示，该装置以角速度 ω2(未知)匀速转动时，弹簧长为L/2，求此时杆对小球的弹力大小和角速度ω2。


12、（16分）如图所示，光滑水平台面MN右端N恰好在半径为R圆形槽中心O点正上方h处，B物体在水平恒力F的作用下在台面上由静止开始向右运动，B物体质量为m，同时A物体在光滑的圆形槽内由a点开始逆时针做匀速圆周运动.某时刻当小球A运动到图中a点时，B物体沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A物体相碰，不计空气阻力，求：
(1)B物体抛出时的水平初速度；
(2)A物体运动的角速度；
(3)恒力F为多大时可使A、B两物体在某一时刻的速度相同（假设B物体到达N点之前与A物体就已经有相同速度）。

【学习心得】
一、掌握平抛运动的分析方法和思路，高考考查带电粒子在匀强电场中的偏转（类平抛）更多见；
求解平抛(类平抛)运动的注意点：
1. 突出落点问题时，一般建立坐标系，由两个方向遵循的规律列出位移方程，由此确定其落点。
2. 突出末速度的大小和方向问题时，一般要建立水平分速度和竖直分速度之间的关系，由此确定其末速度。
3. 如图所示，分解某一过程的位移和某一位置瞬时速度，则可以获得两个直角三角形，一般该类运动问题都可以在这两个直角三角形中解决。
4．做平抛运动的物体，其位移方向与速度方向一定不同。
5．推论：做平抛(或类平抛)运动的物体
(1) 任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点；
(2) 设在任意时刻瞬时速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为φ，则有tan θ＝2tan φ。
二、掌握圆周运动的分析方法和基本规律，高考经常通过天体运动以及带电粒子在匀强磁场中运动来考查。如分析水平面内圆周运动临界问题：
(1)水平面内做圆周运动的物体其向心力可能由弹力、摩擦力等力提供，常涉及绳的张紧与松弛、接触面分离等临界状态。
(2)常见临界条件：绳的临界：张力FT＝0；接触面滑动的临界：F＝f；接触面分离的临界：FN＝0。












ρ

A

v0

α

ρ

P

图（a）

图（b）







课时6.牛顿运动定律在曲线运动中的应用
【模型拆解】
在高考的考查中，牛顿运动定律在曲线运动中的应用具体内容可分为四个方面：运动的合成与分解；抛体运动（平抛、类平抛、斜抛）的规律；圆周运动的基本规律；万有引力与航天。
运动的合成与分解的考查特点是以物体的某种运动形式（如船渡河模型、绳拉物体模型等）为背景，考查对分运动、合运动的理解及合成与分解方法的应用。题型以选择题为主，也不排除计算形式；题目难度以中档题为主，涉及计算题则难度会稍偏高。合成分解的思想方法每年必考，其中以运动的合成分解更多见。
抛体的运动规律是高考命题的热点，特别要关注以运动项目为背景的实际问题题型方面，近5年出现的都是难度中档的选择题，多与其它模型进行组合考查。
圆周运动的考查热点近几年集中在物体的受力分析、圆周运动的基本概念及动力学知识、应用静摩擦力分析临界问题等。题型同样也是以中档选择题为主，可单独考查也可与其它模型进行组合考查。
万有引力与航天近几年稳定在以中档选择题的形式考查，考查内容涉及“一模型、两思路、三难点、四关系”：“一模型”即环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动；“两思路”即1.，2.；“三难点”即1.变轨问题，2.双星、多星系统问题，3.模型对比；“四关系”即1.得，2.得，3.得，4.得。
高频考点：运动的合成与分解；平抛运动规律的应用；圆周运动问题；天体质量和密度的估算；卫星运行参数的分析；卫星变轨问题。
【真题精析】
1.（2015全国2卷）由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道。当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行。已知同步卫星的环绕速度约为3.1x103/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55x103/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为（ ）
A. 西偏北方向，1.9x103m/s B. 东偏南方向，1.9x103m/s
C. 西偏北方向，2.7x103m/s D. 东偏南方向，2.7x103m/s
【答案】B
考点：速度的合成与分解
2.(2015·全国1卷)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使兵乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是(　　)
A. B. C. D. 【答案】 D
【解析】 解答此题要明确两方面问题：(1)平抛运动物体在空中运动时间和哪些因素有关？(2)平抛运动物体的水平位移由哪些因素决定？
设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好落到球网正中间。则竖直方向上有3h－h＝gt　
水平方向上有＝v1t1　
可得v1＝
设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有
3h＝gt　
在水平方向有＝v2t2　
联立可得v2＝
则v的最大取值范围为v1＜v＜v2。故选项D正确。
3.（安徽卷）一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图（a）所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向已速度υ0抛出，如图（b）所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是（ ）
A． B．
C． HYPERLINK "http://hfwq.cersp.net" D． HYPERLINK "http://hfwq.cersp.net"
【答案】：C
【解析】：物体在其轨迹最高点P处只有水平速度，其水平速度大小为v0cosα，根据牛顿第二定律得，所以在其轨迹最高点P处的曲率半径是，C正确。
4.（2017全国1卷）发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球（忽略空气的影响）。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网，其原因是（ ）
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
【答案】C
【解析】由题意知，速度大的先过球网，即同样的时间速度大的水平位移大，或者同样的水平距离速度大的用时少，故C正确；ABD错误。
【考点定位】平抛运动
5.(2014·全国1卷)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是(　　)
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
【答案】 AC
【解析】 本题为水平面内圆周运动的临界问题，解答此题要从向心力来源入手，分析发生相对滑动的临界条件。
小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2R。当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：fa＝mωl，当fa＝kmg时，kmg＝mωl，ωa＝；对木块b：fb＝mω·2l，当fb＝kmg时，kmg＝mω·2l，ωb＝，所以b先达到最大静摩擦力，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则fa＝mω2l，fb＝mω2·2l，fa6.（2019天津卷）2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为、半径为，探测器的质量为，引力常量为，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为的匀速圆周运动时，探测器的（ ）

A. 周期为 B. 动能为
C. 角速度为 D. 向心加速度为
【答案】A
【解析】由万有引力提供向心力可得 ，可得 ，故A正确；解得 ，由于 ，故B错误；解得 ，故C错误；解得 ，故D错误。
7.（2016天津卷）我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发生“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是（ ）
A、使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B、使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C、飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D、飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
【答案】C
【解析】：若使飞船与空间站在同一轨道上运行，然后飞船加速，则由于向心力变大，故飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，选项A错误；若使飞船与空间站在同一轨道上运行，然后空间站减速，则由于向心力变小，故空间站将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，选项B错误；要想实现对接，可使飞船在比空间试验室半径较小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的空间试验室轨道，逐渐靠近空间站后，两者速度接近时实现对接，选项C正确；若飞船在比空间试验室半径较小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，从而不能实现对接，选项D错误；故选C.
考点：人造卫星的变轨
8.（2016全国3卷）如图，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P。它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W。重力加速度大小为g。设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则

A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】：质点P下滑过程中，重力和摩擦力做功，根据动能定理可得，根据公式，联立可得，A正确B错误；在最低点重力和支持力的合力充当向心力，摩擦力水平，不参与向心力，故根据牛顿第二定律可得，代入可得，C正确D错误；
9.(2013·全国1卷)水平桌面上有两个玩具车A和B，两者用一轻质细橡皮筋相连，在橡皮筋上有一红色标记R。在初始时橡皮筋处于拉直状态，A、B和R分别位于直角坐标系中的 (0,2l)、(0，－l) 和 (0,0) 点。已知A从静止开始沿y轴正向做加速度大小为a的匀加速运动；B平行于x轴朝x轴正向匀速运动。在两车此后运动的过程中，标记R在某时刻通过点(l，l)。假定橡皮筋的伸长是均匀的，求B运动速度的大小。
【答案】　
【解析】 从运动学和运动的合成角度入手，作图寻找几何关系是关键。
设B车的速度大小为v。如图，标记R在时刻t通过点K(l，l)，此时A、B的位置分别为H、G。由运动学公式，H的纵坐标yA、G的横坐标xB分别为
yA＝2l＋at2，xB＝vt
在开始运动时，R到A和B的距离之比为2∶1，即OE∶OF＝2∶1
由于橡皮筋的伸长是均匀的，在以后任一时刻R到A和B的距离之比都为2∶1。因此，在时刻t有：
HK∶KG＝2∶1
由于△FGH∽△IGK，有
HG∶KG＝xB∶(xB－l)
HG∶KG＝(yA＋l)∶(2l) 得xB＝l，yA＝5l
联立得v＝。
10.（2016浙江卷）在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示。P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒。高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h。
（1）若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
（2）求能被屏探测到的微粒的初速度范围；
（3）若打在探测屏A、B两点的微粒的动能相等，求L与h的关系。
【答案】（1）（2）（3）
【解析】：（1）打在中点的微粒有，得。
打在B点的微粒有，，可得：；
同理，打在A点的微粒初速度；故微粒初速度范围：。
由能量关系得：，
将、代入解得：。
11.（高考山东卷）某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内(所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多)，底端与水平地面相切。弹射装置将一个小物体(可视为质点)以Va=5m/s的水平初速度由a点弹出，从b点进入轨道，依次经过“8002”后从p点水平抛出。小物体与地面ab段间的动摩擦因数μ=0.3，不计其它机械能损失。已知ab段长L=l.5m,数字“0”的半径R=0.2m，小物体质量m=0.0lkg，g=10m／s2。求：
(1)小物体从p点抛出后的水平射程。
(2)小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向。



【解析】：(1)设小物体运动到p点时的速度大小为v，对小物体由a运动到p过程应用动能定理得 ，小物体自P点做平抛运动，设运动时间为t．水平射程为s，则 ，又
联立解得s=0.8m
(2)设在数字“0”的最高点时管道对小物体的作用力大小为F取竖直向下为正方向：
联立解得： F=0.3N ，方向竖直向下。

【模拟演练】
一、 单选题 （本题共计 5 小题，共计 30 分）
1、（6分）2017年诺贝尔物理学奖颁给LIGO科学合作组织的三位主要成员，以表彰他们对引力波研究的卓越贡献。在物理学中，引力波是指时空弯曲中的涟漪，通过波的形式从辐射源向外传播，并以引力辐射的形式传输能量。2015年9月，LIGO科学合作组织成功探测到来自于13亿年前两个黑洞合并时产生的引力波信号。假设两黑洞合并前绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，不计其它天体的影响，下列判断正确的是(　　)
A．合并前两黑洞间的万有引力越来越小
B．合并前两黑洞旋转的周期越来越大
C．合并前两黑洞旋转的线速度越来越大
D．合并前后两黑洞的总质量保持不变
2、（6分）质量为m的小球由轻绳a、b分别系于一轻质木架上的A和C点，绳长分别为la、lb（且la≠lb），如图所示，当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时轻杆停止转动，则（ ）
A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B．在绳b被烧断瞬间，绳a中张力突然增大到mg+ mω2la
C．无论角速度ω多大，小球都不可能再做完整的圆周运动
D．绳b未被烧断时，绳a的拉力等于mg，绳b的拉力为mω2lb
3、（6分）如图甲所示，轻绳一端固定在O点，另一端固定一小球(可看成质点)，让小球在竖直平面内做圆周运动。改变小球通过最高点时的速度大小v，测得相应的轻绳弹力大小F，得到F-v2图象如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点坐标为(0，－b)，斜率为k。不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．该小球的质量为bg
B．小球运动的轨道半径为
C．图线与横轴的交点表示小球所受的合外力为零
D．当v2=a时，小球的向心加速度为g
4、（6分）一月球探测车在月球成功软着陆，在实施软着陆过程中，月球探测车离月球表面4 m高时最后一次悬停，确认着陆点．若总质量为M的月球探测车在最后一次悬停时，反推力发动机对其提供的反推力为F，已知引力常量为G，月球半径为R，则月球的质量为（ ）
A． B． C． D．
5、（6分）一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点的竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力F大小随时间t的变化规律如图乙所示．F1＝7F2，设R、m、引力常量G以及F1为已知量，忽略各种阻力．以下说法正确的是（ ）
A．该星球表面的重力加速度为
B．卫星绕该星球的第一宇宙速度为
C．星球的密度为
D．小球过最高点的最小速度为0
二、 多选题 （本题共计 3 小题，共计 18 分）
6、（6分）如图所示，在某行星表面上有一倾斜的匀质圆盘，盘面与水平面的夹角为30°，圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度转动，盘面上离转轴距离L处有一小物体与圆盘保持相对静止，当圆盘的角速度为ω时，小物块刚要滑动。物体与盘面间的动摩擦因数为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，该星球的半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）

A．这个行星的质量
B．这个行星的第一宇宙速度
C．这个行星的同步卫星的周期是
D．离行星表面距离为R的地方的重力加速度为
7、（6分）如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切。BC为圆弧轨道的直径。O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sinα=，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。则水平恒力的大小F和小球到达C点时速度的大小V为（ ）
A． B． C． D．
8、（6分）一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线间的夹角为θ＝30°，如图所示。一条长为L的细绳，一端拴着一个质量为m的物体。物体沿锥面在水平面内绕轴线以速度V做匀速圆周运动，则（ ）
A．随着物体线速度的不断增大，绳子的拉力不断增大
B．随着物体线速度的不断增大，物体受到的支持力先增大后减小
C．当V＝时物体恰好飘离圆锥面
D．当V＝时物体只受到两个力的作用
三、 计算题 （本题共计 4 小题，共计 52 分）
9、（8分）如图，可视为质点的小球1、2由不可伸长的细绳相连，小球1悬挂在定滑轮O的下方，小球2在半径为R的半球形固定容器内，定滑轮O与容器的边缘D及球心C在同一水平线上。系统静止时，小球1在定滑轮正下方R处的A点，小球2位于B点，BD间的细绳与水平方向的夹角θ=。已知小球1的质量为m，重力加速度为g，不计一切摩擦，忽略滑轮的质量。(结果用根号表示)
(1)试求小球2的质量；
(2)现将小球2置于D处由静止释放(小球1未触及地面)，求小球1到达A点时的动能；
(3)在第(2)问中，小球2经过B点时，突然剪断细绳，求小球2经过容器晟低点时对容器的压力。
10、（14分）如图所示，长为的细绳上端系一质量不计的环，环套在光滑水平杆上，在细绳的下端吊一个质量为的铁球(可视作质点)，球离地的高度，当绳受到大小为的拉力时就会断裂，现让环与球一起以的速度向右匀速运动，在A处环被挡住而立即停止，已知A离右墙的水平距离也为，当地的重力加速度为，不计空气阻力。
（1）试通过计算分析环在被挡住停止运动时绳子是否会断；
（2）球的第一次碰撞点离墙角B点的距离是多少。
11、（14分）一转动装置如图甲所示，两根足够长轻杆OA、OB固定在竖直轻质转轴上的O点，两轻杆与转轴间夹角均为30?。小球a、b分别套在两杆上，小环c套在转轴上，球与环质量均为m.c与a、b间均用长为L的细线相连，原长为L的轻质弹簧套在转轴上，一端与轴上P点固定，另一端与环c相连。当装置以某一转速转动时，弹簧伸长到1.5L，环c静止在O处，此时弹簧弹力等于环的重力，球、环间的细线刚好拉直而无张力。弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)细线刚好拉直而无张力时，装置转动的角速度ω1；
(2)如图乙所示，该装置以角速度 ω2(未知)匀速转动时，弹簧长为L/2，求此时杆对小球的弹力大小和角速度ω2。
12、（16分）如图所示，光滑水平台面MN右端N恰好在半径为R圆形槽中心O点正上方h处，B物体在水平恒力F的作用下在台面上由静止开始向右运动，B物体质量为m，同时A物体在光滑的圆形槽内由a点开始逆时针做匀速圆周运动.某时刻当小球A运动到图中a点时，B物体沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A物体相碰，不计空气阻力，求：
(1)B物体抛出时的水平初速度；
(2)A物体运动的角速度；
(3)恒力F为多大时可使A、B两物体在某一时刻的速度相同（假设B物体到达N点之前与A物体就已经有相同速度）。



一、 单选题 （本题共计 5 小题，共计 30 分）
1、（6分）【答案】C
【解析】设两个黑洞的质量分别为、，合并前两者的距离为L， 绕它们连线的某一点运动的轨道半径为， 的半径为，它们之间的万有引力提供向心力，它们具有相同的周期，万有引力，两黑洞合并前、都不变，而L越来越小，故万有引力越来越大，A错误；根据，解得： ，则两黑洞的总质量为，解得： ，合并前两黑洞的总质量不变，L减小，故周期T也在减小，故B错误；根据，解得： ，同理得： ，由于比、的减小量大，则线速度增大，故C正确．双黑洞的合并存在质量亏损，合并前质量为36+29=65个太阳质量，合并后为62个太阳质量，故质量亏损为3个太阳质量，即相当于3个太阳质量的能量在合并过程中被释放，故D错误；故选C.
2、（6分）【答案】D
【解析】绳子断开前，小球做匀速圆周运动，合力指向c点，对小球受力分析，受重力G，a绳子的拉力F1，b绳子的拉力F2，根据牛顿第二定律有:F1=mg；F2=mω2lb；小球的线速度为：v=ωlb；
绳子断开后，杆停止转动，由于惯性，小球将绕A点转动，若速度较小，小球将在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动，若速度较大，也有可能在垂直于平面ABC的竖直平面内绕A点做完整的圆周运动，故AC错误，D正确；在最低点时：Fa-mg=m；解得：Fa=mg+m＞F1，则a绳中张力突然增大到mg+m，故B错误。故选D。
3、（6分）【答案】B
【解析】AB、小球在最高点时受到拉力为F，根据牛顿第二定律可知：
解得：，结合图像可知： ，即 ，斜率解得： 故A错；B对；
C、 图线与横轴的交点表示小球所受的拉力为零，即合外力等于重力时的情况，故C错；
D、根据向心加速度公式可知 ，故D错；故选B。
4、（6分）【答案】A
【解析】据题知月球探测车悬停时，月球对它的万有引力等于发动机的反推力，即，解得月球的质量，故A正确、BCD错误。
5、（6分）【答案】C
【解析】设砝码在最低点时细线的拉力为F1，速度为v1，则 ①
设砝码在最高点细线的拉力为F2，速度为v2，则 ②
由机械能守恒定律得 ③
由①、②、③解得 ④
F1=7F2，所以该星球表面的重力加速度为 ．故A错误．根据万有引力提供向心力得： 卫星绕该星球的第一宇宙速度为 ，故B错误．在星球表面，万有引力近似等于重力 ⑤
由④、⑤解得 ，星球的密度： ，选项C正确；
小球在最高点受重力和绳子拉力，根据牛顿运动定律得：
所以小球在最高点的最小速．故D错误．故选C。
二、 多选题 （本题共计 3 小题，共计 18 分）
6、（6分）【答案】BD
【解析】物体在圆盘上受到重力、圆盘的支持力和摩擦力，合力提供向心加速度；可知当物体转到圆盘的最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二定律得：μmgcos30°-mgsin30°=mω2L，所以:.
A、绕该行星表面做匀速圆周运动的物体受到的万有引力提供向心力，则：,所以，故A错误；B、这个行星的第一宇宙速度，故B正确；C、不知道同步卫星的高度，所以不能求出同步卫星的周期。故C错误；D、离行星表面距离为R的地方的万有引力：；即重力加速度为ω2L．故D正确。故选BD。
【点睛】当物体转到圆盘的最低点，由重力沿斜面向下的分力和最大静摩擦力的合力提供向心力时，角速度最大，由牛顿第二定律求出重力加速度，然后结合万有引力提供向心力即可求出。
7、（6分）【答案】BC
【解析】设水平恒力的大小为F，小球到达C点时所受合力的大小为F合，由力的合成法则，则有：；F2合=（mg）2+F2；设小球到达C点时的速度大小为v，由牛顿第二定律得：F合=m；联立上式，结合题目所给数据，解得：F0=mg；v= ，所以AD错误，BC正确。故选BC。
8、（6分）【答案】AD
【解析】A.设圆锥对物体支持力为FN，绳对物体拉力为T，当物体没离开圆锥时：
；两方程联立：，线速度越大，拉力越大。选项A正确
B.根据选项A分析B错误
C.当要脱离时，FN=0，所以得到所以C错误
D.根据C分析，时脱离圆锥，只受重力和拉力作用，所以选项D正确，故选AD。
三、 计算题 （本题共计 4 小题，共计 52 分）
9、（8分）【答案】（1）小球2的质量；
（2）小球1到达A点时的动能；
（3）小球2对容器的压力大小也为，方向向下
【解析】（1）设系统静止时细线中的拉力大小为T。小球受到容器的支持力方向沿BC。由几何关系知为正三角形，所以
对小球1、小球2，根据共点力的平衡条件知：
，，
解得；
（2）设经过图示位置时小球1的速度为，小球2的速度为。沿绳竖直向上，沿圆弧切线斜向下。
由几何关系可知，与DB延长线的夹角为
由运动关系可知，与应满足：
由几何关系知 BD=R
根据机械能守恒定律，得：
此时小球1的动能
整理得（，）；
（3）细绳剪断后，小球2以为初速度，从B点沿圆弧运动到最低点，设经过最低点的速度为，根据机械能守恒定律，得：
设小球2经过容器最低点时受到的支持力为N。根据牛顿第二定律得：
整理得：，
由牛顿第三定律知，小球2对容器的压力大小也为方向向下。
10、（14分）【答案】（1）绳子会断；（2）
【解析】（1）在环被挡住而立即停止后，小球立即以速率v绕A点做圆周运动，根据牛顿第二定律和圆周运动的向心力公式有：
解得，绳对小球的拉力大小为：F=3mg
所以环在被挡住停止运动后绳子恰好被拉断．
（2）根据计算可知，在环被A挡住的瞬间绳恰好断裂，此后小球做平抛运动．
假设小球直接落到地面上，则：h=L=gt2
球的水平位移：x=vt=2L＞L
所以小球先与右边的墙壁碰撞后再落到地面上
设球平抛运动到右墙的时间为t′，则
小球下落的高度
所以求的第一次碰撞点距B的距离为：
点睛：本题是圆周运动与平抛运动的综合，运用假设法判断小球能否与墙碰撞．小球与墙碰撞过程，与光的反射相似，具有对称性．
11、（14分）【答案】（1）（2）
【解析】(1) 对a或b小球分析，根据牛顿第二定律得
解得：；
(2) 依题可知，两次弹簧弹力大小相等方向相反，且
设绳子拉力为F2，绳子与竖直轴之间的夹角为60°
对c球分析，根据平衡条件得：，得
对a或b球分析，竖直方向根据平衡条件得：
得：
水平方向根据牛顿第二定律得，。
12、（16分）【答案】(1)(2)，（N=1，2，3……）(3)
【解析】（1）B物体做平抛运动：竖直方向做自由落体运动：
水平方向做匀速运动：，联立以上方程，可解得：
（2）A、B相碰前，A转了N圈，A、B运动时间相等：或
解得：，（N=1，2，3……）
（3）要使A、B两物体在某一时刻的速度相同，A的速度必须与MN平行，且向右，所以对A：
对B：由牛顿第二定律可得：，由运动学公式：
由以上方程可得：，可解得：。

【学习心得】
一、掌握平抛运动的分析方法和思路，高考考查带电粒子在匀强电场中的偏转（类平抛）更多见；
求解平抛(类平抛)运动的注意点：
1. 突出落点问题时，一般建立坐标系，由两个方向遵循的规律列出位移方程，由此确定其落点。
2. 突出末速度的大小和方向问题时，一般要建立水平分速度和竖直分速度之间的关系，由此确定其末速度。
3. 如图所示，分解某一过程的位移和某一位置瞬时速度，则可以获得两个直角三角形，一般该类运动问题都可以在这两个直角三角形中解决。
4．做平抛运动的物体，其位移方向与速度方向一定不同。
5．推论：做平抛(或类平抛)运动的物体
(1) 任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点；
(2) 设在任意时刻瞬时速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为φ，则有tan θ＝2tan φ。
二、掌握圆周运动的分析方法和基本规律，高考经常通过天体运动以及带电粒子在匀强磁场中运动来考查。如分析水平面内圆周运动临界问题：
(1)水平面内做圆周运动的物体其向心力可能由弹力、摩擦力等力提供，常涉及绳的张紧与松弛、接触面分离等临界状态。
(2)常见临界条件：绳的临界：张力FT＝0；接触面滑动的临界：F＝f；接触面分离的临界：FN＝0。








ρ

A

v0

α

ρ

P

图（a）

图（b）

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