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18.2特殊的平行四边形——正方形、菱形创新题精选
一、操作题
例1．在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图1－1所示的几何图形．
（1）请你利用这个几何图形求的值为__________．
（2）请你利用图2－2，再设计一个能求的值的几何图形．

解：由图形知利用的是面积法：第一次把面积为1的正方形等分，得到，第二次把面积为的一个矩形等分得到，第三次把面积为的一个正方形等分得到，第四次把面积为的一个等腰直角三角形等分得到，…，最后把面积为的一个等腰直角三角形的面积等分得到两个，从而易知=，由以上过程知：首次把正方形的面积等份，以后每次均为等分上次所得的两个图形中的一个，n-1次即达到目的，如图2给出供参考，事实上，方法还有很多，不再列举，答案如下：
（1）．
（2）如图2－1或如图2－2或如图2－3或如图2－4等，图形正确．





二、拼图题
例2．如图3，是由四个形状大小完全相同的长方形拼成的图形，利用面积的不同表示法，写出一个代数恒等式： ．

分析：如何展示一个代数恒等式的几何意义，又如何从一个图形中挖掘提炼一个抽象的代数恒等式，成为近年中考命题的一大亮点，事实上，利用面积的割补原理，可列出，或，
或．
三、探究题
例3．如图4甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC．由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形．
(1)求四边形ABCD四个内角的度数；
(2)试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；
(3)现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗?若能，请你画出大致的示意图．

解：(1)如图，∠1=∠2=∠3，∠1+∠2+∠3=360°，
所以3∠1=360°，即∠1=120°．
所以梯形的上底角均为120°，下底角均为60°
(2)由于EF既是梯形的腰，又是梯形的上底，所以梯形的腰等于上底． 连接MN，则∠FMN=∠FNM=30°．
从而∠HMN=30°，∠HNM=90°．所以NH=．
因此，梯形的上底等于下底的一半，且等于腰长．
(3)能拼出菱形．
如图5：(拼法不唯一) ．
评析：本题是考察学生观察能力和综合分析能力的好素材，由图甲（等腰梯形）到图乙（平行四边形）的拼合中隐含了等腰梯形内角之间的内在的关系．只要认真观察，就不难发现角的关系：即下底角的3倍等于180°或三个上底角拼成了一个周角，同时由乙图中隐含的信息很容易看出等腰梯形上底等于其腰长，这样问题便很容易得到解决了．
四、猜想题
例4．如图6－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图6－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图6－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．







分析：本题是以正方形为背景的操作探究题，以学生非常熟悉的学具------等腰直角三角尺进行操作，只要动手、动脑就能发现不变量，用“不变应万变”、“以静制动”，借助正方形和全等知识就可以解决了．
解：（1）BM=FN．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．又∵∠BOM=∠FON，∴ △OBM≌△OFN ，∴ BM=FN．
（2）BM=FN仍然成立．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．∴∠MBO=∠NFO=135°．
点评：本题是一道以正方形为背景的三角板操作题，它推广旋转角度的变化，来探究图形的规律，寻找出不变量，并证明猜想的开放题．
五、方案设计题
例5．正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如下：
仿上用图7（1）示的方法，解答下列问题：操作设计：
（1）对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．
（2）如图7（2），对任意三角形设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．




分析：本题通过对图形的剪裁拼接，考查学生的创新求索，
发散思维，优化解题方案和过程的策略．本题的方案很多，
略举几例：
（1）方案1．　　　　　　　　　　方案2．







（2）方案1．　　　　　　　　　　　方案2．













































图2－1

图2－2

图2－3

图2－4

图4

图6－2

E

A

B

D

G

F

O

M

N

C

图6－3

A

B

D

G

E

F

O

M

N

C

图6－1

A( G )

B( E )

C

O

D( F )

图7（2）



②

①

①

②

图7（1）

中点

中点

①

①

中点

中点

①

①

中点

中点

①

①

②

②

中点

中点

①

①

②

②

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