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四边形——三角形的中位线在四边形中的常见应用
　　单纯的三角形中位线问题并不复杂，但把它放到四边形中就难多了。下面通过一些例子来有序地讨论这些问题。
　　例1.已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD四边的中点，试问四边形EFGH是平行四边形吗？

　　分析：这是个引子问题，也是个基础问题。只要连结四边形ABCD的一条对角线，再利用三角形中位线性质和平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可解决问题。它也有许多引伸。如：当四边形ABCD满足什么样条件时，连结它四边中点所得到的四边形是菱形？答案是对角线相等。想想为什么？
　　例2.已知：如图，四边形ABCD，点E、F分别是AB、CD的中点，试说明AD+BC＞2EF。
　　分析：本题看条件很简单，如何得结论似乎无处入手。但只要想到三角形中位线，知道构造三角形，这问题也不难。
　　解：连结BD，取BD中点为H，连结EH、FH。
　　因为点E、F分别是AB、CD的中点
　　所以EH=AD,FH=BC,
　　又EH+FH>EF，所以AD+BC>EF,
　　即AD+BC＞2EF。
　　例3.已知：如图，四边形ABCD，AC、BD交于点O，且AC＝BD，点E、F分别是AB、CD中点，连结EF交AC、BD于G、H，试说明OG＝OH。
　　分析：本题看条件比例3多了一个条件，但解题仍比较困难，这时经验与想象力就很重要了。
　　解：取BC中点为M，连结ME、MF
因为点E、F分别是AB、CD的中点，所以ME=AC,MF=BD，
　　ME∥AC，MF∥BD，
　　又AC＝BD，所以ME＝MF，　　则∠MEF＝∠MFE.
　　又ME∥AC，MF∥BD，所以∠1＝∠MEF，∠2＝∠MFE，
　　所以∠1＝∠2，OG＝OH.
　　下面两道题留给同学们思考。
　　（1）已知：四边形ABCD，点M、N分别是AD、BC的中点，点P、Q分别是AC、BD的中点，且AC＝BD，试说明MN⊥PQ。

（2）已知：如图，四边形ABCD，AB＝CD，点E、F分别
是AD、BC的中点，BA、CD的延长线交EF的延长线于点
H，试说明∠BGF＝∠CHF。


三角形中位线辅助线的应用
三角形的中位线定理是几何中一个重要定理，它不仅反映了图形间线段的位置关系，而且还揭示了线段间的数量关系，利用三角形中位线定理可以解决许多相关的问题.
一、借助中位线定理选择结论
例1如图1，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）.
（A）线段EF的长逐渐增大
（B）线段EF的长逐渐减小
（C）线段EF的长不变
（D）线段EF的长与点P的位置有关

分析：由E，F分别为AP，RP的中点，由此可联想三角形的中位线，故连接AR，由于已知条件可知EF为ARP的中位线，根据中位线定理可知EF=AR，
由于点P从点C到点D移动的移动过程中，AR始终不变，∴EF的长度也不变.
解：连接AR，∵E，F分别是PA，PR的中点，∴EF=AB，
∵AR不变，∴线段EF的长不变.故选（C）.
点评：本题通过巧妙地连接AR，把问题转化为三角形中位线问题，借助于中位线的性质俩来解决.
二、借助中位线定理求长度
例2某花木场有一块如四边形ABCD的空地(如图2)，两对角线相等，各边的中点分别是E、F、G、H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm，则对角线AC= cm

分析：根据E、F分别为BA，BC的中点，可知EF为△ABC的中位线，根据中位线定理可得EF=AC，同理可得HG=AC，HE=BD，FG=BD，根据两对角线相等可得EF=FG=GH=HE，由此可求到EF的长，也就求到AC的长.
解：∵E，F分别是BA，BC的中点，∴EF=AC，同理可得HG=AC，
∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH=BD，同理可得FG=BD，
∵AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，
∵EF+FG+GH+HE=40cm，∴EF=10cm，
∴AC=2EF=20cm.
点评：根据已知条件的特点，本题是将四边形问题转化为三角形问题，通过多次利用三角形中位线的性质，确定EF的长，进而求到AC的长.
三、借助中位线定理说理
例3 如图3，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.
说明EF∥CB理由

分析：根据E为AB的中点，要说明EF//BC，可说明EF为△ABC的中位线，为此，需要证明F为AD的中点.
解：∵CF平分∠ACB，
∴∠DCF=∠ACF.
又∵DC=AC，∴CF是△ACD的中线，
∴ 点F是AD的中点.
∵ 点E是AB的中点，
∴ EF//BD，即 EF∥BC.
点评：本题根据点E为AB的中点联想三角形的中位线，打开了证明的思路，在解决类似问题中应注意中位线的应用.


构造中位线
“遇中点找中点，联想中位线”是一个解题突破口，但在一般问题中，要应用中位线的性质时，往往需要作辅助线.下面介绍几种如何构造中位线的方法，供大家参考.
一、连中点，构造三角形的中位线
　　例1　如图1，D、E、F分别是等边三角形ABC的边AB、BC、AC的中点，P为BC上任意一点，△DPM是等边三角形.连接FM.那么EP与FM相等吗？为什么？

　　分析：由D、E、F是中点，想到连接中点，得到中位线DE、DF.这样就可以把EP、FM放到△DPE、△DMF中，进而推出它们全等使问题得以解决.
　　解：连接DF、DE.
　　因为D、E、F分别是等边三角形ABC的边AB、BC、AC的中点，所以DF∥BC，DF=BC；DE∥AC,DE=AC.所以四边形DECF是平行四边形.
　　所以∠C=∠EDF=60°.
　　因为△ABC、△DPM是等边三角形，
　　所以BC＝AC，DP＝DM，∠PDM＝60°.所以DF＝DE.
　　因为∠EDP＝60°－∠PDF，∠FDM＝60°－∠PDF，
　　所以∠EDP＝∠FDM.所以△DEP≌△DFM.
所以EP＝FM.
跟踪训练1 如图2，四边形ABCD中，AC=BD，AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、CD的中点，MN交BD于点E、交AC于点F.OE与EF相等吗？为什么？


二、找中点，构造三角形的中位线
　 例2　如图3，在四边形ABCD中，AB＝CD，M、N分别是BC、AD边的中点，延长BA、MN交于点F，延长CD交MF于点E.请说明∠1与∠2相等.

　　分析：因为M、Ｎ分别是BC、AD的中点，若连接BD，取其中点G，再连接NG、MG,则NG∥AB，NG＝AB，MG∥CD，MG＝CD.这样把∠1与∠2通过中位线移到同一个等腰三角形ＧMＮ中，从而使问题得以解决.
　　解：连接BD，取BD的中点G，连接NG、MG，则NG∥AB，NG＝AB，MG∥CD，MG＝CD.
　　所以∠1＝∠GNM，∠2＝∠GMN.
　　因为AB＝CD，所以NG＝MG.
　　所以∠GNM＝∠GMN.所以∠1=∠2.
跟踪训练2　如图4，△ABC的一个外角平分线AE与过点C的直线互相垂直，垂足为点E，D为BC的中点，试说明：DE∥AB，且DE=（AB+AC）

答案
1.解：取AD的中点Ｇ，连接GM、GN，得GM∥BD，GN∥AC，且GM＝BD，GN＝AC，因为AC＝BD，故GM＝GN，所以∠GMN＝∠GNM，又∠OEF＝∠GMN，∠OFE＝∠GNM，所以∠OEF＝∠OFE，所以OE＝OF．
2.解：延长BA、CE相交于点F，由AE⊥CF，AE平分∠CAF，得EF＝EC，AF＝AC，又D是BC的中点，所以DE是△BCF的中位线，故有DE∥AB，且DE=BF=（AB+AC）．





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