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一次函数回顾

正比例函数、一次
函数图象性质

正比例函数、一次函数的定义
答 案
形如 （k是常数且k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做 ；
形如 （k、b是常数且k≠0）的函数，叫做一次函数.
当b=0时，一次函数y=kx+b即变为 ，所以正比例函数是一种特殊的 .
y=kx
比例系数
y=kx+b
y=kx
一次函数
笔记
例1
答 案
已知
（1）当m、n取何值时，y是x的一次函数？
（2）当m、n取何值时，y是x的正比例函数？
（1）根据一次函数的定义，得：2-|m|=1，
解得m=±1.
又∵m+1≠0即m≠-1，
∴当m=1，n为任意实数时，这个函数是一次函数；
（2）根据正比例函数的定义，
得：2-|m|=1，n+4=0，
解得m=±1，n=-4，
又∵m+1≠0即m≠-1，
∴当m=1，n=-4时，这个函数是正比例函数.
练习1.1
答 案
（1）下列函数是一次函数，但不是正比例函数的是（ ）
A.y=5x B.y= x2 C.y=x-4 D.y=2x2-3
（2）若y=（m-1） +2m，y是x的一次函数，则m= .
（1） C；（2） -1.
正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象必经过 .
正比例函数的图象与性质
正比例函数、一次函数的图象性质
讲解
原点
图象（简图） 位置 增减性
k>0 图象过一、三象限 y随x增大而增大
k<0 图象过二、四象限 y随x增大而减小
注意
一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象
与y轴相交于点M（0， ），与x轴相交于点N（ ，0）.
答 案
b
一次函数的增减性
（1）k>0时，y随x的增大而 ；
（2）k<0时，y随x的增大而 ；
注意
笔记
增大
减小
正比例函数、一次函数的图象性质
正比例函数、一次函数的图象性质
k、b对一次函数图象有什么影响？
讲解
参数

特征 k>0 k<0
b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0
简图
增减性 y随x的增大而 . y随x的增大而 .
经过象限 一、二、三 一、三
增大
减小
一、三、四
一、二、四
二、四
二、三、四
答 案
例2
（1）y=（3 - π）x图象经过 象限，y的值随x的值增大而 ；


（2）正比例函数y=kx的y值随x的增大而增大，则此函数的图象经过（ ）
A.一、二象限 B.一、三象限 C.二、三象限 D.二、四象限
二、四
减小
B
答 案
练习2.1
（1）对于一次函数y=kx+b（k≠0），下列说法中正确的是（ ）
A.若k>0，则y随着x的增大而减小
B.若b>0，则函数图象与y轴的交点位于y轴的负半轴
C.若k>0且b>0，则函数图象一定不过第四象限
D.若k<0且b<0，则函数图象一定不过第二象限

C
答 案
练习2.1
（2）已知一次函数y=x+2，则下列说法中正确的是（ ）
A.函数图象与x轴交于正半轴
B.函数图象与坐标轴所围成的面积为2
C.当y= - 1时，x= - 1
D.函数图象上一点A，若点A纵坐标为b，则其横坐标为b+2
B
答 案
练习2.1
（3）已知一次函数表达式y=（a+1）x+（b-2），若函数图象不经过第三象限，则a、b的取值范围是 .
a<-1,b≥2
答 案
练习2.1
（4）直线y=mx+n与直线y=mnx（mn≠0）在同一坐标中的大致图象可能是（ ）
A. B.




C. D.
C
一次函数解析式

一次函数求解析式
讲解
先设出解析式y=kx+b（k≠0），再根据条件确定解析式中未知参数k、b，从而得出解析式的方法叫做待定系数法.
步骤

定模型：设解析式

代条件：代入点坐标

解方程：求出k，b得解析式
答 案
【示例】已知一次函数的图象过点（1,3）与（-2，-4）.用待定系数法求一次函数解析式
一次函数求解析式


解：设一次函数解析式为：
y=kx+b
将（1,3）与（-2，-4）代入得：
= +b k=
= +b b=
解析式为：y= .



3
k
-4
-2k
求解析式时第一步要根据对应函数先设出解析式，再进行计算；将点代入解析式中，注意横纵坐标.
总结
一次函数求解析式
答 案
已知正比例函数y=kx图象经过点（3，-6），求：
（1）求这个函数的解析式；
∵正比例函数y=kx经过点（3，-6），
∴-6=3·k，
解得：k=-2
∴这个正比例函数的解析式为：y=-2x；

利用待定系数法把（3，-6）代入正比例函数y=kx中计算出k即可得到解析式；
例3
解析
答 案
已知正比例函数y=kx图象经过点（3，-6），求：
（2）判断点A（4，-2）是否在这个函数图象上；

将x=4代入y=-2x得：y=-8≠-2，
∴点A（4，-2）不在这个函数图象上；

将A点的横坐标代入正比例函数关系式，计算函数值，若函数值等于-2，则A点在这个函数图象上，否则不在这个函数图象上；
例3
解析
已知正比例函数y=kx图象经过点（3，-6），求：
（3）图象上两点B（x1，y1）、C（x2，y2），如果x1>x2，比较y1，y2的大小.
∵k=-2<0
∴y随x的增大而减小
∵x1>x2
∴y1
根据正比例函数的性质：当k<0时，y随x的增大而减小，即可判断.
答 案
例3
解析
答 案
在直角坐标系中，一条直线经过A（-1,5），P（2，a），B（3，-3）.
（1）求直线AB的函数表达式；
练习3.1
这直线的表达式为y=kx+b，
把点A、B的坐标代入得：
-k+b=5
3k+b=-3
解得：k=-2，b=3
所以直线表达式为y=-2x+3；

设直线的表达式为y=kx+b，把点A、B的坐标代入求出k、b，即可得出答案；
解析
答 案
在直角坐标系中，一条直线经过A（-1,5），P（2，a），B（3，-3）.
（2）求a的值；
练习3.1
把P（2，a）代入y=-2x+3得：
a=-2×2+3
a=-1；
把P点的坐标代入求出即可；
解析
答 案
在直角坐标系中，一条直线经过A（-1,5），P（2，a），B（3，-3）.
（3）求△AOP的面积；
练习3.1
根据坐标和三角形面积公式求出即可；
解析
∵把x=0代入y=-2x+3得：y=3，
∴直线y=-2x+3与y轴的交点D的坐标（0,3），即OD=3，
∵P（2，-1）
∴△AOP的面积=△AOD的面积+△DOP的面积
=
答 案
一次函数y=kx+b，当1y=2x-5或y=-2x+5
例4
答 案
已知一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应y的值为1≤y≤9，则k+b的值为 .
9或1
练习4.1
一次函数的交点
答 案
【示例1】求y=2x+1与坐标轴的交点.
分析：求与x轴交点，令y=0，则x= ，则交点

为 .
求与y轴交点，令x=0，则y= ，则交点为 .

1
（0，1）
【示例2】已知P是一次函数y=2x+3和y=-2x图像的交点，如何求点P的坐标呢？
分析：因为交点既在y=2x+3又在y=-2x上，所以要联立解析式，得方程求解，
联立解析式，得到方程组：
解得：x= .
y= .
则 为两函数交点.
y=2x+3
.
一次函数的交点
答 案
y=-2x
（ ， ）
如图，直线l1的解析式为y=-3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C.
（1）求点D的坐标；
（2）求直线l2的解析式；
（3）求△ADC的面积
例5
解（1）当y=-3x+3=0时，x=1
∴D（1,0）
解：（2）设直线l2的解析式为y=kx+b（k≠0），
把A（4,0）、B（3，- ）代入表达式 y=kx+b，
4k+b=0 ，解得： k= ，
3k+b= b=-6
∴直线l2的解析式为y= x-6
（3）联立y=-3x+3和y= x-6，
解得：x=2，y=3，∴C（2，-3），
∴S△ADC=

例5


如图，正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，2），一次函数图象经过点B（-2，-1），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D.
（1）求一次函数解析式；
（2）求C点的坐标；
（3）求△AOD的面积
练习5.1
解：（1）将A（m，2）代入y=2x，得：
2=2m，则m=1，
将A（1，2）和B（-2，-1）代入y=kx+b中，
得： k+b=2 解得： k=1
-2k+b=-1 b=1
则解析式为y=x+1；
（2）在y=x+1中，当x=0时，y=1，
则C点的坐标为（0,1）.
（3）当y=0时，x=-1，即OD=1，
∴S△AOD=?×1×2=1
练习5.1


一次函数的平移

【示例】一次函数y=2x+3向右平移3个单位，求平移后直线解析式.
分析：
3
一次函数平移
A（0， ）B（ ，0），
A'（3， ）B'（ ，0）,
设y=kx+b
3k+b= . k= .
k+b=0 b= .
解析式为 .


在原函数上任取两个点A、B；

将点A、B按要求变换得到A'、B'

待定系数法求新解析式


3
3
2
-3
y=2x-3
答 案
一次函数平移
平移变换口诀：
（1）上下平移口诀： .
直线y=kx+b向上平移m个单位： .
向下平移m个单位： .
（2）左右平移口诀： .
直线y=kx+b向左平移m个单位： .
向右平移m个单位： .
总结
把y上加下减
把x左加右减
y=kx+b+m
y=kx+b-m
y=k（x+m）+b
y=k（x-m）+b
答 案
（1）对于直线：y=2x-1，
①求向下平移4个单位后的解析式；
②求向右平移2个单位后的解析式；
③求先向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的解析式.
①y=2x-5；②y=2x-5；③y=2x+6
例6
解析
①y=2x-1-4；
②y=2（x-2）-1；
③y=2（x+3）-1+1
答 案
（2）若直线y=kx+b的图象向上平移3个单位，再向左平移1个单位，平移后的直线的函数解析式为y=2x+5，求k、b.
k=2，b=0
例6
解析
由题意知y=k（x+1）+b+3=2x+5
得 kx=2x
b+3+k=5
可求出k、b的值

答 案
（3）若一次函数y=kx+b的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，平移后的图象与原图象重合，你能确定k、b的值吗？
例6
解析
k= ，不能确定b的值
kx+b+3=k（x+3）+b+2
3k+2=0
解得k=
答 案
（1）对于直线：y=-3x+2.
①将该直线向左平移1个单位后得到的直线的解析式为
.
②将该直线向上平移5个单位后得到的直线的解析式为
.
①将该直线向右平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的直线的解析式为 .
①y=-3x-1
②y=-3x+7
③y=-3x+5

练习6.1
答 案
（2）若直线y=mx+n的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后直线的函数解析式为y=3x-2，
则m= ，n= .
m=3，n=-3
练习6.1
（3）若一次函数y=kx+1的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，平移后的图象与原图象重合，
则k= .
k=1
答 案
一次函数的对称

A（0，3）B（-1，1），
A'（ ）B'（ ）,
设y=kx+b
b=-3. k= .
-k+b=-1 b= .
解析式为 .
【示例】一次函数y=2x+3关于x轴对称后，求平移后直线解析式.
分析：
一次函数对称


在原函数上任取两个点A、B；

结合图形求出对称点后，直线上另个点坐标A'、B'

待定系数法求对称后的解析式


0，-3
-2
-3
y=-2x-3
-1，-1
一次函数平移
对称变换口诀：直线y=kx+b
（1）关于x轴对称变为：-y=kx+b y=-kx-b
（2）关于y轴对称变为： y=-kx+b
（3）关于原点中心对称变为： -y=-kx+b y=kx-b
总结


（1）求一次函数解析式y=x-1的图象关于x轴对称的函数解析式；


（2）求一次函数解析式y=3x-1的图象关于y轴对称的函数解析式；


（3）求一次函数解析式y=-2x-1的图象关于原点对称的函数解析式；
答 案
y=-x+1；
例7
答 案
y=-3x-1；
y=-2x+1；
答 案
（1）一次函数y=-2x+3的图象关于x轴对称直线的函数解析式为 ；

（2）一次函数y=-x+2的图象关于y轴对称直线的函数解析式为 ；

（3）一次函数y=x-37的图象关于原点对称直线的函数解析式为 ；
答 案
y=2x-3；
练习7.1
答 案
y=x+2；
y=x+3；
答 案








































































































































































































Thank you

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