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数学思维训练教程
小升初系统总复习
目 录
目 录 3
第1讲 计算（一） 速算与巧算 4
第2讲 计算（二） 比较大小、估算、定义新运算 20
第3讲 数字谜、数阵图、幻方 35
第4讲 数论（一） 整除、奇偶性、极值问题 53
第5讲 数论（二） 约数倍数、质数合数、分解质因数 66
第6讲 数论（三） 带余除法、同余性质、中国剩余定理 79
第7讲 几何（一） 平面图形 92
第8讲 几何（二） 曲线图形 116
第9讲 几何（三） 立体图形 130
第10讲 典型应用题（一）和差倍、年龄、植树问题 142
第11讲 典型应用题（二）鸡兔同笼、盈亏、平均数问题 151
第12讲 牛吃草问题 161
第13讲 行程（一） 相遇追及（多次）、电车问题 170
第14讲 行程（二） 平均速度、变速度、流水、电梯 188
第15讲 行程（三） 行程中的比例 201
第16讲 分数与百分数 218
第17讲 工程问题 229
第18讲 浓度与经济问题 247
第19讲 方程 257
第20讲 排列组合 270
第21讲 容斥原理 283
第22讲 抽屉原理 297
第23讲 逻辑推理 305
第24讲 统筹与策略 324
第1讲 计算（一） 速算与巧算
一、知识地图
二、基础知识
（一）整数计算
1、基本公式
加法交换律：
加法结合律：
减法的性质：
乘法交换律：
乘法结合律：
乘法分配律：
除法的性质：
2、平方、立方公式
完全平方公式：
平方差公式：
完全立方公式：
立方和公式：
立方差公式：
3、数列及特殊公式
等差数列：
通项公式：………………为什么要“n-1”呢？
求项数公式：………………为什么要“+1”呢？
求和公式：………………为什么要“÷2”呢？
关于这个等差数列，同学们可以联系植树问题的数量关系来看，怎么把植树问题与等差数列联系在一起呢？
“在数轴上植树”，这可是带有一定的技术含量的……
如图：
请体会这里数字与“树”对应、公差与“株距间隔”对应。
例如：
22这个数是“第七棵树”，要由“第一棵树”加上六个“间隔”得到，算式为： 22=4+（7-1）×3；
如果要求这个数列从4到25，一共有多少个数，相当于把4看作第一棵树，问25是第几棵树？
可以思考，从4到25一共有多少个“间隔”，
（25-4）÷3=7，
所以应该是“第8棵树”，这里注意到了为什么求项数“加1”了吧？
求和公式的来龙去脉，同学们不可不知：
法一：高斯“配对法”。
例如，在计算1+2+3+…+8+9这一串数列的和时，我们可以把第一个数加上最后一个数，第二个数加上倒数第二个数，这样，一直到第四个数加上倒数第四个数，每一对数的和都是10，这里，要注意还有一个“中间数”5，，没有配上对，所以，这组数列9个数的和是10×4+5=45。
法二：借来还去法。
例如，还是计算1+2+3+…+8+9这一串数列吧，如果我再“借”来一串“9+8+7+…+3+2+1”，
这么一串数只是把原来的数列颠倒一下顺序，可以知道两串数是相等的。所以，如果我把这两串数的和求出来，是一定要“除以2”的！
问题在于，本来要求一串数的和，干嘛我还扯上了另一串，这样做好算吗？答案正在这个地方，就是因为再有这么一串倒过来的数，好算不得了——“变异为同”了！
如图：

所以，可以得出，10×9÷2=45
回头再看，这里的10可以用（1+9）为代表，则得：
（1+9）×9÷2=45
再推广开去，对于其他等差数列，都有这么一个公式：
和=（首项+末项）×项数÷2
等比数列：
（n≤9）
这一类的数不妨称之为“重码数”，关键于把一个循环节的“个位”的“1”作为记数单位，结合位值原则，我们可以得到上述结果。
4、特殊方法
凑整法：利用运算公式和运算律（如交换律、结合律、分配律）将一些数凑成整一或整十整百再计算。
换元法：将一些数或一个式子记为某个字母，如a，b，c…… 达到化繁为简的目的。
（二）分数计算
1、拆分与裂项


2、几个常用拆分分数





… …
3、循环小数化分数


请聪明的你，来比较1与0.99999999……的大小？
你可能已经知道：0.9999999……=1
也就是：=1，可是这是为什么呢？
铺垫：
==
==
==
== ==

以此题为例推导：
设 为A，那么100A=
10000A=
所以：10000A-100A=1234-12
9900A=1234-12
注意：循环小数化分数，分母中9的个数与其循环节的位数对应，0的个数与小数点后不循环的位数对应。分子是不循环部分连上第一个循环节组成的多位数与不循环部分组成的多位数相减所得到的差。
三：经典透析
【例1】：（☆☆☆）
审题要点：
看题目中的数，聪明的你是否发现了什么秘密？
对了，每一个数都有一个小秘密：


…
发现了秘密就赶紧动手吧！
详解过程：

专家点评：
这道题目不是很难，关键是要学会“凑整”的思路！
【例2】（☆☆☆）
审题要点：
好大的数啊！别怕，肯定有绝招。
哈哈，终于发现了数之间的小秘密。
详解过程：
专家点评：
做这道题目，你会发现，奥数的很多题目，不仅仅是记公式就能解决的，很多时候需要你对公式进行消化吸收，达到灵活应用才能在用时得心应手。
【例3】（☆☆☆☆）
审题要点：
这题看着很熟悉→联想平方求和公式
可是起始的数不是？
没关系，缺什么补什么！
详解过程：
专家点评：
很多题目不能就题论题，你必须要在熟练应用公式的前提下，做适当的变换，这道题目就是一个很好的例子。
【例4】（☆☆☆☆）
审题要点：
1）“73”好像是关键。
2）如果可以提取73，那不是很简单？
试试吧！
详解过程：

专家点评：此处利用了分拆法，将730分拆为73×10，153.3分拆为73×2.1，目的都是为了构造出“公因数”73。此种构造方法很常用，你学会了吗？
【例5】（☆☆☆☆）

审题要点：
分母很特别哦：

详解过程：
原式=
=
=
=
专家点评：
这道题目稍微有点难度，需要先归纳分母的通项，然后利用裂项进行解题，所以同学们应该在记住公式的同时做适当的综合应用。
【例6】（☆☆☆☆）
审题要点：
分数相加，分子不相等，似乎不能裂项；
如果做一下变换呢？
…
试试吧。
详解过程：
原式=
=
=
=
=
=
专家点评：
这道题目的解题关键在于对裂项的熟练应用。题目本身并不是很难，但是需要同学认真仔细。
【例7】（☆☆☆☆）＝
审题要点：
1）既然题目这样出了，说明绝大部分项能够裂项约掉！试验可知：
，（这两个利用辗转相除法），能够约掉37，看来确实可以裂项。
详解过程：
观察到5，37，101以及约去的最大公约数17和65都是偶数的平方+1，所以立刻猜测最后的约分后等于，原式等于。
专家点评：这是一道比较难的计算题，很多人认为只有到了初中，学了因式分解才有可能做出来。但是，小学生如果能够有“找规律”的思维，也是完全可以得出答案的。本题解题的关键在于“试算观察法”与“辗转相除法”的综合运用，你学会了么？
【例8】（☆☆☆☆）

审题要点：
1）看到这么庞大的算式，应该想到要换元；
2）换元时注意要整个括号作为一个整体代换；
3）不妨设

详解过程：
原式
=
=
=
=9
专家点评：
“换元”法在庞大的数学计算中经常用到，数学题目很少是需要你对一个复杂的式子进行每一步的计算，一般都有简便算法，这些需要你平时多积累。利用换元法解题时有两种可能性：一，换元的未知数最后都消去，可直接得出答案。二，换元的未知数不能完全消去，那么就应该将原数或原式重新代入计算，此时的代入计算将很简单，如本题中最后（a-b）须换回原来式子计算得。
【例9】（☆☆☆☆）
审题要点：
1）：有循环小数的计算，首先要进行分数转换。
2）：每个数都是混循环小数，应该怎样化成分数？
详解过程：
原式=+++…+
=++…+
=
=
=
专家点评：
循环小数化分数，你学会了么？这是个很重要的知识，在比较大小和计算过程中经常用到。
另外，如果对循环小数的性质很熟悉的话，知道=1，则可观察到：


还有一个，所以总和为

。
经验证，。
四、拓展训练
=
[初级点拨] 这道题目不难，关键是考察对公式的应用
；
[深度提示] 注意哦，分母中1与3，3与5都是要差2，所以在裂项时，括号外面要乘以；
[全解过程] 原式=
=
=
=
（－＋…－＋）×（1－＋－＋－…＋）
－（1－＋－＋－…＋－）×（－＋…－）=_______。
[初级点拨] 这么庞大的式子，换元毫无疑问，但是要找好，到底换什么哦。
[深度提示] 换元时，可以设，；
[全解过程] 设，
原式=
=++
=
=
=________。
[初级点拨] 类似于例题2；
[深度提示] 运用平方差公式，你会了么？
[全解过程] 原式
=________。
[初级点拨] 这题比较简单，利用；
[深度提示] 这道题目很简单，主要就是公式应用的问题；
[全解过程] 原式= 2×（－+－+…+－）
=
=
=________。
[初级点拨] 直接利用公式；
[深度提示] 公式的直接应用，但是要注意，分母拆开后，差值是3；
[全解过程] 原式=×（1－+－+…+－）
=
=
=________。
[初级点拨] 带分数在计算过程中，通常有两种处理办法，或者化成整数和分数的和，或者化成假分数，聪明的同学，想想这道题应该怎么处理呢？
[深度提示] 拆成你熟悉的形式：
…
[全解过程] 原式=（1+2+3+…+6）+(++…+)
=
=
=
=________。
[初级点拨] 类似于上面的第6题，但是要稍微难点，关键也是对带分数的处理，不要犹豫，你想的没错，写出来试试。
[深度提示] 将带分数拆成整数和分数的和；
[全解过程] 原式=(3－)－(3+)+(5－)+(5+)－(7－)+(7+)－
(9－)+(9+)－(1+)
=
=
=
=
=________。
[初级点拨] 这道题目是典型的利用公式解题，所以公式一定要熟记哦。
[深度提示] 记住两个公式即可，翻看前面的基础知识，你需要的都在那里；
[全解过程] 原式=
=
=________。
[初级点拨] 提取公因数，但是要先做下变换，看看，怎么变动一下！
[深度提示] 1）找题目中的特殊之处。
2）如果分母中也是那多好啊！
3）变变嘛！
[全解过程] 原式==1.
=________。
[初级点拨] 第一步肯定是要去括号，聪明的你想到了吗？
[深度提示] 去括号，提取公因式，两项结合；
[全解过程] 原式=
=
=
=
________。
[初级点拨] 如果在计算中出现循环小数，那毫无疑问要先化为分数。
[深度提示] 循环小数化分数的计算。
[全解过程] 原式=
=
=
=

第2讲 计算（二） 比较大小、估算、定义新运算
一：知识地图：
二：基础知识
（一）：比较大小
1、分数的大小比较
1）通分：a） 通分母：化成分母相同的分数比较，分子小的分数小；
b） 通分子：化成分子相同的分数比较，分母小的分数大。
2）比倒数：倒数大的分数小。
3）与1相减比较法：a） 真分数：与1相减，差大的分数小；
b） 假分数：与1相减，差大的分数大。
4）经典结论：a） 对于两个真分数，如果分子分母相差相同的数，则分子分母都大的分数比较大；
b） 对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子分母都小的分数比较大。
对于分数的分子分母同时加上或减去相同的数和原分数进行比较：
（，且为非零自然数时）
（1）
即“真分数越加越大，越减越小”（）如；
（2）即“假分数越加越小，越减越大”。
5）放缩法。
6）化成小数比较：小数比较大小的关键是小数点对齐，从高位比起。切记！
7）两个数相除进行比较。如：和，，所以。
2、小数的大小比较
常用方法：将小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数，然后比较。
（二）估算问题
1、常用方法
1） 放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小，将结果确定在两个接近数之间，从而估算出结果。
2）变换结构：将算式变形为便于估算的形式。
2、经典步骤
估算和式整数部分：a） 令和式结果等于A；
b） 最小的数×个数＜A＜最大的数×个数；
c） 求A。
对于较简单的题目，使用“最小的数×个数＜A＜最大的数×个数”就可以确定整数部分。对于较复杂的题目，这会造成放缩幅度过大。如果出现此情况，设法比较原式与（最小的数+最大的数）×个数÷2的大小，以及与（中位数×个数）的大小（总共有偶数个数的时候，“中位数”视为中间两个数的平均数）。
（三）定义新运算
这是近年来出现的一种新题型，解题的过程可以归结为经典三步：阅读→理解→应用。
三：经典透析
【例1】（☆☆☆☆）如果，，那么，中较大的数是_________。
审题要点： 1°通分似乎太麻烦了，怎么办呢？
2°大小比较有6个经典方法，这个似乎与“4 经典结论”相仿哦！
3°发现了吗？两个分数的分子分母的差值都相等：，
详解过程：因为a与b都是真分数，且分母与分子差相同，并且＜，所以a＜b。
专家点评：分数比较问题，方法很多，做题时要注意从不同角度考虑。
下面再介绍两种解题方法：
方法二：
1°a与b都很接近“1”；
2°聪明的你，发现秘密了吧！
1-a= ， 1-b=。
＞ 且a和b为真分数，
所以a＜b。
方法（三）：比倒数。
==1， ==1，
＞ 所以a＜b。
方法（四）：两个数相除进行比较。
，
所以：。
同学们开动脑筋看还有没有更多的思路！
【例2】（☆☆☆）如果，A与B中哪个数较大？
审题要点：1°快开动脑筋看这个题目适合用哪个方法？
2°不妨先试试比倒数。
详解过程：，
专家点评： 同样是分数比大小的问题，你能做出几种解答过程呢？下面给出另外两个解题过程。
解法二：
1°这么庞大的式子，如果能“4经典结论”该多棒啊！
2°开动脑筋做个小变换，，
变换后A与B分子分母相差相同的数“3”，
A与B都为真分数且A的分子分母都较小，
所以A 解法三：
与比较法，聪明的你自己动手试试哦!
【例3】（☆☆☆☆）在上式的方框内填入一个整数，使不等式成立，那么= 。
审题要点：1°这类题目关键是对公式的灵
活应用
详解过程：
因为
所以
即
则
专家点评：这道题目比较简单，聪明的你做出来了吧！下面再介绍另外一个解法希望对同学们日后解题有帮助。
利用公式：当
那么：

可以得到
所以
【例4】（☆☆☆☆）已知除法算式12345678910111213÷31211101987654321，它的计算结果的小数点后的前三位数字分别是________。

审题要点： 1°毫无疑问，这是一道估算题。
详解过程：
取除数的前两位：
12.345…÷32<原式<12.345…÷31
0.385…<原式<0.398…
在0.385到0.398之间无法确定小数点后三位的准确值，说明放缩范围太大。
再取除数的前三位：
123.456…÷313<原式<123.456…÷312
0.394…<原式<0.395…
仍无法确定。
取除数的前四位。
1234.567…÷3122<原式<1234.567…÷3121
0.3954…<原式<0.3955…
所以小数点后三位分别为3，9，5。
专家点评：这道题目稍微有点难，但是只要是估算的问题，都不需要算出最终结果，通过这道题目，你有没有学到什么呢？
有些书上解这道题的时候是把被除数和除数都放缩：12÷32<原式<13÷31，123÷313<原式<124÷312，1234÷3122<原式<1235÷3121。
但是，对被除数的放缩只会徒增加放缩幅度，而不会简化计算。如果你认为，计算1234÷3122比计算1234.567…÷3122省事，那你一定是在用计算器！
【例5】（☆☆☆☆）老师在黑板上写了7个自然数，让小明计算它们的平均数（保留小数点后面两位），小明算出的答数是14.73，老师说：“除最后一位数字外其他都对了”，那么正确的得数应是 。
审题要点：1°估算题目最直接的方法就是放缩。
2°这道题的关键点是，只有最后一位是错的，那么分数的取值范围是 14.70～14.79
详解过程：设这7个自然数之和为A（A为整数）
平均数为
专家点评：关于平均数的估算，是经常会出的题目，所以同学们一定要学会如何去解答这类题目，下面再介绍另外一种解题方法。
14.73中前三位14.7是 正确的
所以总数肯定大于 14.7
则总数只能是103、104…
当和等于103时，平均数是14.71
当和等于104时，平均数是14.86（不符合）
所以七个自然数的和为103，平均分是14.71
事实上一个自然数被7除如果除不尽，那么所得的商的小数部分一定按照“1、4、2、8、5、7”的顺序不断循环，只是循环初始数字不一定相同。观察一下除式：
所以如果对被7除商数特征熟悉的话，一定能马上反应过来这个平均数是。
【例6】（☆☆☆☆），哪个更大，为什么？
审题要点：1°这道题比较难，式子比较庞大，我们不妨引入换元的思想。
设a
2°设
详解过程：
很明显
所以

专家点评：这道题目，可以说是估算里面比较难的题目，需要自己构建新的算式，同学们学会这个解题思路了吗？
【例7】（☆☆☆）数
审题要点：1°这道题的难点集中在分母上
2°不妨把分母单独拿出来，设A=
3°看明白了吧
详解过程：
原式=

所以
即1<原式<1.9
所以数。
【例8】（☆☆☆）（第二届小学"希望杯"全国数学邀请赛）
如果，那么
。
审题要点：
定义新运算，不妨试试经典三步法：阅读→理解→应用！
详解过程：
原式=
=
=
专家点评：这是一道综合性题目，首先要看明白定义的新运算，其次要学会用裂项法解题，总的来说，题目不难，关键是要认真仔细。
【例9】（☆☆☆☆）两个用同样材料做成的球A和B，一个实心，一个空心，A的直径为7，重量为22，B的直径为10.6，重量为33.3。问哪一个球是实心球？
审题要点：显然，两个球中单位体积重量大的球是实心球。所以第一步首先要求两个球的体积各是多少！
详解过程：由球的体积公式可知，球的体积与半径的3次方成正比；显然球的体积与直径的3次方成正比。
即 V1：V2 = 73：10.63
因为，即可知：
所以
即A球为实心球
专家点评：比较大小，估算以及定义新运算，都不是只局限于现有的几个数的计算，很多时候是将知识点作了综合，因此同学们在做题过程中，一定要在读懂题的前提下再动笔开始做！
四、拓展训练
在___.
[初级点拨] 1）观察题目，找数之间的相似处
2）你是否发现了这个小秘密？

[深度提示] 1）发现了吗？
2）因为

[全解过程]
显然，所以题中最小分数为.
，求A的整数部分 .
[初级提示] 这道题隐藏的知识点是估算，你发现了么？
[深度提示] “经典三步法”看行不行？
[全解过程] ，适当扩展：，，所以A的整数部分为44。（同学们想想，还有没有别的方法！）
已知：.
[初级点拨] 问题的关键在分母，同于“例7”（但是要小心，有一点小区别哦）
[深度提示] 这道题目中，分母按照我们给出的估算方法，似乎不能做到最后，那怎么办呢？



发现规律了么？
[全解过程] 设



即
不能确定A的整数部分，怎么办？先看看一个例子


则
聪明的你从中会发现一个找“最小界线的新规律”，那么让我们回到原题来看看吧！
即

∴A的整数部分为73。
有8个数，如果按从小到大的顺序排列时，第四个数是
[初级点拨] 循环小数化分数。
[深度提示] 1）分数小数的大小比较首先要统一形式
2）两个未写出的数要确定它们的位置
[全解过程]
显然
即
因为8个数由小到大排第4个是所以从大到小第4 个是
1）试比较。
2）如果A=.
[初级点拨] 这两道题目可以参考例1和例2
[深度提示] 对于两个真分数，如果分子分母相差相同的数，则分子分母都大的分数比较大
[全解过程] 1）
2）A有13个自然数，它们的平均值利用四舍五入精确到小数点后一位是26.9。那么精确到小数点后两位数是多少？
[初级点拨] 估算问题参考例5
[深度提示] 平均小数估算，关键确定最后两位是什么？平均数如果保留两位数，则范围为26.85～26.94
[全解过程] 1）平均数如果保留两位数，则范围为26.85～26.94。（想想为什么？）
2）设13个自然数的和为A

，所以A=350，平均数为.
1）比较以下小数，找最大的数：
2）比较以下5个数，排列大小：
[初级点拨] 分数、小数之间大小的比较，首先要统一形式
[深度提示] 通常将分数化为循环小数，将各个数位都写出来，逐个数位作比较
[全解过程] （1）
1.121=1.121000000

1.12121=1.121210000
1.12=1.120000000
显然
（2）
如果用max
max.
[初级点拨] 1）这是一道典型的定义新运算的问题，经典三大步找出来
2）阅读---max，理解---找最大的数，应用吧！
[深度提示] max的作用是找较大的数，所以首先要比较两个分数的大小
[全解过程] ，所以max.
假设有一种计算器，它由A，B，C，D四种装置组成。将一个数输入一种装置后会自动输出另一个数，各装置的运算程序如下：
装置A：将输入的数加上6之后输出；
装置B：将输入的数除以2后输出；
装置C：将输入的数减去5之后输出；
装置D：将输入的数乘以3后输出；
这些装置可以互相连接，如在装置A后接装置B就记做：A→B。例如输入1后，经过A→B输出3.5
1）若经过A→B→C→D，输出120。则输入的数是多少？
2）若经过B→D→A→C，输出13，则输入的数是多少？
[初级点拨] 1）好复杂的过程啊，但是聪明的同学肯定不会被吓倒
2）对啦，利用经典三步分析后，你会发现，这并不是一道难题
3）阅读→A，B，C，D四个装置是关键
理解→明白这四个装置的运算特点
应用→逆向思维
[深度提示] 装置A：将输入的数加上6；
装置B：将输入的数除以2；
装置C：将输入的数减去5；
装置D：将输入的数乘以3；
确定每个装置的作用后，从后往前计算结果。
[全解过程] 1）经A→B→C→D后输出120
按逆向思维后推
设最先输入的数为经过A后变为，经过B后变为，经过C后变为，如上图所示
即
2）类似于1）的解答，聪明的你试试吧。输入的数是8。
有一个算式，左边方框里都是整数，右边答案写出了四舍五入后的近似值：

求左边方框里的整数从左至右分别是什么？
[初级点拨] 1）这道题目，入手比较难。开动你的小脑筋看能不能发现什么小秘密？
2）近似值→估算？
[深度提示] 看似一道数字谜问题，其实也是估算的问题，既然结果约等于1.16那么原式可以做一个变换（看明白了么）
[全解过程] 将原式做一下变化，，三个分数不妨先通分，
即，将式子扩大105倍得
设A= ；A为整数（想想为什么？）
121.275，A=122
即
通过试验知
所以左边方框里的值依次是1，2，3。
用表示不超过a的最大整数。例如=0.3； ，记请计算的值.
[初级点拨] 1）这是一道综合题目，同学们千万不要被多变的符号给吓倒！
2）“三步经典”来分析
[深度提示] 阅读→题中的符号有﹛﹜；[ ]； ，
理解→﹛﹜，〔 〕；的意义及表示方法应用吧！
[全解过程] ====1.4
==1
﹛﹜=﹛1.4﹜=0.4
[]=[1.4]=1
﹛﹜=﹛1﹜=0 []=[1]=1
第3讲 数字谜、数阵图、幻方
一，知识地图
二，基础知识
趣题导引：
学而思教育的数学兴趣小组每周都要进行小组讨论。有一次小组讨论时，李同学在黑板上画了一个“九宫格”，问其他同学说：“你们能看出这个表格的的数字规律吗？”这时很多同学都说：“这还不简单啊，这是幻方，每行每列和两条对角线的数字和都相等，我自己也会填。”李同学又画了一个幻方，但是里面数字不全，只有三个数字，说：“那你们能把这个表格补充完整，使它成为一个幻方吗？”这时刚才非常活跃的同学都沉默了，同学们，你们可以补充完整吗？


（一）数字谜
数字谜介绍
数字谜从形式上可以分为横式数字谜与竖式数字谜，从内容上可以分为加减乘除四种数字谜。横式数字谜一般可以转化为竖式数字谜，所以我们这里主要讨论竖式数字谜的一般解题技巧与思路。
2、数字谜常用的分析法介绍
解决数字迷问题最重要的就是找到突破口，突破口的寻找是需要一定的技巧，一般来说首先是观察题目中给出数字位置，同时找出涉及这些已知数字的所有相关计算，然后根据各种分析法进行突破，一般的突破顺序是，三位分析（个位分析，高位分析，进位借位分析），另外加入三大技巧（估算技巧（结合数位），奇偶分析技巧，分解质因数技巧）等。而且一般应该先从涉及乘法的地方入手，然后再考察加法或减法的分析（并不完全是这样）。
（1）个位数字分析法（加法个位数规律，减法个位数规律，乘法个位数规律）
若题目已知条件里面给出的主要是个位数字，那么我们就要考虑使用个位分析法，这是
大部分数字谜都要用的分析方法。
加减法的个位数字规律比较简单，这里要求重点掌握乘法个位数的规律。
A）加法个位数规律举例：
如右图：由a+8的结果个位数为5可推出a=7，十位进位，9+1+b结果个位为7，
可推出b=7，进而推出c=1。
B）减法个位数规律举例：
如右图：由a-7的结果个位为9，可推出a=6，且借一位，进而十位数
中9-1-b结果个位数为4，可推出b=4。
注意：当个位数已经推导出来，那么十位数的推理也可以继续使用个位分析法进行推理，后面依次类推，高位使用个位数字分析法时必须同时考虑进位或借位的情况。
C）乘法个位数规律归纳：
1、当结果为奇数，其中一个乘数也为奇数时，则另一个乘数也为奇数，
且只有一种答案（注意：数字5除外，5和0的规律比较特殊，后面补充）。
如右图：由b×7结果个位为1，可推知b=3，利用后面介绍的高位分析法可
继续推出a=1，c=9。
2、当结果为偶数，其中一个乘数为奇数时，则另一个乘数为偶数，且只
有一种答案。
如右图：由b×9结果个位数为8，可推知b=2，由后面介绍的高位分析法
可继续推知a=4，c=7。
3、当结果为偶数，其中一个乘数也为偶数时，则另一个乘数有两种可能
性，一奇一偶，且相差5。
如右图：由b×6结果个位数为4，可推知b=4或9，当b=4时，进而推出
a=8或9，相对应c=0或6。
当b=9时，进而推出a=8或9，相对应c=3或9。共有四种可能性，再根据
其他条件进行排除。
4、当结果为奇数，其中一个乘数为偶数时，另一个乘数无解，因为根据
奇偶性，偶数乘于任何数都不可能等于奇数。
如右图：由b×8结果为7可推知此题无解。
5、当结果为5，则其中一个乘数必须为5，另一个为奇数。
当结果为0，则其中一个乘数为5，另一个为偶数，或者一个乘数为0即可。
当一个乘数为5，则结果为0或5，另一个乘数为偶数时，结果为0；另一个乘数为奇数时，结果为5。
（2） 高位分析法（主要在乘法中运用）
如右图：由a×7结果为四十几，结合进位考虑，可知a=5，6或7，再根
据其他条件进行排除。
（3） 数字估算分析法（最大值与最小值的考量，经常要
结合数位考虑）
如右图：由×4=A，A为三位数，可推知≥25，由
×3=B，B
为二位数，可推知≤33，由×34=C，C为三位数，可推
知≤29，综合考虑可知b=2，a=5，6，7，8或9。再根据其他条件排除。
（4） 加减乘法中的进位与借位分析
前面三种分析法都涉及到了进位与借位，这里再次强调进位与借位的重要性，千万不要忽视了（这是同学们非常容易出错的地方。）
加法进位中，加数有n个，则最多向前进n-1，乘法进位中，乘数是n，则最多
向前进n-1。
如右图：由百位可推知十位向百位进2，而个位最多向十位进2，则推知a至
少为9，即就是9，进而继续推知b也只能是9，而c=d=0。
如右图：由a×8等于四十几而个位最多向前进7，得知a只能为5或6，而不能是4。
注意：此处也可以利用数字估算分析法得出50≤≤62，同学们知道为什么吗？
（5） 分解质因数分析法
当乘法数字谜中一个积全部已知或者只有一个数字未知而又没有其他办法判断时，
可考虑使用分解质因数。
由×c=206可将206分解质因数，206=2×2×2×2×13，根据两个乘数分别
是一位数和两位数可推知两种可能性：52×4与26×8，又根据×3为两位数
可确定=26。
（6） 奇偶性分析（加减乘法）
数字谜中经常可以直接利用奇偶性进行排除选项。（见乘法个位规律里面的第四点。）
复杂数字谜中不能直接确定某一数字时，经常需要使用假设法进行逐一排除，排除的判断一般是通过另外一个数字或者题目中其他条件来进行。如带汉字的数字谜经常需要符合的条件是“相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字”等。
（二）数阵图的一般解题思路与步骤
数阵图中的数字关系一般比较复杂，同学们注意一定不要一开始就使用尝试的方法，而应该使用一定的技巧求出某些特殊位置的数字后再逐一分组尝试。
由于数阵图中没有填充之前各个数字的位置无法确定，所以从每一个单个数字上无法进行判断，所以我们采用的是整体与个体相结合考虑的方法，即利用所有相关数字和全部相加法进行分析。
一般分为以下几个步骤：（注意：建议先学习完几个相关例题再回来进行总结）
1、从整体考虑，将要求满足相等的几个数字和全部相加，一般为n×S的形式。
2、从个体考虑，分别计算每一个位置数字相加的次数，将比较特殊的（多加或少加几次）位置数字用未知数表示，全部相加，一般为（题目所给全部数字和）×一般位置数字相加次数±（特殊位置数字和）×多加或少加次数 的形式。
3、根据整体与个体的关系，列出等式即：n×S=（题目所给全部数字和）×一般位置数字相加次数±（特殊位置数字和）×多加或少加次数
4、根据数论知识即整除性确定特殊位置数的取值及相对应的S值。
5、根据确定的特殊位置数字及S值进行数字分组及尝试。
三：幻方
8
1
12
11
7
3
2
13
6
幻方中的各数互不相同，且横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……
我们这里重点介绍三阶幻方的主要性质，以上图为例，主要有以下几个，希望同学们牢记：
1、能组成幻方的数必须为从小到大排列，首尾对应相加均相等且等于中间数两倍的九个数数列。如1，2，3， 6，7，8，11，12，13中1+13=2+12=3+11=6+8=7×2，一般为等差数列（不完全是）。
2、幻方的中心数为数列中的中间数，如上一列数中的7必须位于幻方中心。
3、幻方中关于中心对称的两数均为数列中首尾相对应的配对，且两数的平均数为中心数。如上列数中的1，13与4，10的平均数均为7。
4、幻方中所有相等的和称做幻和，幻方的幻和等于中心数的三倍。如幻和为21，等于中心数7的三倍。
5、数列中最大与最小数的配对不能出现在幻方中的四角，即只能出现在中间位置，依次可以得知第二大与第二小数的配对只能出现在四角，在构造幻方的过程中如果能够遵循这个规律可以很快地得出答案。
6、幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数。如2等于1，3的平均，6等于1，11的平均，12等于11，13的平均，8等于3，13的平均。
7、具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等（同学们能不能知道为什么？）如第一行和第一列中有一个共同数8，则其他两个数1+12=11+2。
综合利用上面7个幻方性质就可以得出很多幻方的解题思路了。
趣题解析：
学习完幻方的性质之后，开篇趣题就很好填了吧，首先根据性质7，可知a+6=10+4，a=8，根据性质3，可知：d=（4+8）÷2=6，根据性质4，可知幻和为18，其他就全部根据每行相加等于幻和求出每一项，结果如图所示：

三、经典透析
【例1】（☆☆☆）右面残缺算式中只知道三个“4”，那么补全后它的
乘积是 。
审题要点：
此题为乘法数字谜，由于其中A中4出现在高位，所以利用高位分析法进行突破。
详解过程：
解：1、由c×=A，A百位数为4，可知c=8或9，若c=8，则
c×a必须向前进8，不可能。所以c=9。
2、c=9时，a×9至少向前进4，即a×9≥40，知a≥5。
3、对a=5，6，7，8，9进行逐一验算，验算的主要方法是通过c
中的4进行，
若a=5，则A=405，f=4，但5×b末位不可能为4，排除。
若a=6，则A=414，f=3，但6×b末位不可能为3，排除。
若a=7，则A=423，f=2，7×b末位为2，则b=6，
所以乘积为3243。
若a=8，则A=432，f=1，但8×b末位不可能为1，排除。
若a=9，则A=441，f=0，但9×b末位不可能为0，（因为乘数不能0开头），排除。
专家点评：
此题是乘法数字谜中比较经典的一个题型，用到的分析法依次包括：高位分析法（步骤1），进位分析法（步骤1），估算分析法（步骤2），个位分析法（步骤3），逐一尝试法（步骤3），及排除法（步骤3），注意寻找数字谜突破口的方法，抓住题目所给的已知数字，从涉及已知数字所有的计算处考虑，首先考虑乘法的关系，因为能够使用的分析法最多。希望同学也可以自己根据做题体会进行总结。
【例2】（☆☆☆）已知右面的除法算式中，每个□表示一个数字，
那么被除数应是 。
审题要点：
此题属于数字谜中的复杂题型，题目给出已知数字只有两个，不能直接使用个位分析法与高位分析法，可以结合数位考虑利用数值大小估值的方法进行分析。
详解过程：
解：1、首先比较明显可得出d=0，然后从2个数字的相关计算
进行突破，首先，，由于B只有两位数，所以可估算
推知=10，11或12。
2、又，A为3位数，结合=10，11或12可知，c=9
且，将其他各数补充完整即可。
专家点评：
此题是结合数位进行估算的一个典型数字迷，也利用了循环推理的原理。先是根据数字8×的乘积，利用数位估算确定的可能值，再根据c×的乘积，利用数位估算确定为12。所以在数字迷中，不仅有数字的地方有突破口，没有数字的地方也可能有突破口，一般是利用数位估算，当然也有其他分析方法，例如利用进退位的分析进行突破。
【例3】（☆☆☆☆☆）在右面的乘法算式中，每一个□中要填一个数字，
不同的中文字代表不同的数字，请问：“新年”两字代表什么数字？
审题要点：
此题属于乘法数字谜中较难的题型，由于题目中出现的几个数字都为个位数，所以首先考虑运用个位分析法进行突破。
详解过程：
解：1、A行中末位为1，可推知a×b有四种可能性，1×1，3×7，
7×3，9×9，又因为A行中为5位数，所以排除1×1，若a×b为
9×9，则又结合B，C，D行中末位为9，可推出h，f，d为1，与B，
C，D都为5位数矛盾，排除。3×7，7×3暂时不能确定。
2、假设a=7，b=3，由三个末位数是9，可推知h=f=d=7，这样反复利用
乘法和加法的个位分析法，可推知c=6，e=4，g无法满足。假设排除。
3、假设a=3，b=7，由三个末位数为9，可推知h=f=d=3，同步骤2反
复利用乘法与加法个位分析法，可依次推出，而且满
足，所以“新年”代表15。
专家点评：
此题也是乘法数字谜中非常经典的一个题型，综合运用的分析法非常的多，且反复使用，环环相扣，同学可以在练习中好好体会其中的巧妙之处，依次包括：个位分析法（乘法与加法）（步骤1，2，3），结合数位考虑数字大小估算分析法（步骤1），循环推导（步骤2，3）。
【例4】（☆☆☆☆）2008年奥运会快要到了，下图是大家都熟悉的奥林匹克的五环标志，你能把1—9分别填入五个圆相互分割的九个部分，并且使每个圆环内的数字之和都相等吗？
审题要点：
此题属于典型的数阵图，应该利用数字和全部相加的方法进行解答，从整体与个体的角度，同时考察应该填入的数字。
详解过程：
解：1、首先由于一共5个圆圈的数字和相等，由于填入的数无法确认，将5个数字和全部相加，由于数字和未知，设为S，则5个圆圈全部数字和为5S。
2、考虑全部数字和5S中的各个组成部分：可知a，b，c，
h，i只加了一次，而d，e，f，g四个加了2次，即可以看
成1至9全部数字均加了一次，d，e，f，g多加了一次，表示
为（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+（d+e+f+g）。
3、 整体等于部分之和，列出方程：5S=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+（d+e+f+g），化简为5S=45+（d+e+f+g），d+e+f+g的最小值为1+2+3+4=10，此时S=11，最大值为6+7+8+9=30，此时S=15，一共5种可能填法。
4、逐一进行试验：
当S=11时，d，e，f，g为1，2，3，4时，可得出答案为：
当S=12时，经过试验无解。
当S=13时，d+e+f+g=20，取2，4，6，8，得出答案：
当S=14时，d+e+f+g=25，取3，6，7，9，得出答案：
当S=15时，经过试验无解。
　
【例5】（☆☆☆）小兔子在森林玩耍，遇到一个画着奇怪图形的树桩，
上面写着：把10至20这11个数分别填入右图的各圆圈内，使每条线段
上3个圆内所填数的和都相等。如果中心圆内填的数相等，那么就视为同
一种填法，请写出所有可能的填法，小兔子发了愁，你能帮它吗？
审题要点：
此题属于数阵图中的经典题型，同学们一定要利用数字和的规律来做，千万不要直接试，否则会浪费很多时间的。
详解过程：
解：1、由于5条线段的和均相等，从整体考虑将其全部相加为5S。
2、从个体考虑，除中间数加了5次外，其他数均加了1次，可看作所有数10至20均加了1次，中间数a多加了四次，表示为（10+11+……+20）+4a，
3、列出等式为5S=（10+11+……+20）+4a，化简为5S=165+4a，要使等式成立，a必须为5的倍数，得出三种答案，a=10时，S=41，a=15时，S=45，a=20时，S=49。
4、将三种答案逐一尝试，得出三种答案分别如图：
专家点评：
此题中个体考虑时中心数字a一共加了5次，在列式当中一定要注意：加上的是多加的次数，即4a，而不是5a，因为在全部数字里面a已经相加一次。对a进行取值时的原则是使右边总和能够被5整除，确定a值与S值后进行简单的数字分组即可完成。有的题目在数字分组时需要同时满足多个条件，需要综合考虑，请看例6。
【例6】（☆☆☆☆☆）右图中有三个正三角形，将1～9填入它们顶点处
的九个○中，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个○
的每条直线上的四数之和也相等。
审题要点：
此题与上题相类似，注意题目要求两组和相等，应该先由一组进行分析满足后，再在此基础上满足另外一组和相等的条件。前面的分析方法一致，后面尝试部分数字分组时需要多考虑几个部分的和相等即可。
详解过程：
解：1、先考虑三角形和相等的部分，由于无重复数字，全部数字相加一次，直接列出等式：3S =（1+2+3+4+5+6+7+8+9），解出：S =15
将所有数字分成数字和为15的三组：（1，5，9）；（2，6，7）；（3，4，8）
任意选择其中一组填入最里面三角形，另外两组则不能随便填，需要再满足另一组和相等。
2、考虑三直线和相等。观察发现内部三角形三数相加两次，其他相加一次，列出等式为：
3K=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+（a+b+c）
注意到内部三角形三数之和a+b+c已确定为15，代入解出方程得：K =20。
先看有5和9的直线，其他两个数和为20–5-9=6，即需要从其他两组数中分别选取两数和为6，可为4，2。
再看有5和1的直线，其他两个数和为20–5-1=14，即需要从其他两组数中分别选取两数和为14，可为8，6。
最后看有9和1的直线，其他两个数和为20–9-1=10，即需要从其他两组数中分别选取两数和为10，可为3，7。
分别填入即得到答案如下左图。
如果一开始使用其他的分组法，还可得出下右图。
专家点评：
1、此题中两组和均需要满足相等，应该首先选择较为简单的一组进行分析，三角形三数和相等由于无重复数字，可以直接求出和为15，对后面另一组分析有用。
2、步骤二的等式分析中，利用了第一组的结论三角形三数和为15，a+b+c=15，此处的利用十分巧妙，大家要注意其特点，还有很多题目中有此类使用。
3、步骤二中的尝试是在第一组分组的基础上进行，注意直线上其他两个数必须分别来自两组数字中，大家可以想一想其中的原因。
4、步骤二中三组数（4，2）（8，6）（3，7）确定后，填入图中时，同时又要考虑步骤一中的分组情况，即须保证（2，6，7），（3，4，8）在同一直线上。综合考虑，需要全面周到。
【例7】（☆☆☆）请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条
对角线上的三数之和相等。
审题要点：
此题属于构造简单幻方题型，不能简单的直接尝试，而应该利用幻方的性质，按一定的顺序和步骤进行逐一填入。
详解过程：
A
7
B
2
C
9
D
8
E 6
F
4
G
3
H
10
I
5
解：1、首先将2，3，4，5，6，7，8，9，10找出中间数6，并把其他数按首尾顺序配好对即（2，10），（3，9），（4，8），（5，7），根据幻方性质4知道幻和为18。
2、根据幻方性质2将中间数填入幻方中心。
3、根据幻方性质3和5依次将配对填入。首先（2，10）填入（B，H）（或者（D，F）也可以）。其次（3，9）可填入（G，C）
注意：（3，9）不能填入（C，G），大家知道为什么吗？）下面两对就不能随便填入了。
4、根据每行每列三数相加等于幻和18将其他数依次填入。例如第一行中，A+2+9=18推出A=7，其他依次类推。
5、时间允许的情况下最好能够完全检验所有行列及对角线是否相加等于幻和。
专家点评：
构造幻方有很多的方法，这里介绍的是一种比较常用的方法，推荐使用，因为其构造的过程完全依赖于幻方的性质，掌握此构造过程有利于对幻方性质的更深理解。
【例8】（☆☆☆☆）在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然
数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都
等于21。
审题要点：
此题也是属于幻方的构造，只不过条件更为复杂，但还是万变不离其宗，利用幻方的基本性质按步骤进行构造。
详解过程：
解：1、由幻和为21首先确定数列中间数及幻方中心数为7，进而确定C为9。
2、根据数列不大于12的条件将数列按中间数为7依次列出为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，发现有五组可能的配对，所以应该排除一组。
3、采用假设法，设最大最小数组为（3，11），按照幻方的性质5将填入（B，H），进而确定（A，I）为（C,G）为（9，5），（A,I）为（8，6），但是此时第一行三数之和8+3+9=20不等于幻和21。
4、确定最大最小数组为（2，12），填入（B，H），进而根据幻和依次填入其他数组。满足条件。
A
8
B
3
C
9
D
E 7
F
G
5
H
11
I
6
A
10
B
2
C
9
D
6
E 7
F
8
G
5
H
12
I
4
专家点评：
此题中根据已知无法直接确定数列，而且幻方中有一组配对已经确定，所以只能采用假设法，按照最大最小数组的选择进行假设，很容易得出结论。假设法是奥数里面常用的一种方法，希望同学们在几种情况无法确定的时候一定要采用假设法。
【例9】（☆☆☆☆☆）如图所示，在3×3方格表内已填好了两个数19和95，在其余的空格中填上适当的数，可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。（1）求x；（2）如果中间的空格内填入100，试在上一小题的基础上，完成填图。
审题要点：
此题第一问中给出的条件只有两个数字，无法确定中心数，也无法确定幻和，这里需要利用幻方性质中最为复杂的一个即性质6。第二问相对就简单得多了。
详解过程：
A
B
x
C
D
E
F
19
G
95
H
I
解：1、直接根据幻方性质6：幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数。可知95即为19与x的平均数，所以可求出x为171。
A
24
B
171
C
105
D
181
E
100
F
19
G
95
H
29
I
176
2、由中心数为100确定幻和为300，然后由每一行列数相加为幻和依次计算出其他数组。结果如图所示：
专家点评：
本题中使用的幻方性质6比较偏，同学们可以重点记忆，当然此问也可以用方程法直接解出，但是过程比较复杂，这里就不作深入分析，有兴趣的同学可以自己去试试，得出的答案完全一样。第二问属于一般的幻方计算，综合利用幻方性质就可以直接得出结论。
四、拓展训练
下面是一个残缺的乘法算式，只知道其中一个数字“8”，请你补全，那么这个算式的乘积是 。
[初级点拨] 此题与例2相类似，突破口一样，主要利用大小估值的方法进行分析。
[深度提示] 由。
[全解过程] 。
右面的除法算式（1）中，每个□表示一个数字，那么商数是 。

[初级点拨] 此题根据已知数字6，7，1，出现的位置可容易判断需要用到的分析法有高位分析法，个位分析法及根据数位大小估值法。
[深度提示] 由a×=A，而A为三位数，根据高位大小估值法可知a=1。 进而可知d=7，继续考虑B中个位数利用个位分析法。
[全解过程] 容易看出B个位数为1，由b×=B，根据个位分析法知b=3， 所以商数为13。
在右面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那么，“努力力争”四个汉字所代表的四个数字的和是 。
[初级点拨] 题目中唯一出现的个位数字1，考虑使用个位分析法突破，注意 不同的汉字代表不同的数字的限制条件进行排除。
[深度提示] A个位数为1，结合习与争为不同数，可知只有两种可能性：1，习＝3，争＝7；2，习＝7，争＝3。先假设第一种情况，“习”＝3，“争”＝7 则A中十位数为学＝学×7+2（个位数）推知学＝3或8，又习＝3，所以学＝8，这样A百位数8＝8×7+5（进位）不成立，排除。继续假设第二种情况。
[全解过程] 先确定力为0，再假设习＝7，争＝3 ，则十位的学＝学×3+2（个位数），推知学＝4或9，当学＝4时百位4＝4×3+1（进位）不成立。所以学＝9。千位数×3+2不进位，推知数＝1或2，当数＝2时，a＝8，b＝1，7×努，个位为1，则努＝3，与争＝3重复，排除。所以数＝1，则a＝5，b＝4，努＝2，“努力力争”＝2003。所以“努力力争”四个汉字所代表的数字和为5。
将1～6填入右图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k，请指出k的取值范围。
[初级点拨] 此题属于典型数阵图填空，利用数字和全部相加的方法，找出每一个数字的相加次数，列出等式进行分析取值。
[深度提示] 1、把三个要求相等的数字和相加为3k。
2、计算每一个位置数字相加的次数，很明显，全部数字相加一次外，角上三个数字多加一次，表示为（1+2+3+4+5+6）+（a+b+c）。
3、列出等式3k=（1+2+3+4+5+6）+（a+b+c）进行分析，计算a+b+c的所有可能取值及对应k的取值。
[全解过程] a+b+c最小为1+2+3=6，此时k=9，最大为4+5+6=15，此时k=12，那么k可等于10，11，对应a+b+c=9和12，可取1，3，5和2，4，6，经过尝试四种结果如下：
k=9 k=10 k=11 k=12
1～9分别填入小三角形内（每个小三角形内只填一个数），要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等。想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些？
[初级点拨] 典型数阵图，利用全部数字和相加，从整体和个体同时考虑，列出等式进行分析取值。注意计算清楚数阵图中每一个位置的相加次数。
[深度提示] 1、将三个要求相等的数字和相加为3S。
2、计算每一位置的相加次数，可知a，b，c只加一次外，其他都相加两次，可以看成全部数字相加二次，再减去（a+b+c），即为（1+2+3+4+5+6+7+8+9）-（a+b+c）。
3、列出等式3S=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×2-（a+b+c）=90-（a+b+c）
要使S尽可能大，则a+b+c可取1+2+3=6，此时S=28。
[全解过程] 取a=1,b=2,c=3,再用尝试法完成其他数字：剩下的六个数分成三组，并且每组中两数的和是三个连续自然数，那么可选择：4+8＝12；6+7＝13；5+9＝14。结果如下：

海豚是很聪明的动物，它能将1～9填入下图的九个○内，并且使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上，你能做到吗？
[初级点拨] 此数阵图中每一个数字都相加两次，根据等式可以直接确定S，然后根据要求将数字分组并实验。
[深度提示] 一共六个要求相等的数字和，而每一个数字都相加两次，无特殊数字。列出等式为6S＝（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×2 解出S＝15。将九个数字分为三组，每组三个数字和为15。
[全解过程] 数字分组进行尝试：将全部数字分为三组，注意7，8，9必须分在不同组，无唯一分法，例如（951），（843），（762），又观察可知必须从每一组选一个组成数字和为15，可选择为（942），（537）（186），调换顺序可下列两种答案：
如图是一个三阶幻方，那么标有＊的方格中所填的数是多少？
[初级点拨] 此幻方给出的已知条件比较少，中心数与幻和均未知，但是观察发现 第一行与第一列除共同的数字外只有一个未知，考虑使用幻方性质7解决。
[深度提示] 幻方性质7：具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等，可知1+G=8+10，所以G为17，再根据幻方性质3可将中心数填出。
[全解过程] 幻方性质3：幻方中关于中心对称的两数均为数列中首尾相对应的配对，且两数的平均数为中心数，可知中心数为10与17的平均，即13.5，确定幻和为40.5，再根据第一行中幻和算出A为22.5。
A
B
8
C
10
D
1
E
F
G
17
H
I
A
22.5
B
8
C
10
D
1
E
13.5
F
G
17
H
I

把1，2，3，4，6，9，12，18，36这9个数分别填入3×3方格表的各方格内，使每一行、每一列及两条对角线上的3个数的乘积都是216。求位于正中间的方格中所填的数。
A
3
B
36
C
2
D
4
E
6
F
9
G
18
H
1
I
12
[初级点拨] 此题是属于三阶乘法幻方，可利用加法幻方的性质及步骤类推得出结论进行解答。
[深度提示] 加法幻方步骤进行操作：1，确定中间数6，配对数组（1，36），（2，18），（3，12），（4，9），按大小顺序依次填入幻方中对称位置。注意幻方性质5的利用。
[全解过程] 中心数为6。我们继续填下去：幻积为216，将配对依次填入：（1， 36）填入中间（H，B），（2，18），填入四角（C，G），其他再全部根据幻积为216计算，依次填入，答案如图：
7个圆内填入7个连续自然数，使得每两个相邻圆内所填数的和都等于连线上的已知数，那么标有★的圆内填的数是多少？
[初级点拨] 此题属于数阵图的变形，应用数阵图的基本思路，将所有和相加，进行分析。
[深度提示] 将所有和相加得14+11+8+12+9+6+10=70，从个体考虑，可看出每个数相加两次，所以七个连续数和为70÷2=35，所以七个连续数为：2，3，4，5，6，7，8。
[全解过程] （法1）从最大和或最小和处开始尝试，14只有唯一分解14=8+6假设★为8，尝试发现不能完成，所以★为6，逐一计算完成如图：
（法2）本题也可以用方程的方法可以先假设最顶端的圆圈中所填的数为x，那么根据它与右邻的和为14可以得到它右边的圆圈中的数为14-x，如此按顺时针顺序得到各个圆圈的代数表达式：x-3，11-x，1+x，8-x，x-2，所以最顶端的圆圈的左邻中的数是x-2，根据最顶端圆圈与其左邻圆圈中的数和为10可列方程x-2+x=10，得到x=6，其他圆圈中的数也就可以全部求出。
把1.2，3.7，6.5，2.9，4.6分别填在右下图的5个圆圈内，然后在每个方框中填上和它相连的3个圆圈中的数的平均值，再把3个方框中的数平均值填在三角形中。请找出一种填法，使三角形中的数尽可能小。问这个最小的数是多少？
[初级点拨] 此题中数量关系不是很明显，也无法从整体上直接求和，应该设出未知数并表示出最后数，就能看出它们的关系，再进行分析。
[深度提示] 设个小圆中的数依次为a1、a2、a3、a4、a5，则三个正方形中的数依次为、、，继而求出三角形中的数值为。要使数值最小，a1、a2、a3、a4、a5应该怎么样取值。
[全解过程] 很明显，a3中应该填入最小的数1.2，a2、a4中应该填入次大的2.9和3.7，a1、a5中填入4.6和6.5，这样三角数等于3.1。
第4讲 数论（一） 整除、奇偶性、极值问题
知识地图：
基础知识：
数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各级各类的数学竞赛中， 数论显得格外重要。数论研究的是奇数、偶数、素数、合数，这些最简单的数——整数及其内部关系，但是从这些简单的数中诞生了“费马大定理”、“哥德巴赫猜想”和“朗兰兹纲领”这样的难题，它们吸引数学家们花费数十年、甚至整世纪努力研究。
小学数学竞赛和小升初考试的数论问题，常常涉及整数的整除性、质数与合数、约数与倍数、带余除法、奇数与偶数、整数的分解与分拆。
（一）整除问题 数的整除
数的整除在算术中应用广泛，下面我们从整除的概念、整除的性质及数的整除特征三方面来介绍。

1.整除的概念
在整数范围内，两个数相除，余数为零（没有余数）或不为零，两种结果必定有一种成立。如果余数为零，我们就说被除数能被除数整除。如15÷3=5；24÷2=12。
一般地，如果用字母表示，可以这样说：
整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a），记作b︱a。如15能被3整除，记作3︱15；24能被2整除，记作2︱24。
如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。像在上面的算式中，因为3︱15，15是3的倍数，3是15的约数。
由于0÷b=0（b≠0），就是说零能被任何非零整数整除。因此，零是任意一个非零整数的倍数。
1是任意一个整数的约数，也就是说，对于整数a，都能保证1︱a成立。
同样，由于a÷a=1（a≠0），也就保证一个非零整数必能整除它本身，也就是a︱a（a≠0）。

2.整除的性质

（1）性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除。即如果c︱a，c︱b，那么c︱（a±b）。在理解这个性质时，我们要注意，反过来是不成立的，即两数的和（a+b）或差（a-b）能被c整除，这两个数不一定能被c整除。如5 ︱（26+24），但526，524。
再看下面这个问题：2∣12，12∣36。2能否整除36？显然，回答是肯定的。这是因为36是12的倍数，12又是2的倍数，那么36一定是2的倍数。由此我们又可以得出：
（2）性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除。即如果b∣a，c∣b，那么c∣a。

用同样的方法，我们还可以得出：
（3）性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除。即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a。
（4）性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除。即如果b∣a，c∣a，且（b，c）=1，那么bc∣a。
如：如果3∣12，4∣12，且（3，4）=1，那么（3×4） ∣12。
（5）性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除。
如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；
（6）性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除。
如果 b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac；
　3.数的整除特征
①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）。下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
　 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
例如：123的各位数字之和是1+2+3=6，因为6能被3整除，所以3∣123。
再如：126的各位数字之和是1+2+6=9，因为9能被9整除，所以9∣126。
我们以三位数为例来证明被9整除只需看各位数字之和这一性质
假设该三位数为＝100a＋10b＋c＝（99a＋9b）＋（a＋b＋c）
很明显第一个括号里的数是9的倍数，因此只要a＋b＋c，即各位数字之和能被9整除，那么这个三位数abc就能被9整除，反之亦然。推广到任意位数的自然数，该证明方法仍然成立，请大家自己尝试一下。
注意：从这种证明过程中，我们可以进一步得到两个小技巧：
（1）“弃九法”。即看各位数字和能否被9整除，只要先把9划去，或者其它的和是9的几个数划去，剩下的数字之和是否是9的倍数，则可以判定这个数能否被9整除。
（2）得余数。通过上面的过程，我们可以看出这个数被9除的余数就是在弃9法以后的余数。
类似地，判断能否被3整除或者不能整除时的余数是几，也可以用这种简便方法。
　　④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
　　例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数。又因为4｜64，所以1864能被4整除。但因为2564，所以1864不能被25整除。。
　　⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
　　例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数。又因为125｜375，所以29375能被125整除。但因为8375，所以829375。
　　⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
　　例如：判断123456789这九位数能否被11整除？
　　解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20。因为25—20＝5，又因为115，所以11123456789。
　　再例如：判断13574是否是11的倍数？
　　解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0。因为0是任何整数的倍数，所以11｜0。因此13574是11的倍数。
　　⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
　　例如：判断1059282是否是7的倍数？
　　解：把1059282分为1059和282两个数。因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282。因此1059282是7的倍数。
再例如：判断3546725能否被13整除？
解：把3546725分为3546和725两个数。因为3546-725=2821。再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725。
特殊的，六位数是7、11、13的倍数。
[思考]：为什么要从末三位把这个数一分为二呢？
仔细想一想我们会发现7×11×13＝1001，正好比1000大1，由此我们可以得到如下证明
我们设一个多位数的末三位是abc，前面部分是x
那么我们要证明的就是这个多位数能否被7，11，13整除决定于abc-x能否被7，11，13整除
该数＝1000x＋abc＝1001x＋（abc－x）
由于1001同时是7，11，13的倍数，所以这个多位数能否被7，11，13整除决定于abc-x能否被7，11，13整除。
希望大家能熟练掌握以上判别方法，并理解我们是如何证明的，考试不会考这些证明，但是这种证明的方法在做一些其他数论题目的时候是非常有效的。
上面介绍了能被2、3、4、5、7、8、9、11、13整除数的特征。那么，怎样判断一个数能否被6、12、15……等整数整除呢？
显然6=2×3，12=3×4，15=3×5…… 这里，等号右边的两个因数之间没有相同的约数，于是我们可以把6，12，15…… 这类数的整除问题转化为同时能被2和3整除或3和4整除……等简单的问题来做。
4.奇数和偶数
　　整数可以分成奇数和偶数两大类。能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
　　偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
　　特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
　　
奇数与偶数有许多的性质
奇数±奇数=偶数
奇数±偶数=奇数
偶数±偶数=偶数
奇数个奇数的和或差（相加减）为奇数
偶数个奇数的和或差（相加减）为偶数
加减法中偶数不改变结果的奇偶性（偶数都可以看作0或没有操作）
加减法中奇数改变结果的奇偶性（奇数都可以看作1）
奇数×奇数=奇数
偶数×偶数=偶数
奇数×偶数=偶数
奇数×奇数×奇数×奇数×…×奇数×偶数=偶数
a+b与a-b同奇或同偶
奇数的平方=4K+1，偶数的平方=4K
任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。
5.最值分析（离散）
在日常生活、工作中，经常会遇到有关最短路线、最短时间、最大面积、最大乘积等问题，这就是在一定条件下的最大值或最小值方面的数学问题。这类问题涉及的知识面广，在生产和生活中有很大的实用价值。最值分析问题是数学中的一个难点和重点，可以融入到认识的题目中去考核，并因为他们的存在使题目变得更有难度。一般而言，最大与最小问题包括数、式、方程（组）中的最大最小问题、统筹方法中教学思想方法的初步应用、几何中的最大最小问题（周长、面积、最短的路线）。
重要结论：两数和一定时，这两数差越小（越接近）乘积越大
整数分拆中的最值问题
在国内外的数学竞赛试题中经常出现与整数分拆有关的最大值或最小值的问题。
例如： 试把14分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大。
解：把14分拆成两个自然数之和，共有7种不同的方式。对每一种分拆计算相应的乘积：
　　14=1＋13，1×13＝13；
　　14=2+12，2×12=24；
　　14=3＋11，3×11=33；
　　14=4＋10，4×10=40；
　　14=5＋9，5×9=45；
　　14=6+8，6×8=48；
　　14=7+7，7×7=49。
　　因此，当把14分拆为两个7之和的时候，乘积（7×7=49）最大。
　　说明：本例可以推广为一般性结论：“把自然数n≥2分拆为两个自然数a与b（a≥b）之和，使其积a×b取最大值的条件是a=b或a-b=1（a＞b）”。事实上，假设a-b=1+m（其中m是一个自然数），显然n=a+b=（a-1）+（b+1），而有（a-1）×（b+1）＝a×b＋a-b-1＝a×b＋m＞a×b。
　　
例如：试把14分拆为3个自然数之和，使它们的乘积最大。
分析： 假设n＝a+b+c（a≥b≥c）且a-c＞1时，乘积a×b×c不是最大的。换句话说，若n=a+b＋c（a≥b≥c），当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积a×b×c取最大值。
　　解：因为14=3×4＋2，由分析可知：当a=b=5且c=4时，乘积a×b×c=5×5×4＝100为最大值。
　　说明：本题可以推广为一般结论：把自然数n≥3分拆为3个自然数，什么情况下乘积最大？
　　下面我们再研究一个难度更大的拆数问题。
　　问题：给定一个自然数n，把它拆成若干个自然数的和，使它们的积最大。
　　这个问题与前面研究的两个拆数问题的不同点是：问题中没有规定把n拆成几个自然数的和。这也正是这题的难点，使分拆的种类要增加许多。我们仍旧走实验-观察-归纳结论这条路。先选择较小的自然数5开始实验。并把数据列表以便比较。
你注意到了吗？我们的实验结果是按把5拆分数的个数多少，由多到少的次序进行的。再注意，当被拆数n＞3时（这里n=5），为了使拆分数的乘积最大，拆分数中不能有1。因为当n＞3，n=1+（n-1）=2+（n-2），且2×（n-2）＞1×（n-1）。
　结果：7拆分成2+2+3时。其积12最大。
　　注意，分拆数中有4时，总可把4再分拆成2与2之和而不改变分拆的乘积。
　　实验结果4：8拆分成2+3+3时，其积最大。
　　实验结果5：9拆分成3+3+3时，其积最大。
　　实验结果6：10拆分成3+3+2+2时，其积最大。
　　观察分析实验结果，要使拆分数的乘积最大，拆分数都由2与3组成，其形式有三种：
　　①自然数=（若干个3的和）；
　　②自然数=（若干个3的和）+2；
　　③自然数=（若干个3的和）+2+2。
　　因此，我们得到结论：把一个自然数n拆分成若干个自然数的和，只有当这些分拆数由2或3组成，其中2最多为2个时，这些分拆数的乘积最大。（因为2+2+2=3+3，2×2×2＜3×3，所以分拆数中2的个数不能多于2个）
　　
我们以上采用的“实验-观察-归纳总结”方法，在数学上叫做不完全归纳法。我国著名数学家华罗庚讲过：难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前怎么去找出公式。不完全归纳法正是人们寻找公式的重要方法之一。但是这种方法得出的结论有时会不正确，所以所得结论还需要严格证明。这一步工作要等到学习了中学的课程才能进行。
【例1】（☆☆☆）在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。
[审题要点] 被3、4、5整除的数的特征， 数字和（8+6+5+a+b+c）是3的倍数；末两位数字组成的两位数是4的倍数；末位数字c是0或5；“数值尽可能小”，条件必须同时满足。
[详解过程] 设补上数字后的六位数是，因为这个六位数能分别被3、4、5整除，所以它应满足以下三个条件：
第一，数字和（8+6+5+a+b+c）是3的倍数；
第二，末两位数字组成的两位数是4的倍数；
　　第三，末位数字c是0或5。
由以上条件，4|，且c只能取0或5，
又能被4整除的数的个位数不可能是5， ∴c只能取0，因而b只能取0，2，4，6，8中之一。
　　又3|，且（8+6+5）除以3余1，∴a＋b除以3余2。
　　为满足题意“数值尽可能小”，只需取a=0，b=2。
　　∴要求的六位数是865020。
[专家点评] 被3、4、5整除的特征应用非常重要，一定要掌握好。
在考虑两个数的和能否被n整除，分别看这两个数被n除的余数，这种技巧题中用到，更多时候在解不定方程的时候，我们称之为“除余试值法”。
【例2】（☆☆☆）各位数码是0、1或2，且能被225整除的最小自然数是多少？
[审题要点] 被合数整除把225分解，分别考虑能被25和9整除特征。
[详解过程] 225=25×9，所以要求分别能被25和9整除。要能被25整除，所以最后两位就是00。要能被9整除，所以所有数字的和是9的倍数，为了使得位数尽可能少，只能是4个2和1个1，这样得到1222200。
[专家点评] 为了使得位数尽可能少，所以每个数位数字应尽可能大，高位数小。

注意：对整除性质 如果b∣a，c∣a，且（b，c）=1，那么bc∣a。
所以对于考虑一个数是否能被225整除，只能考虑同时被25和9整除，而不能是15和15，或者5和45。请“奥数研究生”们细作体会。
【例3】（☆☆☆）一个六位数，它能够被9和11整除。去掉这个六位数的首、尾两个数字，中间的四个数字是1997，那么这个六位数是多少？
[审题要点] 被11整除的特征奇位数减偶位数的差
[详解过程] 设这个六位数是，它能够被9整除，所以 能被9整除，因此或10。当时，、，而119970不能被11整除，所以。
又能被11整除，，说明
或，即或，结合，只有符合，此时、，所以这个六位数是219978。
专家点评：分类讨论考察综合能力

【例4】（☆☆☆）下面这个199位整数：被13除，余数是多少？
[审题要点] 100100能被13整除，每六位能被13整除的关于周期的规律经常应用于数论的相关分析中。
这一点与1001=7×11×13有关。
[详解过程] 100100能被13整除，每六位能被13整除，199÷6=33余1，原数相当于33个100100的循环的10倍再+1，即1001001001…001001001（199位）-1=1001001001…001001000（199位）=1001001…100100100（198位）的10倍，显而易见1001001…100100100（198位）是1001的倍数，所以也是13的倍数，所以原数被13除所得的余数是1。
[专家点评] 多位数整除有的同学无从下手，规律无处不在。此题是香港圣公会小学数学奥林匹克试题。
【例5】（☆☆☆☆）用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？
[审题要点] 现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了。所以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是。
[详解过程]
要把1，9，8，8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个数字。其中一组作为千位和十位数，它们的和记作A；另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作B。我们要适当分组，使得能被11整除。现在只有下面4种分组法：
偶位 奇位
（1） 1，8 9，8
（2） 1，9 8，8
（3） 9，8 1，8
（4） 8，8 1，9
经过验证，第（1）种分组法满足前面的要求：
A=1＋8=9，B=9＋8＋3=20，B－A=11能被11除尽。
但其余三种分组都不满足要求。根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被11除也余8。于是，上面第（1）分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数。这样共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819。
[专家点评] 难点在于有余数，偶位数字相加的和与奇位数字相加的和之差能被11整除余数的特点互补性

【例6】（☆☆☆☆☆）如右图，用一块边长18厘米的正方形硬纸片，在四个
角上截去4个相同的小正方形（图中阴影部分），然后
把四边形折合起来，做成一个没有盖的长方体纸盒。
截去的4个相同的小正方形的边长是多少厘米时，长方
体纸盒的容积最大？
[审题要点] 和一定，差小积大
[详解过程] 设高为x，则V=（18－2x）（18－2x）·x，18－2x=18－2x=4x，x=3，所以12×12×3=432。
[专家点评] V=abh
==2h=6
【例7】（☆☆☆）在黑板上写1～2007这2007个自然数，每次任意擦去两个数，然后写上它们的和或差，一直这样重复操作，经过若干次后黑板上只剩下一个数，请问结果是奇数还是偶数？为什么？
[审题要点] 加减法中偶数不改变结果的奇偶性（偶数都可以看作0或没有操作）
加减法中奇数改变结果的奇偶性（奇数都可以看作1）
[详解过程] 奇数±奇数=偶数 擦去两个奇数写上一个偶数不改变结果的奇偶性
偶数±偶数=偶数 擦去两个偶数写上一个偶数不改变结果的奇偶性
奇数±偶数=奇数 擦去一个奇数一个偶数写上一个奇数相当于只擦去一个偶数还是不改变结果的奇偶性，在1-2007中有1004个奇数，每次都是成对的擦去奇数，所以最后只剩下一个数是偶数。
[专家点评] 此题可以转化为1—2007这2007个数之间任意添加号或减号其结果是奇数还是偶数？
【例8】（☆☆☆）用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字（每个数字仅用一次）组成一个四位数和一个五位数，使乘积最大：则□□□□□×□□□□应该怎样填？
若将1——9这九个数字，分别填入下面九个□中，使乘积最大：□□□×□□□×□□□
[审题要点] 要使得这两个数的乘积最大，就要使得这两个数的差尽可能小
[详解过程] 补数字0组成两个五位数，把0写在某个五位数的末位。96420－87531=8889，所以最大87531×9642=843973902。
遵循“把比较大的数都填在高位上”的原则和“和一定，差小积大”，有941×852×763 。
【例9】（☆☆☆☆☆）9999和99！能否表示成为99个连续的奇自然数之和？
[审题要点] 奇数个奇数之和为奇数，而奇数永远不会等于偶数
[详解过程]
1）9999能。因为9999等于99个9998之和，所以可以直接构造如下：
　9999=（9998-98）+（9998-96）+…+（9998-2）+9998+（9998+2）+…+（9998+96）+（9998+98）。
2）99！不能。因为99！为偶数，而99个奇数之和为奇数，所以99！不能表示为99个连续奇数之和。说明：利用构造法证明存在性问题，只要把满足题设要求的数学对象构造出来就行
专家点评：构造法在数学中非常重要，也往往是难点。反证法是奇偶分析常用的方法。
四、拓展训练
要使能被36整除，而且所得的商最小，那么A、B、C分别是多少？
[初级点拨] 分解为互质的几个数的乘积，36=4×9分别考虑
[深度提示] 因为36=4×9，所以能被4整除，从而C只可能是1，3，5，7，9。要使商最小，A、B应尽可能小，先取A=0，又1+5+6+A+B+C=12+B+C=9+3+B+C，所以3+B+C是9的倍数。
[全解过程] 因为36=4×9，所以能被4整除，从而C只可能是1，3，5，7，9。要使商最小，A、B应尽可能小，先取A=0，又1+5+6+A+B+C=12+B+C=9+3+B+C，所以3+B+C是9的倍数，B=1，C=5时，取得最小值。本题商的最值分析是亮点和难点， 被合数整除的特征，应分解为互质的几个数的乘积，被4、9整除的特征是必要前提。
2、☆☆能被11整除，那么，n的最小值为多少？
3、☆☆☆☆求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的末两位数是56，它本身还能被56所整除。
4、☆☆☆（2002年南京市少年数学智力冬令营）一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3 785 942 160就是一个十全数。现已知一个十全数能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是 。
5、已知四十一位数55…55□99…99（其中5和9各20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
6、把三位数接连重复写下去，共写1993个，所得的数恰是91的倍数，试求=？
7、已知等式1993×□+4×□=6063，其中□都是自然数，试求这两个“□”的和。
8、能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
9、桌子上有7个杯子，开口全部向上，现在允许每次同时翻动其中6个，能否经过若干次翻动使得所有杯子杯口全部向下，若可以，请指出最少需要多少次？并给出具体的翻法。若不可以，请说明理由；
10、某农场打算用60米长的篱笆靠墙围成5个面积大小相等的羊圈（如图所示），
问：若要求每个羊圈的面积尽可能大，应为多少平方米？



1.初级点拨：分解为互质的几个数的乘积，36=4×9分别考虑
2.初级点拨：能被11整除的特征奇位数减偶位数的差
3.初级点拨：所求的数写成100a＋56的形式。由于100a＋56能被56整除，所以a能被14整除，所以.应是14的倍数。
4.初级点拨：这个十全数能被10整除，个位数必为0；能被4整除，十位数必为偶数，末两位只能是20。设这个十全数为。
5.初级点拨：考虑到555555和999999都是7的倍数，如果原数是能被7整除，那么由□=□且7为奇数，可知□也能被7整除；
6.初级点拨：因为91=7×13，且（7，13）=1，所以7|，13|
根据一个数能被7或13整除的特征可知：
原数能被7以及13整除，当且仅当-能被7以及13整除，也就是能被7以及13整除。
7.初级点拨：设1993×a+4×b=6063，其中a、b为自然数。由于6063为奇，4×b为偶数，可知1993×a为奇数，从而判定a为奇自然数。
8.初级点拨：设这两个完全平方数分别为A、B那么这两个完全平方数的差为54=（A+B）（A－B）。
9.初级点拨：采用反证法，假设可以经过若干次翻动，使得所有杯子杯口全部向下，接着计算所有杯子被翻动的次数之和。
10.初级点拨：每个羊圈尽可能大，五个面积相同。5a＋6b=60
1.深度提示：因为36=4×9，所以能被4整除，从而C只可能是1，3，5，7，9。要使商最小，A、B应尽可能小，先取A=0，又1+5+6+A+B+C=12+B+C=9+3+B+C，所以3+B+C是9的倍数。
2.深度提示：分析：中奇位数减偶位数的差为（8-2）n+8=6n+8；当n=6时，（6n+8）是11的倍数
3.深度提示：而且a的数字和等于56－5－6=45。具有数字和45的最小偶数是199998，但这个数不能被7整除。接下来数字和为45的偶数是？
4.深度提示：由于它能被11整除，必有b+d-（a+c）=10，所以b、d是9和5；a、c是3和1，这个十全数只能是4 876 391 520，4 876 351 920，4 876 193 520，4 876 153 920中的一个。
5.深度提示：又□可以表示成＋□，说明□也能被7整除，相当于将原数的前后分别去掉555555和999999后整除性不变，依次下去，得到55□99。
6.深度提示：因为（7，10）=1，（13，10）=1，所以7|，13|也就是
7|，13|，因此，用一次性质（特征），就去掉了两组；反复使用性质996次，最后转化成：原数能被7以及13整除，当且仅当能被7以及13整除。
7.深度提示：由于1993×4=7932>6063，所以□只能取1或3。当a=1时，b=（6063—1993）÷4=4070÷4不是整数；
8.深度提示：由于（A+B）和（A－B）的奇偶性质相同，所以（A+B）（A－B）不是4的倍数，就是奇数
9.深度提示：一方面，每个杯子从杯口向上变成杯口向下，需要翻动奇数次，一共有7个杯子，7个奇数之和一定还是奇数，因此所有杯子被翻动的次数之和是奇数；另一方面，每次翻动六个杯子，因此总次数一定是六的倍数，那么就一定是偶数。
10.深度提示：要是ab最大，则5a×6b=30ab最大，根据和一定，差小积大原则
1.全解过程： 因为36=4×9，所以能被4整除，从而C只可能是1，3，5，7，9。要使商最小，A、B应尽可能小，先取A=0，又1+5+6+A+B+C=12+B+C=9+3+B+C，所以3+B+C是9的倍数，B=1，C=5时，取得最小值。
本题商的最值分析是亮点和难点， 被合数整除的特征，应分解为互质的几个数的乘积，被4、9整除的特征是必要前提。
2.全解过程：中奇位数减偶位数的差为（8-2）n+8=6n+8，当n=6时，（6n+8）是11的倍数；所以n的最小值是6。
3.全解过程：1：所求的数写成100a＋56的形式。由于100a＋56能被56整除，所以a能被14整除，所以应是14的倍数。而且a的数字和等于56－5－6=45。具有数字和45的最小偶数是199998，但这个数不能被7整除。接下来数字和为45的偶数是289998和298998，但前者不能被7除尽，后者能被7整除，所以本题的答数就是29899856。
4.全解过程：这个十全数能被10整除，个位数必为0；能被4整除，十位数必为偶数，末两位只能是20。设这个十全数为。由于它能被11整除，必有b＋d-（a＋c）=10，所以b、d是9和5；a、c是3和1，这个十全数只能是4 876 391 520，4 876 351 920，4 876 193 520，4 876 153 920中的一个。 经检验，它是4 876 391 520。
5.全解过程：考虑到555555和999999都是7的倍数，如果原数是能被7整除，那么由□=□且7为奇数，可知□也能被7整除；又□可以表示成＋□，说明□也能被7整除，相当于将原数的前后分别去掉555555和999999后整除性不变，依次下去，得到55□99。因此□44是7的倍数，□3是7的倍数，所以得□=6。
6.全解过程：因为91=7×13，且（7，13）=1，所以7|，13|
根据一个数能被7或13整除的特征可知，原数能被7以及13整除，当且仅当－能被7以及13整除，也就是能被7以及13整除。因为（7，10）=1，（13，10）=1，所以7|，13|也就是7|，13|，因此，用一次性质（特征），就去掉了两组；反复使用性质996次，最后转化成：原数能被7以及13整除，当且仅当能被7以及13整除，又∵91的倍数中小于1000的只有91×4=364的百位数字是3，∴=364。
7.全解过程：1、设1993×a+4×b=6063，其中a、b为自然数。由于6063为奇，4×b为偶数，可知1993×a为奇数，从而判定a为奇自然数；2、由于1993×4=7972>6063，所以□只能取1或3。当a=1时，b=（6063—1993）÷4=4070÷4不是整数； 3、当a=3时，b=21合于题设等式。所以a+b=3+21= 24。
8.全解过程：1. 分析：设这两个完全平方数分别为A、B那么这两个完全平方数的差为54=（A+B）（A－B），由于（A+B）和（A－B）的奇偶性质相同，所以（A+B）（A－B）不是4的倍数，就是奇数；54既不是4的倍数，也不是奇数，所以54不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到。
9.全解过程：采用反证法，假设可以经过若干次翻动，使得所有杯子杯口全部向下，下面计算所有杯子被翻动的次数之和：一方面，每个杯子从杯口向上变成杯口向下，需要翻动奇数次，一共有7个杯子，7个奇数之和一定还是奇数，因此所有杯子被翻动的次数之和是奇数；另一方面，每次翻动6个杯子，因此总次数一定是6的倍数，那么就一定是偶数。由于奇数不可能等于偶数，所以我们的假设错误，故不可能经过若干次翻动使得所有杯子杯口全部向下。
10.全解过程：1.分析与解答：每个羊圈尽可能大，五个面积相同。5a＋6b=60 要是ab最大，则5a·6b=30ab最大，根据和一定，差小积大原则， ∴5a=6b=60÷2=30，所以a=6，b=5，所以ab=6×5=30。
第5讲 数论（二） 约数倍数、质数合数、分解质因数
一、知识地图
二、基础知识
（一）1．质数与合数
一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。显然，在自然数范围内，最小的质数是2，2也是惟一的偶质数。最小的合数是4。我们可以按照一个数约数的个数，把自然数分成三类：0和1，质数和合数。因此，除0和1以外的自然数，不是质数就是合数。自然数的个数是无限的。早在2000多年前古希腊数学家欧几里德就证明了质数有无限多个。
2. 质因数与分解质因数
如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如，12=2×2×3。
常用的是100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；其中2是唯一的偶数，5是唯一的个位为5的质数，这也是多年考试的一个重点。
分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征。同学们必须熟练掌握100以内以及其他常用合数的分解质因数。部分特殊数的分解：111=3×37；1001=7×11×13；11111=41×271；10001=73×137；1995=3×5×7×19；1998=2×3×3×3×37；2007=3×3×223；2008=2×2×2×251；2007+2008=4015=5×11×73；10101=3×7×13×37。
注意：从小学奥数要求看，我们对一个数分解质因数，一般根据唯一分解定理，把相同质因子写成指数形式，这对求这个数的约数个数或者所有约数的和来说，很重要。
例如： 120=23×3×5，而不写成：120=2×2×2×3×5。
判断一个数是否为质数的方法：根据定义如果能够找到一个小于的质数（均为整数），使得能够整除，那么就不是质数，所以我们只要拿所有小于的质数去除就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的，我们可以先找一个大于且接近的平方数，再列出所有小于的质数，用这些质数去除，如没有能够除尽的那么就为质数。例如，149很接近169=13×13，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数。
（二）公约数和最大公约数
1. 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12；
　　 18的约数有：1，2，3，6，9，18。
12和18的公约数有：1，2，3，6。其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=6。
一般地，如果两个数a、b的最大公约数是d，我们可以简便地记作（a，b）=d。
　对于较小的两个数a、b可用短除法求最大公约数。
2. 最大公约数的性质：
（1） 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
即若a＝a1×（a，b），b＝b1×（a，b），则（a1，b1）＝1（2） 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
[a，b]×（a，b）＝ab
还有如下推广：
几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数?

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