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备战2020届高考复习：天体运动题型分类
【问题一】行星运动简史
一、地心说和日心说
1．地心说
(1)地球是宇宙的中心，是静止不动的；
(2)太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动；
(3)地心说的代表人物是古希腊科学家托勒密．
2．日心说
(1)宇宙的中心是太阳，所有行星都绕太阳做匀速圆周运动；
(2)地球是绕太阳旋转的行星，月球是绕地球旋转的卫星，它绕地球做匀速圆周运动，同时还跟地球一起绕太阳旋转；
(3)天体不动，因为地球每天自西向东自转一周，造成天体每天东升西落的现象；
(4)日心说的代表人物是哥白尼．
二、开普勒行星运动定律及其意义
1．定律内容：
第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上．
第二定律：从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积．
第三定律：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个常量．其表达式为＝k(在开普勒第三定律中，所有行星绕太阳转动的k值均相同；但对不同的天体系统k值不相同．k值的大小由系统的中心天体决定)
意义：开普勒的重要发现，为人们解决行星运动学问题提供了依据，澄清了多年来人们对天体运动神秘、模糊的认识，也为牛顿创立他的天体力学理论奠定了观测基础．开普勒是用数学公式表达物理定律并最早获得成功的人之一．从此，数学公式就成为表达物理学定律的基本方式．
三、中学阶段对天体运动的处理方法
由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究中可以按圆轨道处理，开普勒三定律就可以这样表述：
1．行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心；
2．对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)不变，即行星做匀速圆周运动；
3．所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即＝k.
例1．如图所示，某行星沿椭圆轨道运行A为远日点，离太阳的距离为为近日点，离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为，过近日点时的速率为已知图中的两个阴影部分的面积相等，则（ ）

A．
B．
C．行星从A到的时间小于从B到的时间
D．太阳一定在该椭圆的一个焦点上
例2．无论地心说还是日心说,古人都把天体的运动看得很神圣,认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动.德国天文学家开普勒用了20年的时间研究了丹麦天文学家第谷(,1546-1601)的行星观测记录,发现如果假设行星的运动是匀速圆周运动,计算所得的数据与观测数据不符;只有假设行星绕太阳运动的轨道不是圆,而是椭圆,才能解释这种差别.他还发现了行星运动的其他规律.开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的规律,后人称为开普勒行星运动定律.下列说法中与之吻合的是（ ）

A．太阳系内的所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,行星到太阳的最大距离等于椭圆的半长轴
B．对太阳系内的任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积
C．太阳系内的每一颗行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积
D．太阳系内的所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等
【问题二】天体的自转模型
二、万有引力和重力的关系
万有引力和重力的关系：如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G.引力F可分解为F1、F2两个分力，其中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力F向，F2就是物体的重力mg.

2．近似关系：如果忽略地球自转，则万有引力和重力的关系：mg＝，g为地球表面的重力加速度．
3．重力与高度的关系：若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)．所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小．
例3．一飞船围绕地球做匀速圆周运动，其离地面的高度为H，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径R。则飞船所在处的重力加速度大小
A． B．
C． D．
例4．某仪器在地面上受到的重力为160 N，将它置于宇宙飞船中，当宇宙飞船以a＝0.5g的加速度竖直上升到某高度时仪器所受的支持力为90 N，取地球表面处重力加速度g＝10 m/s2，地球半径R＝6 400 km.求：
(1)此处的重力加速度的大小g′；
(2)此处离地面的高度H；
(3)在此高度处运行的卫星速度v的大小．
【问题三】近地问题+绕行问题
1．计算天体质量的方法
分析围绕该天体运动的行星(或卫星)，测出行星(或卫星)的运行周期和轨道半径，由万有引力提供向心力即可求中心天体的质量．由＝mr，得M＝.
2．天体密度的计算方法
根据密度的公式ρ＝，只要先求出天体的质量就可以代入此式计算天体的密度．
(1)由天体表面的重力加速度g和半径R，求此天体的密度．由mg＝和M＝ρ·πR3，得ρ＝.
(2)若天体的某个行星(或卫星)的轨道半径为r，运行周期为T，中心天体的半径为R，则由G＝mr和M＝ρ·πR3，得ρ＝.
注意　R、r的意义不同，一般地R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，若绕近地轨道运行，则有R＝r，此时ρ＝.
例5．2017年1月18日，我国发射的世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”圆满完成了4个月的在轨测试任务，正式交付用户单位使用，假设“墨子号”绕地球做匀速圆周运动，经过时间t（t小于“墨子号”的运行周期），“墨子号”运行的弧长为s，其与地心连线扫过的角度为（弧度），引力常量为G，则（ ）
A．“墨子号”的轨道半径为 B．“墨子号”的环绕周期为
C．地球的质量为 D．地球的密度为
例6．在一次探测彗星的活动过程中，载着登陆舱的探测飞船总质量为，在以彗星的中心为圆心、半径为的圆轨道上运动，周期为，寻找到合适的着陆地点后，变轨到离彗星更近的半径为的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为．登陆舱随后脱离飞船开始登陆．下列说法正确的是（ ）
A．彗星的质量
B．登陆舱在半径为轨道上运动的周期
C．登陆舱在半径为与半径为的轨道上运动的向心加速度之比为
D．彗星表面的重力加速度
例7．2019年4月10日21时，人类首张黑洞照片发布，这颗黑洞就是M87星系中心的超大质量黑洞，对周围的物质（包括光子）有极强的吸引力．已知该黑洞质量为M，质量M与半径R满足：=，其中c为光速，G为引力常量，设该黑洞是质量分布均匀的球体，则下列说法正确的是（　　）

A．该黑洞的半径为
B．该黑洞的平均密度为
C．该黑洞表面的重力加速度为
D．该黑洞的第一宇宙速度为
问题四：人造卫星问题
一、人造地球卫星的运动特点
1．所有卫星的轨道平面过地心．
2．卫星的向心加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系
根据万有引力提供卫星绕地球运动的向心力，即有：
＝ma＝m＝mω2r＝mr
(1)a＝，r越大，a越小．
(2)v＝ ，r越大，v越小．
(3)ω＝ ，r越大，ω越小．
(4)T＝2π ，r越大，T越大．
二、同步卫星
同步卫星的特点
1．定轨道平面：所有地球同步卫星的轨道平面均在赤道平面内．
2．定周期：运转周期与地球自转周期相同，T＝24 h.
3．定高度(半径)：离地面高度为36 000 km.
4．定速率：运行速率为3.1×103 m/s.
三、宇宙速度
宇宙速度是地球上满足不同要求的卫星发射速度．
1．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s
(1)推导
方法一：由G＝m得v＝
方法二：由mg＝m得v＝
(2)理解：第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度．
2．第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，是从地面上发射物体并使之脱离地球束缚的最小发射速度，又称脱离速度．
3．第三宇宙速度v3＝16.7 km/s，是从地面上发射物体并使之脱离太阳束缚的最小发射速度，又称逃逸速度．
例8．登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星。地球和火星的公转视为匀速圆周运动。忽略行星自转影响，火星和地球相比(　　)

A．火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的0.45倍
B．火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的1.4倍
C．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.43倍
D．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.28倍
例8．如图所示，在某质量分布均匀的行星表面上有一倾斜的匀质圆盘，盘面与水平面的夹角为30° ，绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度转动。盘面上与转轴距离处有一小物体与圆盘保持相对静止,角速度为时，小物体恰好要发生相对滑动，物体与盘面间的动摩擦因数为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），星球的半径为，引力常量为，,则下列说法正确的是

A．此行星的密度
B．质量为m的物体在离行星表面距离为R的地方的重力为
C．此行星的第一宇宙速度
D．此行星的同步卫星的周期是
问题五：卫星变轨模型
1.卫星发射及变轨过程概述

人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道,如图所示。
(1)为了节省能量,在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
(2)在A点点火加速,由于速度变大,万有引力不足以提供向心力,卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2.四个运行物理量的大小比较
(1)速度:设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3,在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速,则vA>v1,在B点加速,则v3>vB,又因v1>v3,故有vA>v1>v3>vB。
(2)加速度:因为在A点,卫星只受到万有引力作用,故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点,卫星的加速度都相同,同理,经过B点的加速度也相同。
(3)周期:设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3,轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3,由开普勒第三定律=k可知T1(4)机械能:在一个确定的圆(椭圆)轨道上卫星的机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3,则E13.卫星变轨的实质
两类变轨 离心运动 近心运动
变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
受力分析 Gm
变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动
例9．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的( )

A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上经过P点的速率小于在轨道2上经过P点的速率
C．卫星在轨道2上运动的周期大于它在轨道3上运动的周期
D．卫星在轨道1上经过Q点时的向心加速度等于它在轨道2上经过Q点时的向心加速度
例10．如图所示，在同一轨道平面上的几颗人造地球卫星、、，在某一时刻恰好在同一直线上，下列说法正确的是（ ）

A．根据，可知三颗卫星的线速度
B．根据万有引力定律，可知三颗卫星受到的万有引力
C．三颗卫星的向心加速度
D．三颗卫星运行的角速度
例11．如图所示，图中的圆a．b．c的圆心均在地球的自转轴线上，a圆位于地球表面，以b圆为轨道的卫星相对于地面静止，c的圆心与地心重合，以下说法正确的是(　　)

A．a圆上的物体的线速度比在赤道上的物体的线速度大
B．在地球赤道上的物体的线速度比以b圆为轨道的运行的卫星的线速度大
C．卫星可以沿轨道c做匀速圆周运动
D．a圆位于地球表面,圆上各点角速度不同。
问题六、双星或多星模型
1．双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．
(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
＝m1ωr1，＝m2ωr2
②两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝，与星体运动的线速度成反比．
2．多星
(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
(2)三星模型：
①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．

(3)四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中点O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
双星和多星问题的特点及分析思路
1．双星模型
(1)两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的．
(2)它们的运行周期和角速度是相等的．
(3)两颗行星做匀速圆周运动的半径r1和r2与两行星间距L的大小关系：r1＋r2＝L.
2．多星模型
(1)每颗行星运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力来提供．
(2)行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等．
(3)注意利用几何知识求半径．
例12.现代观测表明，由于引力的作用，恒星有“聚焦”的特点，众多的恒星组成不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星。它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，这样就不至于由于万有引力的作用而吸引在一起。如图所示，设某双星系统中的两星S1、S2的质量分别为m和2m，两星间距为L，在相互间万有引力的作用下，绕它们连线上的某点O转动．已知引力常量G，求：
（1）S1、S2两星之间的万有引力大小；
（2）S2星到O点的距离；
（3）它们运动的周期。

例13．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX﹣3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．将两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，（如图）所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T．
（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′（用m1、m2表示）；
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞．若可见星A的速率v＝2.7×105 m/s，运行周期T＝4.7π×104s，质量m1＝6ms，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（G＝6.67×10﹣11N?m2/kg2，ms＝2.0×103 kg）

问题七 天体的“追及相遇”问题
天体相遇：两天体（行星、卫星或探测器）相遇，实际上是指两天体相距最近。
绕行方向相同的两卫星和天体的连线在同一直线上，处于内轨道的卫星周期T1小，处于外轨道的卫星周期T2大。
(1)当两卫星都在天体同侧时，那么当t满足下列式子时两卫星相距最近：


当两卫星在天体异侧时，那么当t满足下列式子时两卫星相距最近：


例14．如图所示，A是地球的同步卫星，另一星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h，若卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时则A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过时间t，它们再一次相距最近。已知地球半径为R，地球自转角速度为，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心，则（ ）

A．卫星B的运行周期为
B．卫星B的运行周期为
C．
D．
例15．如图是在同一平面不同轨道上同向运行的两颗人造地球卫星.设它们运行的周期分别是T1、T2(T1
(1)两卫星再次相距最近的时间是多少？
(2)两卫星相距最远的时间是多少？










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备战2020届高考复习：天体运动题型分类
【问题一】行星运动简史
一、地心说和日心说
1．地心说
(1)地球是宇宙的中心，是静止不动的；
(2)太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动；
(3)地心说的代表人物是古希腊科学家托勒密．
2．日心说
(1)宇宙的中心是太阳，所有行星都绕太阳做匀速圆周运动；
(2)地球是绕太阳旋转的行星，月球是绕地球旋转的卫星，它绕地球做匀速圆周运动，同时还跟地球一起绕太阳旋转；
(3)天体不动，因为地球每天自西向东自转一周，造成天体每天东升西落的现象；
(4)日心说的代表人物是哥白尼．
二、开普勒行星运动定律及其意义
1．定律内容：
第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上．
第二定律：从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积．
第三定律：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个常量．其表达式为＝k(在开普勒第三定律中，所有行星绕太阳转动的k值均相同；但对不同的天体系统k值不相同．k值的大小由系统的中心天体决定)
意义：开普勒的重要发现，为人们解决行星运动学问题提供了依据，澄清了多年来人们对天体运动神秘、模糊的认识，也为牛顿创立他的天体力学理论奠定了观测基础．开普勒是用数学公式表达物理定律并最早获得成功的人之一．从此，数学公式就成为表达物理学定律的基本方式．
三、中学阶段对天体运动的处理方法
由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究中可以按圆轨道处理，开普勒三定律就可以这样表述：
1．行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心；
2．对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)不变，即行星做匀速圆周运动；
3．所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即＝k.
例1．如图所示，某行星沿椭圆轨道运行A为远日点，离太阳的距离为为近日点，离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为，过近日点时的速率为已知图中的两个阴影部分的面积相等，则（ ）

A．
B．
C．行星从A到的时间小于从B到的时间
D．太阳一定在该椭圆的一个焦点上
【答案】BD
【解析】取极短时间，根据开普勒第二定律得： ，得到，故A错误，B正确；已知图中的两个阴影部分的面积相等，那么它们的运动时间相等，故C错误；由开普勒第一定律，则太阳一定在该椭圆的一个焦点上，故D正确。所以BD正确，AC错误。
例2．无论地心说还是日心说,古人都把天体的运动看得很神圣,认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动.德国天文学家开普勒用了20年的时间研究了丹麦天文学家第谷(,1546-1601)的行星观测记录,发现如果假设行星的运动是匀速圆周运动,计算所得的数据与观测数据不符;只有假设行星绕太阳运动的轨道不是圆,而是椭圆,才能解释这种差别.他还发现了行星运动的其他规律.开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的规律,后人称为开普勒行星运动定律.下列说法中与之吻合的是（ ）

A．太阳系内的所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,行星到太阳的最大距离等于椭圆的半长轴
B．对太阳系内的任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积
C．太阳系内的每一颗行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积
D．太阳系内的所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等
【答案】BD
【解析】
太阳系内的所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，由于太阳位于椭圆的焦点上，则行星到太阳的最大距离大于椭圆的半长轴，选项A错误；对太阳系内的任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，选项B正确；太阳系内的每一颗行星运动的轨道不同，则与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积不相等，选项C错误；太阳系内的所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，选项D正确；故选BD.
【问题二】天体的自转模型
二、万有引力和重力的关系
万有引力和重力的关系：如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G.引力F可分解为F1、F2两个分力，其中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力F向，F2就是物体的重力mg.

2．近似关系：如果忽略地球自转，则万有引力和重力的关系：mg＝，g为地球表面的重力加速度．
3．重力与高度的关系：若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)．所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小．
例3．一飞船围绕地球做匀速圆周运动，其离地面的高度为H，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径R。则飞船所在处的重力加速度大小
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
忽略地球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式
在地球表面：

在离地面的高度为H处：

解得：

A．，与结论不相符，选项A错误；
B．，与结论不相符，选项B错误；
C．，与结论相符，选项C正确；
D．，与结论不相符，选项D错误；
故选C.
例4．某仪器在地面上受到的重力为160 N，将它置于宇宙飞船中，当宇宙飞船以a＝0.5g的加速度竖直上升到某高度时仪器所受的支持力为90 N，取地球表面处重力加速度g＝10 m/s2，地球半径R＝6 400 km.求：
(1)此处的重力加速度的大小g′；
(2)此处离地面的高度H；
(3)在此高度处运行的卫星速度v的大小．
【答案】(1)0.625 m/s2　；(2)1.92×107m；　(3)3.95 km/s；
【解析】
(1)由在地表仪器重160 N，可知仪器质量m＝16 kg①
根据牛顿第二定律，有F－mg′＝ma②
代入数据，得g′＝0.625m/s2③
(2)设此时飞船离地高度为H，地球质量为M，该高度处重力加速度
地表重力加速度 ⑤
联立各式得 ⑥
(3)设该高度有人造卫星速度为v，其向心力由万有引力来提供，有
⑦
联立⑤⑦式得v＝3.95 km/s
【问题三】近地问题+绕行问题
1．计算天体质量的方法
分析围绕该天体运动的行星(或卫星)，测出行星(或卫星)的运行周期和轨道半径，由万有引力提供向心力即可求中心天体的质量．由＝mr，得M＝.
2．天体密度的计算方法
根据密度的公式ρ＝，只要先求出天体的质量就可以代入此式计算天体的密度．
(1)由天体表面的重力加速度g和半径R，求此天体的密度．由mg＝和M＝ρ·πR3，得ρ＝.
(2)若天体的某个行星(或卫星)的轨道半径为r，运行周期为T，中心天体的半径为R，则由G＝mr和M＝ρ·πR3，得ρ＝.
注意　R、r的意义不同，一般地R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，若绕近地轨道运行，则有R＝r，此时ρ＝.
例5．2017年1月18日，我国发射的世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”圆满完成了4个月的在轨测试任务，正式交付用户单位使用，假设“墨子号”绕地球做匀速圆周运动，经过时间t（t小于“墨子号”的运行周期），“墨子号”运行的弧长为s，其与地心连线扫过的角度为（弧度），引力常量为G，则（ ）
A．“墨子号”的轨道半径为 B．“墨子号”的环绕周期为
C．地球的质量为 D．地球的密度为
【答案】BC
【解析】
A、圆的几何知识：，则，则A错误；
B、“墨子号”的环绕周期为，B正确；
C、由万有引力提供向心力： 得： ，C正确；
D、因不知地球的半径，则不能确定地球的密度，D错误；
故选BC．
例6．在一次探测彗星的活动过程中，载着登陆舱的探测飞船总质量为，在以彗星的中心为圆心、半径为的圆轨道上运动，周期为，寻找到合适的着陆地点后，变轨到离彗星更近的半径为的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为．登陆舱随后脱离飞船开始登陆．下列说法正确的是（ ）
A．彗星的质量
B．登陆舱在半径为轨道上运动的周期
C．登陆舱在半径为与半径为的轨道上运动的向心加速度之比为
D．彗星表面的重力加速度
【答案】AB
【解析】
A. 根据万有引力提供向心力，载着登陆舱的探测飞船总质量为m1,在以彗星的中心为圆心、半径为r1的圆轨道上运动,周期为T1，
可得,月球的质量M=，故A正确；
B. 根据开普勒第三定律，变轨到离彗星更近的半径为r2的圆轨道上运动，可得：T2=，故B正确；
C. 根据万有引力提供向心力可得，，所以登陆舱在半径为r1与半径为r2的轨道上运动的向心加速度之比为，故C错误；
D. 根据万有引力提供向心力，探测飞船在半径为r1的圆轨道上的加速度，所以星球表面的重力加速度不等于，故D错误．
故选AB.
例7．2019年4月10日21时，人类首张黑洞照片发布，这颗黑洞就是M87星系中心的超大质量黑洞，对周围的物质（包括光子）有极强的吸引力．已知该黑洞质量为M，质量M与半径R满足：=，其中c为光速，G为引力常量，设该黑洞是质量分布均匀的球体，则下列说法正确的是（　　）

A．该黑洞的半径为
B．该黑洞的平均密度为
C．该黑洞表面的重力加速度为
D．该黑洞的第一宇宙速度为
【答案】ACD
【解析】
A．黑洞的质量M与半径R满足：
=
解得黑洞的半径
R=
故A正确；
B．黑洞质量为M，半径为R=，根据密度公式可知，平均密度为：
=
故B错误；
C．物体在黑洞表面受到的重力等于万有引力，则有：

解得表面重力加速度为
g==
故C正确；
D．物体绕黑洞表面分析，万有引力提供向心力，有：

解得黑洞的第一宇宙速度为：
v==c
故D正确．

问题四：人造卫星问题
一、人造地球卫星的运动特点
1．所有卫星的轨道平面过地心．
2．卫星的向心加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系
根据万有引力提供卫星绕地球运动的向心力，即有：
＝ma＝m＝mω2r＝mr
(1)a＝，r越大，a越小．
(2)v＝ ，r越大，v越小．
(3)ω＝ ，r越大，ω越小．
(4)T＝2π ，r越大，T越大．
二、同步卫星
同步卫星的特点
1．定轨道平面：所有地球同步卫星的轨道平面均在赤道平面内．
2．定周期：运转周期与地球自转周期相同，T＝24 h.
3．定高度(半径)：离地面高度为36 000 km.
4．定速率：运行速率为3.1×103 m/s.
三、宇宙速度
宇宙速度是地球上满足不同要求的卫星发射速度．
1．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s
(1)推导
方法一：由G＝m得v＝
方法二：由mg＝m得v＝
(2)理解：第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度．
2．第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，是从地面上发射物体并使之脱离地球束缚的最小发射速度，又称脱离速度．
3．第三宇宙速度v3＝16.7 km/s，是从地面上发射物体并使之脱离太阳束缚的最小发射速度，又称逃逸速度．
例8．登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星。地球和火星的公转视为匀速圆周运动。忽略行星自转影响，火星和地球相比(　　)

A．火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的0.45倍
B．火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的1.4倍
C．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.43倍
D．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.28倍
【答案】AC
【解析】
【详解】
AB、根据第一宇宙速度公式 (M指中心天体的质量)，代入数据解得：，故A正确，B错误；
CD、根据向心加速度公式 (M指中心天体太阳的质量)，代入数据得：，故C正确，D错误。
例8．如图所示，在某质量分布均匀的行星表面上有一倾斜的匀质圆盘，盘面与水平面的夹角为30° ，绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度转动。盘面上与转轴距离处有一小物体与圆盘保持相对静止,角速度为时，小物体恰好要发生相对滑动，物体与盘面间的动摩擦因数为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），星球的半径为，引力常量为，,则下列说法正确的是

A．此行星的密度
B．质量为m的物体在离行星表面距离为R的地方的重力为
C．此行星的第一宇宙速度
D．此行星的同步卫星的周期是
【答案】AB
【解析】
【详解】
物体在圆盘上受到重力、圆盘的支持力和摩擦力，合力提供向心加速度；可知当物体转到圆盘的最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大。由牛顿第二定律得：μmgcos30°-mgsin30°=mω2L
解得：

A．绕该行星表面做匀速圆周运动的物体受到的万有引力提供向心力：，联立可求得星球的质量为：

所以密度为

故A正确。
B．物体在R高度处的重力：

则

故B正确。
C．第一宇宙速度

故C错误。
D．星球的自转周期无法知道，所以同步卫星的周期无法求出。故D错误。
问题五：卫星变轨模型
1.卫星发射及变轨过程概述

人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道,如图所示。
(1)为了节省能量,在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
(2)在A点点火加速,由于速度变大,万有引力不足以提供向心力,卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2.四个运行物理量的大小比较
(1)速度:设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3,在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速,则vA>v1,在B点加速,则v3>vB,又因v1>v3,故有vA>v1>v3>vB。
(2)加速度:因为在A点,卫星只受到万有引力作用,故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点,卫星的加速度都相同,同理,经过B点的加速度也相同。
(3)周期:设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3,轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3,由开普勒第三定律=k可知T1(4)机械能:在一个确定的圆(椭圆)轨道上卫星的机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3,则E13.卫星变轨的实质
两类变轨 离心运动 近心运动
变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
受力分析 Gm
变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动
例9．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的( )

A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上经过P点的速率小于在轨道2上经过P点的速率
C．卫星在轨道2上运动的周期大于它在轨道3上运动的周期
D．卫星在轨道1上经过Q点时的向心加速度等于它在轨道2上经过Q点时的向心加速度
【答案】D
【解析】
A、卫星绕中心天体做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有，解得，轨道3半径比轨道1半径大，卫星在轨道1上线速度较大，故选项A错误；
B、从轨道2到轨道3，卫星在点是做逐渐远离圆心的运动，要实现这个运动必须使卫星所需向心力大于万有引力，所以应给卫星加速，增加所需的向心力，所以在轨道2上点的速度小于轨道3上点的速度，故选项B错误；
C、?根据万有引力提供向心力，则有，解得，所以卫星在轨道3上的周期大于在轨道2上的周期，故选项C错误；
D、根据万有引力提供向心力，则有，解得，所以卫星在轨道1上经过点时的加速度等于它在轨道2上经过点时的加速度，故选项D正确．
例10．如图所示，在同一轨道平面上的几颗人造地球卫星、、，在某一时刻恰好在同一直线上，下列说法正确的是（ ）

A．根据，可知三颗卫星的线速度
B．根据万有引力定律，可知三颗卫星受到的万有引力
C．三颗卫星的向心加速度
D．三颗卫星运行的角速度
【答案】C
【解析】
A.由得，故，选项A不符合题意；
B.卫星受的万有引力，但三颗卫星的质量关系不知道，故它们受的万有引力大小不能比较，选项B不符合题意；
C.由得，故，选项C符合题意；
D.由知，，则，选项D不符合题意；
例11．如图所示，图中的圆a．b．c的圆心均在地球的自转轴线上，a圆位于地球表面，以b圆为轨道的卫星相对于地面静止，c的圆心与地心重合，以下说法正确的是(　　)

A．a圆上的物体的线速度比在赤道上的物体的线速度大
B．在地球赤道上的物体的线速度比以b圆为轨道的运行的卫星的线速度大
C．卫星可以沿轨道c做匀速圆周运动
D．a圆位于地球表面,圆上各点角速度不同。
【答案】C
【解析】
AD．a圆的半径小于地球的半径，地球上物体角速度相等，根据知，a圆上的物体的线速度比在赤道上的物体的线速度小。故AD错误。
B．b为同步卫星的轨道，同步卫星与地球自转周期相同，角速度相等，根据知，在地球赤道上的物体的线速度比以b圆为轨道的运行的卫星的线速度小。故B错误。
C．卫星绕地球做圆周运动，靠万有引力提供向心力，圆心为地心。故C正确。
问题六、双星或多星模型
1．双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．
(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
＝m1ωr1，＝m2ωr2
②两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝，与星体运动的线速度成反比．
2．多星
(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
(2)三星模型：
①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．

(3)四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中点O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
双星和多星问题的特点及分析思路
1．双星模型
(1)两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的．
(2)它们的运行周期和角速度是相等的．
(3)两颗行星做匀速圆周运动的半径r1和r2与两行星间距L的大小关系：r1＋r2＝L.
2．多星模型
(1)每颗行星运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力来提供．
(2)行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等．
(3)注意利用几何知识求半径．
例12.现代观测表明，由于引力的作用，恒星有“聚焦”的特点，众多的恒星组成不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星。它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，这样就不至于由于万有引力的作用而吸引在一起。如图所示，设某双星系统中的两星S1、S2的质量分别为m和2m，两星间距为L，在相互间万有引力的作用下，绕它们连线上的某点O转动．已知引力常量G，求：
（1）S1、S2两星之间的万有引力大小；
（2）S2星到O点的距离；
（3）它们运动的周期。

【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
双星在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力分别对两星进行列式，来求解。
【详解】
（1）依据万有引力航天公式的特点

（2）设点距星的距离为，双星运动的周期为，由万有引力提供向心力
对于星

对于星

计算得出

解得

（3）将代入

双星周期为

例13．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX﹣3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．将两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，（如图）所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T．
（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′（用m1、m2表示）；
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞．若可见星A的速率v＝2.7×105 m/s，运行周期T＝4.7π×104s，质量m1＝6ms，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（G＝6.67×10﹣11N?m2/kg2，ms＝2.0×103 kg）

【答案】（1）(3)有可能是黑洞
【解析】
试题分析：（1）设A、B圆轨道的半径分别为，由题意知，A、B的角速度相等，为，
有：，，又
设A、B之间的距离为r，又
由以上各式得，①
由万有引力定律得
将①代入得
令，比较可得②
（2）由牛顿第二定律有：③
又可见星的轨道半径④
由②③④得
（3）将代入得⑤
代入数据得⑥
设，（n＞0）将其代入⑥式得，⑦
可见，的值随n的增大而增大，令n=2时得⑧
要使⑦式成立，则n必须大于2，即暗星B的质量必须大于，由此得出结论，暗星B有可能是黑洞．
问题七 天体的“追及相遇”问题
天体相遇：两天体（行星、卫星或探测器）相遇，实际上是指两天体相距最近。
绕行方向相同的两卫星和天体的连线在同一直线上，处于内轨道的卫星周期T1小，处于外轨道的卫星周期T2大。
(1)当两卫星都在天体同侧时，那么当t满足下列式子时两卫星相距最近：


当两卫星在天体异侧时，那么当t满足下列式子时两卫星相距最近：


例14．如图所示，A是地球的同步卫星，另一星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h，若卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时则A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过时间t，它们再一次相距最近。已知地球半径为R，地球自转角速度为，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心，则（ ）

A．卫星B的运行周期为
B．卫星B的运行周期为
C．
D．
【答案】AC
【解析】
【详解】
AB．由万有引力提供向心力得

则有卫星B的运行周期为

故A正确，B错误；
CD．AB再次相遇，B比A多转一周，则有

其中，解得

故C正确，D错误。
故选AC。
例15．如图是在同一平面不同轨道上同向运行的两颗人造地球卫星.设它们运行的周期分别是T1、T2(T1
(1)两卫星再次相距最近的时间是多少？
(2)两卫星相距最远的时间是多少？
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
【详解】
(1)依题意，T1则它们运行的角度之差Δθ＝2π
t－t＝2π
解得
t＝ .
(2)两卫星相距最远时，它们运行的角度之差
Δθ＝(2k＋1)π (k＝0，1，2，…)
即
t－t＝(2k＋1)π (k＝0,1,2，…)
解得
t＝ (k＝0，1，2…).











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