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(共27张PPT)
第6节 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质
第2章 特殊三角形
浙教版 八年级上
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D
B
D
D
A
C
C
35°
C
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90°
证明见习题
MN⊥CD
(1)证明见习题
(2)证明见习题
(1)证明见习题；
(2)证明见习题
证明见习题
(1)图略
(2) AC＝BD；直
(3) ①成立；②成立
1．【中考?海南】在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(　　)
A．120° B．90° C．60° D．30°
D
2．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B
3．【中考·临夏州】如图，AB∥CD，DE⊥CE，∠1＝34°，则∠DCE的度数为(　　)
A．34° B．54° C．66° D．56°
D
【点拨】∵AB∥CD，∴∠EDC＝∠1＝34°，
∵DE⊥CE，∴∠EDC＋∠DCE＝90°.
∴∠DCE＝90°－34°＝56°.
4．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为(　　)
A．0.5 km B．0.6 km
C．0.9 km D．1.2 km
D
5．【中考·遵义】如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b上，则∠1＋∠2的值为(　　)
A．90° B．85° C．80° D．60°
A
【点拨】如图，过点C作CD∥a，则∠1＝∠ACD.
∵a∥b，∴CD∥b，∴∠2＝∠DCB.
∵∠ACD＋∠DCB＝90°，∴∠1＋∠2＝90°.
6．【中考·咸宁】如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1＝50°，则∠BCD的度数为(　　)
A．50° B．45° C．40° D．30°
C
【点拨】∵l1∥l2，∴∠1＝∠ABC＝50°.
∵CD⊥AB于点D，∴∠CDB＝90°.
∴∠BCD＋∠DBC＝90°，即∠BCD＋50°＝90°，
∴∠BCD＝40°.
7．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，∠A＝30°.若CD＝6，则BC的长度为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
C
【点拨】∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，
∴AD＝DB＝CD＝6.
∵∠A＝30°，∴∠B＝60°.∴△BCD为等边三角形．
∴BC＝6.
8．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE＝5，BC＝8，则△DEF的周长是(　　)
A．21 B．18 C．13 D．15
C
9．【 2018·徐州】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，若∠C＝55°，则∠ABD＝________．
35°
10．【中考·扬州】如图，已知长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若长方形纸片的一组对边与直角三角形的两条直角边相交成∠1，∠2，则∠2－∠1＝________．
90°
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC于点E.求证：∠AED＝∠DCB.
12．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是边BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连结AE.求证：
(1)∠AEC＝∠C；
(2)BD＝2AC.
13．如图，已知∠ACB＝∠ADB＝90°，N，M分别是AB，CD的中点．判断MN与CD的位置关系，并说明理由．
14．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D.
(1)求证：∠ACD＝∠B；
证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B.
(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.
证明：在Rt△AFC中，∠CFA＝90°－∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED＝90°－∠DAE.
又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE，∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE.
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BD⊥AC于点D，E为BC的中点，DF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：E，C两点是线段BF的三等分点．
16．如图①，两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O.
(1)将图①中的△OAB绕点O顺时针旋转90°，在图②中作旋转后的△OAB，连结AC，BD.
解：如图．
(2)在图①中，你发现线段AC，BD的数量关系是________，直线AC，BD相交成________角．(填“锐”“钝”或“直”)
AC＝BD
直
(3)①将图①中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，得到图③，这时(2)中的两个结论是否仍成立？作出判断并说明理由．
②若将△OAB绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．
解：成立
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第6节 直角三角形
第2课时 直角三角形的判定
第2章 特殊三角形
浙教版 八年级上
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C
D
A
50°或90°
等腰直角
证明见习题
△ABC是直角三角形
证明见习题
5
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△ACE是等腰直角三角形
B
证明见习题
(1)见习题
(2)△AOD是直角三角形
△OMN是等腰直角三角形
(1)证明见习题
(2)证明见习题
1．已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上都有可能
C
D
3．如图，已知A，B两点，在平面内找一点C，使△ABC为等腰直角三角形，这样的点C有(　　)
A．6个 B．4个 C．3个 D．2个
A
4．如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝__________．
50°或90°
等腰直角
6．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，CD是斜边AB上的中线，DE⊥BC于点E，则图中等腰直角三角形的个数是________．
5
7．在△ABC中，∠A＋∠C＝2∠B，∠C－∠A＝∠B.求证：△ABC是直角三角形．
证明：∵∠A＋∠C＝2∠B，∠C－∠A＝∠B，
∴2∠C＝3∠B，2∠A＝∠B.
∴∠A:∠B:∠C＝1:2:3.
又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠C＝90°，即△ABC为直角三角形．
8．如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，那么△ABC是直角三角形吗？为什么？
解：△ABC是直角三角形．理由如下：
∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°.
∴∠1＋∠A＝90°.
又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠A＝90°.∴∠C＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
?9．如图，△ABC是等边三角形，D为边BC延长线上一点，且AC＝CD.求证：△ABD是直角三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BCA＝∠BAC＝60°.
∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠D.
∵∠CAD＋∠D＝∠BCA，
∴2∠CAD＝∠BCA＝60°.∴∠CAD＝30°.
∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝60°＋30°＝90°.
∴△ABD是直角三角形．
10．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE.试判断△ACE的形状，并说明理由．
解：△ACE是等腰直角三角形．
理由如下：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴AB∥DE，∠B＝∠D＝90°.
∵AB＝CD，BC＝DE，∴△ABC≌△CDE，
∴AC＝CE，∠BAC＝∠ECD，∠ACB＝∠CED.
∵∠BAC＋∠ACB＝90°，
∴∠BAC＋∠CED＝90°.
又∵AB∥DE，
∴∠BAE＋∠DEA＝180°，
∴∠CAE＋∠CEA＝90°.
∴△ACE是等腰直角三角形．
11．【 2017·聊城】如图是由8个全等的小长方形组成的大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，如果点P是某个小长方形的顶点，连结PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
【点拨】如图，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数为3.
【答案】B
12．如图，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE与DF相交于点O.
(1)试说明：△DAF≌△ABE；
(2)试判断△AOD的形状．
解：因为△DAF≌△ABE，
所以∠ADF＝∠BAE.
又因为∠DAF＝90°，
所以∠DAO＋∠BAE＝90°.
所以∠DAO＋∠ADF＝90°.
所以△AOD是直角三角形．
13．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，BC＝2AC.
求证：∠A＝90°.
∵∠ACB＝2∠B，∴∠1＝∠2＝∠B. ∴DB＝DC.
又∵BE＝EC，∴DE⊥BC，
又∵BC＝2AC，∴CE＝CA.
14．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，O是BC的中点，如果在AB和AC上分别有一个动点M，N在移动，且在移动时保持AN＝BM.请你判断△OMN的形状，并说明理由．
解：△OMN是等腰直角三角形．
理由：连结OA.
∵在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，O是BC的中点，
∴AO＝BO＝CO，AO⊥BC，∠B＝∠C＝45°，
∴∠NAO＝∠C＝45°＝∠B.
∴△OAN≌△OBM(SAS)，
∴ON＝OM，∠AON＝∠BOM.
又∵∠BOM＋∠AOM＝90°，
∴∠NOM＝∠AON＋∠AOM＝90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．
15．在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD交BE于F，连结CF.
(1)若∠BAC是锐角，如图①，求证：△CDF是等腰直角三角形；
证明：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠BAD＝45°. ∴BD＝AD.
∵BE⊥AC，垂足为E，∴∠FBD＋∠ACB＝90°.
∵∠CAD＋∠ACB＝90°，∴∠FBD＝∠CAD.
∵∠BDF＝∠ADC＝90°，
∴△BFD≌△ACD，∴FD＝CD，
∴△CDF是等腰直角三角形．
(2)若∠BAC是钝角，如图②，求证：△CDF是等腰直角三角形．
证明：同(1)可证△BFD≌△ACD，
∴FD＝CD，
∴△CDF是等腰直角三角形．

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