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平面向量问题的类型与解法
大家知道，平面向量问题是近几年高考的热点问题之一，每年高考必有一个五分小题，有时在大题中也会涉及到平面向量的内容。从题型上，以选择题或填空题为主，难度系数为低档或中档，但近几年有向高档题目发展的趋势。纵观近几年高考试题，归结起来平面向量问题主要包括：①平面向量几何运算问题；②平面向量坐标运算问题；③平面向量数量积的问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同。那么在实际解答平面向量问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析，来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（ ）
A - B - C + D +
【解析】
【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法；②向量共线的充分必要条件；③三角形一边上中线的定义与性质。
【解题思路】运用向量几何运算的基本方法和三角形一边上中线的性质，结合问题条件求出向量关于向量，的式子就可得出选项。 A
【详细解答】如图，ABC中，AD为BC 边上的
中线，=-，=-=- E
=+， E为AD的中点， B D C
==+，=-=- -=- ,
A正确，选A。
2、如图，在正方形ABCD中，F是边CD上靠近D点的三等分点， A D
连接BF交AC于点E，若=m+n（m，nR），则m+n E F
的值是（ ）
A - B C - D B C
【解析】
【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法；②向量共线的充分必要条件；③正方形的定义与性质；④方程组的定义与解法。
【解题思路】运用正方形的性质和向量几何运算的基本方法，结合问题条件把表示成，的式子，与已知式子比较得到关于m，n的方程组，求解方程组得出m，n的值就可求出m+n的值，从而得出选项。
【详细解答】如图， F是边CD上靠近D点的三等分点，ABCD是正方形，=
-，==，=-=--=-，
A，E，C三点共线，存在实数，使=，=-=--
=（1-）-，B，E，F三点共线，存在实数t，使=t，
（1-）-=t（-），（1--t）+（t-1）=0，1--t=0，
且t-1=0，=，t=，=-，=m+n，m=-1，n=，
m+n=-1+=-，C正确，选C。
3、如图，在ABC中，已知=-，P为AD上一点，且满足=m+，则实数m的值为（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法；②向量共线的充分必要条件；③方程组的定义与解法。
【解题思路】运用向量几何运算的基本方法，结合问题条件把表示成，的式子，与已知式子比较得到关于m，t的方程组，求解方程组得出m，t的值就可求出m的值，从而得出选项。
【详细解答】如图，=-=-， A
=-，=-，A，P， P
D三点共线，存在实数t，使=t， B D C
-=t（-），=（1-t）+t=（1-t）+ t，=m+
，（1-t）=，且m=t，t=m=，B正确，选B。
4、已知P是ABC内一点，=2（+），记PBC的面积为，ABC的面积为，则= ；
【解析】
【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法；②向量共线的充分必要条件；③三角形面积计算的基本方法；④相似三角形的定义与性质；⑤三角形一边上中线的定义与性质。
【解题思路】运用向量几何运算的基本方法，结合问题条件可知+是，得到+是连接AC，BC中点所在线段的向量，从而推出点P是连接AC，BC中点所在线段的中点，利用三角形一边上中线的性质和相似三角形的性质求出就可得出选项。
【详细解答】如图，分别取AC，BC的中点D，E， A
连接DE，取DE的中点P，连接CP，延长PE到F，
使PE=EF，连接BF，CF，E是BC的中点， D
BE=CE，四边形BPCF是平行四边形， B E P C
=+，P是DE的中点，PE=EF， F
==，点P是满足条件的点，=，CDECAB，=，
CP是CDE边DE上的中线，===，同理可得
=， ==+=+=，=。
5、（1）已知G为ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于P，Q，若=，则当ABC与APQ的面积之比为时，实数的值为 ；
（2）已知G为ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于P，Q，若= ，则ABC与APQ的面积之比为 。
【解析】
【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法；②向量共线的充分必要条件；③三角形重心的定义与性质；④三角形面积计算的基本方法。
【解题思路】（1）根据三角形重心的性质，求出，，由P、G、Q三点共线，求出的值（用含的式子表示），利用三角形面积计算的基本方法把，表示出来，结合=就可求出的值；（2）设=u，根据三角形重心的性质，求出，，由P、G、Q三点共线求出u的值，利用三角形面积计算的基本方法把，表示出来，从而求出的值。
【详细解答】（1）如图，连接CG并延长交边AB于点D，连接BG 并延长交边AC于点E，
G是ABC的重心，=+=-+， A
==-+， =-=- D E
++（1-）=(-）+，设 P G Q
=t，=+=-+t，P、G、Q B C
三点共线，存在实数u，使=u-+t
=u[(-）+]，（-+u-u）+(t-u)=0 -+u-u=0，
u=， t-u=0，
t=，=||||sinA，=||||sinA=
||||sinA，==，9（）=20，20-27+9=0，=或=；（2）如图，连接CG并延长交边AB于点D，连接BG并延长交边AC于点E，设=u，G是ABC的重心，=+=-+，==
-+，=-=- ++=-+，=
=+=-+t， P、G、Q三点共线，存在实数t，使=t-
+t=t（-+），（-+t）+(u-t)=0-+t=0，且u-t=0，
t=，u=，=||||sinA，=||||sinA=
||||sinA，==。
『思考问题1』
（1）【典例1】是向量几何运算的问题，解答这类问题需要掌握向量几何运算的法则和运算的基本方法，能够灵活运用平行四边形法则和三角形法则，一般来说，两个向量具有公共的始点时，选用平行四边形法则；两个向量如果一个向量的始点与另一个向量的终点重合时，选用三角形法则；
（2）用两个不共线的已知向量来表示其他向量是用向量解题的基本要领，在实际解答问题时，应该尽可能地把相关向量转化到同一平行四边形 或 同一三角形中去；
（3）注意待定系数法和方程思想的运用，在实际解答问题时，经常运用向量共线的充分必要条件和平面向量基本定理建立方程（或方程组），再通过解方程（或方程组）达到解答问题的目的。
〔练习1〕解答下列问题：
1、已知P为ABC所在平面内一点，++=0，||=||=||=2，则PBC的面积等于（ ）
A 3 B 2 C D 4
2、设D为ABC所在平面内一点，=3，则（ ）（2015全国高考新课标I卷）
A =-+ B=-
C=+ D=-
3、设P是所在平面内一点，+=2，则（ ）
A +=0 B +=0 C + =0 D ++=0
4、已知点O、N、P在所在的平面内，且||=||=||，++=0，.=.=.,则点O、N、P依次是的（ ）
A 重心、外心、垂心 B重心、外心、内心 C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心
5、如图，在平行六面体ABCD—中，E为B与C的交点，记=，=，=，则=（ ）
A ++ B ++ C ++ D --
6、已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，动点P满足||=1，若=m+n，其中m，nR，则的最大值为 ；
7、在ABC中，点M、N满足=2，=，若=x+y，则x=
，y= 。
【典例2】解答下列问题：
1、已知平面向量=（1，2），=（1，-1），则2+=（ ）
Ａ（3，0）　Ｂ（2，1）　Ｃ　（-3，3）　　Ｄ　　（3，3）
【解析】
【知识点】①平面向量坐标运算的法则与基本方法；②平面向量坐标的定义与表示方法。
【解题思路】运用平面向量坐标运算的法则与基本方法，结合问题条件通过运算就可得出选项。
【详细解答】平面向量=（1，2），=（1，-1），2+=（2，4）+（1，-1）=
（3，3），D正确，选D。
2、已知向量=（，1），=（-3，），则向量在向量方向上的投影为（ ）
A - B C -1 D 1
【解析】
【知识点】①平面向量坐标运算的法则与基本方法；②平面向量坐标的定义与表示方法；③向量数量积的定义与性质；④向量数量积坐标运算的基本方法。
【解题思路】运用平面向量坐标运算的法则与基本方法，结合问题条件通过运算求出两个向量的数量积与向量的模，利用向量数量积的性质求出向量在向量方向上的投影就可得出选项。
【详细解答】向量=（，1），=（-3，），.=-3+1=-3+
=-2，||==2，.=||.||cos<，>，||cos<，>==
=-，A正确，选A。
3、已知平面向量=（m+1，-2），=（-3，3），若//，则实数m的值为（ ）
A 0 B -3 C 1 D -1
【解析】
【知识点】①平面向量平行的定义与性质；②平面向量坐标的定义与表示方法；③方程的定义与解法。
【解题思路】运用平面向量平行的性质，结合问题条件得到关于实数m的方程，求解方程求出实数m的值就可得出选项。
【详细解答】平面向量=（m+1，-2），=（-3，3），且//，=，m
=1，C正确，选C。
4、已知向量=（1，2），=（2，-1），=（1，），若//(2+)，则= 。
【解析】
【知识点】①平面向量平行的定义与性质；②平面向量坐标的定义与表示方法；③平面向量坐标运算的法则和基本方法；④方程的定义与解法。
【解题思路】运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件求出(2+)，根据斜率平行的性质得到关于实数的方程，求解方程就可求出实数的值。
【详细解答】=（1，2），=（2，-1），2+=（2，4）+（2，-1）=（4，3），
=（1，），且//(2+)，=， =。
『思考问题2』
（1）【典例2】是向量坐标运算的问题，解答这类问题需要理解平面向量坐标的定义，掌握向量坐标运算的法则和基本方法；
（2）向量的坐标运算主要包括：①向量坐标的加法运算；②向量坐标的减法运算，③向量坐标的数乘运算；这三种运算都可以直接运用运算法则进行，同时注意坐标运算性质和运算律的灵活运用，对于综合性问题解答时注重方程思想与数形结合思想的运用。
〔练习2〕解答下列问题：
1、已知点A（2，-2），B（4，3），向量=（2k-1，7），若//，则k的值为（ ）
A - B C - D
2、已知，是两个不共线的向量，=+，=+（，∈R），那么A，B，C三点共线的充要条件是（ ）
A +=2 B -=1 C =-1 D =1
3、若向量=（x+3，-3x-4）与相等，已知A（1，2），B（8，2），则x的值为（ ）
A -1 B -1或4 C 4 D 1或-4
4、已知向量=（2，1），=（3，4），=（k，2），若(3-)//，则实数k的值为（ ）
A -8 B -6 C -1 D 6
5、在平面直角坐标系XOY中，已知点P在曲线：y=(x0)上，曲线与X轴相交于点B，与Y轴相交于点C，点D（2,1）和点E（1,0）满足=+（，R），则+的最小值为 。
【典例2】解答下列问题：
1、已知非零向量，满足||=2||，且（-），则与的夹角为（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①平面向量数量积的定义与性质；②平面向量数量积几何运算法则和基本方法。
【解题思路】运用平面向量数量积的性质和运算的基本方法，结合问题条件得到含与的夹角余弦的方程，求解方程得出与夹角的余弦值，从而求出与的夹角。
【详细解答】非零向量，满足||=2||，且（-），（-）.= .-
.=||.||cos<，>-||=2|| cos<，>-||=||（2 cos<，>-1）=0，
||0，2 cos<，>-1=0， cos<，>=，<，>=，B正确，选B。
2、（1）已知=（2，3），=（3，t），| |=1，则.=（ ）
A -3 B -2 C 2 D 3
（2）已知向量=（2，3），=（3，2），则|-|=（ ）
A B 2 C 5 D 50
【解析】
【知识点】①平面向量数量积的定义与性质；②平面向量数量积坐标运算法则和基本方法；③向量坐标运算的法则和基本方法；④向量模的定义与求法。
【解题思路】（1）运用向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件求出向量，从而求出t的值，根据平面向量数量积的性质，平面向量数量积坐标运算法则和基本方法，结合问题条件通过运算求出.就可得出选项；（2）运用向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件求出-，利用向量模的求法求出|-|就可得出选项。
【详细解答】（1）=（2，3），=（3，t），=-=（3，t）-（2，3）=（1，t-3），| |==1，=1，t=3，=（1，0），
.=21+30=2，,C正确，选C；（2）向量=（2，3），=（3，2），
-=（2，3）-（3，2）=（-1，1），|-|==，A正确，选A。
3、（1）在平面直角坐标系XOY中，已知点A（0，-2），N（1，0），若动点M满足=，则.的取值范围是（ ）
A [0，2] B [0，2] C [-2，2] D [-2，2]
（2）在平面直角坐标系XOY中，点A（1，0），直线l：y=k(x-1)+2，设点A关于直线l的对称点为B，则.的取值范围是 。
【解析】
【知识点】①平面向量数量积的定义与性质；②平面向量数量积坐标运算法则和基本方法；③向量坐标运算的法则和基本方法；④已知点关于已知直线对称点的定义与求法；⑤基本不等式及运用。
【解题思路】（1）设M（x，y），运用向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件得到关于x，y的等式，从而把y表示成关于x的式子，根据平面向量数量积坐标运算法则和基本方法，结合问题条件通过运算求出.关于x的函数，通过求函数值域的方法求出.的取值范围就可得出选项；（2）设B（x，y），运用已知点关于已知直线对称点的求法，结合问题条件求出点B的坐标，根据向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件求出向量，，利用面向量数量积坐标运算法则和基本方法得到.关于k的函数，通过求函数值域的方法就可求出.的取值范围。
【详细解答】（1）设M（x，y），==，=2（），=-+4y+4，=（x，y），=（1，0），.=x+0=x
==，-2.2，D正确，选D；（2）设B（x，y），点A（1，0），关于直线l：y=k(x-1)+2的对称点为B，=k(-1)
+2，且=-，x=，y=，B（，），=（1，0），=（，），.=+0==1+=1+，①若
k>0，2=2，，1+1+=；②若k<0，=-（-k- ）-2=-2，-，1+1-=；③若k=0， B（1，4），=（1，4），.=1+0=1，综上所述，.，即
.的取值范围是[，]。
4、（1）已知，为单位向量，且.=0，若=2-，则cos<，>= ；
（2）已知向量=（2，2），=（-3，6），则cos<，>= 。
【解析】
【知识点】①平面向量数量积的定义与性质；②平面向量数量积坐标运算法则和基本方法；③单位向量的定义与性质。
【解题思路】（1）运用单位向量的性质，向量数量积运算的法则和基本方法，结合问题条件求出.的值，利用平面向量数量积几何运算公式，结合问题条件通过运算就可求出cos<，>的值；（2）运用向量数量积坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件求出.，||，||的值，根据向量数量积几何运算公式，结合问题条件通过运算就可求出cos<，>的值。
【详细解答】（1），为单位向量，.=0，=2-，||=||=1，.=.（2-）=2.-.=2||-0=2，||=|2-|=
==3，.=||.|| cos<，>， cos<，>= = = ；
（2）向量=（2，2），=（-3，6），.=2（-3）+26=-6+12=6， ||==2，||==3，.=||.|| cos<，>，cos<，>==
=。
5、已知向量=（-4，3），=（6，m），且，则m= ；
【解析】
【知识点】①平面向量数量积的定义与性质；②平面向量数量积坐标运算法则和基本方法。
【解题思路】运用平面向量数量积的性质，坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件得到关于实数m的方程，求解方程就可得出实数m的值。
【详细解答】向量=（-4，3），=（6，m），且，.=-46+3m=-24+3m=0，
m=8。
6、已知，是夹角为的两个单位向量，=-2，=k+，若.=0，则k的值为 。
【解析】
【知识点】①平面向量数量积的定义与性质；②平面向量数量积几何运算法则和基本方法，③单位向量的定义与性质。
【解题思路】运用平面向量数量积的性质，几何运算的法则和基本方法，单位向量的性质，结合问题条件得到关于实数k的方程，求解方程就可得出实数k的值。
【详细解答】，是夹角为的两个单位向量，=-2，=k+，.=
k.+.-2k.-2.=k+(1-2k) (-)-2=k-+k-2=2k-=0，k=。
『思考问题3』
（1）【典例3】是向量数量积的问题，解答这类问题需要理解平面向量数量积的定义，掌握平面向量数量积的性质，运算的法则和基本方法；平面向量数量积包括：①平面向量数量积的几何运算；②平面向量数量积的坐标运；
（2）平面向量数量积几何运算的基本方法是：①若已知向量的模和夹角，则直接运用公式.=||||cos〈，〉计算；②运用向量数量积的几何意义求解；
（3）已知向量=，=，求向量数量积直接运用公式.=求解；
已知向量=，求向量的模一般运用公式.=||=+，||=求解，尤其是求几个向量的和或差的模时需要灵活运用公式；
（4）求与的夹角常用公式cos= 求解，基本方法是：①求出.及||||或得出它们之间的关系，②根据三角函数的相关知识得出结果(注意两向量夹角的取值范围)。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知平面向量=（1，1），=（t+1，1），若⊥，则实数t的值为（ ）
A -2 B 0 C 2 D -1
2、已知是边长为2的等边三角形，P为平面内一点，则.(+)的最小值是（ ）
A -2 B - C - D -1
3、已知向量，满足||=1，.=-1，.（2-）=（ ）
A 4 B 3 C 2 D 0
4、（1）设，均为单位向量，则“|-3|=|+3|”是“⊥”的（ ）
A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件
（2）设向量=（1，0），=（-1，m），若⊥（m-），则m= 。
5、在平面直角坐标系XOY中，已知=（1,0），=（0，b）（b R），若=
2+，点M满足=（R），且||.||=36，则.的最大值为 ；
6、（1）已知向量，的夹角为，||=2，||=1，则|+2|= ；
（2）已知向量=（-1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m= 。

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