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第2章 不等式
考点解读

1.不等式的性质
（1）实数的大小比较与实数运算性质之间的关系
；；
（2）不等式的基本性质
性质1.（传递性）如果，那么
性质2.（加法性质）如果，那么
性质3.（乘法性质）如果，，那么；如果，那么
（3）从不等式的基本性质出发，还可以得到哪些有用的推论？
推论1. ； 推论2.
推论3. ； 推论4.
推论5. ； 推论6.
推论7.
（4）如何比较不等式的大小？
①作差法 ②作商法


2. 解不等式
（1）一元一次不等式的解集的讨论：
2.不等式的性质
（1）不等式的解集：
当时，解集为；当时，解集为；
当且时，解集为；当且时，解集为.
（2）一元二次不等式的解集的讨论：
一元二次不等式解集如表所示：（当方程方程的两个不相等的实根时，不妨设为，且）

判别式
的图像
的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实根
的解集
的解集













（3）分式不等式的解法
同解变形法（分式不等式整式不等式一次、二次不等式）
①同解；
②与不等式组同解.
（4）一元高次不等式的解法——标根法
其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集.
若，则不等式或的解法如下图（即“数轴标根法”）：



（5）绝对值不等式的解法
方法一：应用分类讨论思想去绝对值（最后结果应取各段的并集）；
方法二：应用数形结合思想；
方法三：应用化归思想等价转化.
①最简单的绝对值不等式的同解变形
；；
或； 或.
②关于绝对值不等式的常见类型有下列的同解变形
；
或；
.


（5）含参不等式的解法
求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”



3.常用的基本不等式
（1）如果，那么（当且仅当a=b时等号成立）；
（2）如果，那么≥（当且仅当a=b时等号成立）.



4.不等式的证明
（1）比较法
①作差比较法
A.理论依据



B.证明步骤：
I:作差：对要比较大小的两个数（或式）作差；
II：变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和；
III：判断：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.





②作商比较法
A.理论依据
当时, .
B.证明步骤：I:判断（判断能否作商）；II：作商；III：变形；IV: 下结论.
（2）综合法
证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法（由因导果）.
（3）分析法
从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆（执果索因）.
























【总结】
不等式证明的常用方法：
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法 ；
（8）图象法.
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.


【总结】
1、一元二次方程、一元二次不等式、二次函数间的联系：
一元二次方程的两个根即为一元二次不等式的解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交点的横坐标.
2、解一元二次不等式的步骤：
（1）化标准：将不等式化成标准形式（右边为0、最高次的系数为正）；
（2）考虑判别式：计算判别式的值，若值为正，则求出相应方程的两根；
（3）下结论：注意结果要写成集合或者区间的形式 .
记忆口诀： 大于取两边，小于取中间（前提）.

【拓展】一元二次方程根的分布理论：
1、方程在上有实数解，首先要讨论最高次项系数是否为0，其次，若，则一定有．
2、方程在上有两根充要条件是；在上有两根的充要条件是；在和上各有一根的充要条件分别是： .
若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，再令和检查端点的情况．当然也可以利用参变分离结合函数图像来做.







【提醒】
标根法主要用于简单的一元高次不等式题型，因为上海高考不作要求，可以简单的了解.

【拓展】不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：
（1）恒成立问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上；
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上.
补充：不等式恒成立问题的常规处理方式：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法.
（2）能成立问题
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上.
（3）恰成立问题
若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为；
若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.








【注意】
1、解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…” ；
2、按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集；
3、解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论，如果遇到下述情况则一般需要讨论：
①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性；
②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论；
③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析），比较两个根的大小,设根为（或更多）但含参数，要分、、讨论.



【提醒】
基本不等式可以用来求最值，但要注意条件的满足：一正、二定、三相等；
如：若变数，则若（常数），则当且仅当时，有最小值；
若（常数），当且仅当时，有最大值.


【拓展】
常用不等式有：
（1）当为正数时, EMBED Equation.DSMT4 （当且仅当时取“”号），即平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数；
（2）糖水不等式：若，则（糖水的浓度问题）；
（3）绝对值不等式：


【注意】
若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小.


【注意】
（1）在具体处理问题时，常常是先用分析法分析，再用综合法证明，两种方法结合使用；
（2）如果采用分析法证明时，要注意书写的要求.
分析法可以叙述为：
欲证结论，需先证得，
欲要证得，需先证得，
欲要证得，需先证得，
……………………………，
欲要证得，需先证得.
当成立时，若以上步步可逆，则结论成立.






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