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初中数学知识宝典
知识归纳

第1章　数与式
第1节　实　数

知识点 内容
实数的分类 按定义分按正负分
数轴 (1)三要素：原点、正方向和单位长度；(2)特征：数轴上表示的实数，右边的数总比左边的数大(右大左小)
相反数 (1)只有符号不同的两个数互为相反数(a的相反数是－a，0的相反数是0)；(2)a，b互为相反数 a＋b＝0；(3)在数轴上，表示互为相反数(0除外)的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等
绝对值 (1)几何意义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离；(2)|a|＝　(3)|a|≥0
倒数 (1)a与(a≠0)互为倒数；0没有倒数；(2)a，b互为倒数 ab＝1
实数的大小比较 (1)数轴上表示的实数，右边的数总比左边的数大；(2)正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；(3)两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；(4)比较无理数的方法：①估算法；②平方法；③作差法等
实数的运算法则
实数的加法 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；(2)异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；(3)互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数(4)加法交换律：a＋b＝b＋a；加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
实数的减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数
实数的乘除法 (1)两数相乘除，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘除；(2)除以一个数(不等于0)，等于乘这个数的倒数(3)任何数与0相乘，积为0；0除以任何一个不等于0的数都得0(4)乘法交换律：a×b＝b×a；乘法结合律：(a ×b)×c＝a×(b×c)；分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c
实数的乘方 (1)a×a×…×a n个a＝an；(2)正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；(3)任何数a的偶次幂均为非负数
实数的混合运算顺序 (1)先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果遇到括号，则先进行括号里的运算；(2)同级运算，应从左到右进行运算
第2节　代数式、整式与因式分解
知识点 内容
代数式 由数、表示数的字母和运算符号(加、减、乘、除、乘方和开方)组成的数学表达式称为代数式
整式的概念
单项式 由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式；单独的一个数或一个字母也叫单项式
多项式 由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式
同类项 多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
整式的运算法则
合并同类项法则 把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变
去括号法则 (1)括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变号；(2)括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号
幂的运算
同底数幂的乘法法则 am·an＝am＋n (m，n都是正整数)
幂的乘方法则 (am)n＝amn(m，n都是正整数)
积的乘方法则 (ab)n＝anbn(n是正整数)
同底数幂的除法 am÷an＝am－n (a≠0，m，n为整数)
零指数幂 a0＝1(a≠0)
负整数指数幂 a－p＝(a≠0，p是正整数)
整式的加减 先去括号，再合并同类项
整式的乘法
单项式×单项式 (1)系数相乘；(2)同底数幂相乘；(3)其余字母连同它的指数不变，作为积的因式
单项式×多项式 m(a＋b)＝ma＋mb
多项式×多项式 (a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn
乘法公式
平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2
完全平方公式 (a±b)2＝a2±2ab＋b2
整式的除法
单项式÷单项式 (1)系数相除；(2)同底数幂相除；(3)只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式
多项式÷单项式 (a＋b＋c)÷m＝a÷m＋b÷m＋c÷m(m≠0)
因式分解
定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式
常用方法 (1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)；(2)公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)2
注意 (1)因式分解要分解到最后结果不能再分解为止；(2)因式分解与整式的乘法互为逆变形
第3节　分　式
知识点 内容
分式
概念 形如(A，B都是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式；分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式
注意 (1)当B＝0时，分式无意义；　(2)当B≠0时，分式有意义；(3)当A＝0，且B≠0时，分式＝0
分式的基本性质
基本性质 (1)＝(M≠0)；(2)＝(M≠0)
变号法则 (1)＝＝；(2)－＝＝
分式的约分和通分 (1)约分(可化简分式)：＝；(2)通分(可化为同分母)：，?，注意：通分的关键是确定各个分式的最简公分母，约分的关键是确定分式的分子、分母的最大公因式
分式的运算
加减法 (1)同分母时，±＝；(2)异分母时，±＝
乘除法和乘方 (1)乘法：·＝；(2)除法：÷＝；(3)乘方：＝(n为正整数)
分式的混合运算 (1)首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解因式后约分；(2)注意运算顺序和运算律的合理应用．一般先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；若有括号，先算括号里面的；同级运算要从左往右运算
第4节　二次根式
知识点 内容
平方根 如果x的平方等于a，那么x就是a的平方根
算术平方根 正数的正平方根叫做它的算术平方根，0的算术平方根是0
立方根 如果x的立方等于a，那么x就是a的立方根
二次根式
概念 形如(a≥0)的式子叫做二次根式
非负性 (1)被开方数是非负数，即a≥0；(2)二次根式的值是非负数，即≥0
最简二次根式 (1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式
性质 (1)()2＝a(a≥0)；(2)＝|a|＝(3)＝×(a≥0，b≥0)；(4)＝(a≥0，b＞0)
二次根式的运算
加减法 先化为最简二次根式，再合并同类二次根式
乘除法 (1)×＝(a≥0，b≥0)；(2)＝(a≥0，b＞0)
混合运算 运算顺序与有理数的运算顺序相同



第2讲　方程与不等式
第1节　一元一次方程和二元一次方程组
知识点 内容
等式的基本性质 性质1：若a＝b，则a±c＝b±c；性质2：若a＝b，则ac＝bc或＝(c≠0)
一元一次方程 解一元一次方程的一般步骤：去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1
二元一次方程(组) 常用解法：(1)代入消元法； (2)加减消元法
方程(组)的实际应用 列方程(组)解应用题的一般步骤：审题；设未知数；列方程(组)；解方程(组)；检验；(6)作答
第2节　分式方程
知识点 内容
分式方程的解法 一般步骤：去分母，将分式方程化为整式方程；解所得的整式方程；验根；(4)结论
分式方程的实际应用 列分式方程解实际问题的一般步骤：审题；设未知数；列分式方程；解分式方程；检验：①检验所求未知数的值是不是所列分式方程的解；②检验所求未知数的值是否符合题目的实际意义；(6)作答
第3节　一元二次方程
知识点 内容
一元二次方程
解法 开平方法； (2)配方法；(3)公式法； (4)因式分解法
求根公式 x＝
根的判别式 Δ＝b2－4ac
根的判别 式与方程的根之间的关系 (1)Δ＝b2－4ac>0 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；(2)Δ＝b2－4ac＝0 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；(3)Δ＝b2－4ac<0 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根
根与系数的关系 若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则有x1＋x2＝－，x1·x2＝
实际应用 列一元二次方程解应用题的一般步骤：审题；(2)设未知数；(3)列一元二次方程；(4)解方程(组)；(5)检验；(6)作答



第4节　不等式与不等式组
知识点 内容
不等式的基本性质 性质1：a＜b，b＜c则a＜c；性质2：a＞b则a±c＞b±c；a＜b则a±c＜b±c；性质3：a＞b，且c＞0则ac>bc，>；
一元一次不等式 内容
定义 不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次的不等式
解集 能使不等式成立的未知数的值的全体
解法 一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1
一元一次不等式组
定义 一般地，由几个含同一未知数的一元二次不等式所组成的一组不等式
解集 组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是这个一元一次不等式组的解集
常见不等式组的解集
不等式组(a＜b) 解集 数轴表示 口诀
x≥ax≥b x≥b 大大取大
x≤ax≤b x≤a 小小取小
x≥ax≤b a≤x≤b 大小小大中间找
x≤ax≥b 无解 大大小小取不了
不等式(组)的实际应用 列不等式(组)解实际问题的一般步骤：审、设、找、列、解、验
第3讲　函数及其图象

第1节　函数与平面直角坐标系
知识点 内容
平面直角坐标系
定义 在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系
几何意义 坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)是一一对应的
各象限内点的坐标特征
坐标轴上的点的特征 (1)P(x，y)在横轴上 y＝0；(2)P(x，y)在纵轴上 x＝0；(3)P(x，y)既在横轴上，又在纵轴上 x＝0，y＝0
点到坐标轴的距离 点M(a，b)到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|
点与点之间的距离 点M1(x1，y)，M2(x2，y)之间的距离为|x1－x2|；点M1(x，y1)，M2(x，y2)之间的距离为|y1－y2|
坐标平面内点的平移规律 (1)点M(a，b)沿x轴正方向平移n个单位得到点M1(a＋n，b)，沿x轴负方向平移n个单位得到点M2(a－n，b)；(2)点M(a，b)沿y轴正方向平移n个单位得到点M1(a，b＋n)，沿y轴负方向平移n个单位得到点M2(a，b－n)
平面直角坐标系
点的对称点坐标 (1)点P(x，y)关于x轴对称的点P1的坐标为(x，－y)；(2)点P(x，y)关于y轴对称的点P2的坐标为(－x，y)；(3)点P(x，y)关于原点对称的点P3的坐标为(－x，－y)
函数
常量、变量 在一个过程中，固定不变的量称为常量；可以取不同数值的量称为变量
概念 在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量
函数
自变量的取值范围 (1)使函数关系式有意义的自变量的取值的全体；(2)一般原则：整式为全体实数；分式的分母不为零；开偶次方的被开方数为非负数；使实际问题有意义
表示法 解析法、列表法、图象法
第2节　一次函数
知识点 内容
一次函数的概念 一般地，函数y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠0)叫做一次函数．特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k为常数， k≠0)，叫正比例函数
一次函数的图象及性质
k，b的符号 图象 经过象限 图象走势 y随x的变化情况
k＞0
b>0 经过第一、二、三象限 图象从左到右上升 y随x的增大而增大
b＝0 经过第一、三象限
b＜0 经过第一、三、四象限
k＜0
b＞0 经过第一、二、四象限 图象从左到右下降 y随x的增大而减小
b＝0 经过第二、四象限
b＜0 经过第二、三 、四象限
一次函数的图象与坐标轴的交点坐标 (1)交点坐标：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是，与y轴的交点是(0，b)；(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)
确定一次函数表达式的条件 一次函数需要两个点的坐标；正比例函数需要一个点的坐标(除原点外)
待定系数法确定一次函数的表达式 (1)设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；(2)代：将已知点的坐标代入函数表达式；(3)解：解方程或方程组，求出k与b的值，得到函数表达式
一次函数与二元一次方程组的关系 二元一次方程组的解为两个一次函数图象的交点的横、纵坐标
一次函数与一元一次不等式的关系 (1)y＝kx＋b(k>0)，x＞－，y＞0；x＜－，y＜0；(2)y＝kx＋b(k<0)，x＜－，y>0；x＞－，y＜0
第3节　反比例函数
知识点 内容
反比例函数的概念 (1)形如y＝(k为常数，且k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是关于x的函数，自变量x的取值不能为0；(2)另外两种形式为y＝k－1x(k≠0)和k＝xy(k≠0)
反比例函数的图象和性质
k的符号 图象 经过象限 y随x变化的情况
k>0 图象经过第一、三象限 在每个象限内，函数值y随x的增大而减小
k<0 图象经过第二、四象限 在每个象限内，函数值y随x的增大而增大
反比例函数的图象特征 (1)图象是由两个分支组成的曲线，叫做双曲线；(2)图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；(3)图象关于直角坐标系的原点成中心对称
待定系数法确定反比例函数的表达式 只需要知道双曲线上任意一点的坐标，设出函数的表达式，代入点的坐标求出反比例函数系数k即可
反比例函数系数k的几何意义 从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|




第4节　二次函数
知识点 内容
二次函数的定义 形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
二次函数的图象和性质
图象
开口 向上(a>0) 向下(a<0)
对称轴 直线x＝－ 直线x＝－
顶点坐标
增减性 当x>－时，y随x的增大而增大；当x＜－时，y随x的增大而减小 当x>－时，y随x的增大而减小；当x＜－时，y随x的增大而增大
最值 有最小值，y最小＝ 有最大值，y最大＝
系数a，b，c和图象的关系
a a的符号决定抛物线的开口方向 当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下
b a，b的符号共同决定对称轴的位置 当a，b同号时，对称轴在y轴左边；当a，b异号时，对称轴在y轴右边；当b＝0时，对称轴为y轴
c c的符号决定抛物线与y轴的交点在正半轴或负半轴或原点 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点y轴的负半轴上
抛物线与x轴的交点的个数 Δ＝b2－4ac＞0，有两个交点；Δ＝b2－4ac＝0，有一个交点；Δ＝b2－4ac＜0，没有交点
用待定系数法求二次函数的表达式 (1)已知抛物线上的三点，选一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0); (2)已知顶点或对称轴、最大(小)值，选顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)； (3)已知抛物线与x轴的两个交点，选交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
二次函数的平移与表达式的关系 y＝ax2的图象y＝a(x－h)2的图象y＝a(x－h)2＋k的图象
二次函数的综合运用 (1)从实际问题中抽象出二次函数，并能利用二次函数的最值公式解决实际问题中的最值问题；(2)二次函数综合几何图形，要充分抓住几何图形的特点并结合二次函数图 象的特点才能有效解决问题．二次函数综合动点问题，要弄清楚在动的过程中，什么变了，什么没变，动中求静才能有效解决问题
第4讲　图形的认识
知识点 内容
线
直线的基本事实 两点确定一条直线
线段的基本事实 两点之间线段最短
角
余角的概念 ∠1＋∠2＝90° 则∠1与∠2互为余角
补角的概念 ∠1＋∠2＝180°则∠1与∠2互为补角
余角和补角的性质 同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等
对顶角的概念 两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角
对顶角的性质 对顶角相等
相交线
垂线的概念 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线
垂线的性质 性质1：在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线；性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
平行线的性质与判定
平行线的性质与判定之间的关系 (1)同位角相等，两直线平行?两直线平行，同位角相等；(2)内错角相等，两直线平行?两直线平行，内错角相等；(3)同旁内角互补，两直线平行?两直线平行，同旁内角互补
注意 (1)在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交或平行；(2)平行于同一条直线的两直线平行；(3)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
平行线的性质与判定
平行线的基本事实 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
平行线的性质定理及推论 (1)夹在两条平行线间的平行线段相等；(2)夹在两条平行线间的垂线段相等
平行线之间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离
命题、定理、证明
命题的结构 (1)条件；(2)结论
真假命题 正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题
逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题；每个命题都有它的逆命题，但每个真(假)命题的逆命题不一定是真(假)命题
定理 用推理的方法判断为正确的命题叫做定理
逆定理 如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理
平行线的性质与判定
证明 要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知条件的定义、基本事实、定理(包括推论)，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明
反证法 在证明一个命题时，先假设命题不成立，再从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确的证明方法
第5讲　三角形
第1节　三角形
知识点 内容
三角形的稳定性 三角形三提哦啊变的长度确定时，三角形的形状、大小完全被确定
三角形的三边的关系 三角形任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边
三角形的内角 三角形三个内角的和等于180°
三角形内角和的推论 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形中的重要线段 (1)三角形的角平分线(角平分线的性质)；(2)三角形的中线(将三角形的面积等分)；(3)三角形的高(钝角三角形高的尺规作图)
三角形的外心 三角形的三个顶点确定的圆叫做外接圆，其圆心是三角形三边的垂直平分线的交点，这个交点叫做三角形的外心
三角形的内心 和三角形的三边都相切的圆叫做内切圆，其圆心是三角形三条角平分线的交点，这个交点叫做三角形的内心
三角形的重心 三角形的重心是三角形三条中线的交点；三角形的重心分每一条中线成1∶2的两条线段
三角形全等
概念 能够重合的两个三角形叫做全等三角形
性质 (1)全等三角形的对应边、对应角相等；(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等；(3)全等三角形的周长和面积都相等
判定 (1)SSS：三边对应相等的两个三角形全等；(2)SAS：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；(3)ASA：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；(4)AAS：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；(5)HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
注意 AAA和SSA不能判定两个三角形全等
三角形的中位线 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半





第2节　等腰三角形与直角三角形
知识点 内容
等腰三角形
性质 (1)等腰三角形的两个底角相等，即“在同一个三角形中，等边对等角”；(2)三线合一：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线和高线互相重合；(3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高(底边上的中线或顶角的平分线)所在的直线
判定 (1)如果一个三角形的两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形；(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，即“在同一个三角形中，等角对等边”
等边三角形
性质 (1)等边三角形的三条边相等；(2)等边三角形的各个内角都等于60°；(3)对称性：等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴
判定 (1)三条边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
线段的垂直平分线
性质 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
性质定理的逆定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
角的平分线
性质 角平分线上的点到角两边的距离相等
性质定理的逆定理 角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上
直角三角形
性质 (1)直角三角形的两个锐角互余；(2)直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半；(3)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
判定 (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；(2)有两个角互余的三角形是直角三角形；(3)勾股定理的逆定理；(4)如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形
勾股定理及其逆定理
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
勾股定理的逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形



第6讲 边形与多边形
第1节　多边形与平行四边形
知识点 内容
多边形
概念 在同一平面内，由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段(线段的条数不小于3)首尾顺次相接形成的图形叫做多边形
对角线 (1)从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；(2)n边形对角线的条数为
内角和定理 n边形的内角和为(n－2)×180°(n≥3)
外角和 任何多边形的外角和都为360°
正多边形 (1)各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形(2)中心：即一个正多边形的外接圆的圆心(3)半径：即正多边形的外接圆的半径(4)中心角：正多边形每一边所对的圆心角(5)边心距：中心到正多边形的一边的距离(6)正n边形的每个内角为
平行四边形
性质 (1)对边相等，对边平行(边)；(2)对角相等，邻角互补(角)；(3)对角线互相平分(对角线)；(4)中心对称(对称性)
判定 (1)两组对边分别平行的四边形；(2)一组对边平行并且相等的四边形；(3)两组对边分别相等的四边形；(4)两组对角分别相等的四边形；(5)对角线互相平分的四边形
重要结论 (1)平行四边形相邻两边之和等于周长的一半；(2)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；(3)平行四边形面积＝底×高
第2节　特殊的平行四边形
知识点 内容
特殊平行四边形的性质
四边形 边 角 对角线 对称性
矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线相等且互相平分 轴对称，中心对称
菱形 对边平行，四条边相等 对角相等，邻角互补 对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角 轴对称，中心对称
正方形 对边平行，四条边相等 四个角都是直角 对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 轴对称，中心对称
特殊平行四边形的判定
矩形 有一个角是直角的平行四边形；(2)有三个角是直角的四边形；(3)两条对角线相等的平行四边形
菱形 有一组邻边相等的平行四边形；(2)四条边相等的四边形；(3)对角线互相垂直的平行四边形
正方形 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形；(2)有一组邻边相等的矩形；(3)有一个角是直角的菱形；(4)对角线相等且互相垂直平分的四边形
特殊平行四边形之间的关系及相互转化
特殊平行四边形的面积
矩形 矩形面积＝长×宽
菱形 菱形面积＝底×高＝×两条对角线的积
正方形 正方形面积＝边长×边长＝×两条对角线的积
第7讲　圆
第1节　圆的基本性质
知识点 内容
圆的基本概念
等圆 半径相等的两个圆叫做等圆
半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆
弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；能够重合的圆弧称为相等的弧
弦 连结圆上任意两点的线段叫做弦
直径 经过圆心的弦叫做直径
弦心距 圆心到弦的距离叫做弦心距
圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角
圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角
确定圆的条件 不在同一条直线上的三点确定一个圆
垂径定理及其推论
定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧
推论 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；(2)平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
弧、弦、圆心角之间的关系
圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
圆心角定理的推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等
注意 弧的度数等于它所对圆心角的度数
圆周角定理及其推论
定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半
推论 (1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等；(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径
圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，任意一个外角等于它的内对角(和它相邻的内角的对角)
第2节　与圆有关的位置关系
知识点 内容
点与圆的位置关系 (1)d＜r 点P在⊙O内； (2)d＝r 点P在⊙O上；(3)d＞r 点P在⊙O外
直线和圆的位置关系
关系 相离 相切 相交
图形
公共点个数 0 1 2
数量关系 d＞r d＝r d＜r
切线的性质与判定
切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
注意 经过切点并垂直于切线的直线必过圆心
切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
第3节　与圆有关的计算
知识点 内容
扇形 l＝，S＝＝lr
圆柱 S侧＝Ch＝2πrh，S全＝2πrh＋2πr2
圆锥 S侧＝Cl＝πrl，S全＝πr2＋πrl
第8讲　尺规作图
知识点 内容
尺规作图及基本作图
定义 在几何中，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图
五种基本作图 作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)作一个角的平分线；(4)过定点作已知直线的垂线；(5)作线段的垂直平分线
一般步骤 (1)已知；(2)求作；(3)作法
注意 当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹．对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法



第9讲　图形与变换
第1节　图形的轴对称、平移与旋转
知识点 内容
图形的轴对称
轴对称图形的定义 如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形
轴对称图形的性质 对应线段相等，对应角相等；对称轴垂直平分连结两个对称点的线段
图形的轴对称
图形的轴对称图形的概念 由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴
图形的轴对称的性质 (1)成轴对称的两个图形是全等图形；(2)对应线段或延长线相交，交点在对称轴上
图形的中心对称
中心对称图形的定义 把一个图形绕着一个点旋转180°后，能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心
中心对称图形的性质 对称中心平分连结两个对称点的线段
成中心对称 如果一个图形绕着一个点旋转180°后，能够和另一个图形互相重合，那么就称这两个图形关于该点成中心对称
图形的平移
定义 一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移
性质 (1)平移不改变图形的形状和大小， 只改变图形的位置，平移后新旧两个图形全等；(2)平移后，对应线段相等且平行，对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等；(3)平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行、方向相同
图形的旋转
定义 一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都有一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心
性质 (1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等；(2)在图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度；(3)任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度都等于旋转的角度；(4)对应点到旋转中心的距离相等
坐标与图形的位置及运动
图形的平移变换 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位
图形关于坐标轴成对称变换 在平面直角坐标系内，如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；在平面直角坐标系内，如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相等
图形关于原点成中心对称 在平面直角坐标系内，如果两个图形关于原点成中心对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数
图形关于原点成位似变换 在平面直角坐标系内，如果两个图形的位似中心为原点，相似比为k，那么这两个位似图形对应点的坐标的比等于k或－k
第2节　图形的相似
知识点 内容
比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段
比例的基本性质 (1)基本性质：＝ 则 ad＝bc (a，b，c，d都不为0)；(2)合比性质：＝ 则 ＝；(3)等比性质：＝＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)则＝k
平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例
黄金分割 定义：如果点P把线段AB分成两条线段AP和BP，使AP＞BP，且＝，那么线段AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，AP与AB的比叫做黄金比(黄金比的比值为，约为0.618)
相似三角形
定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形
性质 (1)对应角相等，对应边成比例；(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方；(3)对应高之比、对应角平分线之比和对应中线之比都等于相似比
判定 (1)有两个角对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似
注意 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似
位似图形
概念 如果两个图形满足以下两个条件：(1)所有经过对应点的直线都相交于一点；(2)这个交点到两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形叫做位似图形，
性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
第3节　解直角三角形
知识点 内容
锐角三角函数的概念(注：在Rt△ABC中，∠C＝90°)
正弦 sinA＝＝
余弦 cosA＝＝
正切 tanA＝＝
特殊角的三角函数值
角 30° 45° 60°
sin
cos
tan 1
解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形
解直角三角形的理论依据 (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sinA＝，cosA＝，tanA＝
解直角三角形及其应用
仰角、俯角、坡度、坡角和方向角 (1)仰角：视线在水平线上方的角叫做仰角；俯角：视线在水平线下方的角叫做俯角；(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示；坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα；(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角
解直角三角形实际应用的一般步骤 (1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解



第4节　视图与投影
知识点 内容
三视图 主视图：从正面看到的图形；俯视图：从上面看到的图形；左视图：从左面看到的图形
三视图的对应关系 (1)长对正：主视图与俯视图的长相等，且相互对正；(2)高平齐：主视图与左视图的高相等，且相互平齐；(3)宽相等：俯视图与左视图的宽相等，且相互平行
常见几何体的三视图 (1)正方体的三视图都是正方形；(2)圆柱的三视图有两个是矩形，另一个是圆；(3)圆锥的三视图中有两个是三角形，另一个是圆；(4)球的三视图都是圆
投影
平行投影 由平行光线形成的投影
中心投影 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影



第10讲　统计与概率
第1节　抽样与数据分析
知识点 内容
数据的收集
数据收集的常用方法 (1)全面调查；(2)抽样调查(注意：在抽样调查中我们通常采用的方法是简单随机抽样，即总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到)
总体 要考察的全体对象
个体 组成总体的每一个考察对象
样本 被抽查的那些个体组成一个样本
样本容量 样本中个体的数目(不用写单位)
数据的分析反映数据集中程度的量
平均数 n个数x1，x2，…，xn的平均数x＝(x1＋x2＋…＋xn)
加权平均数 (1)一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是ω1，ω2，…，ωn，则 叫做这n个数的加权平均数；(2)若x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次，且f1＋f2＋…＋fk＝n，则这k个数的加权平均数＝(x1f1＋x2f2＋…＋xkfk)
中位数 将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数
众数 一组数据中出现次数最多的数据
数据的分析反映数据离散程度的量
极差 最大数－最小数
方差 设x1，x2，…，xn的平均数为x，则这n个数据的方差为s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]
注意 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，越稳定
数据的整理和描述
频数 每个对象出现的次数
频率 频数与数据总数的比
条形统计图 能够显示每组中的具体数据
扇形统计图 能够显示部分在总体中的百分比
折线统计图 能够显示数据的变化趋势
数据的整理和描述
频数分布直方图 能够显示数据的分布情况
画频数分布直方图的步骤 (1)计算最大值与最小值的差；(2)决定组距与组数；(3)列频数分布表；(4)画频数分布直方图
第2节　事件的概率
知识点 内容
概率事件的类型
公式 P(A)＝(m表示试验中事件A出现的次数，n表示所有等可能出现的结果的次数)
用频率可以估计概率 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p＝
确定性事件
必然事件 概率为1
不可能事件 概率为0
不确定性事件(随机事件) 概率为0随机事件概率的计算 直接列举法、列表法、画树状图法

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