资源简介

1
如何解答高考数学压轴题



高考压轴题怎么解？罗增儒教授把解题总结为“条件预示可知并启发解题手段，结论预
告需知并诱导解题方向.”即从已知条件入手推出中间结论（可知），当中间结论能直接证明
最终结论时，则解题成功.当中间结论不能直接证明最终结论时，可把最终结论等价转化为
“需知”，再用中间结论证明“需知”从而达到解题目的.有时还要挖掘题目的隐含条件.从
某种意义上说，解题就是“找关系”----找出已知与未知的联系，不断缩小以至消除二者之
间的差距，从而达到解题目的.可以用框图或打油诗表示如下：
逛公园顺道看景，
好风光驻足留影.
把条件翻成图式，
关键处深挖搞清.
综合法由因导果，
分析法执果索因.
两方法嫁接联姻，
让难题遁现原形.
以下通过例题说明解答压轴题的
基本策略.
1. 学会分析转化
所谓转化简言之，就是缩小已知和求证（解）之间的差距，其方法就是不断等价转化，
或转化条件，或转化结论，直到二者的因果关系，使解题得以实施.
例 1设b ? 0 ,数列 满足a1 ? b，
1
1
( 2)
1n
n
n
nba
a n
a n
?
?
?
? ?
≥ .
（1）求数列 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数 n ， 12 1.nna b
?? ?
解 求通项好像没有头绪的题目，第一想法就是要把它转化成熟悉的形式，这时就要看
脑子里有哪些熟悉的模型，如果记得形如 1
1 2
n
n
n
a
a
a
?
?
?
?
（教材有类似的习题）的求通项的
解法：两边取倒数得 1
1 1
21 2
1n
n n n
a
a a a
?
? ?
?
? ? ? ，从而转化成 1n nc pc q?? ? 的形式来求解.那
么对（1）下述解法是自然的：
两边取倒数得 1
1
1 1n
n n
a n
a bna
?
?
? ?
? ，即 1
1 1
1 1 1 1n
n n n
n a n n
a ba b b a
?
? ?
? ? ?
? ? ? ? .记 n
n
n
c
a
? ，则
1
1 1
n nc c
b b
?? ? ? 11 1
1 1 1
n n
c
b b b? ?
? ? ? ?
1
1 1 1
.
n nb b b?
? ? ? ? 所以
? ?na
? ?na
否
已知条件 隐含条件
件
中间结论（可知） 已知条件的等价转化
待求（证）的结论 结论的等价转化（需知）
能
否
能
2
1, 1,
( 1)
, 1.
1
n
n
n
b
a nb b
b
b
??
?
? ? ?
??
??


（2）当 1b ? 时， 12 1 2nna b
?? ? ? ，结论成立。
当 1b ? ， 直 接 证 明 无 法 入 手 ， 于 是 想 到 把 结 论 进 行 等 价 转 化 ：
12 ( 1)2 1,
1
n
n
n n
nb b
a b
b
??? ? ?
?
即
1 12 ( 1)
1
n
n n bnb b
b
? ?? ? ?
?
。
若通分
2 1 1
1 1 1( 1)
1 1
n n n n
n b b b bb
b b
? ?
? ? ? ? ?? ? ?
? ?
，右边不好化简，于是转而把
1
1
nb
b
?
?
化成
1 2 1nb b b? ?? ? ? ? ，再乘以 1( 1)nb ? ? 得
1 2 2 1 2 2 1 1 2 21( 1) 1
1
n
n n n n n n nbb b b b b b b b b
b
? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?

注意到括号内距两端“距离”相等的两项之积为
2nb ，因此想到对括号内 2n项用重要
不等式得，右边 2 ( ) 2 .n n n nb b b nb? ? ? ? ? ? 即
12 ( 1)2 1 .
1
n
n
n n
nb b
a b
b
??? ? ?
?

综上所述 12 1.nna b
?? ?
由此我们看出解压轴题的基本思路：
1.把已知条件转化到熟悉的问题，本题是转化为二阶递推数列 1n nc pc q?? ? 的形式，
从而顺利完成第（1）的解答.
2. 当条件不能直接证明结论时，就要对条件或结论进行等价转化，直至转化后的条件
能证明结论（或转化后的结论）.本题在（1）的条件下，要直接证明（2）是困难的，因此，
就要对此作等价转化，有时可能需要多次等价转化（本例是对结论进行 3 次转化），最终达
到要证明的目标.
2.熟悉基本模型
对一些综合问题，常有一些同学说没有思路，或即使有思路但太繁，以至很难做到底.
其实，有些问题有简单方法，但这些似乎不是书本上的“正统”内容，但平时学习中又似曾
相识.若能把这些似曾相识的内容整理成基本模型，对解答综合题不仅能提供思路，还能给
出简单解法.
例 2 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ．如图
所示，斜率为 且不过原点的直线 交椭圆 于 ， 两点，
xOy
2
2: 1
3
x
C y? ?
( 0)k k＞ l C A B
3
线段 的中点为 ，射线 交椭圆 于点 ，交直线 于点 ．
（1）求 的最小值；
（2）若
2
OG OD OE? ? ，
（i）求证：直线 过定点；
（ii）试问点 ， 能否关于 轴对称？若能，求出此时 ABG? 的外接圆方程；若不能，
请说明理由．
解 如果熟悉结论:若椭圆
2 2
2 2
1? ?
x y
a b
的弦 AB （不与坐标轴平行）的中点为 P ，则
2
2AB OP
b
k k
a
? ? ? (证明只要设
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，代入椭圆方程,作差整理即得) .那么第
(1)的证明很简单:
1
3
OEk k? ? ? ,所以直线 OE 的方程为
1
3
y x
k
? ? ,因 G 在直线 OE 上,故
1 1
( 3)
3
m
k k
? ? ? ? ? ,即 1mk ? , 2 2mk? ? ，当且仅当m k? ，即 1k ? 时取等号。
（2）（i）设 ( , )( 0, 0)G s t s t? ? ，则
2
2 1
3
s
t? ? ，再设 0 0( , )E x y ， l ： y kx n? ? 。
因
2
OG OD OE? ? 可变形为
| | | |
| | | |
OG OE
OD OG
? ，若把它投影到坐标轴上，则可得
2
0
2 0
0
3 ,
.
s x
y
t my
k
? ? ?
?
?
? ??
?
即
2
0
2
0
,
3
.
s
x
y kt
?
? ??
?
? ??

因点 E在直线 l 上，所以 0 0y kx n? ? ，即
2
2
3
s
kt k n?? ? ? ，亦即
2
2( )
3
s
n k t k? ? ? 。
所以直线 l 的方程为 ( 1)y kx k k x? ? ? ? ，从而直线 l 过定点 ( 1,0)? 。
（ii）设 ， 能否关于 轴对称，则 ( , )B s t? ，因 B 在 l 上，所以 ( 1)t k x? ? ? ，
1
t
k
s
? ?
?
。
又 OE OGk k? ，所以
1
3
s
t k
? ? ，即
3
s
k
t
? ? ，与上式联立得 2 23s s t? ? ，又
2
2 1
3
s
t? ? ，
解得
3 1
,
2 2
s t? ? ? ，此时 1k ? ，从而
3 1
( , )
2 2
G ? ，
3 1
( , )
2 2
B ? ? 。
由于直线 l 的方程为 1y x? ? 过点 (0,1) 在椭圆上，所以 (0,1)A ，因圆心在弦 AG、BG
AB E OE C G 3x ? ? ( 3, )D m?
2 2m k?
l
B G x
2 2m k?
B G x
4
的垂直平分线上，所以圆心坐标
1
( ,0)
2
? ，半径为
5
2
，圆方程为
2 21 5( ) .
2 4
x y? ? ?
所以，当 、 关于 轴对称时， ABG? 的外接圆方程为
2 21 5( ) .
2 4
x y? ? ?
评述：从上述解答过程中读者能看出思考途径：（1）是利用已知结论，对焦点在 y 轴上
的椭圆有类似结论，对双曲线也有类似结论，证明都是用解决中点弦问题常用方法----“点
差法”。只有平时学习中应该多注意积累，把一些典型的例题、习题的结论推广到一般情况，
总结成模型，就能解答一类问题，对压轴题是十分有利的，不仅解题思路开阔，还能能选择
简捷的方法，又好又快地解题。2010年上海卷最后一题（见本书§3.2例 3）用此解法十分
简单。
（2）是把线段乘积转化为比例问题，从而想到投影到坐标轴上，转化为坐标间的乘积。
有些同学要问，是怎么想到投影到坐标轴上？其实，这是向量坐标法的本质所在，读者不妨
回忆一下向量的坐标是怎么定义的。回到定义，往往能使较难问题获得非常简单的加法，复
习要格外注意。解答 2008年浙江一道压轴题（见§3.5发散训练 3）也用此法会获简解。
本题常规解法是把直线方程代入椭圆方程，计算冗长，极易出错，即使对理科同学也不
是轻而易举就能得到正确答案。
3.有了想法就写
解答综合题往往有“看不到底”的经历，即不能从开始到结束都能有明确的思路，但若
能根据条件，写出由此能得到的相应结论，一步一步摸索向前，并运用分析转化等方法，最
终得到正确结论.然而，实际上不少同学遇到问题是首先看是否做过或有没有明确思路，一
旦不是熟悉的问题，就不自信，不能冷静分析，坐失良机.
例 3 已知抛物线 1C :
2x ＝ y ，圆 2C :
2 2( 4) 1x y? ? ? 的圆心为点 M.
（Ⅱ）已知点 P 是抛物线 1c 上一点（异于原点），过点 P 作圆 2c 的两条切线，交抛物线 1c
于 A，B 两点，若过 M，P 两点的直线 l 垂直于 AB，求直线 l 的方程.
解 由MP AB? ，得 1AB MPk k? ? ? ，因此要用某个量（选择参数）表示
,AB MPk k 。由题意，点 P 是“主动”点，故以点 P 的坐标为参数。设
2( , )P t t ，
则
2 4
MP
t
k
t
?
? 。
还要再求直线 AB的方程，一时还没有明确方向，从已知条件看，只能从切线入手。
设
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，由题意 1 20, 1,t t x x? ? ? ? 。那么过点 P 的圆 C2 的切线 PA
的方程为 2
1( )( )y x t x t t? ? ? ? ，即 1 1( ) 0x t x y tx? ? ? ? 。
因 M 到直线 AP 的距离为 1，则 1
2
1
| 4 |
1
1 ( )
tx
t x
? ?
?
? ?
，即 2 2
1 16 ( 1) 15 0tx t y t? ? ? ? ? 。
同 理 ，
2 2
2 26 ( 1) 15 0tx t y t? ? ? ? ? ， 由 此 可 知 ， 点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 在
B G x
5
2 26 ( 1) 15 0tx t y t? ? ? ? ? 上，故
2
6
1
AB
t
k
t
?
?
，所以
2
2
4 6
1
1
MP AB
t t
k k
t t
?
? ? ? ? ?
?
，解得
115
115
t ? ? ，所以直线 l 的方程为
115
4
115
y x? ? ? 。
评述：虽然开始并没有想到直接求 AB 方程的方法，但在根据已知条件得出的结论中发
现了 AB 的方程，难点就此突破，解题也就妙在其中。由 PA、PB方程得到 AB的方程可能有
些同学未必一眼看出，这是对曲线和方程的概念理解不深所致。因为点 AB 的坐标适合方程
2 26 ( 1) 15 0tx t y t? ? ? ? ? ，故它是直线 AB的方程。
由此我们看出解答没有明确思路的压轴题，可以把已知条件具体化（或从特殊到一般，
如本书§2.1 发散训练 4 等），再结合结论的要求，一步步向结论靠近，最终达到证明的目
的.关键是要自信，要敢于动手，同时要审时度势，把陌生问题转化成熟悉的问题.
4．巧解客观题
填空题的最后两题，选择题的最后一题通常也是压轴题.应尽可能不当成解答题来做，
而运用数学思想方法，比如合情推理、特殊化思想、数形结合、利用已知结论等，找到简单
的解法.
例 5 如图，体积为V 的大球内有 4 个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面
有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的 4
个顶点． 1V 为小球相交部分（图中阴影部分）的体积， 2V 为大球内、
小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是 （ ）
（A） 1
2
V
V ? (B) 2
2
V
V ? （C） 1 2V V? （D） 1 2V V?
解 由于选择支出现 1V 、 2V 、
1
2
V ，因此，只要比较 1V 、 2V 与
1
2
V 的大小．直接计算 1V
是麻烦的，可以先估计其大致范围．
设大球半径为 r ，则小球半径为
1
2
r ，那么
34
3
V r?? ，内部 4 个小球的体积之和为
344 ( )
3 2
r
??
1
2
V? ，而 1V 只是 4个球相交的部分，因此 1
1
2
V V? ， 2
1
2
V V? ，所以 1 2V V? ，
选（D）．
这其实是合情推理，有一点计算,还有一点估算.
例 6设 1 2 3 4, , ,A A A A 是平面上给定的 4个不同的点，则使 1 2 3 4 0MA MA MA MA? ? ? ?
成立的点M 的个数为 （ ）
（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 4
可以先考虑 3 点的情况： 1 2 3 0MA MA MA? ? ? ，这时M 是 1 2 3A A A? 的重心，只有 1
个，由此可知M 是四边形 1 2 3 4A A A A 的重心，因而选 B.
解答复杂问题直接解答有困难，从特殊化入手是常用方法，即华罗庚先生说的“退到不
6
失本质”的地方，直到突破口再完成解答.当然，本题也可以设出各点坐标来解.
例7 长方体的一条对角线长为 7 ，它在过一个顶点的3个侧面上的投影长分别为 6 、
m 和 n ，则m n? 的最大值为_______。
解 如图，设长方体的长、宽、高分别为 , ,a b c， 2 2 6a b? ? ，
2 2 2a c m? ? ， 2 2 2b c n? ? 。因要求m n? 的最大值，且m 和
n 是对称的，可令m n? ，则a b? ，由 2 2 6a b? ? 得 2 3a ? ，又 2 2 2 7a b c? ? ? ，所以 1c ? ，
从而 2m n? ? ，m n? 的最大值为 4。
本题之所以能令m n? ，是基于法国物理学家皮埃尔·居里（1859-1906）的对称原理：
对称性原理是凌驾于物理规律之上的自然界的一条基本原理，它是宇宙间超越物理各个领域
的普遍法则.它在数学领域的应用之一就是极值问题的对称性原理：“如果一个函数（代数式）
中的若干变量具有对称性，则这个函数（代数式）的极值往往在这些变量都相等时取得.至
于它是极大值或极小值，或由问题本身决定，或靠理论作出判断.”
具有对称性问题，特殊化思想往往会使解答变得简单，在客观题中更是解题“秘笈”。
例 8 已知以 4T ? 为周期的函数
21 , ( 1,1]
( )
1 2 , (1,3]
m x x
f x
x x
? ? ? ??
? ?
? ? ???
，其中 0m ? 。若方程
3 ( )f x x? 恰有 5个实数解，则m 的取值范围为（ ）w.w.w.k.s.5.
（A）
15 8
( , )
3 3
（B）
15
( , 7)
3
（C）
4 8
( , )
3 3
（D）
4
( , 7)
3

解 因为当 ( 1,1]x? ? 时，将函数化为方程
2
2
2
1( 0)
y
x y
m
? ? ? ，其图象是 x 轴上方的半
一个半椭圆；当 (1,3]x? 时，
1(1 2),
3 (2 3).
x x
y
x x
? ? ??
? ?
? ? ??
其图象是折线段，由于周期是 4，作出
它们的图象（如图）。由图易知直线
3
x
y ? 与第二个椭圆
2
2
2
( 4) 1( 0)
y
x y
m
? ? ? ? 相交，而
与第三个半椭圆
2
2
2
( 8) 1( 0)
y
x y
m
? ? ? ? 无公共点时，方程恰有 5个实数解，
当
4
3
m ? 时,从图象很难发现在区间 (3,4)
直线与半椭圆的交点情况,同样当
8
3
m ? 时,也
难以从图象发现在区间 (7,8) 直线与半椭圆的交
点情况,正如华罗庚先生所说“形缺数数时难入
微”，所以还是把直线方程与代入椭圆方程联立，
消去一个变量，得到一元二次方程，利用判别式来解：
将
3
x
y ? 代入
2
2
2
( 4) 1( 0)
y
x y
m
? ? ? ? 得 2 2 2 2(9 1) 72 135 0,m x m x m? ? ? ?
令
29 ( 0)t m t? ? ，则 2( 1) 8 15 0t x tx t? ? ? ? 。
n
m
c
b
a
D C
BA
A1 B1
C1D1
4
3
8
3
y=
x
3
1
O
y
x987654321
7
由 0 15t? ? ?得 ，解得
15
3
m ? 。
同样由
3
x
y ? 与第二个椭圆
2
2
2
( 8) 1( 0)
y
x y
m
? ? ? ? 由 0? ? 可计算得 7m ? 。
综上知
15
( , 7)
3
m? ，选（B）。
希望以上方法对解答压轴题能起到抛砖的作用，相信同学们在老师的指导下，通过自己
的努力，切实提高解答压轴题的能力.
最后，以一副对联结束本文
宏观藐视 理解题意 有了想法写出来
微观重视 实时转化 细节落实回基础
横批：相信自己

展开更多......

收起↑