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备战2020届高考复习：带电粒子在复合场中的运动
【问题一】带电粒子在复合场中运动的实例分析
1．图中所示为某种质谱仪的工作原理示意图．此质谱仪由以下几部分构成：粒子源N；P、Q间的加速电场；静电分析器，即中心线半径为R的四分之一圆形通道，通道内有均匀辐射电场，方向沿径向指向圆心O，且与圆心O等距的各点电场强度大小相等；磁感应强度为B的有界匀强磁场，方向垂直纸面向外；胶片M．由粒子源发出的不同带电粒子，经加速电场加速后进入静电分析器，某些粒子能沿中心线通过静电分析器并经小孔S垂直磁场边界进入磁场，最终打到胶片上的某点．粒子从粒子源发出时的初速度不同，不计粒子所受重力．下列说法中正确的是

A．从小孔S进入磁场的粒子速度大小一定相等
B．从小孔S进入磁场的粒子动能一定相等
C．打到胶片上同一点的粒子速度大小一定相等
D．打到胶片上位置距离O点越远的粒子，比荷越大
2．质谱仪是一种测定带电粒子质量或分析同位素的重要设备，它的构造原理如图所示．离子源S产生的各种不同正离子束（速度可视为零），经MN间的加速电压U加速后从小孔S1垂直于磁感线进入匀强磁场，运转半周后到达照相底片上的P点．设P到S1的距离为x，则（ ）


A．若离子束是同位素，则x越大对应的离子质量越大
B．若离子束是同位素，则x越大对应的离子质量越小
C．只要x相同，对应的离子质量一定相同
D．只要x相同，对应的离子电荷量一定相同
3．回旋加速器是加速带电粒子的装置其核心部分是分别与高频交流电源两极相连接的两个D形金属盒,两盒间的狭缝中形成的周期性变化的电场,使粒子在通过狭缝时都能得到加速,两D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中,如图所示,要增大带电粒子射出时的动能,则下列说法中正确的是(????)

A．减小磁场的磁感应强度
B．增大匀强电场间的加速电压
C．增大D形金属盒的半径
D．减小狭缝间的距离
4．如图一所示是用来加速带电粒子的回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒，在加速带电粒子时，两金属盒置于匀强磁场中，两盒分别与高频电源相连.带电粒子在磁场中运动的动能随时间的变化规律如图二所示忽略带电粒子在电场中的加速时间，则下列判断中正确的是（ ）

A．在图像中应有
B．加速电压越大，粒子最后获得的动能就越大
C．粒子加速次数越多，粒子最大动能一定越大
D．要想粒子获得的最大动能增大，可增加D形盒的面积
5．图示为回旋加速器，其主体部分是处于垂直于盒底的匀强磁场中的两个D形金属盒分别与高频交流电源两极相连接，粒子每次经过两盒间的狭缝时都得到加速。已知对原子核加速时，从回旋加速器射出时的动能为Ek。若对原子核加速，下列说法正确的是(与均从D形金属盒中心处由静止开始加速)

A．其他条件不变，射出加速器时的动能为Ek
B．应将电源的频率减小为原来的，射出加速器时的动能为Ek
C．应将电源的频率减小为原来的，射出加速器时的动能为Ek
D．应将电源的频率增大为原来的2倍，射出加速器时的动能为Ek
6．导体导电是导体中的自由电荷定向移动的 结果，这些可以移动的电荷又叫载流子，例如金属导体中的载流子就是自由电子，现代广泛应用的半导体材料可以分成两大类，一 类为N型半导体，它的载流子是电子；另 一类为P型半导体，它的载流子是“空穴”， 相当于带正电的粒子。如果把某种材料制成的霍尔元件样品置于磁场中，表面与磁场方向垂直，图中的 1、2、3、4 是霍尔元件上的 四个接线端，当开关S1、S2闭合后，三个电表都有明显示数，下列说法正确的是（ ）

A．通过霍尔元件的磁场方向向下
B．如果该霍尔元件为N型半导体材料制成，则接线端4的电势低于接线端2的电势
C．如果该霍尔元件为P型半导体材料制成，则接线端4的电势低于接线端2的电势
D．若仅适当减小R1，则电压表示数一定减小
【问题二】 带电粒子在组合场中的运动
【规律总结】
1．两大偏转模型
电偏转：带电粒子垂直进入匀强电场中；磁偏转：带电粒子垂直进入匀强磁场中．
2．思维流程

1．如图为近代物理实验室中研究带电粒子的一种装置．带正电的粒子从容器A下方小孔S不断飘入电势差为U的加速电场．进过S正下方小孔O后，沿SO方向垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打在照相底片D上并被吸收，D与O在同一水平面上，粒子在D上的落点距O为x，已知粒子经过小孔S时的速度可视为零，不考虑粒子重力．

（1）求粒子的比荷q/m；
（2）由于粒子间存在相互作用，从O进入磁场的粒子在纸面内将发生不同程度的微小偏转．其方向与竖直方向的最大夹角为α，若假设粒子速度大小相同，求粒子在D上的落点与O的距离范围；
（3）加速电压在（U±△U）范围内的微小变化会导致进入磁场的粒子速度大小也有所不同．现从容器A中飘入的粒子电荷最相同但质量分别为m1、m2（m1＞m2），在纸面内经电场和磁场后都打在照相底片上．若要使两种离子的落点区域不重叠，则应满足什么条件？（粒子进入磁场时的速度方向与竖直方向的最大夹角仍为α）
2．（20分）电子对湮灭是指电子和正电子碰撞后湮灭，产生伽马射线的过程，电子对湮灭是正电子发射计算机断层扫描（PET）及正子湮灭能谱学（PAS）的物理基础．如图所示，在平面直角坐标系xOy上，P点在x轴上，且，Q点在负y轴上某处．在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，在第Ⅱ象限内有一圆形区域，与x、y轴分别相切于A、C两点，，在第Ⅳ象限内有一未知的圆形区域（图中未画出），未知圆形区域和圆形区域内有完全相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里．一束速度大小为v0的电子束从A点沿y轴正方向射入磁场，经C点射入电场，最后从P点射出；另一束速度大小为的正电子束从Q点沿与y轴正向成45°角的方向射入第Ⅳ象限，而后进入未知圆形磁场区域，离开磁场时正好到达P点，且恰好与从P点射出的电子束正碰发生湮灭，即相碰时两束粒子速度方向相反．已知正负电子质量均为m、电量均为，电子的重力不计．求：

（1）圆形区域内匀强磁场磁感应强度B的大小和第Ⅰ象限内匀强电场的场强E的大小；
（2）电子从A点运动到P点所用的时间；
（3）Q点纵坐标及未知圆形磁场区域的面积S．
3．如图为一装放射源氡的盒子，静止的氡核经过一次α衰变成钋Po，新核Po的速率约为2×105m/s．衰变后的α粒子从小孔P进入正交的电磁场区域Ⅰ，且恰好可沿中心线匀速通过，磁感应强度B=0.1T．之后经过A孔进入电场加速区域Ⅱ，加速电压U=3×106V．从区域Ⅱ射出的α粒子随后又进入半径为r=m的圆形匀强磁场区域Ⅲ，该区域磁感应强度B0=0.4T、方向垂直纸面向里．圆形磁场右边有一竖直荧光屏与之相切，荧光屏的中心点M和圆形磁场的圆心O、电磁场区域Ⅰ的中线在同一条直线上，α粒子的比荷为=5×107C/kg．

(1)请写出衰变方程，并求出α粒子的速率(保留一位有效数字)；
(2)求电磁场区域Ⅰ的电场强度大小；
(3)粒子在圆形磁场区域Ⅲ的运动时间多长？
(4)求出粒子打在荧光屏上的位置．
4．如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强电场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行。一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0,h)点，以大小为的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h,0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点Q进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成角，不计粒子所受的重力。求
(1)电场强度E的大小；
(2)粒子到达a点时速度的大小和方向；
(3)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值；
(4)在(3)情况下带电粒子从P点运动到Q点历经多长时间。

【问题三】带电粒子在复合场中运动
【规律总结】
1．解题规范
(1)叠加场的组成特点：电场、磁场、重力场两两叠加，或者三者叠加．
(2)受力分析：正确分析带电粒子的受力情况，场力、弹力和摩擦力．
(3)运动分析：匀速直线运动、匀速圆周运动、匀变速直线运动、类平抛运动、非匀变速曲线运动．
(4)选规律，列方程：应用运动学公式、牛顿运动定律和功能关系．
2．灵活选择运动规律
(1)若只有两个场且正交，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态．例如电场与磁场中满足qE＝qvB；重力场与磁场中满足mg＝qvB；重力场与电场中满足mg＝qE.
(2)三场共存时，若合力为零，则粒子做匀速直线运动；若粒子做匀速圆周运动，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m.
(3)当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．
1．如图所示，空间存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场．在该区域中，有一个竖直放置的光滑绝缘圆环，环上穿有一个带正电的小球．O点为圆环的圆心，a、b、c、d为圆环上的四个点，a点为最高点，c点为最低点，b、O、d三点在同一水平线上．已知小球所受电场力与重力大小相等．现将小球从环的顶端a点由静止释放，下列判断正确的是(　　)

A．当小球运动到d点时，不受洛伦兹力
B．小球能越过d点并继续沿环向上运动
C．小球从b点运动到c点的过程中，经过弧bc中点时速度最大
D．小球从d点运动到b点的过程中，电势能增大，重力势能减小
2．如图所示，在矩形区域abcd内有匀强电场和匀强磁场已知电场方向平行于ad边且由a向d，磁场方面垂直于abcd平面，ab边长为，ad边长为一带电粒子从ad边的中点O平行于ab方向以大小为的速度射入场区，恰好作匀速直线运动；若撤去电场，其它条件不变，则粒子从c点射出场区（粒子重力不计）.下列说法正确的是（ ）

A．磁场方面垂直abcd平面向外
B．撤去电场后，该粒子在磁场中的运动时间为
C．若撤去磁场，其它条件不变，则粒子在电场中运动时间为
D．若撤去磁场，其它条件不变，则粒子射出电场时的速度大小为
3．在直角区域aob内，有垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从o点沿纸面以一定速度射入磁场中，速度方向与边界ob成30°角，从磁场出来的位置离开O点的距离为L，求

（1）粒子带正电还是负电；
（2）若磁场的磁感应强度为B，粒子的质量为m，带电量为q，则粒子在磁场中运动的速度为多少？在磁场中运动的时间为多少？
4．如图所示，平面直角坐标系的Y轴竖直向上，在第二、三象限内有沿Y轴正方向的匀强电场E1，第一、四象限内有沿x轴负方向的匀强电场E2，第二象限内还有方向垂直纸面向外的匀强磁场。有一质量m=1×10－5kg、电荷量q=4×10－5C的带正电小球，自P点沿与＋Y轴成37°角以v0=3m/s的速度射入第三象限，沿直线从Q点进入第二象限，又从y轴上的F点（图中未画出）沿水平方向进入第一象限，最后恰好经过P点。已知OP间距为d=0.08m，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，不计空气阻力，求：
(1)电场强度E1的大小；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)电场强度E2的大小。

【问题四】带电粒子在交变电磁场中的运动
【规律总结】
1．基本思路
变化的电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性．这种情况下要仔细分析带电粒子的运动过程、受力情况，弄清楚带电粒子在变化的电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动轨迹的草图．
2．分析重点


1．在如图甲所示的空间内，存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为．在竖直方向存在交替变化的匀强电场(取竖直向上为正)，场强大小，如图乙所示．一倾角为、长度足够长的光滑绝缘斜面放置在此空间，斜面上有一质量为m，带电量为-q的甲小球，从t=0时刻由静止开始沿斜面下滑，设第5s内甲小球不会离开斜面，重力加速度为g.求:

(1)在5s内斜面对甲小球的最大支持力及电场力对小球做的功:
(2)第6s内甲小球离开斜面的最大距离;
(3)在第6s内甲小球离开斜面的距离最大时，让电场强度方向不再变化，同时撤去光滑斜面，在甲小球斜下方的A点射入另一个质量也为m、带电量为q的乙小球．设A点与此时甲小球相距为x、它们的连线与原斜面垂直，乙小球与此时甲小球速度大小相等、方向相反．此后两小球间可能发生的碰撞都是完全弹性碰撞，而且电量也不会转移，忽略两小球间的电作用力．在以后的运动过程中甲小球能通过A点求x的所有可能值．
2．如图甲所示，在xOy平面内有足够大的匀强电场，电场方向竖直向上，电场强度E=40 N/C，在y轴左侧平面内有足够大的瞬时磁场，磁感应强度B1随时间t变化的规律如图乙所示，15πs后磁场消失，选定磁场垂直纸面向里为正方向．在y轴右侧平面内还有方向垂直纸面向外的恒定的匀强磁场，分布在一个半径为r=0.3 m的圆形区域(图中未画出)，且圆的左侧与y轴相切，磁感应强度B2=0.8 T．t=0时刻，一质量m=8×10－4 kg、电荷量q=2×10－4 C的微粒从x轴上xP=－0.8 m处的P点以速度v=0.12 m/s向x轴正方向入射．(g取10 m/s2，计算结果保留两位有效数字)

(1)求微粒在第二象限运动过程中离x轴的最大距离和离y轴的最大距离；
(2)若微粒穿过y轴右侧圆形磁场时，速度方向的偏转角度最大，求此圆形磁场的圆心坐标(x，y)．
3．如图所示，与纸面垂直的竖直面MN的左侧空间中存在竖直向上场强大小为E的匀强电场（上、下及左侧无界）。一个质量为m、电量为q=mg/E的可视为质点的带正电小球，在t=0时刻以大小为v0的水平初速度向右通过电场中的一点P，当t=t1时刻在电场所在空间中加上一如图所示随时间周期性变化的磁场，使得小球能竖直向下通过D点，D为电场中小球初速度方向上的一点，PD间距为L，D到竖直面MN的距离DQ为L/π.设磁感应强度垂直纸面向里为正.

（1）试说明小球在0—t1+t0时间内的运动情况,并在图中画出运动的轨迹；
（2）试推出满足条件时t1的表达式（用题中所给物理量B0、m、q、v0、L来表示）；
（3）若小球能始终在电场所在空间做周期性运动.则当小球运动的周期最大时，求出磁感应强度B0及运动的最大周期T的表达式（用题中所给物理量m、q、v0、L来表示）。
4．在地面附近的真空中，存在着竖直向上的匀强电场和垂直电场方向水平向里的匀强磁场，如图甲所示．磁场的磁感应强度B（图像中的B0末知）随时间t的变化情况如图乙所示．该区域中有一条水平直线MN，D是MN上的一点．在t＝0时刻，有一个质量为m、电荷量为＋q的小球(可看做质点)，从M点开始沿着水平直线以速度v0向右做匀速直线运动，t0时刻恰好到达N点．经观测发现，小球在t＝2t0至t＝3t0时间内的某一时刻，又竖直向下经过直线MN上的D点，并且以后小球多次水平向右或竖直向下经过D点．不考虑地磁场的影响，求：

(1)电场强度E的大小；
(2)小球从M点开始运动到第二次经过D点所用的时间；
(3)小球运动的周期，并画出运动轨迹(只画一个周期)．










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备战2020届高考复习：带电粒子在复合场中的运动题型分类
【问题一】带电粒子在复合场中运动的实例分析
1．图中所示为某种质谱仪的工作原理示意图．此质谱仪由以下几部分构成：粒子源N；P、Q间的加速电场；静电分析器，即中心线半径为R的四分之一圆形通道，通道内有均匀辐射电场，方向沿径向指向圆心O，且与圆心O等距的各点电场强度大小相等；磁感应强度为B的有界匀强磁场，方向垂直纸面向外；胶片M．由粒子源发出的不同带电粒子，经加速电场加速后进入静电分析器，某些粒子能沿中心线通过静电分析器并经小孔S垂直磁场边界进入磁场，最终打到胶片上的某点．粒子从粒子源发出时的初速度不同，不计粒子所受重力．下列说法中正确的是

A．从小孔S进入磁场的粒子速度大小一定相等
B．从小孔S进入磁场的粒子动能一定相等
C．打到胶片上同一点的粒子速度大小一定相等
D．打到胶片上位置距离O点越远的粒子，比荷越大
【答案】C
【解析】
试题分析：对粒子加速过程有：，粒子经过圆形通道后从S射出后，速度不变，与v相同，可见比荷不同，速度就不同，A错误；粒子的动能取决于电量，电量不同动能不同，B错误；打到胶片上的位置取决于半径，可见打到胶片相同位置的粒子只与比荷有关，由前面分析之，比荷相同，速度相同，C正确；由r的表达式知，打到胶片上位置距离O点越远的粒子，比荷越小，D错误．
2．质谱仪是一种测定带电粒子质量或分析同位素的重要设备，它的构造原理如图所示．离子源S产生的各种不同正离子束（速度可视为零），经MN间的加速电压U加速后从小孔S1垂直于磁感线进入匀强磁场，运转半周后到达照相底片上的P点．设P到S1的距离为x，则（ ）


A．若离子束是同位素，则x越大对应的离子质量越大
B．若离子束是同位素，则x越大对应的离子质量越小
C．只要x相同，对应的离子质量一定相同
D．只要x相同，对应的离子电荷量一定相同
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
AB．根据动能定理得
qU=mv2
解得

根据

得

所以

若离子束是同位素，则x越大对应的离子质量越大，故B错误，A正确；
CD．根据

知x相同，则离子的荷质比相同，故CD错误．
故选A．
3．回旋加速器是加速带电粒子的装置其核心部分是分别与高频交流电源两极相连接的两个D形金属盒,两盒间的狭缝中形成的周期性变化的电场,使粒子在通过狭缝时都能得到加速,两D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中,如图所示,要增大带电粒子射出时的动能,则下列说法中正确的是(????)

A．减小磁场的磁感应强度
B．增大匀强电场间的加速电压
C．增大D形金属盒的半径
D．减小狭缝间的距离
【答案】C
【解析】
【详解】
粒子在回旋加速器中的最大半径为D形盒的半径，由，故最大动能为

A．由以上推导可知，增大磁感应强度可以增大最大动能，故A错误；
B．增加加速电压对最大动能无影响，故B错误；
C．增大D形盒半径可以增大最大动能，故C正确；
D．减小狭缝间距离对最大动能无影响，D错误；
故选C。
4．如图一所示是用来加速带电粒子的回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒，在加速带电粒子时，两金属盒置于匀强磁场中，两盒分别与高频电源相连.带电粒子在磁场中运动的动能随时间的变化规律如图二所示忽略带电粒子在电场中的加速时间，则下列判断中正确的是（ ）

A．在图像中应有
B．加速电压越大，粒子最后获得的动能就越大
C．粒子加速次数越多，粒子最大动能一定越大
D．要想粒子获得的最大动能增大，可增加D形盒的面积
【答案】D
【解析】
【详解】
A．根据，粒子回旋周期不变，在Ek-t图中应有t4-t3=t3-t2=t2-t1，故A错误；
BC．根据公式有

故最大动能

与加速电压无关，与加速次数无关，故BC错误；
D．根据最大动能，与半径有关；面积增加，则半径增加，故D正确；
故选D。
5．图示为回旋加速器，其主体部分是处于垂直于盒底的匀强磁场中的两个D形金属盒分别与高频交流电源两极相连接，粒子每次经过两盒间的狭缝时都得到加速。已知对原子核加速时，从回旋加速器射出时的动能为Ek。若对原子核加速，下列说法正确的是(与均从D形金属盒中心处由静止开始加速)

A．其他条件不变，射出加速器时的动能为Ek
B．应将电源的频率减小为原来的，射出加速器时的动能为Ek
C．应将电源的频率减小为原来的，射出加速器时的动能为Ek
D．应将电源的频率增大为原来的2倍，射出加速器时的动能为Ek
【答案】B
【解析】
【详解】
设的电量为q，质量为m，则的电量为2q，质量为4m，
对，洛伦兹力提供向心力，，；加速电场的周期等于在匀强磁场中做圆周运动的周期，T=。
A. 其他条件不变，在匀强磁场中做圆周运动的周期，不等于加速电场的周期，无法加速，故A错误；
B. 将电源的频率减小为原来的，周期变为原来的2倍，等于在匀强磁场中做圆周运动的周期。对，，射出加速器时的动能，故B正确，C错误；
D. 将电源的频率增大为原来的2倍，周期变为原来的一半，不等于在匀强磁场中做圆周运动的周期，无法加速，故D错误。
故选：B
6．导体导电是导体中的自由电荷定向移动的 结果，这些可以移动的电荷又叫载流子，例如金属导体中的载流子就是自由电子，现代广泛应用的半导体材料可以分成两大类，一 类为N型半导体，它的载流子是电子；另 一类为P型半导体，它的载流子是“空穴”， 相当于带正电的粒子。如果把某种材料制成的霍尔元件样品置于磁场中，表面与磁场方向垂直，图中的 1、2、3、4 是霍尔元件上的 四个接线端，当开关S1、S2闭合后，三个电表都有明显示数，下列说法正确的是（ ）

A．通过霍尔元件的磁场方向向下
B．如果该霍尔元件为N型半导体材料制成，则接线端4的电势低于接线端2的电势
C．如果该霍尔元件为P型半导体材料制成，则接线端4的电势低于接线端2的电势
D．若仅适当减小R1，则电压表示数一定减小
【答案】AC
【解析】
【详解】
A．根据右手螺旋定则，可知，铁芯上端是N极，因此通过霍尔元件的磁场方向向下，故A正确；
B．如果是N型半导体，载流子是负电荷，根据左手定则，负电荷向右偏，则右表面带负电，则φ4＞φ2，故B错误；
C．如果是P型半导体，载流子是正电荷，根据左手定则，正电荷向右偏，则右表面带正电，则φ4＜φ2．故C正确；
D．若仅适当减小R1，那么线圈中电流增大，则磁场增强，由

即
U=Bdv
则电压表示数可能会增大。故D错误。
故选AC。
【问题二】 带电粒子在组合场中的运动
【规律总结】
1．两大偏转模型
电偏转：带电粒子垂直进入匀强电场中；磁偏转：带电粒子垂直进入匀强磁场中．
2．思维流程

1．如图为近代物理实验室中研究带电粒子的一种装置．带正电的粒子从容器A下方小孔S不断飘入电势差为U的加速电场．进过S正下方小孔O后，沿SO方向垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打在照相底片D上并被吸收，D与O在同一水平面上，粒子在D上的落点距O为x，已知粒子经过小孔S时的速度可视为零，不考虑粒子重力．

（1）求粒子的比荷q/m；
（2）由于粒子间存在相互作用，从O进入磁场的粒子在纸面内将发生不同程度的微小偏转．其方向与竖直方向的最大夹角为α，若假设粒子速度大小相同，求粒子在D上的落点与O的距离范围；
（3）加速电压在（U±△U）范围内的微小变化会导致进入磁场的粒子速度大小也有所不同．现从容器A中飘入的粒子电荷最相同但质量分别为m1、m2（m1＞m2），在纸面内经电场和磁场后都打在照相底片上．若要使两种离子的落点区域不重叠，则应满足什么条件？（粒子进入磁场时的速度方向与竖直方向的最大夹角仍为α）
【答案】（1） （2）最大值 最小值 （3）
【解析】
（1）沿SO方向垂直进入磁场的粒子，最后打在照相底片D的粒子；
粒子经过加速电场：qU=mv2?????????????
洛伦兹力提供向心力：qvB=m
落点到O的距离等于圆运动直径：x=2R??
????????
所以粒子的比荷为：???????
（2）粒子在磁场中圆运动半径
由图象可知：粒子左偏θ角（轨迹圆心为O1）或右偏θ角（轨迹圆心为O2）
落点到O的距离相等，均为L=2Rcosθ?????
故落点到O的距离
最大：Lmax=2R=x??????????????????
最小：Lmin=2Rcosα=xcosα??????????????
（3）①考虑同种粒子的落点到O的距离；
当加速电压为U+△U、偏角θ=0时，距离最大，
Lmax=2Rmax= ?
当加速电压为U-△U、偏角θ=α时，距离最小
Lmin=2Rmin?cosα=
cosα???
②考虑质量不同但电荷量相同的两种粒子
由R=和?m1＞m2，知：R1＞R2
要使落点区域不重叠，则应满足：L1min＞L2max

cosα＞

解得：．??????????????????
（应有条件m1cos2α＞m2，否则粒子落点区域必然重叠）
2．（20分）电子对湮灭是指电子和正电子碰撞后湮灭，产生伽马射线的过程，电子对湮灭是正电子发射计算机断层扫描（PET）及正子湮灭能谱学（PAS）的物理基础．如图所示，在平面直角坐标系xOy上，P点在x轴上，且，Q点在负y轴上某处．在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，在第Ⅱ象限内有一圆形区域，与x、y轴分别相切于A、C两点，，在第Ⅳ象限内有一未知的圆形区域（图中未画出），未知圆形区域和圆形区域内有完全相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里．一束速度大小为v0的电子束从A点沿y轴正方向射入磁场，经C点射入电场，最后从P点射出；另一束速度大小为的正电子束从Q点沿与y轴正向成45°角的方向射入第Ⅳ象限，而后进入未知圆形磁场区域，离开磁场时正好到达P点，且恰好与从P点射出的电子束正碰发生湮灭，即相碰时两束粒子速度方向相反．已知正负电子质量均为m、电量均为，电子的重力不计．求：

（1）圆形区域内匀强磁场磁感应强度B的大小和第Ⅰ象限内匀强电场的场强E的大小；
（2）电子从A点运动到P点所用的时间；
（3）Q点纵坐标及未知圆形磁场区域的面积S．
【答案】（1） （2）（3）-4L；
【解析】
试题分析：运动图象如图所示

（1） (2分)
由题意可得：
电子在磁场中运动的半径R = L (1分)
得 (1分)
电子在电场中做类平抛运动：
得： (3分)
可得： (1分)
（2）在电场中运动时间 (1分)
在磁场中运动的周期 (1分)
电子在磁场中运动了四分之一圆周： (2分)
故从A到P的时间 (1分)
（3）正电子在磁场中运动的半径 (2分)
故Q点的纵坐标 (2分)
磁场圆的直径 (1分)
故磁场圆的面积 (2分)
3．如图为一装放射源氡的盒子，静止的氡核经过一次α衰变成钋Po，新核Po的速率约为2×105m/s．衰变后的α粒子从小孔P进入正交的电磁场区域Ⅰ，且恰好可沿中心线匀速通过，磁感应强度B=0.1T．之后经过A孔进入电场加速区域Ⅱ，加速电压U=3×106V．从区域Ⅱ射出的α粒子随后又进入半径为r=m的圆形匀强磁场区域Ⅲ，该区域磁感应强度B0=0.4T、方向垂直纸面向里．圆形磁场右边有一竖直荧光屏与之相切，荧光屏的中心点M和圆形磁场的圆心O、电磁场区域Ⅰ的中线在同一条直线上，α粒子的比荷为=5×107C/kg．

(1)请写出衰变方程，并求出α粒子的速率(保留一位有效数字)；
(2)求电磁场区域Ⅰ的电场强度大小；
(3)粒子在圆形磁场区域Ⅲ的运动时间多长？
(4)求出粒子打在荧光屏上的位置．
【答案】（1） 1×107 m/s
（2）1×106V/m
（3）×10－7s
（4）打在荧光屏上的M点上方1 m处
【解析】
（1）根据质量数守恒和电荷数守恒，则衰变方程为： ①
设α粒子的速度为，则衰变过程动量守恒： ②
联立①②可得： ③
（2）粒子匀速通过电磁场区域Ⅰ：④
联立③④可得： ⑤
（3）粒子在区域Ⅱ被电场加速：
所以得到：⑥
粒子在区域Ⅲ中做匀速圆周运动：
所以轨道半径为：⑦
而且：⑧
由图根据几何关系可知：粒子在磁场中偏转角，所以粒子在磁场中的运动时间 ⑨
联立⑧⑨可得：；
（4）粒子的入射速度过圆心，由几何关系可知，出射速度方向也必然过圆心O，几何关系如图： ，所以，粒子打在荧光屏上的M点上方处．

4．如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强电场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行。一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0,h)点，以大小为的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h,0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点Q进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成角，不计粒子所受的重力。求
(1)电场强度E的大小；
(2)粒子到达a点时速度的大小和方向；
(3)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值；
(4)在(3)情况下带电粒子从P点运动到Q点历经多长时间。

【答案】(1)；(2)；；(3)；(4)
【解析】
【详解】
(1)带电粒子在第一象限内做类平抛运动：


且有：

解得：

(2)带电粒子在第一象限内做类平抛运动：


解得：


所以：


即：

(3)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由带电粒子进入第三象限的速度与轴负方向成，可知带电粒子从边射出磁场，则有：

解得：

从边射出磁场，弦长越长对应的半径越大，越小，即得到当带电粒子从点射出磁场时，最大，最小

几何关系得：

解得：

(4)带电粒子出磁场后做匀速直线运动：

在磁场中运动：

所以总时间为：

【问题三】带电粒子在复合场中运动
【规律总结】
1．解题规范
(1)叠加场的组成特点：电场、磁场、重力场两两叠加，或者三者叠加．
(2)受力分析：正确分析带电粒子的受力情况，场力、弹力和摩擦力．
(3)运动分析：匀速直线运动、匀速圆周运动、匀变速直线运动、类平抛运动、非匀变速曲线运动．
(4)选规律，列方程：应用运动学公式、牛顿运动定律和功能关系．
2．灵活选择运动规律
(1)若只有两个场且正交，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态．例如电场与磁场中满足qE＝qvB；重力场与磁场中满足mg＝qvB；重力场与电场中满足mg＝qE.
(2)三场共存时，若合力为零，则粒子做匀速直线运动；若粒子做匀速圆周运动，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m.
(3)当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解．
1．如图所示，空间存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场．在该区域中，有一个竖直放置的光滑绝缘圆环，环上穿有一个带正电的小球．O点为圆环的圆心，a、b、c、d为圆环上的四个点，a点为最高点，c点为最低点，b、O、d三点在同一水平线上．已知小球所受电场力与重力大小相等．现将小球从环的顶端a点由静止释放，下列判断正确的是(　　)

A．当小球运动到d点时，不受洛伦兹力
B．小球能越过d点并继续沿环向上运动
C．小球从b点运动到c点的过程中，经过弧bc中点时速度最大
D．小球从d点运动到b点的过程中，电势能增大，重力势能减小
【答案】AC
【解析】电场力与重力大小相等，则二者的合力指向左下方45°，由于合力是恒力，故类似于新的重力，所以ad弧的中点相当于平时竖直平面圆环的“最高点”，关于圆心对称的位置（即bc弧的中点）就是“最低点”，速度最大；由于bc弧的中点相当于“最低点”，即速度最大，而d点速度最小为零，则不受洛伦兹力，故AC正确；由于a、d两点关于新的最高点对称，若从a点静止释放，最高运动到d点，故B错误；小球从d点运动到b点的过程中，电场力做正功，电势能减小，因bd两点等高，则重力势能不变，选项D错误；故选AC.
2．如图所示，在矩形区域abcd内有匀强电场和匀强磁场已知电场方向平行于ad边且由a向d，磁场方面垂直于abcd平面，ab边长为，ad边长为一带电粒子从ad边的中点O平行于ab方向以大小为的速度射入场区，恰好作匀速直线运动；若撤去电场，其它条件不变，则粒子从c点射出场区（粒子重力不计）.下列说法正确的是（ ）

A．磁场方面垂直abcd平面向外
B．撤去电场后，该粒子在磁场中的运动时间为
C．若撤去磁场，其它条件不变，则粒子在电场中运动时间为
D．若撤去磁场，其它条件不变，则粒子射出电场时的速度大小为
【答案】BD
【解析】
A．设粒子带正电荷，则受到的电场力的方向向下，洛伦兹力的方向向上，由左手定则可得，磁场的方向垂直于纸面向里。同理，若粒子带负电，则受到的电场力的方向上，洛伦兹力的方向向下，由左手定则可得，磁场的方向垂直于纸面向里。A错误；
B．撤去电场后，该粒子在磁场中做圆周运动，其运动的轨迹如图

由几何关系得：


解得：
R=2L

根据

可得

轨迹圆弧长为：

粒子在磁场中运动的时间：

B正确；
C．若撤去磁场，其他条件不变，则粒子在电场中做类平抛运动，运动时间：

C错误；
D．电场与磁场同时存在时，粒子做匀速直线运动，则：

得：

若撤去磁场，粒子在电场中的加速度

粒子射出电场时沿电场方向的分速度：

粒子的速度：

D正确。
故选BD。
3．在直角区域aob内，有垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从o点沿纸面以一定速度射入磁场中，速度方向与边界ob成30°角，从磁场出来的位置离开O点的距离为L，求

（1）粒子带正电还是负电；
（2）若磁场的磁感应强度为B，粒子的质量为m，带电量为q，则粒子在磁场中运动的速度为多少？在磁场中运动的时间为多少？
【答案】（1）带负电（2）速度为，时间为
【解析】
（1）粒子做曲线运动总是弯向所受合力的方向，再加上洛仑兹力与速度方向垂直，画出粒子的运动轨迹如图所示：由左手定则知道粒子带负电．

（2）粒子做匀速圆周运动时，洛仑兹力提供向心力： …①
由几何关系有： …②
联立以上两式得：
由于粒子在磁场中偏转了60°，所以粒子在磁场中的时间为
4．如图所示，平面直角坐标系的Y轴竖直向上，在第二、三象限内有沿Y轴正方向的匀强电场E1，第一、四象限内有沿x轴负方向的匀强电场E2，第二象限内还有方向垂直纸面向外的匀强磁场。有一质量m=1×10－5kg、电荷量q=4×10－5C的带正电小球，自P点沿与＋Y轴成37°角以v0=3m/s的速度射入第三象限，沿直线从Q点进入第二象限，又从y轴上的F点（图中未画出）沿水平方向进入第一象限，最后恰好经过P点。已知OP间距为d=0.08m，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，不计空气阻力，求：
(1)电场强度E1的大小；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)电场强度E2的大小。

【答案】(1) 2.5N/C； (2)10T； (3) 7.5N/C。
【解析】
【详解】
(1) 小球在第三象限内做匀速直线运动，电场力和重力而力平衡，即为：
mg=qE1
代入数据解得：
E1=2.5N/C
(2)小球在第二象限做匀速圆周运动，且圆心在y轴上，由几何关系得半径

再由

解得

(3)小球从F点到P点，竖直位移
h=R+R?sinθ+d=0.2m
由得
t=0.2s
设水平方向加速度为a，则由

且
qE2=ma
解得
E2=7.5N/C
【问题四】带电粒子在交变电磁场中的运动
【规律总结】
1．基本思路
变化的电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性．这种情况下要仔细分析带电粒子的运动过程、受力情况，弄清楚带电粒子在变化的电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动轨迹的草图．
2．分析重点


1．在如图甲所示的空间内，存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为．在竖直方向存在交替变化的匀强电场(取竖直向上为正)，场强大小，如图乙所示．一倾角为、长度足够长的光滑绝缘斜面放置在此空间，斜面上有一质量为m，带电量为-q的甲小球，从t=0时刻由静止开始沿斜面下滑，设第5s内甲小球不会离开斜面，重力加速度为g.求:

(1)在5s内斜面对甲小球的最大支持力及电场力对小球做的功:
(2)第6s内甲小球离开斜面的最大距离;
(3)在第6s内甲小球离开斜面的距离最大时，让电场强度方向不再变化，同时撤去光滑斜面，在甲小球斜下方的A点射入另一个质量也为m、带电量为q的乙小球．设A点与此时甲小球相距为x、它们的连线与原斜面垂直，乙小球与此时甲小球速度大小相等、方向相反．此后两小球间可能发生的碰撞都是完全弹性碰撞，而且电量也不会转移，忽略两小球间的电作用力．在以后的运动过程中甲小球能通过A点求x的所有可能值．
【答案】(1) 2mgcosθ；9mg2sin2θ(2)(3) ；
【解析】
【分析】
【详解】
（1）在5s内斜面对小球的最大支持力是在t＝0时，大小为2mgcosθ，设第一秒内小球在斜面上运动的加速度为a，由牛顿第二定律得：
（mg+qE0）sinθ=ma
在第二秒内：
qE0=mg
所以小球将离开斜面在上方做匀速圆周运动，
圆周运动的周期为：

故小球在奇数秒内沿斜面做匀加速运动，在偶数秒内离开斜面做完整的圆周运动

小球在5s内沿斜面通过的位移：

电场力做功：
W电=E0qxsinθ
代入数据解得：
W电=9mg2sin2θ
（2）第五秒末的速度为：
v5＝a(t1＋t3＋t5)＝6gsinθ
接着做匀速圆周运动，由向心力公式得：
qv5B=m
小球离开斜面的最大距离为：
d＝2R3
所以此最大距离为：

（3）第五秒末的速度为：
v5＝a(t1＋t3＋t5)＝6gsinθ
接着做匀速圆周运动，由向心力公式得：
qv5B=m
甲小球离开斜面的最大距离为：
d＝2R3
乙小球与甲小球碰撞是完全弹性碰撞，所以碰撞后两球速度交换，因此，两小球在碰撞后均做半径为R3的匀速圆周运动．有二种情况甲小球能通过A点．
第一种情况如图（a）所示，两球未发生碰撞，甲小球转过半圈后到达A点，所以

第二种情况

如图（b）所示，两球各自转过半圈后相碰，并交换速度，以后甲小球转半圈后到达A点，所以：
2．如图甲所示，在xOy平面内有足够大的匀强电场，电场方向竖直向上，电场强度E=40 N/C，在y轴左侧平面内有足够大的瞬时磁场，磁感应强度B1随时间t变化的规律如图乙所示，15πs后磁场消失，选定磁场垂直纸面向里为正方向．在y轴右侧平面内还有方向垂直纸面向外的恒定的匀强磁场，分布在一个半径为r=0.3 m的圆形区域(图中未画出)，且圆的左侧与y轴相切，磁感应强度B2=0.8 T．t=0时刻，一质量m=8×10－4 kg、电荷量q=2×10－4 C的微粒从x轴上xP=－0.8 m处的P点以速度v=0.12 m/s向x轴正方向入射．(g取10 m/s2，计算结果保留两位有效数字)

(1)求微粒在第二象限运动过程中离x轴的最大距离和离y轴的最大距离；
(2)若微粒穿过y轴右侧圆形磁场时，速度方向的偏转角度最大，求此圆形磁场的圆心坐标(x，y)．
【答案】(1)3.3 m,2.4 m　 (2)(0.30,2.3)
【解析】
（1）因为微粒射入电磁场后受到的电场力
F电＝Eq＝8×10－3 N，G＝mg＝8×10－3 N
F电＝G，所以微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动
因为 ，所以

从图乙可知在0～5 π s内微粒向上做匀速圆周运动
在5πs～10πs内微粒向左匀速运动，运动位移
在10π s～15π s内，微粒又做匀速圆周运动，15π s以后向右匀速运动，之后穿过y轴．所以，离y轴的最大距离s＝0.8 m＋x1＋R1＝1.4 m＋0.6π m≈3.3 m
离x轴的最大距离s′＝2R1×2＝4R1＝2.4 m
（2）如图，微粒穿过圆形磁场要求偏转角最大，入射点A与出射点B的连线必须为磁场圆的直径

因为
所以
所以最大偏转角θ＝60°，所以圆心坐标x＝0.30 m
y＝s′－rcos 60°＝2.4 m－0.3 m×≈2.3 m，
即磁场的圆心坐标为（0.30，2.3）

3．如图所示，与纸面垂直的竖直面MN的左侧空间中存在竖直向上场强大小为E的匀强电场（上、下及左侧无界）。一个质量为m、电量为q=mg/E的可视为质点的带正电小球，在t=0时刻以大小为v0的水平初速度向右通过电场中的一点P，当t=t1时刻在电场所在空间中加上一如图所示随时间周期性变化的磁场，使得小球能竖直向下通过D点，D为电场中小球初速度方向上的一点，PD间距为L，D到竖直面MN的距离DQ为L/π.设磁感应强度垂直纸面向里为正.

（1）试说明小球在0—t1+t0时间内的运动情况,并在图中画出运动的轨迹；
（2）试推出满足条件时t1的表达式（用题中所给物理量B0、m、q、v0、L来表示）；
（3）若小球能始终在电场所在空间做周期性运动.则当小球运动的周期最大时，求出磁感应强度B0及运动的最大周期T的表达式（用题中所给物理量m、q、v0、L来表示）。
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）在0～t1时间内做匀速直线运动，在t1～t1+t0时间内做匀速圆周运动，轨迹如甲图所示：

（2）小球进入电场时，做匀速直线运动，由平衡条件得：Eq=mg…①
在t1时刻加入磁场，小球在时间t0内将做匀速圆周运动（如图甲所示），设圆周运动周期为T0，半径为R0，竖直向下通过D点，则：t0＝T0…②
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qv0B0＝m…③
由几何知识得：PF-PD=R，即：v0t1-L=R…④
将③代入④式解得：；
（3）小球运动的速率始终不变，当R变大时，T0也增加，小球在电场中的运动的周期T增加，在小球不飞出电场的情况下，当T0最大时，有：DQ=2R，即： …⑤
小球做圆周运动的周期： …⑥
综合⑤⑥式解得： ，…⑦
综合轨迹图可知，小球在电场中运动的最大周期：T＝4×(T0+t0)…⑧
综合上式解得：T＝
所以小球在电场中运动一个周期的轨迹如图乙所示：
．
4．在地面附近的真空中，存在着竖直向上的匀强电场和垂直电场方向水平向里的匀强磁场，如图甲所示．磁场的磁感应强度B（图像中的B0末知）随时间t的变化情况如图乙所示．该区域中有一条水平直线MN，D是MN上的一点．在t＝0时刻，有一个质量为m、电荷量为＋q的小球(可看做质点)，从M点开始沿着水平直线以速度v0向右做匀速直线运动，t0时刻恰好到达N点．经观测发现，小球在t＝2t0至t＝3t0时间内的某一时刻，又竖直向下经过直线MN上的D点，并且以后小球多次水平向右或竖直向下经过D点．不考虑地磁场的影响，求：

(1)电场强度E的大小；
(2)小球从M点开始运动到第二次经过D点所用的时间；
(3)小球运动的周期，并画出运动轨迹(只画一个周期)．
【答案】（1）（2）2t0( ＋1) （3）T＝8t0，
【解析】
(1)小球从M点运动到N点时，有qE＝mg，
解得．
(2)小球从M点到达N点所用时间t1＝t0，小球从N点经过个圆周，到达P点，所以t2＝t0
小球从P点运动到D点的位移
x＝R＝，
小球从P点运动到D点的时间

,t3=，
所以时间
．
(3)小球运动一个周期的轨迹如图所示．小球的运动周期为
T＝8t0.













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