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课时12.题型解析——计算题
【题型解读】
动量与能量的综合应用问题多以计算题题型考查，并常见于压轴题。动量与能量的综合应用是高中力学的综合应用之一，也是历年高考的重、难点和热点，本综合应用涉及的模型主要有“人船”模型、子弹打击木块模型、弹簧模型、板块模型与碰撞模型等。这些模型的共同点：主要考查多个物体的相互作用，研究时注意初末状态的选取和研究过程的确定，这类问题往往物理情境较复杂，有较高的思维起点，需要学生具有综合运用所学知识，以及对物理过程进行全面、深入分析的能力。计算题具有分值大、区分度高、综合性强的特点，复习备考中应高度重视。
一、计算题审题技巧
物理计算题的审题过程，就是破解题意的过程，它是解题的第一步，也是最为关键的一步，第一步迈不开，具体的解题也就无从谈起，尤其是目前的高考题，对学生的能力要求更加提高，因而要求学生必须学会审题。审题，不仅仅是一字不漏地读题，而是通过阅读、思考、分析等多方面来完成全过程，通过审题，能在大脑里形成一个生动而清晰的物理情景，找到解决问题的简捷办法，才能顺利地、准确地完成解题的全过程，在未寻求到解题方法之前，都要审题不止，而且题目愈难，愈要在审题上下功夫，以求突破；即使题目容易，也不能掉以轻心，否则也会导致错误。审题过程，要了解这样几个方面：（1）题中给出什么；（2）题中要求什么；（3）题中隐含什么；（4）题中考查什么；（5）运用何种规律解题。当然，物理审题也有一定的技巧，现总结如下：
技巧一：审题时要注意题目中的关键词语
在读题时不能只注意那些给出具体数字或字母的已知条件，而对另外一些叙述性的语言，特别是其中一些“关键词语”视而不见，所谓关键词语，指的是题目中指出的一些限制性语言，或是对题目中所涉及的物理变化的描述，对变化过程的界定等。
例1. 如图1所示，质量为M的木块被长为L的绳悬挂静止，一个质量为m的水平飞行的子弹击中木块，并随之一起运动，求子弹以多大的速度击中木块，才能使绳在木块运动中始终绷紧？
【解析】：此题的物理情景比较清晰有序，考查的知识点明确，关键是要抓住限定条件，“始终绷紧”就是关键词，它意味着M与m必须一起绕悬点做圆周运动，进一步分析就可得到两种情景：（1）M和m能通过最高点，做完整圆周运动，此时M在最高点有最小速度，这意味着子弹打击M的初速度存在某个最小值（过程略），且。（2）M和m只能运动到悬点高度下的某位置，做不完整的圆周运动，此时M和m运动的最高点与悬点等高，速度为零，这意味着子弹的初速度存在某个最大值（过程略），且，此题的完整的解为或。
技巧二：审题时要注意隐含条件的挖掘
高考物理之所以较难，不仅因为物理过程复杂多变，还由于潜在条件隐蔽难寻，使人产生条件不足之感而陷入困境，这正是考查考生思维的深刻程度。在审题过程中，必须把隐含条件分析挖掘出来，这常常是解题的要点，有些隐含条件隐蔽得并不深，平时又经常见到，挖掘起来很容易，例如题目说“光滑平面”就表示“摩擦可忽略不计”，题目说“恰好不滑出木板”，就表示小物体“恰好滑到木板边缘处且具有了与木板相同的速度”等等，还有一些隐含条件则隐蔽较深，或者不常见到，挖掘起来就有一定的难度了。
例2. 如图所示，长L＝2m的不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一质量为的小球，将小球从O点正下方处水平向右抛出，经一定时间绳被拉直，此时绳与竖直方向夹角，以后小球只以O点为悬点在竖直平面内摆动，试求小球摆到最低点时绳所受的拉力。
解析：这种模型的隐含条件隐蔽性强，稍不注意就会将过程分析错。本题的隐含条件在于“绳从拉直到绷紧”这一短暂过程，速度发生变化，出现机械能损失，而不能错误认为整个过程机械能守恒。
技巧三：审题时要画好分析图形，构建物理过程
画好分析图形，是审题的重要手段，它能建立清晰有序的物理过程、确定物理量间的关系，把问题具体化、形象化，分析图可以是运动的过程图、受力分析图、状态变化图等，也可以是投影法、等效法得到的示意图。
例3. 在光滑的水平面上静止一物体，现以水平恒力甲推此物体，作用一段时间后换成相反方向的水平恒力乙推物体，当恒力乙作用时间与恒力甲的作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32J，则恒力甲和恒力乙所做的功各是多少？
解析：解决此题的关键是：弄清楚过程中两力的位移关系、大小关系以及各自做功的情况，因此画出过程图如图3，标明位移，对解题有很大的帮助。通过图，很容易得到以下信息：
，即
两力都做正功
解得
小结：在审题过程中，要养成画图示题意的习惯，解物理题，能画图的尽量画图，图能帮助我们理解题意、分析过程、探讨过程中各物理量的变化。受力图、电路图、光路图等，几乎无一物理问题不是用来图来加强认识联系的，而画图又迫使你审查问题的各个细节以及细节之间的关系，使物理过程一目了然。
技巧四：审题时要构建正确的物理模型
实际中的物理现象一般都很复杂，为了解决它，常常要忽略一些次要因素，物理模型就是忽略次要因素的产物。例如质点、不可伸长的细绳、不计质量的轻弹簧、定值电阻、内阻可忽略的电源等等都是理想模型。对一个具体的物理问题，通过审题分析，就是要建立正确的物理模型。
如图所示，总质量为M的气球下端悬着质量为m的人而静止于高度为h的空中，欲使人能沿着绳安全着地，人下方的绳至少应为多长？
解析：此题实为“人船模型”，若构建不出该模型，则无法进行分析求解。
由于开始人和气球组成的系统静止在空中,竖直方向系统所受外力之和为零,即系统竖直方向系统总动量守恒，设气球对地位移为x，则有：mh=Mx，得，故绳长至少为。
技巧五：审题时要重视对基本过程的分析
在高中物理中，力学部分涉及到的过程有匀速地线运动、匀变速直线运动、平抛运动、圆周运动、机械振动等，除了这些运动过程外，还有两类重要的过程。一个是碰撞过程，另一个是先变加速最终匀速过程（如恒定功率汽车的启动问题）。热学中的变化过程主要有等温变化、等压变化、等容变化、绝热变化等（注：这些过程的定量计算在高考中已不作要求）。电学中的变化过程主要有电容器的充电和放电、电磁振荡等，以上的这些基本过程都是非常重要的，在平时的学习中都必须认真掌握每个过程的特点和每个过程遵循的基本规律。
例5. 静止在水平地面上的两小物块A、B，质量分别为mA=l.0kg，mB=4.0kg；两者之间有一被压缩的微型弹簧，A与其右侧的竖直墙壁距离l=1.0m，如图所示。某时刻，将压缩的微型弹簧释放，使A、B瞬间分离，两物块获得的动能之和为Ek=10.0J。释放后，A沿着与墙壁垂直的方向向右运动。A、B与地面之间的动摩擦因数均为u=0.20。重力加速度取g=10m/s?。A、B运动过程中所涉及的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。
（1）求弹簧释放后瞬间A、B速度的大小；
（2）物块A、B中的哪一个先停止？该物块刚停止时A与B之间的距离是多少？
（3）A和B都停止后，A与B之间的距离是多少？
【分析】首先需要理解弹簧释放后瞬间的过程内A、B组成的系统动量守恒，再结合能量关系求解出A、B各自的速度大小；很容易判定A、B都会做匀减速直线运动，并且易知是B先停下，至于A是否已经到达墙处，则需要根据计算确定，结合几何关系可算出第二问结果；再判断A向左运动停下来之前是否与B发生碰撞，也需要通过计算确定，结合空间关系，列式求解即可。
【详解】（1）设弹簧释放瞬间A和B的速度大小分别为vA、vB，以向右为正，由动量守恒定律和题给条件有0=mAvA-mBvB①
②
联立①②式并代入题给数据得
vA=4.0m/s，vB=1.0m/s
（2）A、B两物块与地面间的动摩擦因数相等，因而两者滑动时加速度大小相等，设为a。假设A和B发生碰撞前，已经有一个物块停止，此物块应为弹簧释放后速度较小的B。设从弹簧释放到B停止所需时间为t，B向左运动的路程为sB。，则有
④
⑤
⑥
在时间t内，A可能与墙发生弹性碰撞，碰撞后A将向左运动，碰撞并不改变A的速度大小，所以无论此碰撞是否发生，A在时间t内的路程SA都可表示为
sA=vAt–⑦
联立③④⑤⑥⑦式并代入题给数据得
sA=1.75m，sB=0.25m⑧
这表明在时间t内A已与墙壁发生碰撞，但没有与B发生碰撞，此时A位于出发点右边0.25m处。B位于出发点左边0.25m处，两物块之间的距离s为
s=0.25m+0.25m=0.50m⑨
（3）t时刻后A将继续向左运动，假设它能与静止的B碰撞，碰撞时速度的大小为vA′，由动能定理有
⑩
联立③⑧⑩式并代入题给数据得

故A与B将发生碰撞。设碰撞后A、B的速度分别为vA′′以和vB′′，由动量守恒定律与机械能守恒定律有


联立式并代入题给数据得

这表明碰撞后A将向右运动，B继续向左运动。设碰撞后A向右运动距离为sA′时停止，B向左运动距离为sB′时停止，由运动学公式

由④式及题给数据得

sA′小于碰撞处到墙壁的距离。由上式可得两物块停止后的距离

技巧六：审题时要抓住物理过程的要点
（1）阶段性——将题目涉及的整个过程适当划分为若干阶段；
（2）联系性——找出各个阶段之间是由什么物理量联系起来的；
（3）规律性——明确每个阶段遵循什么规律。
例6. 一平板车，质量，停在水平路面上，车身的平板离地面的高度，一质量的小物块置于车的平板上，它到车尾端的距离，与车板间的动摩擦因数，如图所示，对平板车施加一水平方向的恒力，使车向前行驶，结果物块从车板上滑落。物体刚离开车板的时刻，车向前行驶的距离，求物块落地时，落地点到车尾的水平距离s（g取）
解析：对此题的求解，可以把整个物理过程化解为四个子过程：从开始运动到物块刚离开平板车物块做匀加速运动，车做匀加速运动；物块离开平板车后做平抛运动，车做匀加速运动。在物块离开平板车时刻，设车和物块的速度分别为和，二者是联系各子过程的“桥梁”，它们既是前一过程的末速，又是后一过程的初速。如图所示：
设水平恒力为F，物块与车的摩擦力为，物块在车上运动的时间为t，此过程中，车和物块的加速度分别为和，则有：

所以

设物块平抛时间为，通过的水平距离为，则有：

所以

在这段时间内车的加速度：

车通过的距离：

所以
技巧七：审题时要谨防以假乱真
有些题目的物理过程含而不露，需结合已知条件，应用有关概念和规律，进行具体分析，而不要急于动笔列方程，以免以假的过程模型代替了真的物理过程。
例7. 如图8，在一匀强电场中的A点有一点电荷，并用绝缘细线与O点相连，原来细线刚好被水平拉直而没有张力，现让点电荷从A点从静止开始运动，试求电荷经O点正下方时的速率v。（已知电荷的质量为，电量，细线长度为，电场强度，g取）
解析：许多同学见到此题，不假思索地认为小球从A点开始做圆周运动，由动能定律列出方程，代入数据得。
实际上本题中，电场力和重力的合力与水平方向的夹角为，所以电荷从A点开始沿直线经O点正下方B处到达C点后，细线方开始被拉直，如图9所示，电荷从A点到B，做匀变速直线运动，而不是一开始做圆周运动，由动能定理得：，解得。
技巧八：审题时要仔细，排除干扰
经常遇到一些物理题故意多给出已知条件，或解题过程中精心设置一些歧途，或安排一些似是而非的判断，也就是利用干扰因素考查学生明辨是非的能力，这些因素的迷惑程度愈大，愈容易在解题过程中犯错误，在审题过程中，只有迅速地排除这些干扰因素，解题才能迅速而正确。
例8. 如图所示，是定值电阻，和是两个滑动变阻器，闭合开关S，两电表都有一定值，现调节和，使得电压表的示数加倍而电流表的示数减半，则电阻消耗的电功率将（ ）
A. 变为原来的 B. 变为原来的
C. 变为原来的4倍 D. 与原来相同
解析：本题中的电压表与和并联，测量的是它们两个总电压，而不是两端的电压，与本题的解答无关，是命题者有意设置的干扰因素，因此应迅速地排除它的干扰，只利用电流表示数减半的条件，根据就能立即得出消耗的电功率为原来的的正确结论。
技巧九：审题时要注意过程中瞬时问题
在近几年的高考试题中，经常出现瞬时问题，求解这类问题时要分析是什么原因引起物体受力突变的。对于理想刚性绳或刚性支持面，形状改变时可以不计时间，其弹力能突变；非理想刚性绳的形变改变是需要一定时间的，弹力不能发生突变。
例9. 如图所示，长L＝2m的不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一质量为的小球，将小球从O点正下方处水平向右抛出，经一定时间绳被拉直，此时绳与竖直方向夹角，以后小球只以O点为悬点在竖直平面内摆动，试求小球摆到最低点时绳所受的拉力。
分析：此题的关键在于绳被拉直的瞬间，绳的作用力将对小球产生较大的冲量作用，使小球沿绳方向的速度在绳冲量的作用下瞬间变为零，出现机械能向内能转变，而垂直绳方向的速度不变。
从抛出到小球将绳拉直的过程中，小球做平抛运动，设小球抛出时的初速度为，则，所以。
到绳绷直时，小球在竖直方向上获得的速度为，此时小球的合速度方向与竖直方向成角，将此速度沿绳的方向和垂直于绳的方向分解，如图所示，沿绳的方向的速度在绳的冲量作用下变为零，小球只剩下与绳垂直的分速度
设小球摆到最低点时的速度为，根据机械能守恒定律有：

小球摆到最低点时：
解得：
小结：从上面的例子可以看出，在物体与不可伸长的绳发生作用时使绳瞬间绷直这类现象中，物体沿绳方向上的动量要发生变化，由于绳不可伸长而发生永久性的形变，使得机械能有一部分要转变为物体的内能。因此，我们在解这类题时，一定不能忽视这两个变化，审题思维要更加严谨。
技巧十：审题时要注意合理划分或合并物理过程
在审题过程中，物理过程该分则分，宜合则合，并将物理过程的分析与研究对象及规律的选用加以统筹考虑，以求最佳思路。
例10. 一个质量为m、带电量为的小物体，放在绝缘的水平轨道上，O端有一与轨道垂直的墙，轨道处于匀强电场中，场强的大小为E，方向沿Ox正方向，如图所示，小物体以初速度从点沿Ox轨道运动，运动时受到大小不变的摩擦力作用，且，设小物体与墙碰撞时不损失机械能，且电量保持不变，最后小物体停止在O点，求它停止前进时通过的总路程s。
解析：小物体受电场力和摩擦力的作用，运动多次往复，摩擦力的方向随着小物体的往复而发生变化，如将小物块的运动分解为一系列的子过程，逐个选用力学规律去分析，则显得相当繁琐，而且数学运算已涉及到数列运算和极限求和。如果将物体运动的全过程作为研究对象，则可避开运动过程的具体细节。
小物体最终停止在O端，电场力做的功为（与路径无关），摩擦做的功为（始终做负功，s为总路程），对全过程用动能定律得：

所以
以上介绍了在物理审题过程中的十大技巧，事实上在处理物理问题时这些技巧的应用不是孤立的，往往是几种方法同时加以综合应用，这样才能审好物理题目，进而正确的解决好物理题目。
【真题精析】
1.（2019全国1卷）竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块B静止于水平轨道的最左端，如图（a）所示。t=0时刻，小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与B发生弹性碰撞（碰撞时间极短）；当A返回到倾斜轨道上的P点（图中未标出）时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止。物块A运动的v-t图像如图（b）所示，图中的v1和t1均为未知量。已知A的质量为m，初始时A与B的高度差为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力。
（1）求物块B的质量；
（2）在图（b）所描述的整个运动过程中，求物块A克服摩擦力所做的功；
（3）已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等，在物块B停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，然后将A从P点释放，一段时间后A刚好能与B再次碰上。求改变前面动摩擦因数的比值。
2.（2019全国2卷）.一质量为 m=2000 kg 的汽车以某一速度在平直公路上匀速行驶。行驶过程中，司机忽然发现前方 100 m 处有一警示牌。立即刹车。刹车过程中，汽车所受阻力大小随时间变化可简化为图（a） 中的图线。图（a）中，0~t1 时间段为从司机发现警示牌到采取措施的反应时间（这段时间内汽车所受阻力已忽略，汽车仍保持匀速行驶），t1=0.8 s；t1~t2 时间段为刹车系统的启动时间，t2=1.3 s；从 t2 时刻开始汽车的刹车系统稳定工作，直至汽车停止，已知从 t2 时刻开始，汽车第 1 s 内的位移为 24 m，第 4 s 内的位移为 1 m。
⑴在图（b）中定性画出从司机发现警示牌到刹车系统稳定工作后汽车运动的 v-t 图线；
⑵求 t2 时刻汽车的速度大小及此后的加速度大小；
⑶求刹车前汽车匀速行驶时的速度大小及 t1~t2 时间内汽车克服阻力做的功；司机发现警示牌到汽车停止，汽车行驶的距离约为多少（以 t1~t2 时间段始末速度的算术平均值替代这段时间内汽车的平均速度）？








3.（2019广东卷）图18(a)所示的装置中，小物块A、B质量均为m，水平面上PQ段长为l，与物块间的动摩擦因数为μ，其余段光滑。初始时，挡板上的轻质弹簧处于原长；长为r的连杆位于图中虚线位置；A紧靠滑杆(A、B间距大于2r)。随后，连杆以角速度ω匀速转动，带动滑杆作水平运动，滑杆的速度-时间图像如图18(b)所示。A在滑杆推动下运动，并在脱离滑杆后与静止的B发生完全非弹性碰撞。
(1)求A脱离滑杆时的速度uo，及A与B碰撞过程的机械能损失ΔE。
(2)如果AB不能与弹簧相碰，设AB从P点到运动停止所用的时间为t1，求ω得取值范围，及t1与ω的关系式。
(3)如果AB能与弹簧相碰，但不能返回道P点左侧，设每次压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能为Ep，求ω的取值范围，及Ep与ω的关系式(弹簧始终在弹性限度内)。






4.（2018海南卷）如图，光滑轨道PQO的水平段QO=，轨道在O点与水平地面平滑连接。一质量为m的小物块A从高h处由静止开始沿轨道下滑，在O点与质量为4m的静止小物块B发生碰撞。A、B与地面间的动摩擦因数均为=0.5，重力加速度大小为g。假设A、B间的碰撞为完全弹性碰撞，碰撞时间极短。求
(1)第一次碰撞后瞬间A和B速度的大小；
(2) A、B均停止运动后，二者之间的距离。
5.（2017北京卷）在磁感应强度为B的匀强磁场中，一个静止的放射性原子核发生了一次α衰变。放射出α粒子（）在与磁场垂直的平面内做圆周运动，其轨道半径为R。以m、q分别表示α粒子的质量和电荷量。
（1）放射性原子核用表示，新核的元素符号用Y表示，写出该α衰变的核反应方程。
（2）α粒子的圆周运动可以等效成一个环形电流，求圆周运动的周期和环形电流大小。
（3）设该衰变过程释放的核能都转为为α粒子和新核的动能，新核的质量为M，求衰变过程的质量亏损Δm。
6.（2017天津卷）如图所示，物块A和B通过一根轻质不可伸长的细绳连接，跨放在质量不计的光滑定滑轮两侧，质量分别为mA=2 kg、mB=1 kg。初始时A静止与水平地面上，B悬于空中。先将B竖直向上再举高h=1.8 m（未触及滑轮）然后由静止释放。一段时间后细绳绷直，A、B以大小相等的速度一起运动，之后B恰好可以和地面接触。取g=10 m/s2。
（1）B从释放到细绳绷直时的运动时间t；
（2）A的最大速度v的大小；
（3）初始时B离地面的高度H。
【模拟演练】
课时12.题型解析——计算题
（考试总分：160 分 考试时长： 120 分钟）
一、 计算题 （本题共计 10 小题，共计 160 分）
1、（12分）如图所示,一颗质量为m、速度为v0的子弹竖直向上射穿质量为M的木块后继续上升,子弹从射穿木块到再回到原木块处所经过的时间为T。那么当子弹射穿木块后,木块上升的最大高度是多少？
2、（12分）如图所示，物块B、C的质量相同，物块A的质量是B的1.6倍，三个物块均可看作质点。三物块用细线通过轻滑轮连接，物块B与C的距离和物块C到地面的距离均为L=1.8m。现将物块A下方的细线剪断，A上升，B和C下降。若物块A距滑轮足够远且不计一切阻力，物块C落地后不影响物块A、B的运动。g=10m/s2，求：
（1）物块A上升过程的最大速度；
（2）物块A上升的最大高度。

3、（12分）如图所示，甲车质量m1＝m，在车上有质量M＝2m的人，甲车(连同车上的人)从足够长的斜坡上高h处由静止滑下，到水平面上后继续向前滑动，此时质量m2＝2m的乙车正以速度v0迎面滑来，已知h＝，为了使两车不发生碰撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳上乙车，试求人跳离甲车的水平速度(相对地面)应满足什么条件？不计地面和斜坡的摩擦，小车和人均可看成质点．
4、（12分）如图所示，一质量为m，电荷量为q（q>0）的小物块，在距离电场区域为a处以一定的初速度在一水平绝缘平面上向右运动，物块与绝缘平面的摩擦因数为，物块在运动过程中要穿越宽度为2a，场强大小为E的电场区域，当场强方向竖直向下时，物块停留在离开电场区域左边缘的0.5a处，当场强方向向上时，物块停留在距离电场区域右侧的a处。求：
（1）电场强度的大小，以及物块的初速度;
（2）若增加物块初速度的大小，当电场向下时，物块仍能停在电场区域内。求电场向上时物块运动的时间与电场向下情况下物块运动时间差值的最小值。并求出对应的初速度。
5、（16分）如图所示，在光滑水平面上，质量为m=4kg的物块左侧压缩一个劲度系数为k=32N/m的轻质弹簧，弹簧与物块未拴接。物块与左侧竖直墙壁用细线拴接，使物块静止在O点，在水平面A点与一顺时针匀速转动且倾角θ=37°的传送带平滑连接，已知xOA=0.25m，传送带顶端为B点，LAB=2m，物块与传送带间动摩擦因数μ=0.5。现剪断细线同时给物块施加一个初始时刻为零的变力F，使物块从O点到B点做加速度大小恒定的加速运动。物块运动到A点时弹簧恰好恢复原长，运动到B点时撤去力F，物块沿平行AB方向抛出，C为运动的最高点。传送带转轮半径远小于LAB，不计空气阻力，已知重力加速度g=10m/s2。
(1)求物块从B点运动到C点，竖直位移与水平位移的比值；
(2)若传送带速度大小为5m/s，求物块与传送带间由于摩擦产生的热量；
(3)若传送带匀速顺时针转动的速度大小为v，且v的取值范围为2m/sv3m/s，物块由O点到B点的过程中力F做的功与传送带速度大小v的函数关系。
6、（18分）如图，绝缘水平地面上有宽的匀强电场区域，场强，方向水平向左。不带电的物块静止在电场左侧边缘的点，带电量、质量为的物块在距点处的点以的水平初速度向右运动，并与发生碰撞。的质量是的倍。已知与段地面间的动摩擦因数为，、与点右侧地面的动摩擦因数，物块均可视为质点，且的电荷量始终不变。
（1）求物块到达点与物块碰撞前瞬间速度的大小；
（2）若碰撞后两物块粘在一起，求碰后物块的速度大小；
（3）若碰撞过程物块、构成的系统没有动能损失，讨论在不同取值范围时电场力对做的功。
7、（18分）如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，一劲度系数为K=200N/m的轻质弹簧一端连接固定挡板C上，另一端连接一质量为m=4Kg的物体A，一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的物体B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长，用手托住物体B使绳子刚好没有拉力，然后由静止释放，求：
（1）弹簧恢复原长时细绳上的拉力；
（2）物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；
（3）物体A的最大速度大小．
8、（20分）如图，为某碰撞模拟实验简图。在水平地面上固定倾角为的足够长的光滑斜面，中间带孔的槽固定在斜面上。一轻直杆平行于斜面，一端与轻弹簧相连，另一端穿在槽中，直杆与槽间的最大静摩擦力为f=2 mgsinθ。现将直杆用销钉固定。一质量为m的滑块从距离弹簧上端L处由静止释放，其下滑过程中的最大速度vm=。已知弹簧的劲度系数k=，弹簧的弹性势能与其形变量的平方成正比。滑动摩擦力可认为等于最大静摩擦力，且弹簧始终不会碰到槽。当地重力加速度为g。
(1)求滑块下滑速度为vm时弹簧的弹性势能Ep；
(2)若取下销钉，使滑块仍从原位置由静止释放，求直杆下滑的最大距离s；并分析说明滑块此后是否能与弹簧分离，若能，请求出滑块与弹簧分离时的速度大小v；若不能，请说明理由。
(3)若取下销钉，使滑块从距离弹簧上端2L处由静止释放，请分析说明滑块此后是否能与弹簧分离，若能，请求出滑块与弹簧分离时的速度大小v′；若不能，请说明理由。
9、（20分）如图，半径R=0.5m的光滑半圆弧轨道固定在竖直平面内，AB是轨道的竖直直径，轨道下端点B上静止着质量m=2kg的小物块，轨道在B点与倾角θ=30°的传送带(轮子半径很小)上端点相切；电动机带动传送带以v=8m/s的速度逆时针匀速运动，传送带下端点C与水平面CDO平滑连接，B、C间距L=4m；一轻质弹簧的右端固定在O处的挡板上，质量M=10kg的物体靠在弹簧的左端D处，此时弹簧处于原长，C、D间距x0=4.4m，OD段光滑，DC段粗糙。现将M压缩弹簧一定距离后由静止释放，M在传送带上一直做匀加速直线运动，在轨道上B点M与m正碰(碰撞时间不计)，碰后两物体粘在一起且恰好能沿圆轨道通过A点，上述过程中，M经C点滑上和经B点离开传送带时，速度大小不变，方向分别变为沿传送带向上和水平向左。已知M与传送带间的动摩擦因数为μ1=、与CD段间的动摩擦因数为μ2=0.5，且m、M均可视为质点，重力加速度大小g=10m/s2。求：
(1)在圆弧轨道的B点，m、M碰后粘在一起的瞬间对轨道的压力
(2)M在传送带上运动的过程中，系统由于摩擦产生的热量Q；
(3)M释放前，系统具有的弹性势能EP以及带动传送带的电动机由于运送M多输出的电能E。



10、（20分）如图所示，一小车上表面由粗糙的水平部分AB和光滑的半圆弧轨道BCD组成，小车紧靠台阶静止在光滑水平地面上，且左端与光滑圆弧形轨道MN末端等高，圆弧形轨道MN末端水平．一质量为m=1kg的小物块P从距圆弧形轨道MN末端高为h=1.8m处由静止开始滑下，若物块P在半圆弧轨道BCD上经过一次往返运动（运动过程中物块始终不脱离轨道），最终相对小车静止在小车水平部分AB的中点。已知AB长为L=4m，小车的质量为M=2kg，取重力加速度g=10m/s2．

(1)求物块P在轨道MN末端时速度大小？
(2)求P物体相对半圆弧轨道BCD静止时的速度为多少？
(3)求小车上表面的滑动摩擦因数为多少？


【学习心得】
通过强化训练进一步加强对四个基本规律和一个关系的理解与掌握。
2、在研究系统内物体的相互作用时，必须同时考虑动量关系和能量关系，否则问题往往难以解决：
⑴动量关系一般是系统动量守恒（或某一方向动量守恒）;
⑵对于能量关系，若系统内均无滑动摩擦力，则对系统应用机械能守恒定律；
⑶若系统外部不受摩擦力，而内部有滑动摩擦力，则对系统应用摩擦生热的功能关系：当然也可以分别对两个物体应用动能定理求解，只是过程繁琐一些。























































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课时12.题型解析——计算题
【题型解读】
动量与能量的综合应用问题多以计算题题型考查，并常见于压轴题。动量与能量的综合应用是高中力学的综合应用之一，也是历年高考的重、难点和热点，本综合应用涉及的模型主要有“人船”模型、子弹打击木块模型、弹簧模型、板块模型与碰撞模型等。这些模型的共同点：主要考查多个物体的相互作用，研究时注意初末状态的选取和研究过程的确定，这类问题往往物理情境较复杂，有较高的思维起点，需要学生具有综合运用所学知识，以及对物理过程进行全面、深入分析的能力。计算题具有分值大、区分度高、综合性强的特点，复习备考中应高度重视。
一、计算题审题技巧
物理计算题的审题过程，就是破解题意的过程，它是解题的第一步，也是最为关键的一步，第一步迈不开，具体的解题也就无从谈起，尤其是目前的高考题，对学生的能力要求更加提高，因而要求学生必须学会审题。审题，不仅仅是一字不漏地读题，而是通过阅读、思考、分析等多方面来完成全过程，通过审题，能在大脑里形成一个生动而清晰的物理情景，找到解决问题的简捷办法，才能顺利地、准确地完成解题的全过程，在未寻求到解题方法之前，都要审题不止，而且题目愈难，愈要在审题上下功夫，以求突破；即使题目容易，也不能掉以轻心，否则也会导致错误。审题过程，要了解这样几个方面：（1）题中给出什么；（2）题中要求什么；（3）题中隐含什么；（4）题中考查什么；（5）运用何种规律解题。当然，物理审题也有一定的技巧，现总结如下：
技巧一：审题时要注意题目中的关键词语
在读题时不能只注意那些给出具体数字或字母的已知条件，而对另外一些叙述性的语言，特别是其中一些“关键词语”视而不见，所谓关键词语，指的是题目中指出的一些限制性语言，或是对题目中所涉及的物理变化的描述，对变化过程的界定等。
例1. 如图1所示，质量为M的木块被长为L的绳悬挂静止，一个质量为m的水平飞行的子弹击中木块，并随之一起运动，求子弹以多大的速度击中木块，才能使绳在木块运动中始终绷紧？
【解析】：此题的物理情景比较清晰有序，考查的知识点明确，关键是要抓住限定条件，“始终绷紧”就是关键词，它意味着M与m必须一起绕悬点做圆周运动，进一步分析就可得到两种情景：（1）M和m能通过最高点，做完整圆周运动，此时M在最高点有最小速度，这意味着子弹打击M的初速度存在某个最小值（过程略），且。（2）M和m只能运动到悬点高度下的某位置，做不完整的圆周运动，此时M和m运动的最高点与悬点等高，速度为零，这意味着子弹的初速度存在某个最大值（过程略），且，此题的完整的解为或。
技巧二：审题时要注意隐含条件的挖掘
高考物理之所以较难，不仅因为物理过程复杂多变，还由于潜在条件隐蔽难寻，使人产生条件不足之感而陷入困境，这正是考查考生思维的深刻程度。在审题过程中，必须把隐含条件分析挖掘出来，这常常是解题的要点，有些隐含条件隐蔽得并不深，平时又经常见到，挖掘起来很容易，例如题目说“光滑平面”就表示“摩擦可忽略不计”，题目说“恰好不滑出木板”，就表示小物体“恰好滑到木板边缘处且具有了与木板相同的速度”等等，还有一些隐含条件则隐蔽较深，或者不常见到，挖掘起来就有一定的难度了。
例2. 如图所示，长L＝2m的不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一质量为的小球，将小球从O点正下方处水平向右抛出，经一定时间绳被拉直，此时绳与竖直方向夹角，以后小球只以O点为悬点在竖直平面内摆动，试求小球摆到最低点时绳所受的拉力。
解析：这种模型的隐含条件隐蔽性强，稍不注意就会将过程分析错。本题的隐含条件在于“绳从拉直到绷紧”这一短暂过程，速度发生变化，出现机械能损失，而不能错误认为整个过程机械能守恒。
技巧三：审题时要画好分析图形，构建物理过程
画好分析图形，是审题的重要手段，它能建立清晰有序的物理过程、确定物理量间的关系，把问题具体化、形象化，分析图可以是运动的过程图、受力分析图、状态变化图等，也可以是投影法、等效法得到的示意图。
例3. 在光滑的水平面上静止一物体，现以水平恒力甲推此物体，作用一段时间后换成相反方向的水平恒力乙推物体，当恒力乙作用时间与恒力甲的作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32J，则恒力甲和恒力乙所做的功各是多少？
解析：解决此题的关键是：弄清楚过程中两力的位移关系、大小关系以及各自做功的情况，因此画出过程图如图3，标明位移，对解题有很大的帮助。通过图，很容易得到以下信息：
，即
两力都做正功
解得
小结：在审题过程中，要养成画图示题意的习惯，解物理题，能画图的尽量画图，图能帮助我们理解题意、分析过程、探讨过程中各物理量的变化。受力图、电路图、光路图等，几乎无一物理问题不是用来图来加强认识联系的，而画图又迫使你审查问题的各个细节以及细节之间的关系，使物理过程一目了然。
技巧四：审题时要构建正确的物理模型
实际中的物理现象一般都很复杂，为了解决它，常常要忽略一些次要因素，物理模型就是忽略次要因素的产物。例如质点、不可伸长的细绳、不计质量的轻弹簧、定值电阻、内阻可忽略的电源等等都是理想模型。对一个具体的物理问题，通过审题分析，就是要建立正确的物理模型。
如图所示，总质量为M的气球下端悬着质量为m的人而静止于高度为h的空中，欲使人能沿着绳安全着地，人下方的绳至少应为多长？
解析：此题实为“人船模型”，若构建不出该模型，则无法进行分析求解。
由于开始人和气球组成的系统静止在空中,竖直方向系统所受外力之和为零,即系统竖直方向系统总动量守恒，设气球对地位移为x，则有：mh=Mx，得，故绳长至少为。
技巧五：审题时要重视对基本过程的分析
在高中物理中，力学部分涉及到的过程有匀速地线运动、匀变速直线运动、平抛运动、圆周运动、机械振动等，除了这些运动过程外，还有两类重要的过程。一个是碰撞过程，另一个是先变加速最终匀速过程（如恒定功率汽车的启动问题）。热学中的变化过程主要有等温变化、等压变化、等容变化、绝热变化等（注：这些过程的定量计算在高考中已不作要求）。电学中的变化过程主要有电容器的充电和放电、电磁振荡等，以上的这些基本过程都是非常重要的，在平时的学习中都必须认真掌握每个过程的特点和每个过程遵循的基本规律。
例5. 静止在水平地面上的两小物块A、B，质量分别为mA=l.0kg，mB=4.0kg；两者之间有一被压缩的微型弹簧，A与其右侧的竖直墙壁距离l=1.0m，如图所示。某时刻，将压缩的微型弹簧释放，使A、B瞬间分离，两物块获得的动能之和为Ek=10.0J。释放后，A沿着与墙壁垂直的方向向右运动。A、B与地面之间的动摩擦因数均为u=0.20。重力加速度取g=10m/s?。A、B运动过程中所涉及的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。
（1）求弹簧释放后瞬间A、B速度的大小；
（2）物块A、B中的哪一个先停止？该物块刚停止时A与B之间的距离是多少？
（3）A和B都停止后，A与B之间的距离是多少？
【分析】首先需要理解弹簧释放后瞬间的过程内A、B组成的系统动量守恒，再结合能量关系求解出A、B各自的速度大小；很容易判定A、B都会做匀减速直线运动，并且易知是B先停下，至于A是否已经到达墙处，则需要根据计算确定，结合几何关系可算出第二问结果；再判断A向左运动停下来之前是否与B发生碰撞，也需要通过计算确定，结合空间关系，列式求解即可。
【详解】（1）设弹簧释放瞬间A和B的速度大小分别为vA、vB，以向右为正，由动量守恒定律和题给条件有0=mAvA-mBvB①
②
联立①②式并代入题给数据得
vA=4.0m/s，vB=1.0m/s
（2）A、B两物块与地面间的动摩擦因数相等，因而两者滑动时加速度大小相等，设为a。假设A和B发生碰撞前，已经有一个物块停止，此物块应为弹簧释放后速度较小的B。设从弹簧释放到B停止所需时间为t，B向左运动的路程为sB。，则有
④
⑤
⑥
在时间t内，A可能与墙发生弹性碰撞，碰撞后A将向左运动，碰撞并不改变A的速度大小，所以无论此碰撞是否发生，A在时间t内的路程SA都可表示为
sA=vAt–⑦
联立③④⑤⑥⑦式并代入题给数据得
sA=1.75m，sB=0.25m⑧
这表明在时间t内A已与墙壁发生碰撞，但没有与B发生碰撞，此时A位于出发点右边0.25m处。B位于出发点左边0.25m处，两物块之间的距离s为
s=0.25m+0.25m=0.50m⑨
（3）t时刻后A将继续向左运动，假设它能与静止的B碰撞，碰撞时速度的大小为vA′，由动能定理有
⑩
联立③⑧⑩式并代入题给数据得

故A与B将发生碰撞。设碰撞后A、B的速度分别为vA′′以和vB′′，由动量守恒定律与机械能守恒定律有


联立式并代入题给数据得

这表明碰撞后A将向右运动，B继续向左运动。设碰撞后A向右运动距离为sA′时停止，B向左运动距离为sB′时停止，由运动学公式

由④式及题给数据得

sA′小于碰撞处到墙壁的距离。由上式可得两物块停止后的距离

技巧六：审题时要抓住物理过程的要点
（1）阶段性——将题目涉及的整个过程适当划分为若干阶段；
（2）联系性——找出各个阶段之间是由什么物理量联系起来的；
（3）规律性——明确每个阶段遵循什么规律。
例6. 一平板车，质量，停在水平路面上，车身的平板离地面的高度，一质量的小物块置于车的平板上，它到车尾端的距离，与车板间的动摩擦因数，如图所示，对平板车施加一水平方向的恒力，使车向前行驶，结果物块从车板上滑落。物体刚离开车板的时刻，车向前行驶的距离，求物块落地时，落地点到车尾的水平距离s（g取）
解析：对此题的求解，可以把整个物理过程化解为四个子过程：从开始运动到物块刚离开平板车物块做匀加速运动，车做匀加速运动；物块离开平板车后做平抛运动，车做匀加速运动。在物块离开平板车时刻，设车和物块的速度分别为和，二者是联系各子过程的“桥梁”，它们既是前一过程的末速，又是后一过程的初速。如图所示：
设水平恒力为F，物块与车的摩擦力为，物块在车上运动的时间为t，此过程中，车和物块的加速度分别为和，则有：

所以

设物块平抛时间为，通过的水平距离为，则有：

所以

在这段时间内车的加速度：

车通过的距离：

所以
技巧七：审题时要谨防以假乱真
有些题目的物理过程含而不露，需结合已知条件，应用有关概念和规律，进行具体分析，而不要急于动笔列方程，以免以假的过程模型代替了真的物理过程。
例7. 如图8，在一匀强电场中的A点有一点电荷，并用绝缘细线与O点相连，原来细线刚好被水平拉直而没有张力，现让点电荷从A点从静止开始运动，试求电荷经O点正下方时的速率v。（已知电荷的质量为，电量，细线长度为，电场强度，g取）
解析：许多同学见到此题，不假思索地认为小球从A点开始做圆周运动，由动能定律列出方程，代入数据得。
实际上本题中，电场力和重力的合力与水平方向的夹角为，所以电荷从A点开始沿直线经O点正下方B处到达C点后，细线方开始被拉直，如图9所示，电荷从A点到B，做匀变速直线运动，而不是一开始做圆周运动，由动能定理得：，解得。
技巧八：审题时要仔细，排除干扰
经常遇到一些物理题故意多给出已知条件，或解题过程中精心设置一些歧途，或安排一些似是而非的判断，也就是利用干扰因素考查学生明辨是非的能力，这些因素的迷惑程度愈大，愈容易在解题过程中犯错误，在审题过程中，只有迅速地排除这些干扰因素，解题才能迅速而正确。
例8. 如图所示，是定值电阻，和是两个滑动变阻器，闭合开关S，两电表都有一定值，现调节和，使得电压表的示数加倍而电流表的示数减半，则电阻消耗的电功率将（ ）
A. 变为原来的 B. 变为原来的
C. 变为原来的4倍 D. 与原来相同
解析：本题中的电压表与和并联，测量的是它们两个总电压，而不是两端的电压，与本题的解答无关，是命题者有意设置的干扰因素，因此应迅速地排除它的干扰，只利用电流表示数减半的条件，根据就能立即得出消耗的电功率为原来的的正确结论。
技巧九：审题时要注意过程中瞬时问题
在近几年的高考试题中，经常出现瞬时问题，求解这类问题时要分析是什么原因引起物体受力突变的。对于理想刚性绳或刚性支持面，形状改变时可以不计时间，其弹力能突变；非理想刚性绳的形变改变是需要一定时间的，弹力不能发生突变。
例9. 如图所示，长L＝2m的不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一质量为的小球，将小球从O点正下方处水平向右抛出，经一定时间绳被拉直，此时绳与竖直方向夹角，以后小球只以O点为悬点在竖直平面内摆动，试求小球摆到最低点时绳所受的拉力。
分析：此题的关键在于绳被拉直的瞬间，绳的作用力将对小球产生较大的冲量作用，使小球沿绳方向的速度在绳冲量的作用下瞬间变为零，出现机械能向内能转变，而垂直绳方向的速度不变。
从抛出到小球将绳拉直的过程中，小球做平抛运动，设小球抛出时的初速度为，则，所以。
到绳绷直时，小球在竖直方向上获得的速度为，此时小球的合速度方向与竖直方向成角，将此速度沿绳的方向和垂直于绳的方向分解，如图所示，沿绳的方向的速度在绳的冲量作用下变为零，小球只剩下与绳垂直的分速度
设小球摆到最低点时的速度为，根据机械能守恒定律有：

小球摆到最低点时：
解得：
小结：从上面的例子可以看出，在物体与不可伸长的绳发生作用时使绳瞬间绷直这类现象中，物体沿绳方向上的动量要发生变化，由于绳不可伸长而发生永久性的形变，使得机械能有一部分要转变为物体的内能。因此，我们在解这类题时，一定不能忽视这两个变化，审题思维要更加严谨。
技巧十：审题时要注意合理划分或合并物理过程
在审题过程中，物理过程该分则分，宜合则合，并将物理过程的分析与研究对象及规律的选用加以统筹考虑，以求最佳思路。
例10. 一个质量为m、带电量为的小物体，放在绝缘的水平轨道上，O端有一与轨道垂直的墙，轨道处于匀强电场中，场强的大小为E，方向沿Ox正方向，如图所示，小物体以初速度从点沿Ox轨道运动，运动时受到大小不变的摩擦力作用，且，设小物体与墙碰撞时不损失机械能，且电量保持不变，最后小物体停止在O点，求它停止前进时通过的总路程s。
解析：小物体受电场力和摩擦力的作用，运动多次往复，摩擦力的方向随着小物体的往复而发生变化，如将小物块的运动分解为一系列的子过程，逐个选用力学规律去分析，则显得相当繁琐，而且数学运算已涉及到数列运算和极限求和。如果将物体运动的全过程作为研究对象，则可避开运动过程的具体细节。
小物体最终停止在O端，电场力做的功为（与路径无关），摩擦做的功为（始终做负功，s为总路程），对全过程用动能定律得：

所以
以上介绍了在物理审题过程中的十大技巧，事实上在处理物理问题时这些技巧的应用不是孤立的，往往是几种方法同时加以综合应用，这样才能审好物理题目，进而正确的解决好物理题目。
【真题精析】
1.（2019全国1卷）竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块B静止于水平轨道的最左端，如图（a）所示。t=0时刻，小物块A在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与B发生弹性碰撞（碰撞时间极短）；当A返回到倾斜轨道上的P点（图中未标出）时，速度减为0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止。物块A运动的v-t图像如图（b）所示，图中的v1和t1均为未知量。已知A的质量为m，初始时A与B的高度差为H，重力加速度大小为g，不计空气阻力。
（1）求物块B的质量；
（2）在图（b）所描述的整个运动过程中，求物块A克服摩擦力所做的功；
（3）已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等，在物块B停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，然后将A从P点释放，一段时间后A刚好能与B再次碰上。求改变前面动摩擦因数的比值。
【答案】（1）3m （2）
（3）
【解析】（1）物块A和物块B发生碰撞后一瞬间的速度分别为、，弹性碰撞瞬间，动量守恒，机械能守恒，即：、

联立方程解得：；
根据v-t图象可知，，解得：。
（2）设斜面的倾角为，根据牛顿第二定律得：
当物块A沿斜面下滑时：，由v-t图象知：
当物体A沿斜面上滑时：，由v-t图象知：
解得：；
又因下滑位移
则碰后A反弹，沿斜面上滑的最大位移为：
其中为P点离水平面得高度，即
解得
故在图（b）描述的整个过程中，物块A克服摩擦力做的总功为：

（3）设物块B在水平面上最远的滑行距离为，设原来的摩擦因数为
则以A和B组成的系统，根据能量守恒定律有：
设改变后的摩擦因数为，然后将A从P点释放，A恰好能与B再次碰上，即A恰好滑到物块B位置时，速度减为零，以A为研究对象，根据能量守恒定律得：
又据（2）的结论可知：，得：
联立解得，改变前与改变后的摩擦因素之比为：。
2.（2019全国2卷）.一质量为 m=2000 kg 的汽车以某一速度在平直公路上匀速行驶。行驶过程中，司机忽然发现前方 100 m 处有一警示牌。立即刹车。刹车过程中，汽车所受阻力大小随时间变化可简化为图（a） 中的图线。图（a）中，0~t1 时间段为从司机发现警示牌到采取措施的反应时间（这段时间内汽车所受阻力已忽略，汽车仍保持匀速行驶），t1=0.8 s；t1~t2 时间段为刹车系统的启动时间，t2=1.3 s；从 t2 时刻开始汽车的刹车系统稳定工作，直至汽车停止，已知从 t2 时刻开始，汽车第 1 s 内的位移为 24 m，第 4 s 内的位移为 1 m。
⑴在图（b）中定性画出从司机发现警示牌到刹车系统稳定工作后汽车运动的 v-t 图线；
⑵求 t2 时刻汽车的速度大小及此后的加速度大小；
⑶求刹车前汽车匀速行驶时的速度大小及 t1~t2 时间内汽车克服阻力做的功；司机发现警示牌到汽车停止，汽车行驶的距离约为多少（以 t1~t2 时间段始末速度的算术平均值替代这段时间内汽车的平均速度）？








【答案】（1） （2）8 m/s2 ， 28 m/s 或者 ，29.76 m/s；（3）30 m/s；


1.16 ?105 J ；87.5 m
【解析】（1）v-t 图像如图所示。

⑵设刹车前汽车匀速行驶时的速度大小为 v1，则 t1 时刻的速度也为 v1，t2 时刻的速度也为 v2， 在 t2 时刻后汽车做匀减速运动，设其加速度大小为 a，取Δt=1s，设汽车在 t2+(n-1)Δt 内的位移为 Sn， n=1,2,3,…。
若汽车在 t2+3Δt~t2+4Δt 时间内未停止，设它在 t2+3Δt 时刻的速度为 v3，在 t2+4Δt 时刻的速度为 v4，由运动学有、、
联立各式，代入已知数据解得：。
这说明在 t2+4Δt 时刻前，汽车已经停止。因此，式不成立。由于在 t2+3Δt~t2+4Δt 内汽车停止，由运动学公式：、，联立各式，代入已知数据解得：
a =8 m/s2 ，v2=28 m/s或者，。
⑶设汽车的刹车系统稳定工作时，汽车所受阻力的大小为 f1，由牛顿定律有：f1=ma在 t1~t2 时间内，阻力对汽车冲量的大小
由动量定理有：在 t1~t2 时间内，汽车克服阻力做的功为：
联立各式，代入已知数据解得：v1=30 m/s， ,从司机发现警示牌到汽车停止，汽车行驶的距离s 约为，联立解得：。
3.（2019广东卷）图18(a)所示的装置中，小物块A、B质量均为m，水平面上PQ段长为l，与物块间的动摩擦因数为μ，其余段光滑。初始时，挡板上的轻质弹簧处于原长；长为r的连杆位于图中虚线位置；A紧靠滑杆(A、B间距大于2r)。随后，连杆以角速度ω匀速转动，带动滑杆作水平运动，滑杆的速度-时间图像如图18(b)所示。A在滑杆推动下运动，并在脱离滑杆后与静止的B发生完全非弹性碰撞。
(1)求A脱离滑杆时的速度uo，及A与B碰撞过程的机械能损失ΔE。
(2)如果AB不能与弹簧相碰，设AB从P点到运动停止所用的时间为t1，求ω得取值范围，及t1与ω的关系式。
(3)如果AB能与弹簧相碰，但不能返回道P点左侧，设每次压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能为Ep，求ω的取值范围，及Ep与ω的关系式(弹簧始终在弹性限度内)。






【解析】：(1)设连杆的水平位移为 取水平向右的方向为正则：求导得：符合图像b 当=0时，A与连杆分离，此时：
V0= ①
AB相碰由动量守恒得：mv0=2mv ②
AB系统机械能损失ΔE= ③
由①②③得：
④
(2)AB在pq上做匀减速直线运动，加速度为：由运动学规律公式得AB开始到停止 的位移：
⑤
s≤l ⑥
0=v+at1 ⑦
由④⑤⑥⑦得：
⑧

(3)AB从p开始到弹簧压缩到最短时过程由能量守恒得：

可得到：
设AB返回时刚好到达P点时速度为0，则此时角速度最大
全过程由能量守恒得：

解得：综合⑧得到角速度的范围为：
4.（2018海南卷）如图，光滑轨道PQO的水平段QO=，轨道在O点与水平地面平滑连接。一质量为m的小物块A从高h处由静止开始沿轨道下滑，在O点与质量为4m的静止小物块B发生碰撞。A、B与地面间的动摩擦因数均为=0.5，重力加速度大小为g。假设A、B间的碰撞为完全弹性碰撞，碰撞时间极短。求
(1)第一次碰撞后瞬间A和B速度的大小；
(2) A、B均停止运动后，二者之间的距离。
【答案】 (1)第一次碰撞后瞬间A和B速度的大小分别为和
(2)A、B均停止运动后它们之间的距离为
【试题分析】本题主要考查机械能、匀变速直线运动规律、动量守恒定律、能量守恒定律及其相关的知识点，意在考查考生灵活运用相关知识综合分析问题的的能力。
【解析】（1）设A滑到水平轨道的速度为，则有
①
A与B碰撞时，由动量守恒有 ②
由动能不变有 ③
联立①②③得: ④
第一次碰撞后瞬间A和B速度的大小分别为和
（2）第一次碰撞后A经过水平段QO所需时间 ⑤
第一次碰撞后B停下来所需时间 ⑥
易知
故第一次碰撞后B停时，A还没有追上B
设第一次碰撞后B停下来滑动的位移为，由动能定理得
⑦
解得 ⑧
设A第二次碰撞B前的速度为，由动能定理得
⑨
解得 ⑩
，故A与B会发生第二次碰撞
A与B会发生第二次碰撞，由动量守恒有
?
由动能不变有
?
解得：
?

B发生第二次碰撞后，向右滑动的距离为，由动能定理得
?
解得 ?
A发生第二次碰撞后，向左滑动的距离为，由动能定理得
?
解得 ?
，即A不会再回到光滑轨道PQO的水平段QO上，在O点左边停下
所以A、B均停止运动后它们之间的距离为= ?
5.（2017北京卷）在磁感应强度为B的匀强磁场中，一个静止的放射性原子核发生了一次α衰变。放射出α粒子（）在与磁场垂直的平面内做圆周运动，其轨道半径为R。以m、q分别表示α粒子的质量和电荷量。
（1）放射性原子核用表示，新核的元素符号用Y表示，写出该α衰变的核反应方程。
（2）α粒子的圆周运动可以等效成一个环形电流，求圆周运动的周期和环形电流大小。
（3）设该衰变过程释放的核能都转为为α粒子和新核的动能，新核的质量为M，求衰变过程的质量亏损Δm。
【答案】⑴→+；⑵I＝，T＝；Δm＝
⑶设新核的速率为v2，核反应前后系统动量守恒，有：mv1＝Mv2
根据爱因斯坦质能方程和能量守恒定律有：Δmc2＝＋
解得：Δm＝
6.（2017天津卷）如图所示，物块A和B通过一根轻质不可伸长的细绳连接，跨放在质量不计的光滑定滑轮两侧，质量分别为mA=2 kg、mB=1 kg。初始时A静止与水平地面上，B悬于空中。先将B竖直向上再举高h=1.8 m（未触及滑轮）然后由静止释放。一段时间后细绳绷直，A、B以大小相等的速度一起运动，之后B恰好可以和地面接触。取g=10 m/s2。
（1）B从释放到细绳绷直时的运动时间t；
（2）A的最大速度v的大小；
（3）初始时B离地面的高度H。
【答案】（1）；（2）；（3）。
【解析】（1）B从释放到细绳刚绷直前做自由落体运动，有：
解得：
（2）设细绳绷直前瞬间B速度大小为vB，有
细绳绷直瞬间，细绳张力远大于A、B的重力，A、B相互作用，总动量守恒：
绳子绷直瞬间，A、B系统获得的速度：
之后A做匀减速运动，所以细绳绷直瞬间的速度v即为最大速度，A的最大速度为2 m/s。
（3）细绳绷直后，A、B-起运动，B恰好可以和地面接触，说明此时A、B的速度恰好为零，这一过程中A、B组成的系统机械能守恒，有：
解得，初始时B离地面的高度H=0.6m。
【模拟演练】
课时12.题型解析——计算题
（考试总分：160 分 考试时长： 120 分钟）
一、 计算题 （本题共计 10 小题，共计 160 分）
1、（12分）如图所示,一颗质量为m、速度为v0的子弹竖直向上射穿质量为M的木块后继续上升,子弹从射穿木块到再回到原木块处所经过的时间为T。那么当子弹射穿木块后,木块上升的最大高度是多少？
【答案】
【解析】子弹从射穿木块后做竖直上抛运动，
则子弹从射穿木块后的速度大小为
子弹与木块的重力远小于子弹对木块的冲击力，
所以子弹和木块组成的系统总动量守恒，得：
得到木块获得的速度
设木块上升的最大高度为h
则有：木块，得。
2、（12分）如图所示，物块B、C的质量相同，物块A的质量是B的1.6倍，三个物块均可看作质点。三物块用细线通过轻滑轮连接，物块B与C的距离和物块C到地面的距离均为L=1.8m。现将物块A下方的细线剪断，A上升，B和C下降。若物块A距滑轮足够远且不计一切阻力，物块C落地后不影响物块A、B的运动。g=10m/s2，求：
（1）物块A上升过程的最大速度；
（2）物块A上升的最大高度。
【答案】
【解析】（1）A、B、C三物块系统机械能守恒．B、C下降L，A上升L时，A的速度达最大．
2mgL-1.6mgL=(1.6m+2m)v2
解得，v=2m/s，即物块A上升时的最大速度为2m/s????
（2）假设A上升到最大高度时，B未落地，设A上升h，则根据机械能守恒可得：
（1.6m-m）gh=(1.6m+m)v2，解得h=0.87m，所以物块A上升的最大高度为，h+L=1.8+0.87=2.67m
点评：本题关键是要灵活地选择研究对象，虽然单个物体机械能不守恒，但系统机械能守恒。
3、（12分）如图所示，甲车质量m1＝m，在车上有质量M＝2m的人，甲车(连同车上的人)从足够长的斜坡上高h处由静止滑下，到水平面上后继续向前滑动，此时质量m2＝2m的乙车正以速度v0迎面滑来，已知h＝，为了使两车不发生碰撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳上乙车，试求人跳离甲车的水平速度(相对地面)应满足什么条件？不计地面和斜坡的摩擦，小车和人均可看成质点．
【答案】v的取值范围为v0≤v≤v0
【解析】设向左为正方向，甲车(包括人)滑下斜坡后速度为v1，由机械能守恒定律有：
(m1＋M)v1＝(m1＋M)gh，解得：v1＝＝2v0
设人跳出甲车的水平速度(相对地面)为v，在人跳离甲车和人跳上乙车过程中各自动量守恒，设人跳离甲车和跳上乙车后，两车的速度分别为v′1和v′2，
则人跳离甲车时：(M＋m1)v1＝Mv＋m1v′1
人跳上乙车时：Mv－m2v0＝(M＋m2)v′2
解得v′1＝6v0－2v，v′2＝v－v0
两车不发生碰撞的临界条件是v′1＝±v′2
当v′1＝v′2时，解得v＝v0
当v′1＝－v′2时，解得v＝v0
故v的取值范围为v0≤v≤v0.。

4、（12分）如图所示，一质量为m，电荷量为q（q>0）的小物块，在距离电场区域为a处以一定的初速度在一水平绝缘平面上向右运动，物块与绝缘平面的摩擦因数为，物块在运动过程中要穿越宽度为2a，场强大小为E的电场区域，当场强方向竖直向下时，物块停留在离开电场区域左边缘的0.5a处，当场强方向向上时，物块停留在距离电场区域右侧的a处。求：
（1）电场强度的大小，以及物块的初速度;
（2）若增加物块初速度的大小，当电场向下时，物块仍能停在电场区域内。求电场向上时物块运动的时间与电场向下情况下物块运动时间差值的最小值。并求出对应的初速度。
【答案】（1） ； （2）；
【解析】（1）当场强方向竖直向下时，由动能定理：
；
当场强方向竖直向上时，由动能定理：
；
联立解得： ；
（2）无论电场方向如何，物块在进入电场前运动时时间是相等的，设滑块刚进入电场时速度为v，当电场向下时物块不滑出电场，则由动量定理：

解得： ；
若场强向上，则由于mg=qE，则滑块在电场中受摩擦力为零而做匀速运动，出离电场后做运减速运动，则在电场中的时间为： ，
出离电场时：，
则运动的总时间为：；
则时间差：；
由数学知识可知，当 时，?t最小，即当时，?t最小值为： ；
此时当场强向下时，有： ，解得x=a，滑块不滑出电场的范围；
由动能定理： ，
解得： 。
5、（16分）如图所示，在光滑水平面上，质量为m=4kg的物块左侧压缩一个劲度系数为k=32N/m的轻质弹簧，弹簧与物块未拴接。物块与左侧竖直墙壁用细线拴接，使物块静止在O点，在水平面A点与一顺时针匀速转动且倾角θ=37°的传送带平滑连接，已知xOA=0.25m，传送带顶端为B点，LAB=2m，物块与传送带间动摩擦因数μ=0.5。现剪断细线同时给物块施加一个初始时刻为零的变力F，使物块从O点到B点做加速度大小恒定的加速运动。物块运动到A点时弹簧恰好恢复原长，运动到B点时撤去力F，物块沿平行AB方向抛出，C为运动的最高点。传送带转轮半径远小于LAB，不计空气阻力，已知重力加速度g=10m/s2。
(1)求物块从B点运动到C点，竖直位移与水平位移的比值；
(2)若传送带速度大小为5m/s，求物块与传送带间由于摩擦产生的热量；
(3)若传送带匀速顺时针转动的速度大小为v，且v的取值范围为2m/sv3m/s，物块由O点到B点的过程中力F做的功与传送带速度大小v的函数关系。
【答案】（1）； （2）=48J； （3）
【解析】解：（1）设物块从B运动到C的时间为t，BC的竖直距离

BC的水平距离为
解得： ；
（2）在初始位置，m/s2
得=1m/s
得=3m/s
物块从A到B运动时间为t, 得t=1s
物块与传送带间摩擦产生的热量
得：=48J；
（3）物块在水平面上，
力F随位移x线性变化，J
若传送带速度2m/s，

，

。
6、（18分）如图，绝缘水平地面上有宽的匀强电场区域，场强，方向水平向左。不带电的物块静止在电场左侧边缘的点，带电量、质量为的物块在距点处的点以的水平初速度向右运动，并与发生碰撞。的质量是的倍。已知与段地面间的动摩擦因数为，、与点右侧地面的动摩擦因数，物块均可视为质点，且的电荷量始终不变。
（1）求物块到达点与物块碰撞前瞬间速度的大小；
（2）若碰撞后两物块粘在一起，求碰后物块的速度大小；
（3）若碰撞过程物块、构成的系统没有动能损失，讨论在不同取值范围时电场力对做的功。
【答案】（1） （2） （3）当时 ；当时，
【解析】（1）碰前A：
根据
解得：
（2）A碰B：
解得
（3）碰：

解得：

碰后A：

由于大于，碰后总是比快，不会再相碰
在电场内减速至0:
解得：



当时，减速至0后将重新向左加速运动离开电场，
当，即

当， 即

又解：（3）碰后

由于大于，碰后总是比快，不会再相碰
在电场内减速至0:




碰动量守恒定律：
机械能守恒定律：
取 解得：
当时，减速至0后将重新向左加速运动离开电场，
当时，
当时， 。
7、（18分）如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，一劲度系数为K=200N/m的轻质弹簧一端连接固定挡板C上，另一端连接一质量为m=4Kg的物体A，一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的物体B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长，用手托住物体B使绳子刚好没有拉力，然后由静止释放，求：
（1）弹簧恢复原长时细绳上的拉力；
（2）物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；
（3）物体A的最大速度大小．
【答案】（1）弹簧恢复原长时细绳上的拉力为30N；
（2）物体A沿斜面向上运动20cm时获得最大速度；
（3）物体A的最大速度大小为1m/s．
【解析】（1）回复原长时，分别对A和B应用牛顿第二定律列式即可求解绳子的拉力，
（2、3）没有释放时，对于物体A由平衡条件求出此时弹簧的压缩量，释放后A沿斜面向上做加速度减小的加速运动，当A加速度为0时，A速度最大，对AB分别根据平衡条件求出此时弹簧的伸长量，进而判断在此过程中弹簧弹性势能改变量，设最大速度为υ，对于A、B及弹簧组成的系统由机械能守恒即可求出A的最大速度值；
解：（1）回复原长时，
对B：mg﹣T=ma
对A：T﹣mgsin30°=ma
代入数据解得：T=30N
（2）初始位置，弹簧的压缩量为：
，
当A速度最大时，有：mg=kx2+mgsin30°
弹簧的伸长量为：
所以A沿斜面上升的距离为：x=x1+x2=20cm
（3）因为x1=x2，所以弹簧的弹性势能没有改变，由系统机械能守恒得：
mg（x1+x2）﹣mg（x1+x2）sin30°=
解得：v=g。
8、（20分）如图，为某碰撞模拟实验简图。在水平地面上固定倾角为的足够长的光滑斜面，中间带孔的槽固定在斜面上。一轻直杆平行于斜面，一端与轻弹簧相连，另一端穿在槽中，直杆与槽间的最大静摩擦力为f=2 mgsinθ。现将直杆用销钉固定。一质量为m的滑块从距离弹簧上端L处由静止释放，其下滑过程中的最大速度vm=。已知弹簧的劲度系数k=，弹簧的弹性势能与其形变量的平方成正比。滑动摩擦力可认为等于最大静摩擦力，且弹簧始终不会碰到槽。当地重力加速度为g。
(1)求滑块下滑速度为vm时弹簧的弹性势能Ep；
(2)若取下销钉，使滑块仍从原位置由静止释放，求直杆下滑的最大距离s；并分析说明滑块此后是否能与弹簧分离，若能，请求出滑块与弹簧分离时的速度大小v；若不能，请说明理由。
(3)若取下销钉，使滑块从距离弹簧上端2L处由静止释放，请分析说明滑块此后是否能与弹簧分离，若能，请求出滑块与弹簧分离时的速度大小v′；若不能，请说明理由。
【答案】（1） ；（2）滑块不能与弹簧分离；（3）仍然不能分离；
【解析】（1）设滑块达到最大速度时弹簧形变量为，则有：
可得
此过程机械能守恒，有
代入相关数据可得
（2）当弹力大小等于f时直杆开始滑动，设此时弹簧形变量为，则有
可得
依题意有
设此时滑块速度为，则根据机械能守恒定律有：
之后滑块与直杆将一起做匀减速运动，直至速度减为零。根据动能定理有：

联立以上式子可得
此后直杆保持静止。假设滑块能与弹簧分离，即滑块还需向上运动2L的距离。根据机械能守恒定律有：
联立可得
可见，此后滑块将继续下滑，来回做往复运动。
综上，滑块此后不能与弹簧分离。
（3）若滑块从距离弹簧2L处由静止释放，根据（2）中的分析可知，直杆下滑的距离将增加，但保持不变，因而滑块仍然不能与弹簧分离。
9、（20分）如图，半径R=0.5m的光滑半圆弧轨道固定在竖直平面内，AB是轨道的竖直直径，轨道下端点B上静止着质量m=2kg的小物块，轨道在B点与倾角θ=30°的传送带(轮子半径很小)上端点相切；电动机带动传送带以v=8m/s的速度逆时针匀速运动，传送带下端点C与水平面CDO平滑连接，B、C间距L=4m；一轻质弹簧的右端固定在O处的挡板上，质量M=10kg的物体靠在弹簧的左端D处，此时弹簧处于原长，C、D间距x0=4.4m，OD段光滑，DC段粗糙。现将M压缩弹簧一定距离后由静止释放，M在传送带上一直做匀加速直线运动，在轨道上B点M与m正碰(碰撞时间不计)，碰后两物体粘在一起且恰好能沿圆轨道通过A点，上述过程中，M经C点滑上和经B点离开传送带时，速度大小不变，方向分别变为沿传送带向上和水平向左。已知M与传送带间的动摩擦因数为μ1=、与CD段间的动摩擦因数为μ2=0.5，且m、M均可视为质点，重力加速度大小g=10m/s2。求：
(1)在圆弧轨道的B点，m、M碰后粘在一起的瞬间对轨道的压力
(2)M在传送带上运动的过程中，系统由于摩擦产生的热量Q；
(3)M释放前，系统具有的弹性势能EP以及带动传送带的电动机由于运送M多输出的电能E。
【答案】(1) (2) (3)
【解析】（1）mM恰能过A点，由牛顿第二定律：
解得
从B到A由机械能守恒：
解得vB=5.0m/s
在圆弧轨道B点，设轨道对物体的支持力为FN，则
解得FN=720N，
根据牛顿第三定律可知，物体对轨道的压力大小为720N，方向竖直向下；
（2）射出的M碰前瞬间的速度v1，在C点的速度vC，在传送带上的加速度为a，运动时间为t，m、M碰撞过程由动量守恒：
解得v1=6m/s；
M在传送带上运动时由牛顿第二定律：
解得a=2.5m/s2
由公式：v12-vC2=2Al
解得vC=4m/s；
由v1=vC+at
解得t=0.8s；
传送带在t时间内的位移:x1=vt=6.4m摩擦生热：
解得Q=180J
（3）设弹簧弹力对物体做功W，则从弹簧的压缩端到C点，对M由动能定理： ，
解得：W=-(0-EP)=300J；
由
解得E=480J。
10、（20分）如图所示，一小车上表面由粗糙的水平部分AB和光滑的半圆弧轨道BCD组成，小车紧靠台阶静止在光滑水平地面上，且左端与光滑圆弧形轨道MN末端等高，圆弧形轨道MN末端水平．一质量为m=1kg的小物块P从距圆弧形轨道MN末端高为h=1.8m处由静止开始滑下，若物块P在半圆弧轨道BCD上经过一次往返运动（运动过程中物块始终不脱离轨道），最终相对小车静止在小车水平部分AB的中点。已知AB长为L=4m，小车的质量为M=2kg，取重力加速度g=10m/s2．
(1)求物块P在轨道MN末端时速度大小？
(2)求P物体相对半圆弧轨道BCD静止时的速度为多少？
(3)求小车上表面的滑动摩擦因数为多少？

【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1) 对物块P的下滑过程，由机械能守恒列方程即可求解；
(2) 物块p与小车相对静止时，共同速度为，系统水平方向动量守恒列方程求解；
(3) 物块p从开始运动到与小车相对静止过程，由功能关系对系统列方程求解。
【详解】(1)对物块P的下滑过程，由机械能守恒得：
解得：；
(2) 物块p与小车相对静止时，共同速度为，系统水平方向动量守恒，
解得：；
(3) 物块p从开始运动到与小车相对静止过程，
由功能关系得：
解得：
【学习心得】
通过强化训练进一步加强对四个基本规律和一个关系的理解与掌握。
2、在研究系统内物体的相互作用时，必须同时考虑动量关系和能量关系，否则问题往往难以解决：
⑴动量关系一般是系统动量守恒（或某一方向动量守恒）;
⑵对于能量关系，若系统内均无滑动摩擦力，则对系统应用机械能守恒定律；
⑶若系统外部不受摩擦力，而内部有滑动摩擦力，则对系统应用摩擦生热的功能关系：当然也可以分别对两个物体应用动能定理求解，只是过程繁琐一些。



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