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(共28张PPT)
分类加法计数原理与
分步乘法计数原理
思考？
26+24=50
问题1.若班级有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学课代表，有多少种不同选法？
问题2.用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？
26+10=36
探究2:你能说说以上两个问题共同特征吗？
探究1：你能试着解决这两个问题吗？
上述计数问题的算法有何共同特点？
完成一件事有 不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.
上述原理称为分类加法计数原理.
N＝m+n
两类
想一想:
分类加法计数原理中的“各类方法”能单独“完成这件事”吗？
问题3.从甲地到乙地,可以乘火车，也可以乘汽车，一天中火车有4班，汽车有2班，那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
问题4.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班, 汽车有2班，轮船有3班。那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法?

思考？
4+2=6
4+2+3＝9
探究3：你能找到这个问题的一般性结论
并推广吗？
1.完成一件事，有3类办法. 在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法，在第3类方法中有m3种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？

N= m1+m2+ m3种不同的方法
问题推广
2.完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方
法……，在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？

N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
解：这名同学在A大学中有5种专业选择，在B大学中有4种专业选择。
根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。
6+4=10 ？
6+4-1=9
例1变式1：如果数学也是A大学的强项专业，这名同学只能选一个专业，则他共有多少种选择？
注意：分类加法计数做到不重，不漏！
5+4+3=12
例1变式2：若还有C大学，其中专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？　
问题5:食堂有米饭、馒头2种主食，有3种炒菜，要选择一种主食和一种炒菜，则有多少种不同的选法？
探究4：你能试着解决这两个问题吗？
问题6:用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
思考？
问题5:食堂有米饭、馒头、2种主食，有3种炒菜，要选择一种主食和一种炒菜，则有多少种不同的选法？
探究4：你能试着解决这两个问题吗？
问题6:用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
思考？
2×3=6
字母　　　　　数字　　　　　得到的号码




A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
树形图
问题5:食堂有米饭、馒头2种主食，有3种炒菜，要选择一种主食和一种炒菜，则有多少种不同的选法？
探究4：你能试着解决这两个问题吗？
问题6:用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
思考？
2×3=6
6×9=54
问题5:食堂有米饭、馒头2种主食，有3种炒菜，要选择一种主食和一种炒菜，则有多少种不同的选法？
探究4：你能试着解决这两个问题吗？
探究5：你能说说以上两个问题的共同特征吗？
问题6:用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
思考？
2×3=6
6×9=54
上述计数问题的算法有何共同特点？
完成一件事需要 ，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法.
上述原理称为分步乘法计数原理.
N＝m×n
两个步骤
想一想
分步乘法计数原理中的“各步方法”能单独“完成这件事”吗？
问题 7. 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?
探究6：你能找到这个问题的一般性结论并推广吗？
思考？
3×2=6
3×2×4=24
1. 完成一件事，有3个步骤. 做第1步有m1种不同的方法，做第2步中有m2种不同的方法，做第3步中有m3种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？

N= m1×m2×m3种不同的方法
问题推广
2. 完成一件事，有n个步骤. 做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？

N= m1×m2×… × mn 种不同的方法
例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
分 析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤：第1步，选男生；第2步，选女生。
解：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选择；第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选择；根据分步乘法计数原理，共有30×24=720种不同的选法。
例3、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法?
解（1）从书架上任取1本书，有三类取法 ，每层个取一本，根据分类加法计数原理，不同取法的种数是 N＝4＋3+2＝9
（2）从书架的第1，2 ,3层各取1本书，可以分成三个步骤完成，每层个取一本，根据分布乘法计数原理，不同取法的种数是 N＝4 ×3×2＝24
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
例3变式：书架上第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.从书架上取2本不同种类的书,有多少种不同的取法?

解：需先分类再分步.
根据两个基本原理，不同的取法总数是 N=4×3+4×2+3×2=26
第一类：从一、二层各取一本，
第二类：从一、三层各取一本，
第三类：从二、三层各取一本，
有4×3种取法
有4×2种取法
有3×2种取法
例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？
3
2
×
解：第1步从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法
第2步：从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上,有2种选法
根据分步乘法计数原理，不同挂法种数 N＝3×2＝6
甲
乙
丙
2+2+2=6
共同点：
①完成一件事要n个不同的步骤；
③每一个步骤都不能直接完成该事件，只有完成每个步骤，才能完成这件事。
②各个步骤相互联系 ；
相互联系分步到达
都是有关“完成一件事情”的所有不同方法的种数问题。
主要不同点：
①完成一件事有n类不同的方案；
②各类方案相互独立；
③每一类方案都能直接完成该事件
相互独立
直达目的
分类加法计数原理 分步乘法计数原理




点评:
乘法原理看成“串联电路”
加法原理看成“并联电路”;
1.一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．
(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法．
（2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？
解：(1)从两个袋子中任取一张卡有两类取法，是分类加法计数原理；共有10＋12＝22(种)取法

（2)从两个袋子中各取一张卡，要分两步完成，是分步乘法计数原理．共有10×12＝120(种)取法
（3）从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少种不同地走法？
N1=2×3=6
N2=4×2=8
N= N1+N2 =14
（2）从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路，从甲地到丁地有多少种不同地走法？
2（1）学校举行登山活动,山的南面有3条登山路线,山的北面有2条登山路线,要登上山顶,问共有多少种不同的路线？
3+2=5
2×3=6
3.某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．
(1)选其中一人为学生会主席,有多少种不同的选法？
(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种选法？
(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活 动，有多少种不同的选法？
（3)综合类问题，要先分类再分步，
分三类：高一、高二各一人，
高一、高三各一人，
高二、高三各一人，
由分类加法计数原理，
解（1）分类问题，用分类加法计数原理求解5＋6＋4＝15
（2)分步的问题，用分步乘法计数原理求解5×6×4＝120
共有5×6＝30(种)
共有5×4＝20(种)
共有6×4＝24(种)
共有30＋20＋24＝74(种)
4.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？
解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 45 种 .
（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种故有n=5×５×５×５= 54 种 .

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