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相对运动在高中物理中的应用


一、相对运动基本公式
如右图所示，木板对地位移为 x1，物块相对木板位移为 x 相对，则物块对地位移为
x2=x1+x 相对

变形可得


x 相对=x2-x1

用更一般形式表示，如下
? ? ?
s相对 ? s物 ? s参
上式左右两边对时间求导，可得
? ? ?


同理可得

v相对 ? v物 ? v参

? ? ?
a相对 ? a物 ? a参
注意，这三个公式都是矢量式，在直线运动的计算中，需要规定好正方向，带入正负号计算，在曲线运动中，需要用平行四边形定则或者三角形定则进行矢量运算。
【例 1】(2017·中原名校第一次联考)以从塔顶由静止释放小球 A 的时刻为计时零点，t0 时刻又在与小球 A 等高的位置处，由静止释放小球 B。若两小球都只受重力作用，设小球 B 下落时间为 t，在两小球落
地前，两小球间的高度差为Δx，则Δx－t0 图线为( )
t
[解析] t0 时刻，小球 A 的速度为 gt0，小球 B 的速度为 0，则此后以 B 为参考系，A 的相对速度为
v相对 ? gt0 ? 0 ? gt0 ， 相 对 加 速 度 为 a相对 ? g ? g ? 0 ， 则 经 过 时 间 t ， A 相 对 B 的 位 移 为
?x ? v t ? gt ? t ，这也就是两球间的高度差，则有Δx＝gt0，Δx与 t0 成正比，选项 B 正确。
相对 0 t t
【例 2】(2016·南通二模)如图所示，河水以相同的速度向右流动，落水者甲随水漂流，至 b 点时，救Th员乙从 O 点出发对甲实施救助，则救Th员乙相对水的运动方向应为图中的( )
A．Oa 方向 B．Ob 方向 C．Oc 方向 D．Od 方向
[解析] 由于落水者随着水流运动，以水为参考系时，落水者相对水静止；而救生员既随水运动，又相对水运动，以水为参考系时，救生员就只有相对水的运动了。初始时刻，他们之间的相对位置沿 Ob 方向，则以水为参考系时，救生员只需相对于水流沿 Ob 方向做直线运动，就能实施救助，B 项正确。
【例 3】(2016·江西九校联考)如图 4 所示，质量相等的两个滑块位于光滑水平桌面上。其中，弹簧两端分别与静止的滑块 N 和挡板 P 相连接，弹簧与挡板的质量均不计；滑块 M 以初速度 v0 向右运动，它与挡板 P 碰撞(不粘接)后开始压缩弹簧，最后，滑块 N 以速度 v0 向右运动。在此过程中( )
A.M 的速度等于 0 时，弹簧的弹性势能最大
B.M 与 N 具有相同的速度时，两滑块动能之和最小
C.M 的速度为v0时，弹簧的长度最长
2
D.M 的速度为v0时，弹簧的长度最短
2

[解析] 以 N 为参考系，M 的速度减为零时，弹簧压缩最短；也就是以地面为参考系时，两者共速时弹簧压缩最短，弹簧的弹性势能最大，由能量守恒可知，此时两滑块动能之和最小。设两滑块的共同速度

为 v，则由动量守恒，有 mv0

? (m ? m)v ，解得 v

v0。故本题选 BD。 2

(
=
)在右边两幅图所示情境中，有类似结论：
图（1）中，靴型物体放置在光滑水平地面上，小球以某一初速度滑上靴型物体，以靴型物体为参考系，易知小球速度减为零时，小球上升
至最高点，也就是以地面为参考系时，小球与靴型物体水平共速时小球上升至最高点。
图（2）中，金属圆环 m 套在水平光滑杆上，轻质细线一端系于圆环，另一端悬挂一质量为 M 的物块，给物块一水平初速度后，以圆环为参考系，当物块的速度减为零时物块上升至最高点，也就是以地面为参考系时，物块与圆环水平共速时物块上升至最高点。
二、相对运动在受力分析中的应用
1、摩擦力的方向




图（1）






图（2）

摩擦力总是与受力物体相对施力物体的运动方向（或相对运动趋势）相反。因此，只要判断出受力物体相对施力物体的运动方向，即可得到摩擦力的方向。这是摩擦力方向判断的最基本依据。
【例 4】如图所示，A 为长木板，在水平地面上以速度 v1 向右运动，物块 B 在木板 A 的上面以速度 v2
向右运动。下列判断正确的是（A、B 间不光滑）（ ）
A．若是 v1＝v2，A、B 之间无滑动摩擦力
B．若是 v1＞v2，A 受到了 B 所施加的向右的滑动摩擦力
C．若是 v1＜v2，B 受到了 A 所施加的向右的滑动摩擦力
D．若是 v1＞v2，B 受到了 A 所施加的向左的滑动摩擦力
[解析]当 v1＝v2 时，A、B 之间无相对运动，它们之间肯定没有滑动摩擦力；当 v1＞v2 时，以 B 为参考系，A 向右运动，它受到 B 施加的向左的滑动摩擦力，B 则受到 A 施加的向右的滑动摩擦力；当 v1＜v2 时，以 A 为参考系，B 向右运动，B 受到 A 施加的向左的滑动摩擦力，A 受到 B 施加的向右的滑动摩擦力。
故本题选 A。
2、应用
【例 5】摩擦力方向的判定 1：倾斜向下传送带如图所示，传送带与地面夹角θ＝37°，从 A 到 B 长度为 L＝10.25 m，传送带以 v0＝10 m/s 的速率逆时针转动。在传送带上端 A 无初
速地放一个质量为 m＝0.5 kg 的黑色煤块，它与传送带之间的动摩擦因数为μ＝
。煤块在传送带上经过会留下黑色痕迹。已知 sin 37°＝0.6，g＝10 m/s2，求
(1)煤块从 A 到 B 的时间；
(2)煤块从 A 到 B 的过程中传送带上形成痕迹的长度。
[解析] (1)煤块刚放上时，以传送带为参考系，煤块相对传送带向上运动，所以煤块受到向下的滑动摩擦力，设其加速度为 a，则由牛顿第二定律，有
mgsin θ＋μmgcos θ＝ma1
代入数据，解得 a1＝10 m/s2
加速过程中 t ＝v0＝1 s，x ＝1a t2＝5 m。
1 1 1 1
a1 2
由于?? 0.5 ? tan?? 0.75，煤块的速度达到 v0 后，将相对传送带向下滑动，其受到传送带给它向上
的滑动摩擦力，则则由牛顿第二定律，有
mgsin θ-μmgcos θ＝ma2

代入数据，解得 a2＝2 m/s2
此后过程煤块位移为 x ＝L－x ＝5.25 m，且 x ＝v t

1a t2，得 t ＝0.5 s。

2 1 2

0 2＋ 2 2 2
2

煤块从 A 到 B 的时间为 t＝t1＋t2＝1.5 s。

(2)以传送带为参考系，煤块在第一过程相对位移为Δx1＝x1－v0t1＝－5 m，负号表示方向向上；第二过程相对位移Δx2＝x2－v0t2＝0.25 m，方向向下。
也就是煤块先相对传送带上滑后相对下滑，所以两段划痕有部分重合，故痕迹总长为 5 m。
【例 6】一方形木板放置在水平地面上，在方形木板的上方有一条状竖直挡板，挡板的两端固定在水平地面上，挡跟木板之间并不接触．现在有一个方形物块在木板上沿挡板以某
一速度运动，同时方形木板以相等大小的速度向左运动，木板的运动方向与竖直挡板垂直，已知物块跟竖直挡板和水平木板间的动摩擦因数分别为μ1 和μ2，物块的质量为 m，则竖直挡板对物块的摩擦力大小为（ ）
(
2
) (
2
)1

0 B.

μ1μ2mg C.
2

μ1μ2mg D.
2

μ1μ2mg

[解析] 以挡板为参考系，物块相对速度为 v1，则挡板对物块的滑动摩擦力 f1 与 v1 方向相反；以木板为
(
v
相对
) (
?
) (
?
) (
v
相对
)参考系，物块的相对速度为? ? ? ，矢量图如右图所示，则可知物块相对木板的速度? 与向右
v物 v木
(
v
相对
)偏 45?角，木板对物块的滑动摩擦力 f2 与? 方向相反，则物块的受力俯视图如右图（2）所示。

由滑动摩擦定律可知：f2＝μ2mg

垂直挡板方向，由平衡条件，有 FN＝f2cos 45?＝

2


v2
(
v
相对
?
v
1
) (
f
1
)2 f2
μ2mg
2

则由滑动摩擦定律可知：f1＝μ1FN＝
2
故本题选 B。
三、相对运动在运动学问题中的应用
1、直线运动中的应用

μ1μ2mg

FN
图（1 图（2）

【例 7】在水平轨道上有两列火车 A 和 B 相距 x，A 车在后面做初速度为 v0、加速度大小为 2a 的匀减速直线运动，而 B 车同时做初速度为零、加速度为 a 的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求 A 车的初速度 v0 满足什么条件。
[解析] 以 B 车为参考系，A 车初速度方向为正方向，则 A 车的相对初速度为v相对0 ? v0 ? 0 ? v0 ，相对加速度为 a相对 ?（? 2a）? a ? ?3a ，则 A 的相对速度减为零时，有


代入数据，解得 x相对



2
(
v
?
) 0 。
6a

2 2
(
0
?

v
)相对0

? 2a相对

x相对

(
6
ax
)若相对速度减为零时，A 车不撞 B 车，两车就不会相撞，即 x相对 ? x ，解得v0 ?
【例 8】 (2017·安徽名校联考)质量 M＝3 kg 的长木板放在光滑的水平面上。在水平拉力 F＝11 N 作用下由静止开始向右运动。如图所示，当速度达到 1 m/s 时，将质量 m＝4 kg 的物块轻轻放到木板的右端。已知物块与木板间动摩擦因数μ＝0.2，物块可视为质点。(g＝10 m/s2)求：
(1)物块刚放置在木板上时，物块和木板的加速度分别为多大；
(2)木板至少多长物块才能与木板最终保持相对静止。
[解析] (1)物块刚放置在木板上时，木板具有向右的速度，则物块相对木板向左运动，物块受到木板向
μmg
右的滑动摩擦力，加速度大小为 a1＝ ＝μg＝2 m/s2，方向向右。木板相对物块向右运动，则受到物块给
m
F－μmg
它向左的滑动摩擦力，加速度大小 a2＝ ＝1 m/s2，方向向左。
M

(2) 选 木 板 为 参 考 系 ， 物 块 的 相 对 初 速 度 为

v相对0 ? 0 ? v0 ? ?1m/s

， 相 对 加 速 度 为

a相对

? a1

? (?a2

) ? 3m/s2 ，则物块相对速度减为零时，有

(
0
?

v
)2 2
相对0

? 2a相对

x相对

代入数据，解得 x相对 ? ?0.5m，负号表示相对位移向左。
则木板长度应满足 L ? x相对 ，物块才不会从木板上掉落。故木板至少长为 0.5 m。

2、曲线运动中的应用
【例 9】(2016·山西太原一模)CTMD(中国战区导弹防御体系)是一种战术型导弹防御系统，可以拦截各类型的短程及中程超音速导弹。在某次演习中，检测系统测得关闭发动机的导弹在距地面高为 H 处，其速度为 v 且恰好水平，反应灵敏的地面拦截系统同时以初速度 v0 竖直向上发射一颗炮弹成功拦截。已知发射时炮弹与导弹的水平距离为 s，不计空气阻力，则( )
A．v0＝Hv B．v0＝ Hv
(
v
0
v
相对
v
?
)s s
C．v0＝ s v D．v0＝v
H
[解析]以导弹为参考系，则炮弹的相对加速度为 a相对 ? g ? g ? 0，即炮弹相对导弹做匀速直线运动，其相对初速度必须正对导弹，即
? ? ?
v相对 ? v0 ? v
矢量图如右图所示，则由几何关系，有 v0＝Hv，所以只有 A 项正确。
s
【例 10】(2014·全国卷Ⅰ，19)(多选)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。据报道，2014 年各行星冲日时间分别是：1 月 6 日木星冲日；4 月 9 日火星冲日；5 月 11 日土星冲日；8 月 29
日海王星冲日；10 月 8 日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。则下列判断正确的是( )
地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径(AU) 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30

A．各地外行星每年都会出现冲日现象
B．在 2015 年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
[解析]设地球的运转周期为 T0、角速度为ω0、轨道半径为 r0，某地外行星的轨道半径为 r＝kr0，其中 k
＝1.5、5.2、9.5、19、30。
根据万有引力定律及牛顿第二定律，得 GMm＝mω2r GMm＝mω2r
0 0
(
2
)r r
(
k
3
)联立解得：ω＝ 1 ω0

以地外行星与太阳连线为参考系（相当于地外行星没动），则地球的相对角速度为

?相对 ? ?0 ??

地球相对该参考系转一圈的时间 T 即冲日周期，有
联立解得 T＝ k k T0
k k－1

?相对T ? 2π

根据上式结合 k 值并由数学知识可知：行星冲日的时间间隔一定大于 1 年，并且 k 值越大时间间隔越短，所以选项 B、D 正确，A、C 错误。
3、相对运动在运动合成中的应用
【例 11】手持滑轮把悬挂重物的细线拉至如图 1 所示的实线位置，然后滑轮水平向右匀速移动，运动中始终保持悬挂重物的细线竖直，则重物运动的速度( )
A．大小和方向均不变 B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变 D．大小和方向均改变
(
v
物
v
相对
?
)[解析]以滑轮为参考系，重物相对滑轮向上运动，因为绳总长不变，水平绳伸长量等于竖直绳缩短量，所以重物相对滑轮的速度是与滑轮对地速度一样大，由
? ? ? ? ? ?
v相对 ? v物 ? v参变形得v物 ? v参 ? v相对，矢量图如右图所示，可见重物对地得速度

大小等于滑轮速度得

倍，方向与水平方向成 45 角向右上。故 A 正确。
(
2
)v

【例 12】如图所示，一艘轮船正在以 4 m/s 的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为 v1＝3 m/s，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同。某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发Th变化
求：

(1)发动机未熄灭时，轮船相对于静水行驶的速度大小；
(2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值。
(
v
船
)[解析]船的实际速度，就是水的流速和船相对水的速度的矢量和，即 ?
本题中的矢量图如右图所示，其中 v2 即船相对水的速度。


? ?
(
v
2
) (
?
) (
?
)v水 v相对
v

（1）发动机未熄火时，船的实际速度 v 与水流速度 v1 方向垂直，如图所示，故此时

船相对于静水的速度 v

的大小：v ＝ v2＋v2＝ 42＋32 m/s＝5 m/s，设 v 与 v

的夹角为θ


则 cos θ＝

2 2 1 2
v1
(
v
v
2
)v ＝0.8。

v2
(2)熄火前，船的牵引力沿 v2 的方向，水的阻力与 v2 的方向相反，熄火后，牵引力消失在阻力作用下，v2 逐渐减小，但其方向不变，当 v2 与 v1 的矢量和 v 与 v2 垂直时，轮船的合速度最小，则 vmin＝v1cos θ＝3×0.8 m/s＝2.4 m/s。
四、相对运动在动力学问题中的应用 v1
1、惯性力
某物体 A 相对地面（视为惯性系）以加速度 a 运动时，以物体 A 为参考系，其上的其他物体 m 不受实际的力时，其相对物体 A 的运动似乎是受到了一个大小为 ma，方向与 A 的加速度 a 相反的力的作用，但实际上 m 并没有受力，其相对 A 的运动实际上是由于 m 的惯性，m 相对地保持原速度（或静止）所致。
对于加速运动的参考系，牛顿定律不再成立，但是，若引入假想的“惯性力”，则牛顿定律继续适用。相对地面以加速度为 a 的运动的参考系内，质量为 m 的物体均受到的“惯性力”F 惯＝－ma——即大小为
ma，方向与 a 相反——的作用。
2、应用
【例 13】(2015·海南单科，9)如图，升降机内有一固定斜面，斜面上放一物块。开始时，升降机做匀速运动，物块相对于斜面匀速下滑。当升降机加速上升时
( )
A．物块与斜面间的摩擦力减小 B．物块与斜面间的正压力增大
C．物块相对于斜面减速下滑 D．物块相对于斜面匀速下滑
(
F
N
F
f
ma
mg
)[解析]以升降机为参考系，物块受到了竖直向下的惯性力 ma 的作用，则物块的受力如图所示。
（1）升降机匀速运动时，a=0，故 ma=0，物块相对斜面匀速下滑，由平衡条件，有 mgsin θ＝μmgcos θ，得 sin θ＝μcos θ。
（2）当升降机向上匀加速时， a ? 0 ，则在垂直斜面方向上，由平衡条件，有 FN＝m(g＋a)cos θ，由滑动摩擦定律可知，物块所受滑动摩擦力为 Ff＝μm(g＋a)cos θ因为 sin θ＝μcos θ，所以 m(g＋a)sin θ＝μm(g＋a)cos θ，也就是物块沿斜面方向受力平衡，故物体仍相对斜面匀速下滑。故本题选 BD。
【例 14】如图所示，一质量为 M、倾角为θ的光滑斜面，放置在光滑的水平面上，另一个质量为 m 的滑块从斜面顶端释放，试求斜面的加速度。
[解析]斜面体的加速度水平向右，大小设为 a1，以斜面体为参考系，滑块受力如右图所示，由平衡条件，有

mg cos?? ma1 sin?? FN
以地面为参考系，对斜面体，由牛顿第二定律，有
FN sin?? Ma1

FN
ma
a 相对

两式联立，解得 a1 ?

m sin?cos? g mg
M ? m sin 2 ?

顺便，我们还可以求出滑块对地的加速度：
(
a
2
α
a
1
θ
a
相对
)以斜面体为参考系，滑块相对斜面体沿斜面向下加速度为 a 相对，则有
(
相
对
)mg sin?? ma1 cos?? ma
(
?
)? ?
滑块对地的加速度 a2 ? a1 ? a相对，矢量图如右图所示，则有
a2 cos?? a相对 sin? a2 sin?? a相对 cos?? a1
联立即可求出 a2 的大小和方向。
【例 15】如图一所示，木块 A、B，用轻质弹簧连接置于光滑水平面上，开始时弹簧处于自然状态（原长）。现用水平恒力 F 推木块 A，则在弹簧第一次被压缩到最短的过程中
A、B 速度相同时，二者加速度大小关系如何？
A、B 加速度相同时，二者速度大小关系如何？
“惯性力”在弹簧双振子问题中的应用也是一个典型案例，具体分析请参看笔者《弹簧双振子问题研究》一文。
五、相对运动在电磁学问题中的应用
1、电磁场的相对论变换
根据电磁场的相对论变换，在某参考系中，描述电磁场的两个参数为 E、B，则选相对该参考系以速度 v 运动的物体作参考系时，新的参考系里，该电磁场的两个参数变换为
E’＝γ（E－v×B），B’＝γ（B+v×E/c2)
其中 ?? 1 1? (v / c)2 ，当 v<E’＝E－v×B，B’＝B
高中物理处理的都是低速情况下问题，因此本文采纳上式形式讨论问题。
为讨论问题的方便，下文将 E’＝E－v×B 写成 E’＝E＋B×v. 当原电场强度为零时，有 E’＝B×
v. 注意表达式中 v 为磁场相对参考系的速度。
(
f
电
mg
)2、相对运动在电磁学问题中的应用
【例 16】用绝缘细线悬挂一个质量为 m、电荷量为＋q 的小球，处于如图的磁感应强度为 B 的匀强磁场中．由于磁场的运动，小球静止在如图所示位置，这时悬线与竖直方向的夹角为α，并被拉紧，则磁场运动的速度大小和方向是 （ ）

A．v

mg，水平向右 B．v＝mg 水平向左

＝ ，
Bq Bq
C．v＝mgtanα，竖直向上 D．v＝mgtanα，竖直向下
Bq Bq
[解析]A 当磁场水平向左运动时，E’＝B×v，即其大小为 E＝vB，方向竖直向

上，则小球受到向上的电场力 f

=qvB，当 v＝mg时，有 mg＝qvB，此时绳中张力 Bq

(
电
)为零，绳松弛，未被拉紧，故 A 错。
当磁场水平向右运动时，E’＝B×v，即其大小为 E=vB，方向竖直向下，则小球受到竖直向下的电场力 f 电=qvB，则绳子不可能保持如图所示方向静止。
(
F
T
f
mg
)当磁场竖直向上运动时，E’＝B×v，即其大小为 E=vB，方向水平向右，则小球受到水平向右的电场力 f 电=qvB，则由平衡条件，有
FT cos?? mg ? 0
FT sin?? qvB ? 0

解得 v＝mgtanα
Bq

，C 正确。 电

当磁场竖直向下运动时，E’＝B×v，即其大小为 E=vB，方向水平向左，则小球受到水平向左的电场力 f 电=qvB，小球不可能保持如图所示方向静止。

【例 17】如图所示，空间存在一范围足够大的垂直于 xOy 平面向外的匀 y B E
强磁场，磁感应强度大小为 B.该空间同时还存在沿 y 轴正方向、场强大小为 E
的匀强电场，现让质量为 m，电量为 q(q>0)的粒子从坐标原点 O 沿 xOy 平面 v0
以初速度 v0 沿 y 轴正方向发射．不计粒子重力，试求该粒子运动过程中的最大 O x
速度值 vm.
[解析]（1）由于电场力要做功，粒子将做复杂的曲线运动。为了将问题简化，可以想办法把电场力的影响“去掉”。
E
取一个向右以恒定速度v1 ? B 的参考系 x’O’y’来分析此问题，在此参考系中，E’＝E＋B×v1，其中 B×v1
部分大小 Bv1＝E，方向沿 y 轴负方向，与 E 正好抵消，即 E’＝0。同时，该参考系下，磁感应强度仍为 B’
＝B。
(
E
) (
2
)（2）在该参考系下，粒子具有一个沿 x 轴负方向向左的初速度 v1 ? B ，同时还有一个沿 y 轴正方向的初速度 v0。所以粒子在这个参考系内将做匀速圆周运动，有



(
mv
)解得 r ? ，其中v ?
qB?

qvB? ? m v
(
v
2
?

v
2
0
1
)r

y B’
v
v0

(
O
)v1 x
（3）换回地面参考系，则可知粒子参与了两个运动——一个随 x’O’y’
参考系向右的匀速运动v ? E ，一个相对 x’O’y’参考系的匀速圆周运动，其
1 B
运动轨迹如下图所示。
(
v
m
)则粒子整个运动过程中的速度，就是这两个分运动速度的矢量和；当 v 的方向平行 x 轴向右时，粒子对地速度达到最大，为

vm ? v1

v ? E ?
(
v

?

(
)
2
E
2
0
B
)B

且方向沿 x 轴正方向。

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