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第3章函数的基本性质
本章知识网络

知识梳理
.理解函数的有关概念
（1）函数的定义：在某个变化过程中有两个变量x、y ，如果对于x 在某个实数集合D 内
的每一个确定的值，按照某个对应法则 f ， y 都有唯一确定的实数值与它对应，那么 y 就是x 的函数，记作 y = f (x) ，（x ∈ D ），x 叫做自变量，y 叫做因变量，x 的取值范围D 叫做定义域．．．，和x 对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
【小贴士】
据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与 y 轴垂线的公共点可能没有，也可能 有任意个.即函数的图像特征：对于任意与x 轴垂直的直线，与图像最多只有一个交点.
【说明】
如果函数只给出解析式，未指明定义域，那么函数的定义域就是使得解析式有意义的实数x的集合.

【求函数值域的方法】
（1） 二次函数类型 （二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,mn]上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题；求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系）；
（2） 可换元成二次函数类型 ，换元一定要注意新元的取值范围；


单调性法:一般来说一道求值域或最值的题目，如果不是常见类型，就可以考虑利用单调性来求解，包括数列的最大最小项问题；
（6）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点间的距离、直线斜率、等等；
（7）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过分离变量后，再利用基本不等式：（注意：当分式是最简分式，并且自变量x 没有其它限制时，可直接用判别式法解题。若不符合上述要求虽也可用此法，但要增加其他条件比如在某范围内有解，这时我们不提倡用此种方法，而改用基本不等式及耐克函数求解）.
【温馨提示】
（1 ） 求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？
（2 ） 函数的最值与值域之间有何关系？
（3 ） 两个函数相等：当两个函数的定义域、对应法则及值域均相等，则两个函数相等.
当然 ，当定义域和对应法则均相等的时候，两个函数的值域也必然相等，因此，定义域和对应法则 为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
函数的三种表示法：解析法、列表法、图像法．
【求函数解析式的常用方法】
（1） 待定系数法――已知所求函数的类型；
（2） 代换（配凑）法――已知形如 f ((gx))的表达式，求 f（x)的表达式；
3）方程的思想――已知条件是含有 f（x)及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征 对等式的进行赋值，从而得到关于 f（x)及另外一个函数的方程组.

常见的函数图像的变换




函数关系的建立
在解决实际问题中，首先要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式表示出来，这个过程叫做建模；建立函数关系是表示函数对应关系的一种常用方法，在建立的函数关系的后面必须标明函数的定义域，其值域由定义域和对应法则确定，这时函数的三要素就完全具备了.

3. 函数的运算
（1） 函数和：一般地，已知两个函数 y = f (x)(x ∈ D1) ， y = g(x)(x ∈ D2 ) ，设D = D1 ∩ D2 ，并且D 不是空集，那么当x ∈ D时，y = f (x) 和 y = g(x) 都有意义，
于是把函数 y = f (x) + g(x)(x ∈ D) 叫做函数 y = f (x) 与 y = g(x) 的和.
函数的积、差、商：

【注意】
①两个函数的和函数的定义域为它们定义域的交集，当定义域的交集为空集时，他们的和函数无意义；
②在求两个函数商的定义域，还要除去使得分母上的函数值为零 的 x 的值.


【注意】
①定义本身蕴涵着：函数的定义域必须是关于原点的对称区间，这是奇（偶）函数的必要条件；
②“定义域内任一个”：意味着奇（偶）性是函数的整体性质而非局部性质 ③使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量x 的恒等式而不是方程.

（2）判断奇偶性的步骤：
【步骤】
① 看定义域是否是关于原点对称的区间（是的话就继续，不是就是非奇非偶函数）
② 找 f（x)与 f（?x)之间的关系，

【提醒】
若函数 y = f (x)是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数；若 y = f (x)是奇函数且 f (0)存在，则 f (0) = 0（这里要强调的是 f (0)一定要存在才可以用）；反之不然，如： f (x) = x + 2x ， f (0) = 0，但是 f (x) 为非奇非偶函数。



（5） 函数奇偶性的性质：
① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
② 如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数;
③ 若 f（x)为偶函数，则 f (?x）=f(x)=f(|x|;)
④ 若奇函数 f (x)定义域中含有0 ，则必有 f (0) = 0.故 f (0) = 0是 f( x)为奇函数的既不充分也不必要条件;
⑤ 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”;
⑥ 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”;
⑦ 既奇又偶函数有无穷多个（ f(x)= 0，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.
5. 函数的周期性
定义：设函数 f (x) ， x ∈ D ，如果存在非零常数T ，使得对任意的 x ∈ D ，都有
f (x + T ) = f (x) ，则称 f (x) 为周期函数，T 为 f (x) 的一个周期，周期函数的周期往往不唯一.

【复习小贴士】


【注意】
① 函数的单调性只能在定义域内讨论，可以是定义域的某个子区间，也可以是整个定义域，如果函数在整个定义域上单调，则它在子区间上也是单调的；
② 如果函数的图像不是连续的，讨论单调性需分段讨论，在整个定义域上是否单调要根据单调性的定义来分析；
③ 函数的单调性是函数局部的性质，在对函数图像的一部分进行研究时，经常用到；
④ 定义法是判断函数单调性的最基本方法，特别是在一些非初等函数中.
（2） 复合函数单调性特点：“同増异减”
（3） 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：

















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