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考点1　速度、位移与时间的关系(d)
1.(2019·杭州模拟)如图所示,一列以72 km/h的速度行驶的火车,在驶近一座石拱桥时开始做匀减速运动,加速度大小为0.1 m/s2,减速行驶了2 min,则减速后火车速度为 (　　)
A.6.0 m/s B.8.0 m/s
C.10.0 m/s D.12.0 m/s
【解析】选B。72 km/h=20 m/s,2 min=120 s,根据公式v=v0+at可得减速后火车的速度为v=20 m/s-0.1×120 m/s=8 m/s,B正确。
2.汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动,见前方有障碍物立即刹车,刹车后加速度大小为5 m/s2,则汽车刹车后第2 s内的位移和刹车后5 s内的位移为(　　)
A.30 m,40 m B.30 m,37.5 m
C.12.5 m,40 m D.12.5 m,37.5 m
【解析】选C。汽车的刹车时间为t== s=4 s,故汽车第5 s内处于静止状态。则汽车刹车后1 s内的位移为x1=v0t1-a=20×1 m-×5×12 m=17.5 m,前2 s内的位移x2=v0t2-a=20×2 m-×5×22 m=30 m,第2 s内的位移为x2-x1=
12.5 m;汽车刹车后5 s内的位移即为刹车时间4 s内的总位移,x=v0t-at2=20×
4 m-×5×42 m=40 m,C正确。
3.公交车已作为现代城市交通很重要的工具,它具有方便、节约、缓解城市交通压力等许多作用。某日,某中学黄老师在家访途中向一公交车站走去,发现一辆公交车正从身旁平直的公路驶过,此时,他的速度是1 m/s,公交车的速度是
15 m/s,他们距车站的距离为50 m。假设公交车在行驶到距车站25 m处开始刹车,刚好到车站停下,停车时间8 s。而黄老师因年龄、体重、体力等关系最大速度只能达到6 m/s,最大起跑加速度只能达到 2.5 m/s2。
(1)若公交车刹车过程视为匀减速运动,其加速度大小是多少?
(2)试计算分析,黄老师是应该上这班车,还是等下一班车。
【解析】(1)公交车的加速度
a1==-4.5 m/s2
所以,其加速度大小为4.5 m/s2。
(2)公交车从相遇到开始刹车用时
t1== s
公交车刹车过程中用时
t2== s
黄老师以最大加速度达到最大速度用时
t3==2 s
黄老师加速过程中位移
s2=t3=7 m
以最大速度跑到车站用时
t4== s
显然,t3+t4答案:(1)4.5 m/s2 　(2)见解析
1.求解运动学问题的基本思路:
2.恰当选用公式:
题目中所涉及的物理量(包括已知量、待求量和为解题设定的中间量)
没有涉及
的物理量
选用适宜公式
v0、v、a、t
x
v=v0+at
v0、a、t、x
v
x=v0t+at2
v0、v、a、x
t
v2-=2ax
v0、v、t、x
a
x=t
考点2　解决匀变速直线运动问题的六种方法
【典例1】(2018·浙江4月选考真题)如图所示,竖直井中的升降机可将地下深处的矿石快速运送到地面。某一竖井的深度约为104 m,升降机运行的最大速度为8 m/s,加速度大小不超过1 m/s2,假定升降机到井口的速度为零,则将矿石从井底提升到井口的最短时间是 (　　)
A.13 s B.16 s
C.21 s D.26 s
【解题思路】可按以下思路分析:
【解析】选C。升降机先做匀加速运动,后做匀速运动,最后做匀减速运动,在匀加速阶段,所需时间t1==8 s,通过的位移为x1==32 m,在匀减速阶段与匀加速阶段相同,在匀速阶段所需时间为t2== s=5 s,总时间为:t=2t1+t2=
21 s,故C正确,A、B、D错误。
【典例2】(2017·浙江4月选考真题)游船从某码头沿直线行驶到湖对岸,小明对过程进行观测,记录数据如表:
运动过程
运动时间
运动状态
匀加速运动
0～40 s
初速度v0=0;
末速度v=4.2 m/s
匀速运动
40～640 s
v=4.2 m/s
匀减速运动
640～720 s
靠岸时的速度vt=0.2 m/s
(1)求游船匀加速运动过程中加速度大小a1及位移大小x1。
(2)若游船和游客的总质量M=8 000 kg,求游船匀减速运动过程中所受的合力大小F。
(3)求游船在整个行驶过程中的平均速度大小。
【解题思路】可按以下思路进行分析:
【解析】(1)a1== m/s2=0.105 m/s2
x1=Δt1=2.1×40 m=84 m
(2)匀减速过程的加速度大小
a2== m/s2=0.05 m/s2
F=Ma2=400 N
(3)x2=v·Δt2=4.2×600 m=2 520 m
x3=·Δt3=176 m
x=x1+x2+x3=2 780 m
所以==3.86 m/s
答案:(1)0.105 m/s2　84 m　(2)400 N
(3)3.86 m/s
1.(2019·全国卷Ⅰ)如图,篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮,离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个所用的时间为t1,第四个所用的时间为t2。不计空气阻力,则满足 (　　)
A.1<<2 B.2<<3
C.3<<4 D.4<<5
【解析】选C。对于初速度为0的匀加速直线运动,通过连续相等的各段位移所用的时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn=1∶(-1)∶(-)∶(-)∶…
∶(-)。因不计空气阻力,则运动员原地垂直起跳扣篮的过程为匀减速直线运动。为便于计算,采用逆向思维法研究运动员下落的过程。因下落的过程为初速度为0的匀加速直线运动,则==2+,即3<<4,故选项C正确。
2.如图所示,装甲车在水平地面上以v0=20 m/s的速度沿直线前进,装甲车从开始匀减速运动到停下行进了90 m。求装甲车匀减速运动的加速度大小和匀减速运动的时间。
【解析】由v2-=2ax,
得装甲车加速度a= m/s2=- m/s2,
由v=v0+at得t= s=9 s。
答案: m/s2　9 s
3.在一次汽车性能测试中,汽车达到一定速度后关闭发动机并刹车,刹车后汽车连续通过长度都是L的两段距离,并继续向前运动,它通过第一段距离所用的时间为t,通过第二段距离所用的时间为2t,假设汽车在运动过程中所受阻力不变,求汽车在刚刚通过第一段距离L时的速率。
【解析】设汽车刚开始刹车时的速度为v0,汽车在刚通过第一段距离L时的速度为v
汽车通过第一段距离的平均速度v1= ①
汽车通过第二段距离的平均速度v2= ②
汽车运动的加速度a= ③
又v=v1-at ④
联立①②③④计算得出:v=。
答案:
匀变速直线运动的求解方法
【加固训练】
　　有一质点在连续12 s内做匀加速直线运动,在第一个4 s内位移为24 m,在最后4 s内位移为56 m,求质点的加速度。
【解析】方法一:运用运动学基本公式求解。
根据x=v0t+at2,
有24=v0×4+a×42 ①
56=v1×4+a×42 ②
又由v=v0+at,
有v1=v0+a×8 ③
以上三式联立可解得a=1 m/s2
方法二:利用平均速度公式求解。
由于已知量有x及t,平均速度可求,故想到利用平均速度公式=,第一个4 s内的平均速度等于中间时刻2 s时的速度,v2= m/s=6 m/s,最后4 s内的平均速度等于中间时刻10 s时的速度,
v10= m/s=14 m/s
所以a== m/s2=1 m/s2。
方法三:利用Δx=aT2求解。
本题出现了三个连续相等时间间隔(4 s),故想到选用公式Δx=aT2,
x2-x1=aT2,
x3-x2=aT2,
所以x3-x1=2aT2,
a== m/s2=1 m/s2。
答案:1 m/s2
考点3　自由落体运动和竖直上抛运动(c)
【典例3】(2016·浙江10月选考真题)某探险者在野外攀岩时,踩落一小石块,约5 s后听到石块直接落到崖底的声音,探险者离崖底的高度最接近的是 (　　)
A.25 m B.50 m C.110 m　　 D.150 m
【解题思路】可按以下思路分析:
【解析】选C。小石块落到崖底,其下落规律可以看作自由落体运动,即h=gt2 ,代入数据得h=×9.8×52 m=122.5 m,考虑声音传回来大约有0.3 s,即下落距离应略小于122.5 m,即选项C正确。
【典例4】某人在高层楼房的阳台外侧以20 m/s的速度竖直向上抛出一个石块,若忽略空气阻力因素的影响,已知重力加速度大小为10 m/s2。求石块运动到离抛出点15 m处所经历的时间。
【解题思路】解答本题应注意以下两点:
(1)离抛出点15 m处有两个位置。
(2)根据位移公式h=v0t-gt2求时间。
【解析】选择竖直向上的方向为矢量的正方向,由匀变速直线运动的位移公式有x=v0t-gt2。如果石块运动到抛出点的上方15 m处,则有x1=15 m,解得t1=1 s,t2=
3 s。
如果石块运动到抛出点下方,则有x2=-15 m,解得t3=(2-)s(舍去),t4=(2+
)s。
综上,石块运动到离抛出点15 m处所经历的时间为1 s、3 s或(2+)s。
答案:1 s、3 s或(2+)s
1.(2019·杭州模拟)伽利略在研究自由落体运动时,设计了如图所示的斜面实验。下列哪些方法是他在这个实验中采用过的 (　　)
①测出相同长度的斜面在不同倾角时,物体落到斜面底端的速度v和所用时间t,比较的比值的大小
②用打点计时器打出纸带进行数据分析
③改变斜面倾角,比较各种倾角得到的的比值的大小
④将斜面实验的结果合理“外推”,说明自由落体运动是特殊的匀变速直线运动
A.①②③④ B.①③④
C.①④ D.③④
【解析】选D。在伽利略时代,技术不够发达,无法直接测定瞬时速度,所以不可能直接得到速度的变化规律,但是伽利略通过数学运算得出结论:如果物体的初速度为零,而且x与t的平方成正比,就可以检验这个物体的速度是否随时间均匀变化,③正确,①错误;在伽利略时代,没有先进的计时仪器,采用水钟计时,②错误;将斜面实验的结果合理“外推”,说明自由落体运动是特殊的匀变速直线运动,④正确。A、B、C错误,D正确。故选D。
2.(2017·浙江4月选考)拿一个长约1.5 m的玻璃筒,一端封闭,另一端有开关,把金属片和小羽毛放到玻璃筒里,把玻璃筒倒立过来,观察它们下落的情况。然后把玻璃筒里的空气抽出,再把玻璃筒倒立过来,再次观察它们下落的情况。下列说法正确的是 (　　)
A.玻璃筒充满空气时,金属片和小羽毛下落一样快
B.玻璃筒充满空气时,金属片和小羽毛均做自由落体运动
C.玻璃筒抽出空气后,金属片和小羽毛下落一样快
D.玻璃筒抽出空气后,金属片比小羽毛下落快
【解析】选C。抽出空气之后,羽毛和金属片下落时仅受重力,因此加速度一样大,所以下落一样快,选项C正确。
3.某人站在20层高的楼上从窗户以20 m/s的速度竖直向上将小球抛出,小球的位移大小等于20 m的时间有(g取10 m/s2) (　　)
A.一个 B.两个 C.三个 D.四个
【解析】选B。取竖直向上为正方向,小球向上运动的最大位移: hm== m=
20 m,20层楼的高度大于20 m,可知小球的位移大小等于20 m的时间有两个。
1.自由落体运动的特点:
(1)自由落体运动是初速度为零,加速度为g的匀加速直线运动。
(2)一切匀加速直线运动的公式均适用于自由落体运动,特别是初速度为零的匀加速直线运动的比例关系式,在自由落体运动中应用更频繁。
2.竖直上抛运动的两种研究方法:
(1)分段法:将全程分为两个阶段,即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段。
(2)全程法:将全过程视为初速度为v0,加速度a=-g 的匀变速直线运动,必须注意物理量的矢量性。习惯上取v0的方向为正方向,则v>0时,物体正在上升;v<0时,物体正在下降;h>0时,物体在抛出点上方;h<0时,物体在抛出点下方。
3.竖直上抛运动的对称性:
如图所示,物体以初速度v0竖直上抛, A、B为途中的任意两点,C为最高点,则:
(1)时间对称性:物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等,同理有tAB=tBA。
(2)速度对称性:物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等,方向相反。
(3)能量对称性:物体从A→B和从B→A重力势能变化量的大小相等,均等于mghAB。
【加固训练】
　　物体从离地面45 m高处做自由落体运动(g取10 m/s2),则下列选项中不正确的是 (　　)
A.物体运动3 s后落地
B.物体落地时的速度大小为30 m/s
C.物体第一秒内的位移为5 m
D.物体在整个下落过程中的平均速度为20 m/s
【解析】选D。由h=gt2
得t==3 s
第1 s内位移:h=gt2=5 m
落地速度:v=gt=30 m/s
全程的平均速度:== m/s=15 m/s,故选项A、B、C正确,D错误。
【资源平台】备选角度:匀变速直线运动推论的应用
【典例】如图所示,一小滑块(可视为质点)沿足够长的斜面以初速度v向上做匀变速直线运动,依次经A、B、C、D到达最高点E,已知xAB=xBD=6 m,xBC=1 m,滑块从A到C和从C到D所用的时间都是2 s。设滑块经B、C时的速度分别为vB、vC,则 (　　)
A.vC=6 m/s　　　　 B.vB= m/s
C.xDE=3 m D.从D到E所用时间为4 s
【规范解答】选D。由xAC-xCD=at2得a== m/s2=0.5 m/s2,滑块由A至C的平均速度等于中间时刻的瞬时速度,则== m/s=3.5 m/s,vC=
-a·=3.5 m/s-0.5×1 m/s=3 m/s,A错误;由-=2axBC,得vB= m/s,B错误;由=2axBE得xBE =10 m,故xDE=xBE-xBD=4 m,C错误;由xDE=a得tDE=4 s,D正确。

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