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2020届全国各地最新模拟试题（理）分类汇编
13 立体几何

1．（2020?广州一模）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为　　

A． B． C． D．
2．（2020?桥东区校级模拟）胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率．若胡夫金字塔的高为，则该金字塔的侧棱长为　　
A． B． C． D．
3．（2020?桥东区校级模拟）已知为一圆锥的顶点，为底面圆的直径，，点在底面圆周上，若为的中点，则异面直线与所成角的大小为　　
A． B． C． D．
4．（2020?梅河口市校级模拟）如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为　　

A． B．
C．6 D．与点的位置有关
5．（2020?东宝区校级模拟）如图，已知四面体为正四面体，，，分别是，中点．若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为　　

A．1 B． C．2 D．
6．（2020?宜昌模拟）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为　　
A． B． C． D．
7．（2020?龙岩一模）已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，底面是等腰梯形，，且满足，则球的表面积是　　
A． B． C． D．
8．（2020?眉山模拟）已知腰长为3，底边长2为的等腰三角形，为底边的中点，以为折痕，将三角形翻折，使，则经过，，，的球的表面积为　　
A． B． C． D．
9．（2020?五华区校级模拟）已知圆锥的底面半径为3，母线长为5．若球在圆锥内，则球的体积的最大值为　　
A． B． C． D．
10．（2020?垫江县校级模拟）过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为　　
A． B． C． D．
11．（2020?内蒙古模拟）如图：空间四边形中，，，，异面直线与所成角的余弦值为　　

A． B． C． D．
12．（2020?凯里市校级模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？“其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的体积为　　
A．140立方尺 B．280立方尺 C．立方尺 D．立方尺
13．（2020?龙岩一模）已知正三棱柱的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱，，分别交于，，，若为直角三角形，则面积的最小值为　　
A． B．3 C． D．6
14．（2020?咸阳二模）正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为，高为3，则它的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
15．（2020?重庆模拟）如图，四棱柱中，为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则　　

A． B． C． D．
16．（2020?邯郸模拟）如图一，在中，，，为中点，，将沿翻折，得到直二面角，连接，是中点，连接，如图二，则下列结论正确的是　　
A． B． C．平面 D．平面
17．（2020?福清市一模）已知正方体的棱长为2，平面．平面截此正方体所得的截面有以下四个结论：
①截面形状可能是正三角形
②截面的形状可能是正方形
③截面形状可能是正五边形
④截面面积最大值为
则正确结论的编号是　　
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
18．（2020?道里区校级一模）已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，若面面，则三棱锥的体积最大值为　　
A． B． C．1 D．2
19．（2020?焦作一模）某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，是线段上的点，则在原三棱柱中，的最小值为　　

A． B． C． D．
20．（2020?吉林二模）等腰直角三角形与等边三角形中，，，现将沿折起，则当直线与平面所成角为时，直线与平面所成角的正弦值为　　

A． B． C． D．

21．（2020?眉山模拟）如图，在长方体中，，为的中点，为的中点，为线段上一点，且满足，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求直线与直线所成角的余弦值．



22．如图，在长方体中，，为的中点，为的中点，为线段上一点，且满足，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．



23．（2020?宜昌模拟）如图，在四棱锥中，，，．
（1）证明：平面；
（2）若，，为线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．



24．（2020?五华区校级模拟）如图所示的几何体中，正方形所在平面垂直于平面，四边形为平行四边形，为上一点，且平面，．
（1）求证：平面平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求平面与平面所成二面角的正弦值．


25．（2020?龙岩一模）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，，顶点在底面内的射影恰为点．
（1）求证：平面；
（2）若直线与底面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．










2020届全国各地最新模拟试题（理）分类汇编
13 立体几何

1．（2020?广州一模）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为　　

A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：上部是圆柱，下部是圆锥，
几何体的表面积为：．
故选：．

2．（2020?桥东区校级模拟）胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率．若胡夫金字塔的高为，则该金字塔的侧棱长为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设该金字塔的底面边长为，则，可得：．
该金字塔的侧棱长．
故选：．

3．（2020?桥东区校级模拟）已知为一圆锥的顶点，为底面圆的直径，，点在底面圆周上，若为的中点，则异面直线与所成角的大小为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设．
，，底面．
则，0，，，1，，，0，，，0，，，，，
，1，，，1，，
，，
，，
异面直线与所成角的大小为．
故选：．

4．（2020?梅河口市校级模拟）如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为　　

A． B．
C．6 D．与点的位置有关
【解答】解：如图：

还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，顶点在平面上，高为2，所以四棱锥的体积为，所以该几何体的体积为，
故选：．
5．（2020?东宝区校级模拟）如图，已知四面体为正四面体，，，分别是，中点．若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为　　

A．1 B． C．2 D．
【解答】解：把正四面体补为正方体，如图，
根据题意，，，
，
所以，，
故，
，当且仅当时成立，
故选：．

6．（2020?宜昌模拟）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设圆心到截面距离为，截面半径为，
由，即，
，
，
故，又，
，
所以截面的面积为，
故选：．
7．（2020?龙岩一模）已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，底面是等腰梯形，，且满足，则球的表面积是　　
A． B． C． D．
【解答】解：底面是等腰梯形，，且满足，
可知底面的外心为的中点，到顶点的距离为1，
因为，，，
所以，的中点到的距离为1，
所以是四棱锥的外接球的球心，外接球的半径为1，
所以球的表面积是：．
故选：．
8．（2020?眉山模拟）已知腰长为3，底边长2为的等腰三角形，为底边的中点，以为折痕，将三角形翻折，使，则经过，，，的球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，
由题意可得：，，两两相互垂直．
．
设经过，，，的球的半径为．
则．
球的表面积．
故选：．

9．（2020?五华区校级模拟）已知圆锥的底面半径为3，母线长为5．若球在圆锥内，则球的体积的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设圆锥的轴截面为等腰，则球的体积最大时，球的轴截面是 的内切圆，所以，
解得：，所以球的体积的最大值为，
故选：．
10．（2020?垫江县校级模拟）过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为　　
A． B． C． D．
【解答】解：画大圆，设半径为，取半径的中点，过做截面，为直径，取中点，连接，截面，由题意可得，
所以，
在三角形中，，即，
整理可得：，
解得：，
所以，
所以所得截面的面积与球的表面积的比为，
故选：．

11．（2020?内蒙古模拟）如图：空间四边形中，，，，异面直线与所成角的余弦值为　　

A． B． C． D．
【解答】解：如图，过作，交于，并连接，则，
，
，
，，，
，且，
为异面直线与所成角或其补角，
在中，根据余弦定理得，，
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．

12．（2020?凯里市校级模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？“其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的体积为　　
A．140立方尺 B．280立方尺 C．立方尺 D．立方尺
【解答】解：由题意可得：这个四棱锥的体积立方尺，
故选：．
13．（2020?龙岩一模）已知正三棱柱的底面边长为2，用一平面截此棱柱与侧棱，，分别交于，，，若为直角三角形，则面积的最小值为　　
A． B．3 C． D．6
【解答】解：如图，以中点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，设，，，，0，，，1，，
不妨设为直角，，，
，


．
故选：．

14．（2020?咸阳二模）正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为，高为3，则它的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为，高为3，设它的外接球的半径为，球心为，底面的中心为．
设．
则，．
解得：．
可得球的表面积为．
故选：．

15．（2020?重庆模拟）如图，四棱柱中，为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则　　

A． B． C． D．
【解答】解：四棱柱中，为平行四边形，
，分别在线段，上，且，
，平面平面，
在上且平面平面，，
．
故选：．
16．（2020?邯郸模拟）如图一，在中，，，为中点，，将沿翻折，得到直二面角，连接，是中点，连接，如图二，则下列结论正确的是　　
A． B． C．平面 D．平面
【解答】解：在中，，，为中点，，
将沿翻折，得到直二面角，连接，是中点，连接，
，，
，平面．
故选：．
17．（2020?福清市一模）已知正方体的棱长为2，平面．平面截此正方体所得的截面有以下四个结论：
①截面形状可能是正三角形
②截面的形状可能是正方形
③截面形状可能是正五边形
④截面面积最大值为
则正确结论的编号是　　
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
【解答】解：对①当截此正方体所得截面为时满足，故①正确．

对②，由对称性得截面形状不可能为正方形，故②错误．
对③，由对称性得截面形状不可能是正五边形，故③错误．
对④，当截面为正六边形时面积最大，为，故正确．

故选：．
18．（2020?道里区校级一模）已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，若面面，则三棱锥的体积最大值为　　
A． B． C．1 D．2
【解答】解：如图，
连接，，则，
两三棱锥高的和的最大值为．
要使三棱锥的体积最大，则面积最大为．
三棱锥的体积最大值为．
故选：．

19．（2020?焦作一模）某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，是线段上的点，则在原三棱柱中，的最小值为　　

A． B． C． D．
【解答】解：将展开图折成立体图形，如图①，
然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，如图②所示．
因为，，所以，即的最小值为．
故选：．

20．（2020?吉林二模）等腰直角三角形与等边三角形中，，，现将沿折起，则当直线与平面所成角为时，直线与平面所成角的正弦值为　　

A． B． C． D．
【解答】解：设为中点，连接、，
由题可知，，
所以平面，
过作于点，连接，则平面，
所以即为直线与平面所成角的平面角，
所以，可得，
在中可得，
又，即点与点重合，此时有平面，
过作于点，
又平面，所以，
所以平面，
从而即为直线与平面所成角，．
故选：．




21．（2020?眉山模拟）如图，在长方体中，，为的中点，为的中点，为线段上一点，且满足，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求直线与直线所成角的余弦值．

【解答】（1）证明：在长方体中，建立如图所示空间直角坐标系，
由，为的中点，为的中点，为线段上一点，且满足，
得，0，，，0，，，，，，0，，，4，，
，，4，，，，．
设平面的一个法向量为．
由，取，得，
，且平面，
平面；
（2）解：设到平面的距离为，则．
；
（3）解：由（1）知，，
又，．
直线与直线所成角的余弦值．

22．如图，在长方体中，，为的中点，为的中点，为线段上一点，且满足，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．

【解答】解：（1）证明：作的中点，连接，，
又为的中点，
为△的中位线，
，
又为的中点，
为梯形的中位线，
，
在平面中，，在平面中，，
平面平面，
又在平面内，
平面．
（2）以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的一个法向量为，则，可取，
同理可求得平面的一个法向量为，
，
又二面角的平面角为钝角，故二面角的余弦值为．


23．（2020?宜昌模拟）如图，在四棱锥中，，，．
（1）证明：平面；
（2）若，，为线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】（1）证明：在四棱锥中，，，．
，，
，，
，平面．
（2）解：，平面，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，为线段上一点，且，，．
，，，，0，，，0，，，0，，，2，，
，，，，0，，，2，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
．

24．（2020?五华区校级模拟）如图所示的几何体中，正方形所在平面垂直于平面，四边形为平行四边形，为上一点，且平面，．
（1）求证：平面平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求平面与平面所成二面角的正弦值．

【解答】
（1）证明：因为平面平面，平面平面，
四边形为为正方形，即，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为面，平面，
所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
（2）解：，
求三棱锥体积的最大值，只需求的最大值．
令，，
由（1）知，
所以，当且仅当，
即 时，．
以中点为坐标原点建立空间直角坐标系如图，则
，，，，1，，，1，，，0，．
设为平面的一个法向量，
则，
可取，则，
因为四边形为平行四边形，为等腰直角三角形，
所以四边形为正方形，取平面的一个法向量为，
所以，，所以，，
即平面与平面所成二面角的正弦值为


25．（2020?龙岩一模）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，，顶点在底面内的射影恰为点．
（1）求证：平面；
（2）若直线与底面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【解答】解：（1）证明：如图，连接，则平面，
平面，，
在等腰梯形中，连接，过点作于点，
，，，
则，，，
，
因此满足，，
又，平面，，
平面．
（2）解：由（1）知，，两两垂直，
平面，，，
以为坐标原点，分别以，，，所在直线为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，2，，，0，，
，2，，，0，，
设平面的法向量，，，
由，取，得，
又，0，为平面的一个法向量，
设平面与平面所成锐二面角为，
则．
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

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