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平面图形与几何知识汇总梳理
四边形：
（1）四边形的特征： 有4条直的边，有4个角，是封闭图形。
（2）长方形和正方形的特征：
长方形特征：4个角都是直角，对边相等，较长的边叫做长，较短的边叫做宽。
正方形的特征：4个角都是直角，每条边都相等，每条边的长叫做边长。
图形的周长： 封闭图形一周的长度，是它的周长。
周长的求法：
（1）测直边物体和图形的周长：用直尺分别测量出每条边的长度，再计算长度之和。
（2）测量圆形物体的周长：
①绕绳法：用一根绳绕圆的边缘一周，剪去多余的部分，再拉直，量出它的长度即得到圆的周长。
②滚动法：把圆放在直尺上滚动一周，直接量出圆的周长。
（3）测量不规则物体的周长：用细线绕树叶周围一圈，拉直后测量细线的长度。
3. 长方形的周长＝长＋宽＋长＋宽
长方形周长的计算方法 长方形的周长＝长×2＋宽×2
长方形的周长＝（长＋宽）×2
正方形周长的计算方法 正方形的周长＝边长＋边长＋边长＋边长
正方形的周长＝边长×4
4.用相同的小正方形拼长方形和正方形，拼成正方形时周长最短，摆成一排拼成长方形时周长最长。
5.面积：物体的表面或封闭图形的大小，就是它们的面积。
周长与面积的区别：周长是指封闭图形一周的长度，面积是指物体所占平面大小。
6.常用面积单位：
（1）平方厘米（cm2）：边长1厘米的正方形，面积是1平方厘米。
（2）平方分米（dm2）：边长1分米的正方形，面积是1平方分米。
（3）平方米（m2）：边长1米的正方形，面积是1平方米。
7.面积公式： 长方形面积 = 长×宽
正方形面积 = 边长×边长
8.平行与垂直： 同一个平面内的两条直线的位置关系只有两种不相交——平行
相交 垂直
不垂直
平行：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
垂直：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
拓展：① “在同一个平面内”是确定两条直线是不是平行关系的前提。如果不在同一个平面内，有些直线虽然不相交，但也不能称为互相平行。
② 在同一个平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。如果a∥b，b∥c，那么a∥c。
③ 在同一个平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行。如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c。
9.垂直的画法：
（1）在画互相垂直的两条直线时，可以借助三角尺或量角器来画。
（2）过直线上一点画已知直线的垂线的方法：
① 把三角尺的一条直角边与已知直线重合。
② 沿着直线移动三角尺，使三角尺的直角顶点和直线上的已知点重合。
③ 沿着三角尺的另一条直角边画一条直线（三角尺的直角顶点是垂足），这条直线就是已知直线的垂线。
④ 标出直角符号。
（3）过直线外一点画已知直线的垂线的方法：
① 把三角尺的一条直角边与已知直线重合。
② 沿着直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边过直线外的一点。
③ 沿着三角尺的另一条直角边画一条直线（三角尺的直角顶点是垂足），这条直线就是已知直线的垂线。
④ 标出直角符号。



10.点到直线的距离：
(1)从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。
(2)平行线间的距离处处都相等。

11.画长方形的方法：
(1)先画出长方形的长；
(2)再以这条长的两个端点为垂足，向同一个方向画两条长度相等且与这条长垂直的线段作为长方形的两条宽；
(3)最后把这两条宽的另外两个端点连接起来，画出长方形的另一条长。

12.平行四边形：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。
特征：两组对边分别平行且相等。
平行四边形的底和高：从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间
的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。




平行四边形特性：易变形，具有不稳定性。
13.梯形：只有一组对边平行的四边形，叫做梯形。
梯形各部分的名称：
特殊梯形：①等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。（如图1）
②直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。（如图2）



画梯形高的方法：在梯形的底上选一点向对边画一条垂线，这点和垂足之间的线段就是梯形的高。（通常从上底的一个端点向它的对边画高。）
14.补充：
（1）.平行四边形和梯形画高的注意事项：
①要用虚线表示。②一定要画直角符号。③一般把高画在图形内。
（2）.四边形之间的关系






（3）.比较各种四边形的特征：
四边形 边数 对边是否平行 对边是否相等 对角是否相等
正方形
长方形
平行四边形
梯形








15.平行四边形的面积

平行四边形 长方形







长方形的面积 ＝ 长 × 宽
平行四边形的面积 ＝ 底 × 高


平行四边形的面积＝底×高
S＝ah


注意：①求平行四边形的面积，要先找到底和其相对应的高，再计算。
②平行四边形底不变，高扩大到原来的n倍，则面积扩大到原来的n倍；
平行四边形底不变，高缩小到原来的，则面积缩小到原来的。
平行四边形高不变，底扩大到原来的n倍，则面积扩大到原来的n倍；
平行四边形高不变，底缩小到原来的，则面积缩小到原来的。
平行四边形的底扩大到原来的n倍，高缩小到原来的，面积不变。






16.三角形的面积
三角形 平行四边形 或 长方形










两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形，拼成一个平行四边形的两个三角形完全相同。
三角形的底 ＝ 平行四边形的底
三角形的高 ＝ 平行四边形的高
每个三角形的面积 ＝ 平行四边形的面积÷2
＝ 平行四边形的底×平行四边形的高÷2
＝ 三角形的底×三角形的高÷2 （相对应的底和高）
三角形的面积 ＝ 底×高÷2
S ＝ ah÷2











17.梯形的面积
梯形 平行四边形





两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形。
梯形的（上底+下底）＝ 平行四边形的底
梯形的高 ＝ 平行四边形的高
每个梯形的面积 ＝ 平行四边形的面积÷2
＝ 平行四边形的底×平行四边形的高÷2
＝ （梯形的上底+梯形的下底）×梯形的高÷2
梯形的面积 ＝ （上底＋下底）×高÷2
S ＝（a＋b）×h÷2


















18.圆的认识
（1）圆：一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周时，它的另一端就会画出一条封闭的
曲线，这条封闭曲线叫做圆。
（2）圆规画圆的方法。
① 把圆规的两脚分开，定好两脚之间的距离；→定半径
② 把带有针尖的角固定在一点上；→定圆心
③ 把装有铅笔的脚旋转一周，就画出了一个圆。→画圆
（3）圆的认识。
①圆心：用圆规画圆时，针尖所在的点叫圆心。用字母O表示。→决定圆的位置
②半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径。用字母r表示。
③直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径。用字母d表示。
半径（直径）越长，圆越大；半径（直径）越短，圆越小。



④等圆：半径相等的两个圆叫做等圆。等圆经过平移可以完全重合。
⑤同心圆：圆心重合，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
⑥在同圆或等圆中：或
半径扩大到原来的几倍，直径也扩大到原来的几倍；
半径缩小到原来的几分之一，直径也缩小到原来的几分之一。
⑦圆是轴对称图形，直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。









19.圆的周长
圆的周长。
（1）圆的周长：围成圆的曲线的长是圆的周长。
（2）测量方法：滚动法、绕绳法、直接测量法。
（3）圆周率是任意一个圆的周长和它直径的比值。这个比值是一个固定数，用π表示。
它是一个无限不循环小数，π=3.1415926535……通常取π≈3.14。




（4）圆的周长



半径×2
拓展：
圆的半径或直径扩大到原来的几倍，它的周长也扩大到原来的几倍。
圆的半径或直径缩小到原来的几分之一，它的周长也缩小到原来的几分之一。
②
③ 圆周长的一半；
半圆=圆周长的一半+直径






20.圆的面积公式推导
（1）圆的面积定义：
圆所占平面的大小叫做圆的面积。圆的面积的大小与半径（直径）的长短有关。
（2）圆的面积公式：
把圆等分成若干份，用这些接近于等腰三角形的小图形拼成学过的图形来进行推导。












圆的面积 ＝ 长方形的面积
＝ 长 × 宽
＝ ×
＝ ×
＝



梯形的（上底+下底）→圆的 三角形的 底 →圆的
梯形的 高 →圆的 三角形的 高 →圆的
21.圆的半径、直径、周长、面积之间的关系。
①圆的半径扩大到原来的a倍， 则它的直径扩大到原来的a倍，
它的周长扩大到原来的a倍，
它的面积扩大到原来的a2倍。
例如：圆的半径扩大到原来的3倍，则它的直径扩大到原来的（ ）倍，周长扩大到原来的（ ）倍，面积扩大到原来的（ ）倍。
②圆的半径缩小到原来的，则它的直径缩小到原来的，
它的周长缩小到原来的，
它的面积缩小到原来的。
例如：圆的半径缩小到原来的，则它的直径缩小到原来的（ ），周长缩小到原来的（ ），面积缩小到原来的（ ）。

③


22.圆环的面积
圆环（环形）：两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环，也叫做环形。
外圆：圆环中较大的圆。 外圆的半径用字母“R”表示。
内圆：圆环中较小的圆。 内圆的半径用字母“r”表示。
环宽：两个圆之间的宽度。 环宽＝外圆半径－内圆半径，用字母“L”表示，即L＝R－r。

圆环的面积 = S大圆 — S小圆
=
=
23.外方内圆 和 外圆内方
圆的直径是正方形的 。
S阴影 = S正 — S圆
= —
外方内圆 =

圆的直径是正方形的 。
圆的直径是三角形的 。
圆的半径是三角形的 。
外圆内方 S阴影 = S圆 — S正
= S圆 — 2S三角
= —
=





















24.用数对表示具体情境中物体位置
用数对表示具体情境中物体位置的方法
（1）竖排叫做列，横排叫做行，确定列数要从左往右数，确定行数要从前往后数。
（2）用数对表示物体的位置时，先说列，后说行，表示形式为（列数，行数）。

○ ○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○ ○









25.在方格纸上用数对确定物体位置的方法
（1）用数对可以表示平面图上物体的位置。
（2）给出物体在平面图上的数对，就可以确定物体所在的位置。
○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○
（A，B）
（A，C）
（A，B）
（C，B）

在方格纸上，物体左右平移，行数不变。向左平移，列数减去平移格数，
向右平移，列数加上平移格数。
在方格纸上，物体上下平移，列数不变。向上平移，行数加上平移格数，
向下平移，行数减去平移格数。



转化的数学思想

a＝S÷h

h＝S÷a

底=平行四边形的面积÷高

高=平行四边形的面积÷底

底a

高h

底

高

底

高

底

高

底

高

底

高

底

底

a＝2S÷h

h＝2S÷a

底 ＝ 三角形的面积×2÷高

高 ＝ 三角形的面积×2÷底

底a

高h

下底b

高h

上底a

上底 ＋下底 ＝ 梯形的面积×2÷高

高 ＝ 梯形的面积×2÷（上底＋下底）

a＋b ＝ 2S÷h

h ＝ 2S÷（a＋b）

决定圆的大小

等圆

同心圆








发现：
把圆平均分成的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形就会越接近于一个长方形。


长方形的宽近似于
圆的半径

长方形

宽

长

长方形的长近似于圆的周长的一半







外圆

内圆

R

r

L

环宽

r

r

第1列 第2列

竖排叫列

横排叫行

列 从左往右数

行

从
前
往
后
数

第2行

（2,3）

第1行





第一个数相同，
物体在同一列

第二个数相同，
物体在同一行

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