资源简介

小数乘法的计算
知识精讲1：
小数乘整数的计算方法：
1.先按整数乘法计算；
2.再看是小数的那个因数中有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；
3.若积的小数部分末尾有0，要根据小数的性质把积中小数末尾的0去掉。

魔法记忆口诀：
小数乘法整数算，因数小数位数看；
就从积的右边数，相同位数小数点。
小数末尾若有0，根据性质把0删；
先点后删要记清，这个顺序不能换。

知识精讲2：
小数乘小数的计算方法：
1.先按整数乘法计算；
2.再看两个因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出 几位，点上小数点；
3.若积的位数不足，用0补足；若小数部分末尾有0，要先点上小数点，再根据小数的性质把积中小数末尾的0去掉。

小数乘小数，积的位数不够时的计算方法：
1.一算：按照整数乘法算出积；
2.二看：看因数中一共有几位小数；
3.三点：因数中一共有几位小数，就从积的右边起， 数出几位点上小数点，当积的小数位数不够时，要在积的前面用0补足，再点上小数点；如果积的小数部分末尾有0，要把0去掉。
















奥数思维拓展：
小数位数较多的小数乘法：
渗透一种数学思想：转化思想。
学习一类思维方法：类推法。
[例题]计算：0.00……0026×0.00……0048＝

[分析]
第一个因数有152位小数，第二个因数有5位小数；
两个因数共有152＋52＝204（位）小数，所以积的小数位数是204位；
先算出26×48＝1248，再将小数点向左移动204位，要在“1”的前面添加204－4＝200（个）0补位，点上小数点，最后写出整数部分的0，便是得数。
[解答] 0.00……0026×0.00……0048＝0.00……001248
200个0


[技巧]解决此类题目的步骤：
（1）转化为整数乘法算出积；
（2）算出两个因数共有几位小数，所得结果就是乘积的小数位数；
（3）将小数点向左移动相应的小数位数，便是最后的得数。

[举一反三]
（1）0.00……0016×0.00……0048＝



（2） 0.00……0045×0.00……008＝



（3）0.00……0018×0.00……006＝






（4） 0.00……00206×0.00……0015＝



































积的近似数和整数乘法运算定律推广到小数
知识精讲1：
用“四舍五入”法取积的近似数的方法：
1. 算出准确的积；
2. 看要保留的小数位数；
3. 循要保留的数位的下一位上的数字是几，按照“四舍五入”法取近似值。

魔法记忆口诀：
小数乘法近似数，四舍五入来保留。
保留哪位看下位，再同数5作比较。
是5大前进1，小于5尾全省掉。
等号变成约等号，一目了然近似数。

知识精讲2：
运算顺序：小数四则运算顺序与整数四则混合运算相同。
1.同级运算：算式中只有加、减或只有乘、除，要按照从左到右的顺序计算；
2.两级运算：算式中既有乘、除又有加、减，要先算乘、除法，后算加、减法；
3.有小括号：先算小括号里面的，后算小括号外面的。

运算定律和运算性质：

运算定律：
加法交换律：a+b=b+a
加法运算定律：
加法结合律:a+b+c=a+(b+c)


乘法交换律:a×b=b×a
乘法运算定律： 乘法结合律:a×b×c=a×(b×c)
乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c
b)×c=a×c-b×c

运算性质：
减法的性质： a－b－c = a－(b＋c)
除法的性质： a÷b÷c = a÷(b×c)





奥数思维拓展：
速算与巧算（一）
1.渗透三种数学思想：迁移、转换、策略优化。
2.学习两种思维方法：凑整法、提公因数法。
思维提升
[例题]用简便方法计算下列各题。
3.65×0.1＋0.6×36.5＋0.039×365 12.7×15－9×4.5
[解答]
3.65×0.1＋0.6×36.5＋0.039×365
＝3.65×0.1＋×3.65×6＋3.65×3.9
＝3.65×(0.1＋6＋3.9)
＝3.65×10
＝36.5

12.7×15－9×4.5
＝12.7×15－9×0.3×15
＝12.7×15－2.7×15
＝(12.7－2.7)×15
＝10×15
＝150
[技巧]
1.多个乘法算式相加减，且每一个算式中都含有一个因数是由相同数字组成的，可以利用积不变的规律，先把这些因数转化成大小相等的因数，再根据乘法分配律进行计算。
2.多个乘法算式相加减，各算式中有因数存在倍数关系时，先将它们进行拆分，使原式转化为具有相同因数的算式的和（差），再根据乘法分配律进行计算。

[举一反三]
计算下列各题。
2.01×67－0.67





15.5×6.6＋22×6.35

45.6×6.7＋4.56×31＋0.456×20





0.666×0.8＋0.222×7.6







小数乘法解决问题
知识精讲1：
1.用估算解决实际问题时，要根据问题的具体情况和数据特点选择适当的估算策略。
（1）要判断“够”的话，所有的数据都要估大，或不变；
（2）要判断“不够”的话，所有的数据都要估小,或不变。
（3）估的时候要注意估大或估小要适度，要能解决问题。
2.用估算解决购物问题时，可以用“放大”法或“缩小”法来估算。在应用估算时需要注意所有的数据都只能放大（缩小）或不变，不能有的放大，有的缩小。

知识精讲2：
分段收费问题，可以根据收费标准分段来计算，也可以先假设同一单价再调整的方法来计算。














奥数思维拓展：
还原问题
1.渗透一种数学思想：逻辑推理
2.学习两类思维方法：画线段图法、倒推还原法

[例题]幼儿园买来一些糖果，先给大班送去一半，又把剩下的糖果的一半送给了中班，还剩下1.5kg。你知道幼儿园一共买来多少千克糖果吗？
[分析]
方法1：画线段图法

送给大班 剩下1.5kg




送给中班
从送给中班后剩下的1.5kg入手，送给大班后应该剩下2个1.5kg,而且送给大班后剩下的和大班得到的一样多，所以原来应该有（2×2）个1.5kg。

方法2：倒推还原法
先按事情发生的顺序进行整理：

买来？千克糖果 给大班送去一半 把剩下糖果的 还剩1.5kg
一半送给中班

在倒过来推算：

÷2 ÷2
买来？kg糖果 第一次送出后剩下的 还剩1.5kg
×2 ×2

[解答]
1.5×2×2＝6（kg）
答：幼儿园一共买来6千克糖果。

[技巧]
用还原法解决这类问题时，需要通过尝试画图，从最后结果往前一步一步地推算，即可还原到最初的状态。






[举一反三]
1.小华用自己积攒的零花钱去书店买书，她买了一本《故事大王》正好用去了总钱数的一半，又买了一本《快乐作文》用去了剩下钱数的一半，这是小华还剩5.3元，小华原来有多少钱？









2.一根铁丝一半一半的剪，剪了三次后还剩4.25米，这根铁丝原来有多长？









3.正在施工的一条隧道，已经挖了全长的一半多0.1km，还剩下0.5km，那么它全长多少千米？









4.一袋小麦，第一次取出全部的一半多2.5千克，第二次取出余下的一半，这是袋里还剩下15千克。这袋小麦原来重多少千克？











位置
知识精讲1：
用数对表示具体情境中物体位置的方法
（1）竖排叫做列，横排叫做行，确定列数要从左往右数，确定行数要从前往后数。
（2）用数对表示物体的位置时，先说列，后说行，表示形式为（列数，行数）。

○ ○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○ ○








知识精讲2：
在方格纸上用数对确定物体位置的方法
（1）用数对可以表示平面图上物体的位置。
（2）给出物体在平面图上的数对，就可以确定物体所在的位置。
○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○
（A，B）
（A，C）
（A，B）
（C，B）

在方格纸上，物体左右平移，行数不变。向左平移，列数减去平移格数，
向右平移，列数加上平移格数。
在方格纸上，物体上下平移，列数不变。向上平移，行数加上平移格数，
向下平移，行数减去平移格数。




奥数思维拓展:
位置
渗透两种数学思想：数形结合思想、对应思想
2、学习一类思维方法：分析法

[例题]小力、小林、小亮三个人的位置如图所示，小林的座位用数对表示为（5，3），那么小力座位东面相邻同学的座位用数对表示为（ ， ）；小亮座位北面相邻同学的座位用数对表示为（ ， ）。









[解答]
（3,6） （7,5）

[技巧]
用数对表示物体的位置使，一定要注意列在前、行在后。

[举一反三]
如图，点E表示小明的座位，点F表示乐乐的座位，点M表示小丽的座位。小丽的座位用数对表示为M（5，3）。

班长的位置用数对表示为N（ ， ）；
乐乐的位置用数对表示为F（ ， ）；
小明东面相邻同学的位置用数对表示为（ ， ）；
小明南面相邻同学的位置用数对表示为（ ， ）；
小明西面相邻同学的位置用数对表示为（ ， ）；

小数除法的计算
知识精讲1：
小数除以整数的计算方法：
按照整数除法的法则去除，商的小数点要与被除数的小数点对齐；
计算时要注意，整数部分除完后商应先点小数点，然后把十分位上的数字落下来继续除，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位上。

知识精讲2：
除到被除数的末位仍有余数的小数除法计算方法：
计算除数是整数的小数除法时，除到被除数末位仍有余数，根据小数的性质（小数的末位添上0或去掉0，小数的大小不变）要在余数的后面补0继续除。

知识精讲3：
被除数的整数部分不够除的小数除法计算方法：
（1）小数除以整数，如果被除数的整数部分不够除（即比除数小），先在个位上商0占位，点上商的小数点后继续除。
（2）小数除法的验算方法和整数除法的验算方法相同，都是用商乘除数，看相乘的积是否等于被除数。

知识精讲4：
一个数除以小数的计算方法：
一个数除以小数，先划去除数的小数点，将除数转化成整数；
再看除数中的小数点向右移动了几位，同时将被除数中的小数点也向右移动几位；
然后按照除数是整数的小数除法法则进行计算。

知识精讲5：
被除数的小数位数比除数的小数位数少的计算方法：
除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；
除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；
然后按除数是整数的小数除法进行计算。









奥数思维拓展：
小数点的移动
渗透两种数学思想：类推、比较。
学习一类思维方法：逆推法。
[例题1]甲、乙两数的和是16.5，甲数的小数点向右移动一位正好等于乙数。你知道甲数、乙数分别是多少吗？

[分析]

甲数的小数点
向右移动一位 乙数＝甲数×10
正好等于乙数 甲数＋甲数×10＝16.5 甲数×（10＋1）＝16.5

甲数＋乙数＝16.5

[解答]
甲数：16.5÷（10＋1）＝1.5
乙数：1.5×10＝15或16.5－1.5＝15
答：甲数是1.5，乙数是15。

[技巧]
A的小数点向右移动一位是B，则B＝10×A，C的小数点向左移动一位是D，则C＝10×D；
和倍问题：和÷（倍数＋1）＝小数；和－小数＝大数 或 小数×倍数＝大数。

[例题2]一个小数的小数点向右移动一位，所得的数比原来多38.7，原来的小数是多少？

[分析]
小数的小数点向右移动一位 小数扩大到原来的10倍
画线段图分析数量关系：

[解答]
38.7÷（10－1）＝4.3
答：原来的小数是4.3。

[技巧]
差倍问题：差÷（倍数－1）＝小数；小数＋差＝大数 或 小数×倍数＝大数。


[举一反三]
1.小马虎在计算一道除法题时，把一个有两位小数的被除数的小数点漏掉了，除以5商是114。正确的除法算式中被除数是多少？计算后商是多少？







2.甲、乙两数的差是19.8，甲数的小数点向左移动一位正好等于乙数。你知道甲、乙两数分别是多少吗？







3.星星在考试中犯了一个错误，他在计算两个数相加时看错了一个两位小数的小数点位置，结果比正确答案多了13.05，看错的这个两位小数是多少？







4.在一个三位数的某位数字的右下角添上一个小数点，在与原来的数相减，差是451.44，这个三位数是多少？








商的近似数和循环小数
知识精讲1：
商的近似数：
（1）当商的小数位数太多或除不尽时，可以用“四舍五入”法保留一定的小数位数，求出商的近似数。
（2） 求商的近似数时，先看要保留几位小数，除到比需要保留的小数位数多一位，然后用“四舍五入”法取近似值，要注意结果用“≈”。

知识精讲2：
循环小数：
1.一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数；
2.一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节；
3.写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点；
4.小数部分的位数有限的小数是有限小数；小数部分的位数无限的小数是无限小数；循环小数是无限小数中的一种特殊情况。
























奥数思维拓展：
平均数问题中的近似数
1.渗透一种数学思想：推理思想。
2.学习一类思维方法：分析法。

[例题]有13个自然数，小红计算它们的平均数时精确到百分位是12.56，老师说最后一个数写错了。你知道正确答案吗？

[分析]“最后一个数写错了”说明正确的答案大于12.5，而小于12.6,13个自然数的和一定是整数。

[解答]
12.5×13＝162.5
12.6×13＝163.8
在162.5和163.8之间的整数是163，所以13个自然数的和是163。
163÷13≈12.54
所以这13个自然数的平均数精确到百分位是12.54。

[技巧]
解决此类问题的关键是找出平均数的取值范围，进而根据关系得出这组数的和的范围。

[举一反三]
洋洋在计算15个自然数的平均数（保留两位小数）时，得数为12.34，老师说最后一个数字错了。你能算出正确结果吗？








2.下面是小明作业本的一角，你知道这道题目的结果吗？

所以这12个自然数的平均数精确到百分位是14.8









循环位求和
渗透两种数学思想：转化、构造。
2、学习一类思维方法：感悟与尝试法

[例题]算一算5÷7的商，回答下面的问题：
小数点后面第50位上的数字是几？
小数点后面前50位上的数字之和是几？

[解答]
（1）5÷7＝0.714285
50÷6＝8（组）……2（个）
所以小数点后面第50位上的数字是1。
（2）每个循环节的数字之和是7＋1＋4＋2＋8＋5＝27。
小数点后面前50个数字之和就是8组数字的和再加上7与1。
27×8＋7＋1＝224
所以小数点后面前50位上的数字之和是224。

[技巧]
循环小数具有周期性，循环节有几个数字，循环周期就是几。用小数的位数除以周期得到余数，余数是几，最后一个数字就是循环节周期中的第几个数字。

[举一反三]
1.把化成小数，小数点后面第100位上的数字是几？小数点后面前100个数字之和是多少？








2.算式3÷13的商的小数点后面第207位上的数字是几？小数点后面前207个数字之和是多少？








小数除法的应用
知识精讲1：
用“进一”法解决实际问题：
1.“进一”法：解决问题时，根据实际情况取近似数，不管省略部分的数字是多少，都要向前一位进1。
2. 在解决实际问题中，求需要多少材料、物品的数量时，根据需要求得结果用“进一”法取整数。

知识精讲2：
用“去尾”法解决实际问题：
1.“去尾”法：在解决问题时，根据实际情况取近似数，把一个数某一位后面的数（即使这个数字大于或等于5）全部去掉。
2. 在解实际问题中，求能做或买多少个物品时，计算结果要用“去尾”法保留整数。
※小数除法解决问题：
1.根据实际需要，我们在取商的近似值时，不管小数部分的十分位是几，都要把小数部分省略后，向个位进一，这种求近似数的方法叫做“进一法”；

2.根据实际情况，我们在取商的近似值时，不管小数部分的十分位是几，都要把小数部分省略，只取整数商，这种求近似数的方法叫做“去尾法”；

3.在解决实际问题时，要根据实际情况取商的近似值；

4.在取近似值时，除了“四舍五入”法，还有“进一法”和“去尾法”。如装货物、装饮料、装油等一般用到“进一法”；花钱买东西、做衣服等用到“去尾法”。

知识精讲3：
运用消元法解决含有两个或两个以上未知量的问题：
找出题目中的各种未知量；
然后找出可以通过作差消去的未知量；
通过作差消去相同的未知量；
求出剩下未知量的具体值；
将先求出的未知量的具体值带回原式，从而求出消去的未知量的具体值；
（6）检验作答。






奥数思维拓展：
速算与巧算（二）
1.渗透三种数学思想：迁移思想、转换思想、策略优化思想
2.学习一类思维方法：类比分析法

[例题1]用简便方法计算下列各题。
4.5÷3.6 12.02÷0.25

[解答]
4.5÷3.6 12.02÷0.25
＝（4.5÷9）÷（3.6÷9） ＝（12.02×4）÷（0.25×4）
＝0.5÷0.4 ＝48.08÷1
＝5÷4 ＝48.08
＝1.25

[技巧]
有些小数除法可以借助商不变的性质进行速算。

[例题2]用简便方法计算下列各题。
4.82÷0.8＋3.18÷0.8 （3.6＋7.2）÷0.36

772.2÷7.8 18.18÷1.8

[解答]
4.82÷0.8＋3.18÷0.8 （3.6＋7.2）÷0.36
＝（4.82＋3.18）÷0.8 ＝3.6÷0.36＋7.2÷0.36
＝8÷0.8 ＝10＋20
＝10 ＝30

772.2÷7.8 18.18÷1.8
＝（780－7.8）÷7.8 ＝（18＋0.18）÷1.8
＝780÷7.8－7.8÷7.8 ＝18÷1.8＋0.18÷1.8
＝100－1 ＝10＋0.1
＝99 ＝10.1









[举一反三]
1.巧算下面各题。
28÷3.5 16÷0.25 3.6÷2.4








用简便方法计算下面各题。
15.26÷3.5＋9.24÷3.5 7.6÷1.4＋6.3÷1.4＋2.9÷1.4









6.3÷8＋0.125×3.7 32.8×0.2＋7.2÷5




















可能性
知识精讲1：
确定的事件用“一定”或“不可能”来描述事件的结果。
不确定的事件用“可能”来描述事件的结果。

知识精讲2：
（1）事件随机出现的可能性的大小与个体数量的多少有关，个体在总数中所占数量越多，出现的可能性越大；反之，可能性就越小。
（2）事件发生的可能性的大小的应用：
可以反映出个体数量的多少，可能性大，对应的个体数量就多些；反之，就少些。




























奥数思维拓展:
公平游戏
渗透一种数学思想：随机思想
2、学习一类思维方法：推理分析法
[例题]桌子上面分别写有1—9的数字卡片共9张，明明和芳芳两人玩摸数游戏，规则如下：摸到单数就算芳芳赢，摸到双数就算明明赢。请回答：
这个游戏公平吗？
怎样能使游戏变得公平？
[解答]
卡片共有9张，在这9个数字中，单数有1、3、5、7、9共5个，双数有2、4、6、8共4个，由此可知出现单数卡片的可能性大一些，这个游戏不公平。
只要增加一张写有双数的卡片或减去一张写有单数的卡片就公平了。
[技巧]
一个游戏是否公平，关键看双方输赢的可能性是不是相等，如果相等，那么就公平；如果不相等，那么就不公平。

[举一反三]
1.小明和小丽玩跳棋，现在有一个筛子，各面上分别写着1、2、3、4、5、6。小明说“掷到向上的面是4，5，6的我先跳。掷到向上的面是1，2，3的你先跳。”
你认为这个方法公平吗？






2.有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9共10张数字卡片，丽丽和芳芳两人轮流翻动一张卡片，让对方猜翻开的卡片是单数还是双数。如果猜对，猜的人获胜，翻的人输；如果猜错，猜的人输，翻的人获胜。
（1）你认为这个游戏公平吗？为什么？



（2）不改变游戏的道具，请你设计一种不同的游戏规则，使游戏变得公平？



150个0

50个0

150个0

50个0

113个

112个

2016个

2017个

50个

900个

2000个

3000个

第1列 第2列

竖排叫列

横排叫行

列 从左往右数

行

从
前
往
后
数

第2行

（2,3）

第1行





第一个数相同，
物体在同一列

第二个数相同，
物体在同一行

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