资源简介

用字母表示数
知识精讲1：
用字母表示数或数量关系
1.可以用字母或含有字母的式子来表示一个数或表示数量关系；
2.字母与数字相乘时，把乘号省略。省略乘号时，一般把数字写在字母前面。含有字母的式子中的加、减、除号不能省略。

知识精讲2：用字母表示运算定律
运算定律 用字母表示
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法分配律
注意：









知识精讲3：
用字母表示公式
公式 用文字表示 用字母表示
正方形面积 正方形面积=边长×边长
正方形周长 正方形周长=边长×4
长方形面积 长方形面积=长×宽
长方形周长 长方形周长=（长+宽）×2

知识精讲4：
用字母表示较复杂的数量关系的步骤：
1.分析出数量之间的关系。
2.列出含有字母的数量关系式。
3.根据实际情况，确定字母的取值范围。
注意：根据给出的数值求一个式子的值时，结果一般不写单位名称。

知识精讲5：
可以省略乘号或者利用运算定律化简含有字母的式子。

知识精讲6：
用字母表示图形中的数量关系的步骤：
1.找出图形中存在的数量关系，列出含有字母的式子（当数量关系中含有相同的字母时，要化成最简结果）。
2.将数据代入含有字母的式子，求出值。




























奥数思维拓展：
图形中的规律
1.渗透两种数学思想：数形结合思想、归纳思想
2.学习两类思维方法：比较与转化法
[例题]食堂里就餐的桌子每张可以坐4人，多于4人就把两张桌子排成一排，如图所示，以此类推。如果有n张桌子，请用含字母n的式子表示就餐的总人数。



……


[分析]：

增加几张桌子，能做的人就会增加2个。如果有n张桌子，能坐的人数为4＋2（2n－1）。
[解答]：
如果有n张桌子，那么就餐的总人数是2（2n＋2）。
[技巧]
解决此类题目需要先找出规律，再用含有字母的式子表示。

[举一反三]
1.如图，按图中的方式摆放餐桌和椅子。

（1）1张餐桌可以坐8人，2张餐桌可以坐多少人？




按照图中的方式继续摆放餐桌和椅子，完成下表：
餐桌张数 3 4 5 6 …… n
可坐人数

2.如图，每个等腰梯形的边长分别是2cm，2cm，4cm,2cm,将几个完全相同的梯形拼合，所成图形的周长如下表。观察下列图形，并填表。


梯形个数 1 2 3 4 5 …… n
周长 10 16 22 28 ……


3.如图，仔细观察图中正方形的个数与直角三角形个数的关系，填写下表。


正方形的个数 2 3 4 5 …… n
直角三角形个数 4 8 ……



















等式的基本性质和解方程
知识精讲1：等式的性质
（1）等式的性质1： 等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
（2）等式的性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。
知识精讲2：
1.方程的意义：含有未知数的等式是方程。
2.方程必须具备的两个条件：（1）是等式； （2）含有未知数。
3.方程一定是等式；但等式不一定是方程。
4.解方程和方程的解：
（1）使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解；
（2）求方程的解的过程叫做解方程；
（3）方程的解是一个数值，而解方程是一个过程。
知识精讲3：
解方程的方法
（1）形如x+a=b的方程的解法：
①先写“解：”；
②在方程的两边同时减去a，使等式成立；
③求出x的值。
④将所求结果代入方程的左边，检验所求是否是方程的解。

（2）形如x-a=b的方程的解法：
①先写“解：”；
②在方程的两边同时加上a，使等式成立；
③求出x的值；
④将所求结果代入方程的左边，检验所求是否是方程的解。

（3）形如ax=b的方程的解法：
①写上“解：”；
②方程的两边同时除以a；
③计算出方程的解；
④将所求结果代入方程的左边，检验所求是否是方程的解。
（4）形如a÷x=b的方程的解法：
①写上“解：”；
②方程的两边同时乘以x；
③将方程的左右两边调换位置；
③计算出方程的解；
④将所求结果代入方程的左边，检验所求是否是方程的解。
（5）形如a-x=b的方程的解法：
①写上“解：”；
②方程的两边同时加上x；
③将方程的左右两边调换位置；
④计算出方程的解并检验；
（6）形如ax±b=c的方程的解法：
①写出“解：”；
②把ax看作一个整体，在方程的两边同时减去或加上b；
③计算出ax的结果；
④方程的两边同时除以a；
⑤计算出未知数x的值并检验。
(7)形如a（x±b）=c的方程的解法：
方法一：把小括号里的x±b看作一个整体，
先求出x±b的值，再求出x的值。
方法二：根据乘法分配律，
把a（x±b）=c转化成x±ab=c的方程，
求出ax的值，再求出x的值。
(8)形如（x±b）÷a=c的方程的解法：
方法一：把小括号里的x±b看作一个整体，
先求出x±b的值，再求出x的值。
方法二：根据乘法分配律，
把（x±b）÷a=c转化成（x±b）÷a×a=c×a,
得到x±b=c×a形式的方程，
求出ax的值，再求出x的值。
奥数思维拓展：
（一）同解方程
1.渗透一种数学思想：等量代换。
2.学习一类思维方法：分析法。
[例题]方程 x－0.8＝2.4与mx＝9.6有相同的解，求m的值。

[分析]
两个方程的解相同，也就是x的值相同，因此先求出 x－0.8＝2.4的解，再把它带入mx＝9.6中，会得到一个含有未知数m的新方程，求出这个方程的解，就是m的值。

[解答]
x－0.8＝2.4 3.2m＝9.6
解： x－0.8+0.8＝2.4+0.8 3.2m÷3.2＝9.6÷3.2
x ＝3.2 m＝3
把 x ＝3.2带入mx＝9.6中，得到3.2m＝9.6。 答：m的值是3。

[技巧]
方程中虽然有两个未知数，但其中一个未知数的值隐含在已知条件中，通过计算可以先求出来，再把求出来的数值带入方程中，就可以求出另一个未知数。

举一反三：
1.方程x－0.6=5.4 与a÷x=0.6有相同的解，a是多少？






2.方程6÷x=4与bx=9有相同的解，b是多少？






3.方程c－x=4.5与d+x=2.5有相同的解，求c+d。







解复杂的方程
1.渗透两种数学思想：方程、转化。
2.学习一类思维方法：分析法。

[例题]解方程：7x+8x-13=17

[解答]
7x+8x-13=17
解：15x-13=17
15x=30
x=2

[技巧]观察方程，将能够先计算的部分先计算，使其简化，在求出x的值。

举一反三
1.解方程。
9.5x-6.1x+1.8=12 4x+0.7x-2x+1.9=10









2.解方程： 8x-7=2.5x+20.5。
















实际问题与方程
知识精讲1：列方程解决实际问题的步骤
（1）找出未知数，用字母x表示；
（2）找出等量关系，列方程；
（3）解方程并检验作答。
注意：① 解后面不写单位名称。 ② 没有检验要求时，可以口算检验。
知识精讲2：形如a(x±b)=c的方程的解法和应用
1.形如a（x±b）=c的方程有两种解法：
（1）把小括号里的x±b看作一个整体，先求出x±b的值，再求出x的值。
（2）根据乘法分配律，把a（x±b）=c转化成ax±ab=c的方程，求出ax的值，再求x的值。
2.形如a（x±b）=c的方程的应用：
（1）把要求的未知数设成x，再列方程；
（2）求出的解的后面不写单位名称；
（3）检验作答。

知识精讲3：形如ax±bx=c的方程的解法和应用：
1.形如ax±bx=c的方程的解法：
可以先将方程转化为（a±b）x=c的形式，再求解。具体解法如下：
ax±bx = c
解： （a±b）x = c
（a±b）x÷ （a±b）= c ÷（a±b）
x = c ÷（a±b）

2.形如ax±bx=c的方程的应用（和/差倍问题）：
用方程解和倍问题时，先设其中一个未知量为x（通常设一倍数为x），再根据两个数的倍数关系，用含有x的式子表示另一个未知量，然后根据这两个数量的和或差列出形如ax±bx=c的方程解答。

知识精讲4：列方程解决路程问题（画线段图法）
用画线段图法解决方程问题（使数量关系更直观）
奥数思维拓展：盈亏问题
1.渗透三种数学思想：化归思想、模型思想、方程思想
2.学习两类思维方法：比较法、对应法

思维提升：
[例]建设路小学学生乘汽车去春游，计划准备若干量车，如果每辆车上坐45人，那么有30人没有座位；如果每辆车上多坐5人，那么多出一辆汽车。原计划准备多少辆汽车？学校共有学生多少人？

[分析]
假设原计划准备x辆汽车，由第一种坐法，得出（45x＋30）名学生；由第二种坐法，得出（45＋5）（x－1）名学生，而学生总数是不变的，我们根据“总人数相等”得出等量关系并列出方程。

[解答]
解：设原计划准备x辆汽车。
45x＋30 ＝（45＋5）（x－1）
45x＋30 ＝ 50（x－1）
45x＋30 ＝ 50x－50
30 ＝ 5x－50
80 ＝ 5x
5x ＝ 80
x＝ 16
学生：45×16＋30＝750（人）或50×（16－1）＝750（人）
答：原计划准备16辆汽车，学校共有学生,750人。


[技巧]
解决盈亏问题的关键是先找出不变量，再根据不变量列出相应的等式。例如：根据“总人数相等”列出相应的等式是解答此题的关键。

举一反三：
1.绿化队植树，如果每人栽15棵树苗，那么还剩27棵没有栽；如果每人载18棵，那么少3棵树苗。绿化队总共要栽多少棵树苗？









2.舞蹈队同学排队，计划每行站8人，则多出3人；如果每行站9人，那么少了1行。舞蹈队共有多少人？原计划站几行？









3.老师给学生发练习本，如果每人发8本，那么少了84本；如果每人发5本，那么多了36本。算一算共有学生多少人？练习本多少本？








4.用一根绳子测量井深，如果把绳子对着量，那么多出3.6米，如果把绳子三折量，还差2.4米，那么这根绳子多长？井有多深？



















奥数思维拓展：环形行程问题
1.渗透三种数学思想：对应思想、数形结合思想、方程思想
2.学习一类思维方法：图示法

思维提升：
[例]在一条长0.24千米的环形跑道上，小丽、小娟同时同地起跑，小丽每分钟跑0.12千米。
如果背向而跑，两人36秒第一次相遇，小娟每分钟跑多少米？
如果筒向而跑，小娟90秒后第一次追上小丽，小娟每分钟跑多少米？


[分析]














[解答]
解：设小娟每分钟跑x km。 解：设小娟每分钟跑x km。
36秒＝0.6分 90秒＝1.5分
（x＋0.12 ）×0.6 ＝ 0.24 （x－0.12 ）×1.5 ＝ 0.24
x＋0.12 ＝ 0.4 x－0.12 ＝ 0.16
x ＝ 0.28 x ＝ 0.28
答：小娟每分钟跑0.28 km。 答：小娟每分钟跑0.28 km。


[技巧]
解决环形行程问题，画简图比较直观：
同时同地背向而行，相遇几次的路程和就是几个环形跑道长；
同时同地相向而行，第几次追上的路程差就是几个环形跑道长。





[举一反三]
1.在一条长0.4km的环形跑道上，小宝和小贝同时同向起跑，小贝每分钟跑0.18km，过了10分钟小贝追上了小宝，小宝每分钟跑多少千米？











2.小明和小亮在0.4km的环形跑道上练习跑步，两人同时出发，背向而行。小明的速度为0.08km/min，小亮的速度为0.12km/min，两人经过多长时间第二次相遇？













3.一台环形车道上，甲骑一圈需要30分钟。现在甲、乙两人骑自行车从环形车道的同一地点同时出发，背向而行，18分钟后，两人第一次相遇。如果乙的速度是0.3千米/分，那么甲的速度是多少？












平行四边形、三角形、梯形的面积
知识精讲1：平行四边形的面积

平行四边形 长方形







长方形的面积 ＝ 长 × 宽
平行四边形的面积 ＝ 底 × 高


平行四边形的面积＝底×高
S＝ah


注意：①求平行四边形的面积，要先找到底和其相对应的高，再计算。
②平行四边形底不变，高扩大到原来的n倍，则面积扩大到原来的n倍；
平行四边形底不变，高缩小到原来的，则面积缩小到原来的。
平行四边形高不变，底扩大到原来的n倍，则面积扩大到原来的n倍；
平行四边形高不变，底缩小到原来的，则面积缩小到原来的。
平行四边形的底扩大到原来的n倍，高缩小到原来的，面积不变。





知识精讲2：三角形的面积
三角形 平行四边形 或 长方形










两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形，拼成一个平行四边形的两个三角形完全相同。
三角形的底 ＝ 平行四边形的底
三角形的高 ＝ 平行四边形的高
每个三角形的面积 ＝ 平行四边形的面积÷2
＝ 平行四边形的底×平行四边形的高÷2
＝ 三角形的底×三角形的高÷2 （相对应的底和高）
三角形的面积 ＝ 底×高÷2
S ＝ ah÷2












知识精讲3：梯形的面积
梯形 平行四边形





两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形。
梯形的（上底+下底）＝ 平行四边形的底
梯形的高 ＝ 平行四边形的高
每个梯形的面积 ＝ 平行四边形的面积÷2
＝ 平行四边形的底×平行四边形的高÷2
＝ （梯形的上底+梯形的下底）×梯形的高÷2
梯形的面积 ＝ （上底＋下底）×高÷2
S ＝（a＋b）×h÷2




















奥数思维拓展：
（一）平行四边形的高
1.渗透两种数学思想：推理思想、归纳思想
2.学习一类思维方法：分析法

思维提升：
[例题]如图，平行四边形的底增加1米，它的面积就增加2平方米（阴影部分）。原来平行四边形的面积是多少平方米？

[分析]
增加的面积也是一个平行四边形的面积（阴影部分），增加的小平行四边形和原来平行四边形的高相等。所以可以先通过增加的图形的面积算出高，在计算原来平行四边形的面积。

[解答]
高：2÷1＝2（米）
原来平行四边形的面积：5×2＝10（平方米）
答：原来平行四边形的面积是10平方米。

[举一反三]
1.如图，阴影部分是一个平行四边形，它的面积是30平方厘米。三角形的高是多少？


2.如图，平行四边形（阴影部分）的底是长方形长的一半，它的面积是多少平方厘米？





3.如图，大平行四边形的面积是288平方厘米，小平行四边形（阴影部分）的面积是多少平方厘米？





两个三角形面积的倍数关系
1.渗透一种数学思想：转化思想
2.学习一类思维方法：推理分析法

思维提升：
[例题]如图，三角形AEC的面积是三角形ABE面积的多少倍？（单位：厘米）






[解答]
三角形AEC的面积＝6×h÷2
三角形ABE的面积＝3×h÷2
因为EC的长是BE长的2倍，所以三角形AEC的面积是三角形ABE面积的2倍。

[提醒]
根据两个三角形底和高之间的大小关系，可以知道它们面积的大小关系。

[举一反三]
1.如图，三角形AEC的面积是三角形ABE面积的多少倍？（单位：cm）


2.BD的长是DC的2倍，求三角形ABC的面积。（单位：cm）







组合图形的面积
知识精讲：求组合图形的面积
组合图形是由几个简单的图形组合而成，其面积既可以看作几个简单图形相加，也可以看作几个简单图形相减。
计算组合图形的面积，要根据已知条件对图形进行分解，转化成已学过的简单图形，先分别计算出它们的面积，再求和或差。
估算不规则图形的面积时，可以先通过数格子确定面积的范围，再将不满一格的都按半格计算，也可以根据图形的特点转化成已学过的图形来估算面积。





















奥数思维拓展：
（一）用转化法求面积
1.渗透两种数学思想：推理思想、归纳思想
2.学习两类思维方法：剔除法、转化法

思维提升：
[例题]如图，把两个完全相同的直角三角形的一部分叠放在一起，求阴影部分的面积。
（单位：cm）




[分析]
如果想直接求阴影部分的面积，显然有很大困难，我们不妨利用转化法。因为三角形ABC和三角形DEF完全相同，而它们的重叠部分为三角形CGE，所以梯形ABEG的面积等于CFDG的面积，可以先求出梯形ABEG的面积。

[解答]
EG的长：7－3＝4（厘米） （4＋7）×3÷2＝16.5（平方厘米）
答：阴影部分的面积是16.5平方厘米。
[技巧]
解决此类题目的关键是找到可以转化成的容易求解的图形。

[举一反三]
1.如图，三角形ABC和三角形DEF是两个完全相同的直角三角形，把它们的一部分重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：m）











2.如图，三角形ABC和三角形DEF是两个完全相同的直角三角形，把它们的一部分重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：dm）












3.如图，把两个完全相同的直角梯形的一部分重叠在一起，求阴影部分的面积。
（单位：cm）


















等积变形
1.渗透两种数学思想：转化思想、归纳思想
2.学习一类思维方法：转化与平移法

思维提升：
[例题1]求图1的面积。（单位：厘米）

[分析]
等积变形法：根据“等底等高的两个三角形的面积相等”，可以转化为图2，直接求梯形的面积。

[解答]
（16＋6＋8）×10÷2＝190（平方厘米）

[技巧]
同底等高（等底等高）的三角形，形状不同但面积相等。

[例题2]一块平行四边形草地（如图3），中间有一条长方形小路，草地的实际面积是多少平方米？

[分析]
等积变形法：长为5m、宽为0.8m的长方形和底为0.8m、高为5m的平行四边形的面积相等，把这个长方形转化为平行四边形，并向左平移，草地的实际面积就是底为（5.4－0.8）m，高为5m的平行四边形。

[解答]
（5.4－0.8）×5＝23（平方米）
答：草地的实际面积是23平方米。

[技巧]
面积相等的平行四边形和长方形，形状可以相互转化。

[举一反三]
1.用两种方法求下面图形的面积。





2.一块你长方形稻田里有一条平行四边形的水渠（如图），稻田的实际面积是多少平方米？




3.一块长方形草地，长为20m，宽为15m，中间有一条宽为2m的小路，求草地（阴影部分）的实际面积。









植树问题
知识精讲1：在一条线段上植树（两端都栽树）的解题方法：
总距离÷株距＝间隔数， 棵树＝间隔数＋1。

知识精讲2：在一条线段上植树（两端都不栽树）的解题方法：
总距离÷株距＝间隔数， 棵树＝间隔数－1。

知识精讲3：在不封闭路线上植树（一端栽树，另一端不栽树）的解题方法：
总距离÷株距＝间隔数， 棵树＝间隔数。

知识精讲4：在一条首尾相接的封闭曲线上植树的问题：
总距离÷株距＝间隔数， 棵树＝间隔数。



























奥数思维拓展：
方阵问题
1.渗透一种数学思想：数形结合思想
2.学习两类思维方法：观察分析法、抽象概括法

思维提升：
[例题]光明小学要举行秋季运动会，老师安排同学们组成一个13行13列的方阵。最外面的一层有多少人？最外面的第二层有多少人？

[分析]
















[解答]
最外面的一层人数：
方法一： 方法二： 方法三：
13×2＋11×2＝48 12×4＝48 11×4＋4＝48
最外面第二层的人数：
48－8＝40
答：最外面的一层有48人，最外面的第二层有40人。

[技巧]
在方阵中，某一层的人（或物）数＝每天人（或物）×4－1×4，并且牢记“每相邻两层的数量都相差8”。
[举一反三]
张叔叔家有一个正方形的鱼塘，他在鱼塘的每条边上等距离栽了10棵树苗，每个角上都栽一棵，那么张叔叔在鱼塘的四周共栽了多少棵数？







2.植物园举行植物展会，在广场上用花盆摆了一个方阵，最外层有200盆花，那么最外层的每边上有多少盆花？










3.棋盘上有一堆棋子，如果排成三层空心方阵，多出10个旗子；如果在中间的空心部分增加一层，反而又少了10个。那么棋盘上一共有多少棵棋子？


（1）在含有字母的式子里，字母之间只有乘号可以省略。
（2）同一运算定律或计算公式中相同的量要用同一个字母表示。
（3）读作“的平方”，表示2个相乘，；
读作“二”，表示2个相加，。
（4）将数据代入字母公式求值的方法：先写出字母公式，再代入数据求值，计算结果后面加单位名称。

含有两个未知数时，设其中的标准量为x，另一个未知量用含有x的式子表示出来。

转化的数学思想

a＝S÷h

h＝S÷a

底=平行四边形的面积÷高

高=平行四边形的面积÷底

底a

高h

底

高

底

高

底

高

底

高

底

高

底

底

a＝2S÷h

h＝2S÷a

底 ＝ 三角形的面积×2÷高

高 ＝ 三角形的面积×2÷底

底a

高h

下底b

高h

上底a

上底 ＋下底 ＝ 梯形的面积×2÷高

高 ＝ 梯形的面积×2÷（上底＋下底）

a＋b ＝ 2S÷h

h ＝ 2S÷（a＋b）

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